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+++ b/14-harmonic.tex
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+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Anwendungen des Residuensatzes}
+
+\section{Zählen von Null- und Polstellen}
+
+\begin{situation}\label{sit:12-5-1}%
+  ---
+  \begin{itemize}
+    \item Es sei $U ⊂ ℂ$ Gebiet und es sei $P ⊂ U$ eine abgeschlossene und
+      diskrete Teilmenge.
+    
+    \item Es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
+      Singularitäten.  Wir nehmen an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist und
+      keine essenziellen Singularitäten hat.  Für jeden Punkt $z ∈ U$ sei
+      $ν_z(f)$ die Polstellenordnung von $f$ in $z$; diese ist positiv, wenn $f$
+      bei $z$ eine Polstelle hat und negativ bei Nullstellen.
+
+    \item Es sei $N = \{z ∈ U \mid f(z) = 0\}$ die Menge der Nullstellen von
+      $f$.
+
+    \item Es sei $γ: [a,b] → U ∖ (N ∪ P)$ sei ein in $U$ zusammenziehbarer Weg.
+  \end{itemize}
+\end{situation}
+
+\begin{bemerkung}
+  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sind die Zahlen $ν_z(f)$ für fast alle $z ∈ U$
+  gleich null, und höchstens für $z ∈ P$ positiv.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bemerkung}\label{bem:12-5-3}%
+  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sagt die „Goldene Regel 2“, dass die
+  Umlaufzahlen $\Um(γ, p)$ höchstens auf einer kompakten Teilmenge von $U$
+  ungleich null sind.  Da der Schnitt einer diskreten Menge mit einer kompakten
+  Menge endlich ist, gibt es nur endlich viele Punkte $z ∈ U$, für die das
+  Produkt $\Um(γ, p) · ν_p(f)$ ungleich null ist.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}[Zählen von Null- und Polstellen]\label{satz:12-5-1}%
+  In Situation~\ref{sit:12-5-1} betrachte den Weg $f ◦ γ : [a,b] → ℂ$. Dann gilt
+  \[
+    \Um(f ◦ γ, 0) = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f).
+  \]
+  Beachte, dass nach Bemerkung~\ref{bem:12-5-3} nur endlich viele der Summanden
+  auf der rechten Seite ungleich null sind.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Es gilt
+  \begin{align*}
+    \Um(f ◦ γ, 0) & = \frac{1}{2π i} \int_{f◦ γ} \frac{1}{z} \, dz && \text{Definition Umlaufzahl} \\
+    & = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz && \text{Definition Wegintegral, Kettenregel} \\
+    & = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f) && \text{Residuensatz, Bemerkung~\ref{bem:12-4-2}.}
+  \end{align*}
+  Damit ist Satz~\ref{satz:12-5-1} bewiesen.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Satz von Rouché\footnote{Eugène Rouché (* 18.~August 1832 in
+    Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
+    französischer Mathematiker.  }]\label{kor:12-5-2}%
+  \index{Satz von Rouché}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, $f ∈ 𝒪(U)$ und $K ⊂ U$ eine
+  abgeschlossene Kreisscheibe. Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$
+  gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
+  \begin{equation}\label{eq:12-5-5}%
+    |f(z)| > |g(z)|
+  \end{equation}
+  gilt.  Dann gilt Folgendes.
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:12-5-5-1} Alle Nullstellen von $f$ und $f+g$ auf $K$ liegen
+      im Inneren von $K$.
+
+    \item\label{il:12-5-5-2} Mit Vielfachheit gezählt haben $f$ und $f+g$ die
+      gleiche Anzahl an Nullstellen auf $K$.
+  \end{enumerate}
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Für $t ∈ [0,1]$ betrachte die Familie von Funktionen $h_t(z) := f(z) +
+  t·g(z)$.  Ungleichung~\eqref{eq:12-5-5} zeigt sofort, dass für jedes $t ∈
+  [0,1]$ und jedes $z ∈ ∂K$ die Ungleichung
+  \[
+    h_t(z)
+  \]
+  gilt.  Damit ist~\ref{il:12-5-5-1} bewiesen.  Als Nächstes betrachte
+  \[
+    N : [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \frac{1}{2π i} \int_{∂K} \frac{h_t'(z)}{h_t(z)} \, dz.
+  \]
+  Auf der einen Seite sagt der Satz über parameterabhängige Integrale, dass $N$
+  stetig ist.  Auf der anderen Seite gilt nach Satz~\ref{satz:12-5-1} für jedes
+  $t ∈ [0,1]$ die Gleichung
+  \[
+    N(t) = \text{Anzahl der Nullstellen von $h_t$ in $K$}.
+  \]
+  Da $N(t)$ also ganzzahlig ist, ist $N$ konstant.  Somit gilt insbesondere
+  $N(0) = N(1)$.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}\label{bsp:12-5-3}%
+  Wir behaupten, dass die Funktion
+  \[
+    \frac{1}{10} z⁷ + 1 + 5 z²
+  \]
+  in $B_1(0)$ genau $2$ Nullstellen hat.  Schreibe dazu $f(z) = 5z²$, $g(z) =
+  \frac{1}{10} z⁷ + 1$ und beobachte, dass für jedes $z$ mit $|z| = 1$ die
+  Ungleichung
+  \[
+    |f(z)| = 5 > 1 + \frac{1}{10} ≥ |g(z)|
+  \]
+  gilt.  Der Satz von Rouché zeigt nun die Behauptung.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen}
+
+\begin{satz}[Weierstraß]
+  \index{Satz von Weierstraß}Sei $P \subset \bC$ eine diskrete und
+  abgeschlossene Menge und $n : P \to \bN$ eine beliebige Abbildung. Dann
+  existiert eine Funktion $f \in \sO(\bC)$, sodass folgendes gilt.
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Nullstellenmenge von $f$ ist exakt $P$.
+
+    \item Für jedes $p \in P$ gilt: Die Funktion $f$ hat bei $p$ eine Nullstelle
+      der Ordnung $n(p)$.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+
+\subsection{Vorüberlegung zum Beweis des Satzes von Weierstraß}
+
+Es sei $f \in \sO(\bC)$ eine holomorphe Funktion, die am Punkt $p \in \bC$ eine
+Nullstelle der Ordnung $n$ besitzt.  Entwickle $f$ bei $p$ in eine Potenzreihe,
+sodass für $z$ in einer Umgebung von $p$ folgendes gilt.
+\begin{align}
+  f(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i (z-p)^i \\
+  f'(z) & = \sum_{i = n}^{\infty} a_i·i·(z-p)^{i-1} \\
+  f^{-1}(z) & = a^{-1}_n·(z-p)^{-n} + \sum_{i = -n+1}^{\infty} \cdots \\
+  \label{il:13-2-1-6} (f'/f)(z) & = \underbrace{n·(z-p)^{-1}}_{\text{Hauptteil}} + \underbrace{(\text{Potenzreihe})}_{\text{Nebenteil}}.
+\end{align}
+
+
+\subsection{Beweis des Satzes von Weierstraß}
+
+Die Vorüberlegung legt nahe, den Satz von Mittag–Leffler zu verwenden. Sei also
+$g \in \sO(\bC \setminus P)$ eine Funktion, deren Hauptteil an jeder Stelle $p
+\in P$ exakt gleich $\frac{n(p)}{z-p}$ ist.  Das Ziel ist jetzt, aus der
+Funktion $g$ die gesuchte Funktion $f$ zu konstruieren.
+
+\begin{erinnerung}
+  Der Residuensatz besagt, dass für jede geschlossene Kurve $\gamma$ in $\bC
+  \setminus P$ gilt:
+  \[
+    \int_\gamma g(z) \, dz = 2\pi i \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) · n(p).
+  \]
+  Da $n(p) \in \bZ$ für alle $p \in P$ gilt, ist das Integral auf der linken
+  Seite also stets ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi i$, liegt also im Kern
+  der Exponentialfunktion $\exp : \bC \to \bC^*$.
+\end{erinnerung}
+
+Die Erinnerung erlaubt folgende Konstruktion: Wähle einen Punkt $q \in \bC
+\setminus P$ und wähle für jedes $w \in \bC \setminus P$ einen Weg $\gamma_w$
+von $q$ nach $w$.  Dann definiere die Funktion
+\[
+  f : \bC \setminus P \to \bC^*, \quad w \mapsto \exp \left(\int_{\gamma_w} g(z) \, dz\right).
+\]
+Die Erinnerung zeigt, dass die Funktion $f$ unabhängig von der Wahl der Wege
+$\gamma_w$ ist.
+
+\begin{beobachtung}
+  Die Funktion $f$ ist auf $\bC \setminus P$ holomorph, weil $g$ holomorph ist.
+  \qed
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}
+  Die Funktion $f$ hat auf $\bC \setminus P$ keine Nullstelle, weil die
+  Exponentialfunktion keine Nullstelle hat. \qed
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}\label{beo:13-2-1}%
+  Auf $\bC \setminus P$ gilt die Gleichung $f'/f = g$. \qed
+\end{beobachtung}
+
+Jetzt fehlt nur noch zu zeigen, dass $f$ an jedem Punkt $p \in P$ eine hebbare
+Singularität hat und dass die fortgesetzte Funktion eine Nullstelle der Ordnung
+$n(p)$ besitzt.  Sei also ein Punkt $p \in P$ gegeben. Wähle eine kleine
+Kreisscheibe $B_\varepsilon(p)$ um $p$, die keine weiteren Punkte aus $P$
+enthält.  Nach Beobachtung~\ref{beo:13-2-1} und der Wahl von $g$ gilt auf
+$B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die Gleichung
+\[
+  \frac{f'(z)}{f(z)} = g(z) = \frac{n(p)}{z-p} + h(z),
+\]
+wobei $h \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine holomorphe Funktion ist.  Äquivalent:
+Die Funktion $f$ erfüllt auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$ die
+Differentialgleichung
+\[
+  f'(z) = \left[\frac{n(p)}{z-p} + h(z) \right]·f(z).
+\]
+Diese Differentialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen.
+Genauer: Wenn $H \in \sO(B_\varepsilon(p))$ eine Stammfunktion von $h$ ist, dann
+sind alle Lösungen der Differentialgleichung auf $B_\varepsilon(p) \setminus \{p\}$
+gegeben durch
+\[
+  \text{const}^{\ne 0} · \exp\left( H(z) \right)·(z-p)^{n(p)}.
+\]
+Die Funktion $f|_{B_\varepsilon(p)}$ ist aber eine dieser Lösungen, hat also bei
+$p$ eine hebbare Singularität und eine Nullstelle der Ordnung $n(p)$. Damit ist
+der Satz von Weierstraß bewiesen. \qed
+
+
+\section{Integration}
+
+\subsection{Uneigentliche Integrale rationaler Funktionen}
+
+Der Residuensatz erlaubt die Berechnung gewisser uneigentlichen Integrale. Ich
+skizziere das Vorgehen am Beispiel rationaler Funktionen. 
+Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale Funktion, wobei folgendes gilt.
+\begin{enumerate}
+  \item Die Funktion $f$ habe auf der reellen Achse keine Polstellen.
+  \item Die Grade der Polynome $a(z)$ und $b(z)$ erfüllen die Ungleichung $\deg
+    b \ge \deg a + 2$.
+\end{enumerate}
+und $f$ habe auf der reellen Achse keine Pole.  Dann kann man den Residuensatz
+anwenden, um das uneigentliche Integral
+\[
+  \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx
+\]
+zu berechnen. Beachte dazu folgendes: Wenn $r \in \bR⁺$ hinreichend groß ist,
+dann liegen alle Polstellen von $f$ im Inneren der Kreisscheibe $B_r(0)$.  Sei
+$\gamma_r$ der folgende geschlossene Weg:
+\begin{itemize}
+  \item Gehe entlang der reellen Achse von $-r$ nach $r$.
+  \item Gehe entlang des Halbkreises $\{r·exp(i·t) \::\: 0 \leq t \leq \pi\}$ von
+    $r$ nach $-r$ zurück.
+\end{itemize}
+Dann hängt das Integral über $\gamma_r$  nicht von $r$ ab, und es gilt nach dem Residuensatz
+\[
+  \int_{-r}^{r} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f,z),
+\]
+da das Integral über den oberen Halbkreis für $r \to \infty$ verschwindet.
+
+\begin{rem}[Variante]
+Sei $f(z) = \dfrac{a(z)}{b(z)}$ rational ohne Pole auf der reellen Achse und mit $\deg b > \deg a$.  
+Dann existieren die Grenzwerte
+\[
+  \lim_{r \to \infty} \int_0^r f(x)e^{ix}\,dx, \qquad
+  \lim_{r \to \infty} \int_{-r}^0 f(x)e^{ix}\,dx,
+\]
+und
+\[
+  \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{ix}\,dx = 2\pi i \sum_{\Im z > 0} \Res(f(z)e^{iz},z).
+\]
+\end{rem}
+
+\begin{rem}[Fourier-Transformierte]
+Sei $f(z) = \frac{a(z)}{b(z)}$ eine rationale reelle Funktion ohne Pole auf der reellen Achse und $\deg b \ge 2 + \deg a$.  
+Dann existiert für alle $y \in \bR$ das Integral
+\[
+  \widehat{f}(y) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ixy}\,dx,
+\]
+die \emph{Fourier-Transformierte} von $f$.  
+Mit der Substitution $u = x y$ ergibt sich
+\[
+  \widehat{f}(y) = \frac{1}{y}\int_{-\infty}^{\infty} f\!\left(\frac{u}{y}\right)e^{-iu}\,du.
+\]
+Dieses Integral lässt sich mit Hilfe des Residuensatzes berechnen, sofern die Partialbruchzerlegung von $f$ bekannt ist.
+\end{rem}
+
+
+\part{Weiterführende Themen}
+
+\chapter{Harmonische Funktionen}
+
+In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig \emph{harmonische Funktionen} auf.
+
+\begin{definition}
+Sei $U \subset \bR^2$ offen.  
+Eine stetige Funktion $f : U \to \bR$ heißt \emph{harmonisch}, wenn für jede Kreisscheibe $B_r(p) \subset U$ gilt:
+\[
+  f(p) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(p + e^{it})\,dt.
+\]
+Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am Rand der Kreisscheibe.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen sind harmonisch 
+\emph{(vgl. Mittelwertsatz der Funktionentheorie)}.
+\end{bsp}
+
+% !TEX root = Funktionentheorie
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