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@@ -37,3 +37,4 @@ Beauvais
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Maximumsprinzips
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Saint-Omer
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Holomorphie
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Kompaktum
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@@ -319,9 +319,13 @@ Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.
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daher positiv.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Charakterisierung holomorpher Funktionen]\label{kor:5-2-6}%
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Sei $U ⊆ ℂ$ offen und $f : U → ℂ$ sei stetig. Dann sind die folgenden
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Aussagen äquivalent.
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\begin{kor}[Satz von Morera\footnote{Giacinto Morera (* 18.~Juli 1856 in Novara,
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Italien; † 8.~Februar 1909 in Turin, Italien) war ein italienischer Ingenieur
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und Mathematiker. Er ist für den Satz von Morera in der Funktionentheorie und
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für seine Arbeiten über lineare Elastizität bekannt.}, Charakterisierung
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holomorpher Funktionen]\label{kor:5-2-6}%
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\index{Satz von Morera}Sei $U ⊆ ℂ$ offen und $f : U → ℂ$ sei stetig. Dann
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sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:5-2-8-1} Die Funktion $f$ ist holomorph.
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\item\label{il:5-2-8-2} Für jedes achsenparallele Rechteck $\mathcal{R} ⊂ U$
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266
06-potenz.tex
266
06-potenz.tex
@@ -64,4 +64,270 @@ Man beachte: Genau wie in der reellen Situation machen wir in \ref{il:6-0-2-4}
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keinerlei Aussagen über Konvergenz der Reihe für Punkte $z$, die auf dem Rand $∂
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B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
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\begin{bsp}[Potenzreihen mit Entwicklungspunkt 0]
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\begin{enumerate}
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\item $\sum_{i=0}^∞ \frac{zⁱ}{i!}$ --- diese Potenzreihe kennen wir schon, das
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ist die Exponentialfunktion. Der Konvergenzradius ist $∞$.
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\item $\sum_{i=0}^∞ zⁱ$ --- diese Potenzreihe kennen wir auch schon. Aus
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Analysis I wissen wir: Reihe konvergiert für reelle $z$ mit $|z| < 1$. Für
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$z = 1$ konvergiert die Reihe nicht. Also ist der Konvergenzradius $= 1$.
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Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für jede Zahl $z ∈ B_1(0)$
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konvergiert die Reihe konvergiert gegen $\frac{1}{1-z}$.
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\end{enumerate}
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\end{bsp}
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\begin{proposition}[Kompakt konvergierende Folgen holomorpher Funktionen]\label{prop:potenzreihe-holomorph}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine Folge von holomorphen
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Funktionen, $f_i ∈ \sO(U)$, die auf $U$ kompakt gegen Grenzfunktion $f$
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konvergiert. Dann gilt:
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:6-0-4-1} Die Grenzfunktion ist holomorph, $f ∈ \sO(U)$.
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\item\label{il:6-0-4-2} Die Folge $(f_i')_{i ∈ ℕ}$ der komplexen Ableitungen
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konvergiert kompakt gegen $f'$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-1}]
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Die kompakte Konvergenz (= lokal gleichmäßige Konvergenz) garantiert schon
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einmal, dass $f$ stetig ist. Um zu zeigen, dass $f$ holomorph ist, verwenden
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wir das Kriterium aus Korollar~\ref{kor:5-2-6}. Wenn $R ⊂ U$ ein
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Achsenparalleles Rechteck ist, dann ist
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\[
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\int_{∂R} f(z)\,dz = \lim_{i→∞} \int_{∂R} f_i(z)\,dz = 0.
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\]
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Die erste Gleichheit gilt, weil $∂R$ kompakt ist und $f_i$ kompakt gegen $f$
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konvergiert. Die Integrale $\int_{∂R} f_i(z)\,dz$ verschwinden nach
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Korollar~\ref{kor:5-2-6}, weil die Funktionen $f_i$ holomorph sind.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-2}]
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Es sei ein Punkt $z_0 ∈ U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass die Folge
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$(f_i')_{i ∈ ℕ}$ in der Nähe von $z_0$ gleichmäßig gegen $f'$ konvergiert.
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Wähle dazu einen Radius $r ∈ ℝ^+$, sodass die abgeschlossene Kreisscheibe
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$\overline{B_r(z_0)}$ ganz in $U$ liegt. Dann wissen wir nach dem
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Satz~\ref{satz:4-4-2} von Goursat schon: für jede Zahl $w$ aus dem Inneren der
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Kreisscheibe, $w ∈ B_r(z_0)$ gelten die Gleichungen
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\begin{align*}
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f'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z-w)^2}\,dz \\
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||||
f_i'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f_i(z)}{(z-w)^2}\,dz
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\end{align*}
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Betrachte als Nächstes die Hilfsabbildungen
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\begin{align*}
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φ: ∂B_r(z) \times B_r(z_0) &\to ℂ & (z, w) & \mapsto \frac{f(z)}{(z-w)^2} \\
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||||
φ_i: ∂B_r(z) \times B_r(z_0) &\to ℂ & (z, w) & \mapsto \frac{f_i(z)}{(z-w)^2}.
|
||||
\end{align*}
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Dann ist klar: auf der kompakten Menge $∂B_r(z_0) \times
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\overline{B_{r/2}(z_0)}$ konvergiert die Funktionenfolge $φ_i$ gleichmäßig
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gegen $φ$. Also konvergiert die Funktionenfolge $f_i'$ auf
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$\overline{B_{r/2}(z_0)}$ gleichmäßig gegen $f'$.
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Insgesamt sehen wir: jedes Kompaktum $K ⊂ U$ ist von endlich vielen
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abgeschlossenen Kreisscheiben überdeckt, auf denen $f_i'$ gleichmäßig gegen
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$f'$ konvergiert, also liegt kompakte Konvergenz vor.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Potenzreihen und Holomorphie]
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Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$
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und Konvergenzradius $r > 0$. Weiter sei $f: B_r(ρ) → ℂ$ die zugehörige
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Funktion. Dann gilt:
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\begin{enumerate}
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\item Die Funktion $f$ ist holomorph, $f \in \sO(B_r(ρ))$.
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\item Der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{i=1}^∞ i · a_i (z-ρ)^{i-1}$
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ist mindestens $r$. Auf der Kreisscheibe $B_r(ρ)$ ist die zugehörige
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Funktion exakt die Ableitung $f'$. \qed
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\end{enumerate}
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\end{kor}
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\begin{proberechnung}
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Es sei $r > 0$ und es sei $f ∈ \sO(B_r(0))$. Wenn $ρ < r$ eine positive Zahl
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ist, dann ist $\forall w ∈ B_ρ(0)$:
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\[
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f(w) = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z - w}\,dz
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\]
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Witz: wenn $z ∈ ∂B_ρ(0)$ und $w ∈ B_ρ(0)$ gegeben sind, schreib
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\[
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||||
\frac{1}{z-w} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1 - w/z} = \frac{1}{z} · \sum_{i=0}^∞
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\left(\frac{w}{z}\right)ⁱ
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\]
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wobei $\text{Betrag} < 1$.
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Also: $\forall w ∈ B_ρ(0)$:
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\[
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||||
f(w) = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z} \sum_{i=0}^∞
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||||
\left(\frac{w}{z}\right)ⁱ\,dz
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\]
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\emph{komp. Konv.}
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\begin{align*}
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&= \frac{1}{2πi} \sum_{i=0}^∞ \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} · wⁱ\,dz \\
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||||
&= \frac{1}{2πi} \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}}\,dz
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\right) · wⁱ \\
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||||
&\qquad\qquad\qquad\llap{$\underbrace{\hphantom{\int_{∂B_ρ(0)}
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\frac{f(z)}{z^{i+1}}\,dz}}_{= a_i}$}
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\end{align*}
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\end{proberechnung}
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\begin{beobachtung}
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Nach dem Integralsatz von Cauchy hängen die Zahlen $a_i$ gar nicht von der
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Wahl von $ρ$ ab!
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Die Gleichung
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\[
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f(w) = \frac{1}{2πi} \sum_{i=0}^∞ a_i wⁱ \qquad (*)
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\]
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gilt also für alle $w ∈ B_r(0)$. Insbesondere ist der Konvergenzradius von
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$(*)$ mindestens gleich $r$.
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Das funktioniert natürlich nicht nur bei Kreisscheiben um den Nullpunkt.
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\end{beobachtung}
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\begin{satz}
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Es sei $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ eine Kreisscheibe und $f ∈ O(B_r(ρ))$. Dann kann $f$ auf
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ganz $B_r(ρ)$ als Potenzreihe dargestellt werden. Genauer: Es existiert
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Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ mit Entwicklungspunkt $ρ$ und
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Konvergenzradius $≥ r$, sodass $\forall z ∈ B_r(ρ)$ die Gleichung $f(z) = \sum_{i=0}^∞
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a_i (z-ρ)ⁱ$ gilt.
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\end{satz}
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\begin{bemerkung}
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Umkehrung gilt erreicht: Funktionen, die als Potenzreihen dargestellt werden
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können, sind holomorph.
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\end{bemerkung}
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\begin{frage}
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Gegeben $f ∈ O(B_r(ρ))$. Wie komme ich an die Darstellung von $f$ als
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Potenzreihe? Muss ich wirklich $ρ < r$ wählen und $\int_{∂B_ρ(r)}
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\frac{f(z)}{zⁱ}\,dz$ ausrechnen?
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\end{frage}
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\begin{rem}[Antwort]
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Aber nein!! Wenn ich schon sehr bin, dass es eine Darstellung gibt, $f(z) =
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\sum a_i (z-ρ)ⁱ$, dann ist $a_0 = f(ρ)$. Außerdem haben wir bewiesen: $(*) \quad
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f'(z) = \sum_{i=1}^∞ a_i · i (z-ρ)^{i-1}$ insquent: $\forall i ∈ ℕ$, $a_i =
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\frac{f^{(i)}(ρ)}{i!}$.
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Die Darstellung $(*)$ ist also einfach die aus Ana I bekannte Taylor-Reihe (=
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Maclaurin series).
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\end{rem}
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\begin{bemerkung}
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Manchmal tritt folgende Situation auf: gegeben eine Kreisscheibe $B_r(ρ)$ und
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$f ∈ O(B_r(ρ))$. Dann schreibe ich $f$ als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
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$ρ$ und stelle fest, dass der Konvergenzradius $\tilde R > r$ ist. In dieser
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Situation ist klar, dass ich $f$ \emph{sofort} zu einer holom. Fkt. auf
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%$B_r(ρ) \subsetneq B_{\tilde R}(ρ)$ fortsetzen kann.
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Falls $r = \tilde R$ ist, dann ist klar, dass ich $f$ niemals auf einer
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größeren Kreisscheibe fortsetzen kann!
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\end{bemerkung}
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Das führt zu interessanten Situationen!
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0) circle (1.5);
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\draw[dashed] (1.2,0.8) circle (1.2);
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\fill (0,0) circle (1.5pt);
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\section{Nullstellen von holomorphen Funktionen}
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\begin{situation}
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ O(U)$ und
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\[
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Z = \{ z ∈ U \mid f(z) = 0 \}.
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\]
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Die Menge $Z ⊂ U$ ist \emph{abgeg} abgeschlossen. Was können wir sonst noch
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sagen?
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\end{situation}
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\begin{proberechnung}
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Sei $ρ ∈ Z$ und sei $\sum_{i=0}^∞ a_i(z-ρ)ⁱ$ $(*)$ die
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Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$, Konvergenzradius $= r$. Zwei
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Möglichkeiten:
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\emph{Typ 1:} alle $a_i = 0$. Dann $∃ r > 0$, sodass $B_r(ρ) ⊂ U$ ist und
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$f|_{B_r(ρ)} \equiv 0$.
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\emph{Typ 2:} nicht alle $i = 0$. Sei $n = \min \{ i \mid a_i ≠ 0 \}$, nenne
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$n$ die „Ordnung der Nullstelle". Schreibe
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% \begin{align*}
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% f(z) &= \st{$\sum_{i=n}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$} \\
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% &= (z-ρ)^n · \sum_{i=n}^∞ a_i (z-ρ)^{i-n} \\
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% &= \underbrace{\vphantom{\sum}(* *)}
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% \end{align*}
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\end{proberechnung}
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\begin{rem}[nachrechnen]
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die Potenzreihe $(* *)$ hat ebenfalls Konvergenzradius $r$, definiert also
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Funktion $g ∈ O(B_r(ρ))$ die aber bei $ρ$ keine Nullstelle hat (… und in
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einer ausreichend kleinen Umgebung von $ρ$ ebenfalls nicht). Auf $B_r(ρ)$
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gilt die Gleichung
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\[
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f(z) = (z-ρ)^n · g(z)
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\]
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und $∃ ε > 0$: $Z ∩ B_ε(ρ) = \{ρ\}$.
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Man sagt: $ρ$ ist eine isolierte Nullstelle von $f$.
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\end{rem}
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\begin{rem}[Zusammenfassung]
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Kann die Menge $Z$ zerfallen
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\[
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Z = \underbrace{Typ 1}_{offen!} \quad \dot{∪} \quad Typ 2 \underbrace{\vphantom{Typ
|
||||
1}}_{\mathclap{\text{diskret: abg., jeder Punkt}}}
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
\underbrace{\vphantom{Typ 1}}_{\mathclap{\text{hat $ε$-Umgebung, sodass kein
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||||
weiterer Punkt in dieser Umg. liegt}}}
|
||||
\]
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||||
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||||
\emph{Konsequenz:} Die Menge der Typ 1 - Nullstellen ist offen \emph{und}
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||||
abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
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||||
\end{rem}
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\subsection{Zwei unmittelbare Konsequenzen} \quad $f ∈ O(U)$
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\begin{satz}
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend. Dann äquivalent
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\begin{enumerate}
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\item $Z(f)$ ist nicht diskret. (= hat Häufungspunkt")
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\item $f \equiv 0$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{kor}
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, seien $f, g ∈ O(U)$. Dann äquivalent:
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\begin{enumerate}
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\item Die Menge $\{ z ∈ U \mid f(z) = g(z) \}$ ist nicht diskret (= hat
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Häufungspunkt")
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||||
\item $f = g$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{kor}
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\begin{bsp}
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||||
$\exp: ℂ → ℂ$ ist die einzige holomorphe Funktion, die für reelle Zahlen mit
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der bekannten Exponentialfunktion übereinstimmt.
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\end{bsp}
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\begin{kor}
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||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ zusammenhängend und offen, weiter sei $f ∈ O(U)$. Falls $|f|$
|
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ein maximum hat, dann ist $f$ konstant.
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||||
\end{kor}
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\begin{proof}
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||||
Sei $ρ ∈ U$ ein Maximum. Wissen schon: $∃ ε > 0$:
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||||
\[
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||||
f|_{B_ε(ρ)} = \text{const.} \quad ⇒ \quad f - f(ρ) ∈ O(U) \text{ hat
|
||||
nicht-isolierte}
|
||||
\]
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||||
Nullstelle, ist also konstant $= 0$.
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||||
\end{proof}
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||||
% !TEX root = Funktionentheorie
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Reference in New Issue
Block a user