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\chapter{Harmonische Funktionen}

In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig
\emph{harmonische Funktionen} auf.  Das sind Funktionen, die die
Mittelwert-Eigenschaft per Definition erfüllen.

\begin{definition}
  Sei $U ⊂ ℝ²$ offen.  Eine stetige Funktion $f : U → ℝ$ heißt
  \emph{harmonisch}\index{harmonische Funktion}, wenn für jede Kreisscheibe
  $B_r(p) ⊂ U$ gilt:
  \[
    f(p) = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(p + e^{it})\,dt.
  \]
  Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am
  Rand der Kreisscheibe.
\end{definition}

\begin{bsp}[Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen]
  Proposition~\ref{satz:5-2-1} („Mittelwertsatz“) besagt unter anderem, dass
  Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen harmonisch sind.
\end{bsp}


\section{Konsequenzen von Harmonizität}

\begin{prop}[Maximumprinzip für harmonische Funktionen]\label{prop:14-1-1}%
  \index{Maximumprinzip für harmonische Funktionen}Es sei $U ⊂ ℝ²$
  zusammenhängend und offen und es sei $f : U → ℝ$ harmonisch.  Wenn $f$ auf $U$
  ein Maximum oder Minimum erreicht, dann ist $f$ konstant.
\end{prop}
\begin{proof}
  Angenommen, ein Maximum
  \[
    M := \max\{ f(z) \mid z ∈ U \}
  \]
  existiert und es sei $p$ ein Punkt aus $U$ mit $f(p) = M$.  Wenn $ε ≪ 1$
  ausreichend klein ist, dann ist $B_ε(p) ⊂ U$ und es gilt für jeden Punkt $z ∈
  ∂B_ε(p)$ die Ungleichung $f(z) ≤ f(p)$.  Die Gleichung
  \[
    f(p) = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(p + ε · e^{it})\,dt
  \]
  zeigt dann, dass für jeden Punkt $z ∈ ∂B_ε(p)$ bereits die Gleichung $f(z) =
  f(p)$ gelten muss.  Es folgt, dass $f$ auf $B_ε(p)$ konstant ist.  In der
  Summe sehen wir, dass die Menge
  \[
    \{z ∈ U \::\: f(z) = M\} ⊆ U
  \]
  offen ist.  Da diese Menge offensichtlich auch abgeschlossen ist, folgt die
  Behauptung.
\end{proof}

\begin{prop}
  Es sei $p ∈ ℝ²$ und $r > 0$.  Weiter seien $f_1, f_2 : \overline{\bar{B}_r(p)}
  → ℝ$ zwei stetige Funktionen, die auf $B_r(p)$ harmonisch sind und auf dem
  Rand $∂\bar{B}_r(p)$ übereinstimmen.  Dann ist $f_1 = f_2$.
\end{prop}
\begin{proof}
  Die Funktion $f := f_1 - f_2$ ist stetig auf $B_r(p)$ harmonisch und auf dem
  Rand $∂\bar{B}_r(p)$ gleich null.  Als stetige Funktion auf der kompakten
  Menge $\overline{\bar{B}_r(p)}$ nimmt $f_1 - f_2$ ein Maximum und Minimum an.
  Sollten diese ungleich Null sein, so würden diese an einem Punkt im Innern von
  $B_r(p)$ angenommen.  Dann ist $f_1 - f_2$ aber nach Satz~\ref{prop:14-1-1}
  konstant.
\end{proof}


\section{Konstruktion von harmonischen Funktionen}

\begin{konstruktion}[Funktionen vom Rand der Kreisscheibe in das Innere Fortsetzen]\label{konst:14-2-1}%
  Es sei $S¹ ⊂ ℂ$ der Einheitskreis und $h : S¹ → ℝ$ sei stetig.  Dann betrachte
  \[
    \bar{h} : \overline{B_1(0)} → ℝ,
    \quad
    z ↦
    \begin{cases}
      h(z) & \text{falls } |z| = 1 \\
      \frac{1}{2π} \int_0^{2π} h(e^{it}) · \operatorname{Realteil}\left(\frac{e^{it} + z}{e^{it} - z}\right)\,dt & \text{sonst}.
    \end{cases}
  \]
  Eine mühsame Rechnung, die ich mir spare, zeigt Folgendes.
  \begin{itemize}
    \item Die Funktion $\bar{h}$ ist auf der abgeschlossenen
      Einheitskreisscheibe stetig.

    \item Die Funktion $\bar{h}$ ist auf der offenen Einheitskreisscheibe
      harmonisch.
  \end{itemize}
\end{konstruktion}

\begin{rem}[Poisson\footnote{Siméon Denis Poisson (* 21.~Juni 1781 in Pithiviers
    (Département Loiret); † 25.~April 1840 in Paris) war ein französischer
    Physiker und Mathematiker.}-Transformation und Fourier\footnote{Baron Jean
    Baptiste Joseph Fourier (* 21.  März 1768 bei Auxerre; † 16.  Mai 1830 in
    Paris) war ein französischer Mathematiker und Physiker.}-Transformation]%
  Der Integralausdruck aus Konstruktion~\ref{konst:14-2-1} ist in der Analysis
  wichtig und wird als „Poisson-Transformation“\index{Poisson-Transformation}
  der Funktion $h$ bezeichnet.  Die Poisson-Transformation ist eng mit der
  Fourier-Transformation von $h$ verwandt!  Um den Zusammenhang zu sehen,
  betrachte die Fourier-Entwicklung der periodischen Funktion
  \[
    h' : ℝ → ℝ, \quad t ↦ h(\exp(it)),
    \quad
    t ↦ \sum_{k ∈ ℤ} a_k \exp(ikt).
  \]
  Setze jeden Term ein in die Formel aus Konstruktion~\ref{konst:14-2-1} ein
  schaue, was passiert.
\end{rem}

\begin{kons}[Holographieprinzip für harmonische Funktionen]
  Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ ℂ$ und eine stetige Funktion $h : ∂B_r(p)
  → ℝ$, so gibt es genau eine stetige Funktion $\bar{h} : \overline{B_r(p)} →
  ℝ$, die auf dem Rand mit $h$ übereinstimmt und im Innern harmonisch ist.  \qed
\end{kons}

\begin{kons}[Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen]
  Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ ℂ$ und eine harmonische Funktion $h :
  B_r(p) → ℝ$.  Dann ist $h$ der Realteil einer holomorphen Funktion.
\end{kons}
\begin{proof}
  Wir wissen aus Satz~\vref{satz:3-1-12} („Ableiten unter dem Integral“), dass
  die Abbildung
  \[
    B_r(ρ) → ℂ, \qquad z ↦ \frac{1}{2π} \int_0^{2π} h(e^{it}) ·
    \frac{e^{it} + z}{e^{it} - z}\,dt
  \]
  holomorph ist.
\end{proof}


\section{Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen}

\begin{bsp}[Harmonische Funktionen sind nicht immer Realteile holomorpher Funktionen]
  Im Allgemeinen sind harmonische Funktionen nicht unbedingt Realteile von
  holomorphen Funktionen.  Betrachte zum Beispiel den Hauptzweig des Logarithmus
  \[
    \log : ℂ^* → ℂ, \quad z ↦ \log|z| + i · \arg(z).
  \]
  Wir wissen schon: diese Funktion ist nicht stetig, weil $\arg$ nicht stetig
  ist.  Der Realteil, die Funktion $h : z ↦ \log|z|$, ist aber auf ganz $ℂ^*$
  harmonisch.  Die Funktion $h$ ist aber nicht der Realteil einer holomorphen
  Funktion auf $ℂ^*$.  Falls $h$ nämlich der Realteil einer holomorphen Funktion
  $φ ∈ 𝒪(ℂ^*)$ wäre, dann wäre
  \[
    \operatorname{Realteil}(φ ◦ \exp - \Id) = 0.
  \]
  Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen, Korollar~\vref{kor:7-2-2},
  ist dann auch $φ ◦ \exp - \Id = 0$.  Also wäre $φ$ eine Logarithmus-Funktion.
  Eine solche Funktion existiert aber nicht einmal als stetige Funktion, wie wir
  spätestens seit Lemma~\ref{lem:1-2-15} wissen.
\end{bsp}

\begin{satz}[Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen]\label{satz:14-3-2}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ einfach zusammenhängend, $f : U → ℝ$.  Dann sind folgende Aussagen
  äquivalent.
  \begin{enumerate}
    \item Die Funktion $f$ ist harmonisch.

    \item\label{il:14-3-2-2} Die Funktion $f$ ist Realteil einer holomorphen
    Funktion.
  \end{enumerate}
  Insbesondere gilt: Die holomorphe Funktion $f$ aus \ref{il:14-3-2-2} ist
  eindeutig bis auf Addition mit einer rein imaginären Zahl.
\end{satz}

Wir beweisen Satz~\ref{satz:14-3-2} auf Seite~\vpageref{pf:14-3-2}.


\section{Infinitesimale Beschreibung harmonischer Funktionen}

\begin{satz}[Infinitesimale Beschreibung harmonischer Funktionen]\label{satz:14-4-1}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f : U → ℝ$ harmonisch.  Dann sind folgende Aussagen
  äquivalent.
  \begin{enumerate}
    \item\label{il:14-4-1-1} Die Funktion $f$ ist harmonisch.

    \item\label{il:14-4-1-2} Die Funktion $f$ ist zweimal stetig differenzierbar
      und es ist
      \[
        Δf = \left(\frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}\right) f = 0.
      \]
  \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{notation}[Laplace\footnote{Pierre-Simon Laplace, seit 1817 Marquis de
    Laplace (* 23.~März 1749 in Beaumont-en-Auge in der Normandie; † 5.~März
    1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, Physiker und Astronom.  Er
    beschäftigte sich unter anderem mit der Wahrscheinlichkeitstheorie und mit
    Differenzialgleichungen.}-Operator]%
  Statt $\left(\frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}\right) f$ schreibt man oft $Δf$.
  Der Differenzialoperator $Δ = \frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}$ wird auch als
  \emph{Laplace-Operator}\index{Laplace-Operator} bezeichnet.
\end{notation}

\begin{rem}[Differenzialoperatoren, Vorüberlegung zum Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}]
  Wenn eine Funktion $g : U → ℝ$ oder $g : U → ℂ$ zweimal differenzierbar ist,
  dann ist
  \begin{align*}
    \frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} g & = \frac{∂}{∂\bar{z}} \left(\frac{1}{2}\left(\frac{∂g}{∂x} + i\frac{∂g}{∂y}\right)\right) \\
    & = \frac{1}{4} \left(\frac{∂²g}{∂x²} - i\frac{∂²g}{∂x∂y} + i\left(\frac{∂²g}{∂y∂y} - i\frac{∂²g}{∂y²}\right)\right) \\
    & = \frac{1}{4} \, Δg.
  \end{align*}
\end{rem}
  
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}, Implikation \ref{il:14-4-1-1} $⇒$ \ref{il:14-4-1-2}]
  Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $U$ eine
  Kreisscheibe ist.  Dort kann ich $f$ mithilfe der Poisson-Transformation als
  Realteil einer holomorphen Funktion $f' ∈ 𝒪(U)$ schreiben.  Dann ist
  $\frac{∂f'}{∂z}$ holomorph.  Also gilt
  \[
    Δ(\text{Realteil} f') + iΔ(\text{Imaginärteil} f') = Δf' = \const⁺·\frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f' = 0.
  \]
  Also ist $Δf = 0$.
\end{proof}
  
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}, Implikation \ref{il:14-4-1-2} $⇒$ \ref{il:14-4-1-1}]
  Per Annahme ist
  \[
    0 = Δf = \frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f.
  \]
  Also ist die Funktion
  \[
    \frac{∂f}{∂z} = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y}
  \]
  bereits holomorph!  Jetzt müssen wir testen, ob $f$ harmonisch ist.  Sei also
  eine beliebige Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ U$ gegeben.  Dann ist für $ε ≪ 1$ auch
  $B_{r+ε}(p) ⊂ U$ und dort hat die holomorphe Funktion $\frac{∂f}{∂z}$ eine
  Stammfunktion $F ∈ 𝒪(B_{r+ε}(p))$.  Es ist aber
  \[
    \begin{matrix}
      \frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂z} & = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y} \\
      \frac{∂F}{∂y} & = i\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂y} + i\frac{∂f}{∂x}.
    \end{matrix}
  \]
  Also ist
  \[
    \operatorname{grad} \operatorname{Realteil}(F) = \operatorname{grad} f.
  \]
  Die Funktionen $\operatorname{Realteil}(F)$ und $f$ unterscheiden sich also
  nur um eine additive Konstante.  Daher ist $f = \operatorname{Realteil}(F) +
  \const$ auf $B_{r+ε}(p)$ Realteil einer holomorphen Funktion, also harmonisch!
\end{proof}

Der gerade geführte Beweis liefert fast wörtlich auch einen Beweis von
Satz~\ref{satz:14-3-2}.

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-3-2}]\label{pf:14-3-2}%
  Per Annahme ist $0 = Δf = \frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f$.  Also ist die
  Funktion
  \[
    \frac{∂f}{∂z} = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y}
  \]
  bereits holomorph!  Jetzt müssen wir testen, ob $f$ harmonisch ist.  Weil $U$
  per Annahme einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Korollar~\ref{kor:4-3-4}
  eine Stammfunktion $F ∈ 𝒪(B_{r+ε}(p))$.  Es ist aber
  \[
    \begin{matrix}
      \frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂z} & = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y} \\
      \frac{∂F}{∂y} & = i\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂y} + i\frac{∂f}{∂x}.
    \end{matrix}
  \]
  Die Funktionen $\operatorname{Realteil}(F)$ und $f$ unterscheiden sich also
  nur um eine additive Konstante.  Daher ist $f = \operatorname{Realteil}(F) +
  \const$ auf $B_{r+ε}(p)$ Realteil einer holomorphen Funktion, also harmonisch!
\end{proof}

% !TEX root = Funktionentheorie