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\chapter{Potenzreihenentwicklung}

In der Analysis liefern Potenzreihen $\sum a_i xⁱ$ interessante Beispiele für
reelle Funktionen.  Gegeben irgendeine $\cC^∞$-Funktion $f$, so kann ich $f$ mit
der Taylor-Entwicklung vergleichen.  In diesem Abschnitt geht es um ähnliche
Aussagen für komplexe Potenzreihen $\sum a_i zⁱ$ (wo $a_i ∈ ℂ$, $z$ eine
komplexe Variable) und Taylor-Entwicklungen von holomorphen Funktionen.

\begin{erinnerung}[Potenzreihen in Analysis I und II]
  Es sei $(a_i)_i$ eine Folge reeller Zahlen und sei $ρ ∈ ℝ$ eine feste Zahl.
  \begin{enumerate}
  \item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ heißen „Potenzreihen mit
    Entwicklungspunkt $ρ$“.
  
  \item Angenommen, es existiert ein $x_0 ∈ ℝ$, sodass $\sum a_i (x_0 - ρ)ⁱ$
    konvergiert.  Dann gilt für alle $x$ mit $|x - ρ| < |x_0 - ρ|$, dass die
    Reihe $\sum a_i (x - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
  
  \item Die Zahl
    \[
      \sup \left\{ |x - ρ| \::\: x ∈ ℝ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
      ∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}
    \]
    heißt Konvergenzradius.

  \item Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius
    $R > 0$.  Dann gilt: die Folge der Partialsummen konvergiert auf dem offenen
    Intervall $(ρ-r, ρ+r)$ kompakt.  Das bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge
    $K$ von $(ρ-r, ρ+r)$ konvergiert die Folge der Partialsummen gleichmäßig.
  \end{enumerate}
\end{erinnerung}

Alle Aussagen gelten mit denselben Beweisen auf für komplexe Zahlen.

\begin{fakt}[Komplexe Potenzreihen]
  Es sei $(a_i)_i$ eine Folge komplexer Zahlen und sei $ρ ∈ ℂ$ eine feste Zahl.
  \begin{enumerate}
  \item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (z - ρ)ⁱ$ heißen „komplexe
    Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $ρ$“.
  
  \item Angenommen, es existiert ein $z_0 ∈ ℂ$, sodass $\sum a_i (z_0 - ρ)ⁱ$
    konvergiert.  Dann gilt für alle $z$ mit $|z - ρ| < |z_0 - ρ|$, dass die
    Reihe $\sum a_i (z - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
  
  \item Die Zahl
    \[
      \sup \left\{ |z - ρ| \::\: z ∈ ℂ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
      ∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}
    \]
    heißt Konvergenzradius.

  \item\label{il:6-0-2-4} Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine komplexe
    Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$.  Dann gilt: die Folge der
    Partialsummen konvergiert auf der offenen Kreisscheibe $B_r(ρ)$ kompakt.  Das
    bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge $K$ von $B_r(ρ)$ konvergiert die
    Folge der Partialsummen gleichmäßig.
  \end{enumerate}
\end{fakt}

Man beachte: Genau wie in der reellen Situation machen wir in \ref{il:6-0-2-4}
keinerlei Aussagen über Konvergenz der Reihe für Punkte $z$, die auf dem Rand $∂
B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.

\sideremark{Vorlesung 10}

\begin{bsp}[Exponentialreihe]
  \index{Exponentialreihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ \frac{zⁱ}{i!}$ kennen
  wir schon, das ist die Exponentialfunktion.  Der Konvergenzradius ist $∞$.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Geometrische Reihe]
  \index{Geometrische Reihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ zⁱ$ kennen wir auch
  schon.  Aus Analysis I wissen wir: die Reihe konvergiert für reelle $z$ mit
  $|z| < 1$.  Für $z = 1$ konvergiert die Reihe nicht.  Also ist der
  Konvergenzradius $= 1$.  Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für
  jede Zahl $z ∈ B_1(0)$ konvergiert die Reihe konvergiert gegen
  $\frac{1}{1-z}$.
\end{bsp}


\section{Potenzreihen liefern holomorphe Funktionen}

\begin{proposition}[Kompakt konvergierende Folgen holomorpher Funktionen]\label{prop:potenzreihe-holomorph}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine Folge von holomorphen
  Funktionen, $f_i ∈ 𝒪(U)$, die auf $U$ kompakt gegen Grenzfunktion $f$
  konvergiert.  Dann gilt:
  \begin{enumerate}
  \item\label{il:6-0-4-1} Die Grenzfunktion ist holomorph, $f ∈ 𝒪(U)$.

  \item\label{il:6-0-4-2} Die Folge $(f_i')_{i ∈ ℕ}$ der komplexen Ableitungen
  konvergiert kompakt gegen $f'$.
  \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-1}]
  Die kompakte Konvergenz (= lokal gleichmäßige Konvergenz) garantiert schon
  einmal, dass $f$ stetig ist.  Um zu zeigen, dass $f$ holomorph ist, verwenden
  wir das Kriterium aus Korollar~\ref{kor:5-2-6}.  Wenn $R ⊂ U$ ein
  Achsenparalleles Rechteck ist, dann ist
  \[
    \int_{∂R} f(z)\,dz = \lim_{i→∞} \int_{∂R} f_i(z)\,dz = 0.
  \]
  Die erste Gleichheit gilt, weil $∂R$ kompakt ist und $f_i$ kompakt gegen $f$
  konvergiert.  Die Integrale $\int_{∂R} f_i(z)\,dz$ verschwinden nach
  Korollar~\ref{kor:5-2-6}, weil die Funktionen $f_i$ holomorph sind.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-2}]
  Es sei ein Punkt $z_0 ∈ U$ gegeben.  Wir müssen zeigen, dass die Folge
  $(f_i')_{i ∈ ℕ}$ in der Nähe von $z_0$ gleichmäßig gegen $f'$ konvergiert.
  Wähle dazu einen Radius $r ∈ ℝ⁺$, sodass die abgeschlossene Kreisscheibe
  $\overline{B_r(z_0)}$ ganz in $U$ liegt.  Dann wissen wir nach dem
  Satz~\ref{satz:4-4-2} von Goursat schon: für jede Zahl $w$ aus dem Inneren der
  Kreisscheibe, $w ∈ B_r(z_0)$ gelten die Gleichungen
  \begin{align*}
    f'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z-w)²}\,dz \\
    f_i'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f_i(z)}{(z-w)²}\,dz
  \end{align*}
  Betrachte als Nächstes die Hilfsabbildungen
  \begin{align*}
    φ: ∂B_r(z) ⨯ B_r(z_0) &→ ℂ & (z, w) & ↦ \frac{f(z)}{(z-w)²} \\
    φ_i: ∂B_r(z) ⨯ B_r(z_0) &→ ℂ & (z, w) & ↦ \frac{f_i(z)}{(z-w)²}.
  \end{align*}
  Dann ist klar: auf der kompakten Menge $∂B_r(z_0) ⨯ \overline{B_{r/2}(z_0)}$
  konvergiert die Funktionenfolge $φ_i$ gleichmäßig gegen $φ$.  Also konvergiert
  die Funktionenfolge $f_i'$ auf $\overline{B_{r/2}(z_0)}$ gleichmäßig gegen
  $f'$.
  
  Insgesamt sehen wir: jedes Kompaktum $K ⊂ U$ ist von endlich vielen
  abgeschlossenen Kreisscheiben überdeckt, auf denen $f_i'$ gleichmäßig gegen
  $f'$ konvergiert, also liegt kompakte Konvergenz vor.
\end{proof}

\begin{kor}[Potenzreihen und Holomorphie]\label{kor:6-1-2}%
  Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$
  und Konvergenzradius $r > 0$.  Weiter sei $f: B_r(ρ) → ℂ$ die zugehörige
  Funktion.  Dann gilt:
  \begin{enumerate}
  \item Die Funktion $f$ ist holomorph, $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$.

  \item Der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{i=1}^∞ i · a_i (z-ρ)^{i-1}$
    ist mindestens gleich $r$.  Auf der Kreisscheibe $B_r(ρ)$ ist die zugehörige
    Funktion exakt die Ableitung $f'$.  \qed
  \end{enumerate}
\end{kor}


\section{Holomorphe Funktionen liefern Potenzreihen}

\begin{proberechnung}[Konstruktion von Potenzeihen]\label{prorech:6-1-2}%
  Es sei $r > 0$ und es sei $f ∈ 𝒪(B_r(0))$.  Wenn $ρ < r$ eine positive Zahl
  ist, dann nach der Integralformel von Cauchy, Satz~\ref{satz:4-4-1}, für jede
  Zahl $w ∈ B_ρ(0)$ die Gleichung
  \begin{equation}\label{eq:6-0-6-1}
    f(w) = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z - w}\,dz.
  \end{equation}
  Wenn jetzt zwei Zahlen $z ∈ ∂B_ρ(0)$ und $w ∈ B_ρ(0)$ gegeben sind, dann ist
  $|\frac{w}{z}|< 1$ und deshalb gilt die Gleichung
  \begin{equation}\label{eq:6-0-6-2}
    \frac{1}{z-w} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1 - w/z} = \frac{1}{z} · \sum_{i=0}^∞
    \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ.
  \end{equation}
  Also gilt für jede Zahl $w ∈ B_ρ(0)$ die Gleichung
  \begin{align*}
    f(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z - w}\,dz && \eqref{eq:6-0-6-1} \\
    & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z} \sum_{i=0}^∞ \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ\,dz && \eqref{eq:6-0-6-2} \\
    & = \frac{1}{2πi} \sum_{i=0}^∞ \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} · wⁱ\,dz && \text{kompakte Konvergenz} \\
    & = \sum_{i=0}^∞ \underbrace{\left( \frac{1}{2πi}·\int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}}\,dz \right)}_{:= a_i} · wⁱ.
  \end{align*}
  Nach dem Integralsatz von Cauchy hängen die Zahlen $a_i$ aber gar nicht von
  der Wahl von $ρ$ ab!  Die Gleichung
  \begin{equation}\label{eq:6-0-6-3}
    f(w) = \sum_{i=0}^∞ a_i wⁱ
  \end{equation}
  gilt also für alle $w ∈ B_r(0)$.  Insbesondere ist der Konvergenzradius der
  Potenzreihe \eqref{eq:6-0-6-3} mindestens gleich $r$.
\end{proberechnung}

Die Proberechnung funktioniert natürlich nicht nur bei Kreisscheiben um den
Nullpunkt.  In der Summe haben wir folgenden Satz bewiesen.

\begin{satz}[Potenzreihendarstellung holomorpher Funktionen]\label{satz:6-0-7}%
  Es sei $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ eine Kreisscheibe und $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$ eine holomorphe
  Funktion.  Dann kann $f$ auf ganz $B_r(ρ)$ als Potenzreihe dargestellt werden.
  Genauer: Es existiert Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ mit
  Entwicklungspunkt $ρ$ und Konvergenzradius $≥ r$, sodass für jede Zahl $z ∈
  B_r(ρ)$ die Gleichung $f(z) = \sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ gilt.  \qed
\end{satz}

Umkehrung die Umkehrung von Satz~\ref{satz:6-0-7} gilt natürlich auch:
Funktionen, die als Potenzreihen dargestellt werden können, sind nach
Korollar~\ref{kor:6-1-2} holomorph.


\subsection{Praktische Fragen}

\begin{frage}[Muss ich Integrale ausrechnen?!]
  Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ und eine holomorphe Funktion $f ∈
  𝒪(B_r(ρ))$.  Wie komme ich an die Darstellung von $f$ als Potenzreihe?  Muss
  ich die Integrale aus Proberechnung~\ref{prorech:6-1-2} wirklich ausrechnen?
\end{frage}

Die beruhigende Antwort ist ein klares „Nein!“ Wenn ich bereits weiß, dass es
eine Darstellung von $f$ als Potenzreihe gibt,
\begin{equation}\label{eq:6-2-3-1}
  f(z) = \sum a_i (z-ρ)ⁱ,
\end{equation}
dann ist $a_0 = f(ρ)$.  Außerdem haben wir in
Korollar~\ref{prop:potenzreihe-holomorph} bewiesen, dass
\[
  f'(z) = \sum_{i=1}^∞ a_i · i (z-ρ)^{i-1}
\]
ist.  Insgesamt gilt damit für jeden Index $i$,
\[
  a_i = \frac{f^{(i)}(ρ)}{i!}.
\]
Diese Formel hat zwei interessante Konsequenzen.
\begin{enumerate}
  \item Die Darstellung \eqref{eq:6-2-3-1} ist also einfach die aus der
  Vorlesung „Analysis~I“ bekannte Taylor\footnote{Brook Taylor (* 18.~August
  1685 in Edmonton, Middlesex; † 29.~Dezember 1731 in Somerset House, London)
  war ein britischer Mathematiker und Mitglied der Royal Society.  Nach ihm
  wurde unter anderem die Taylorreihe benannt.}-Reihe.

  \item Die Darstellung von $f$ als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$ ist
  eindeutig!
\end{enumerate}

\begin{bemerkung}
  Manchmal tritt folgende Situation auf: gegeben eine Kreisscheibe $B_r(ρ)$ und
  eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(B_r(ρ))$.  Dann schreibe ich $f$ als
  Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$ und stelle fest, dass der
  Konvergenzradius $\tilde R > r$ ist.  In dieser Situation ist \emph{sofort}
  klar, dass ich $f$ zu einer holomorphen Funktion auf der größeren Kreisscheibe
  $B_{\tilde R}(ρ)$ fortsetzen kann.
  
  Falls $r = \tilde R$ ist, dann ist klar, dass ich $f$ niemals auf einer
  größeren Kreisscheibe fortsetzen kann.  Es könnte aber sein, dass ich $f$ zu
  einer holomorphen Funktion auf einer offenen Menge $U$ fortsetzen kann, die
  zwar größer als $B_r(ρ)$ ist, aber keine Kreisschreiben um $ρ$ mit Radius $>
  r$ enthält.
\end{bemerkung}

% !TEX root = Funktionentheorie