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@@ -37,3 +37,4 @@ Beauvais
 Maximumsprinzips
 Saint-Omer
 Holomorphie
+Kompaktum

05-cauchy.tex

@@ -319,9 +319,13 @@ Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.
   daher positiv.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}[Charakterisierung holomorpher Funktionen]\label{kor:5-2-6}%
+\begin{kor}[Satz von Morera\footnote{Giacinto Morera (* 18.~Juli 1856 in Novara,
-  Sei $U ⊆ ℂ$ offen und $f : U → ℂ$ sei stetig.  Dann sind die folgenden
+  Italien; † 8.~Februar 1909 in Turin, Italien) war ein italienischer Ingenieur
-  Aussagen äquivalent.
+  und Mathematiker. Er ist für den Satz von Morera in der Funktionentheorie und
+  für seine Arbeiten über lineare Elastizität bekannt.}, Charakterisierung
+  holomorpher Funktionen]\label{kor:5-2-6}%
+  \index{Satz von Morera}Sei $U ⊆ ℂ$ offen und $f : U → ℂ$ sei stetig.  Dann
+  sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
     \item\label{il:5-2-8-1} Die Funktion $f$ ist holomorph.
     \item\label{il:5-2-8-2} Für jedes achsenparallele Rechteck $\mathcal{R} ⊂ U$

06-potenz.tex

@@ -64,4 +64,270 @@ Man beachte: Genau wie in der reellen Situation machen wir in \ref{il:6-0-2-4}
 keinerlei Aussagen über Konvergenz der Reihe für Punkte $z$, die auf dem Rand $∂
 B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
 
+\begin{bsp}[Potenzreihen mit Entwicklungspunkt 0]
+  ---
+  \begin{enumerate}
+  \item $\sum_{i=0}^∞ \frac{zⁱ}{i!}$ --- diese Potenzreihe kennen wir schon, das
+    ist die Exponentialfunktion. Der Konvergenzradius ist $∞$.
+  
+  \item $\sum_{i=0}^∞ zⁱ$ --- diese Potenzreihe kennen wir auch schon. Aus
+    Analysis I wissen wir: Reihe konvergiert für reelle $z$ mit $|z| < 1$. Für
+    $z = 1$ konvergiert die Reihe nicht. Also ist der Konvergenzradius $= 1$.
+    Wie in der Vorlesung Analysis~I rechnet man nach: für jede Zahl $z ∈ B_1(0)$
+    konvergiert die Reihe konvergiert gegen $\frac{1}{1-z}$.
+  \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{proposition}[Kompakt konvergierende Folgen holomorpher Funktionen]\label{prop:potenzreihe-holomorph}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine Folge von holomorphen
+  Funktionen, $f_i ∈ \sO(U)$, die auf $U$ kompakt gegen Grenzfunktion $f$
+  konvergiert. Dann gilt:
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{il:6-0-4-1} Die Grenzfunktion ist holomorph, $f ∈ \sO(U)$.
+
+  \item\label{il:6-0-4-2} Die Folge $(f_i')_{i ∈ ℕ}$ der komplexen Ableitungen
+  konvergiert kompakt gegen $f'$.
+  \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-1}]
+  Die kompakte Konvergenz (= lokal gleichmäßige Konvergenz) garantiert schon
+  einmal, dass $f$ stetig ist. Um zu zeigen, dass $f$ holomorph ist, verwenden
+  wir das Kriterium aus Korollar~\ref{kor:5-2-6}. Wenn $R ⊂ U$ ein
+  Achsenparalleles Rechteck ist, dann ist
+  \[
+    \int_{∂R} f(z)\,dz = \lim_{i→∞} \int_{∂R} f_i(z)\,dz = 0.
+  \]
+  Die erste Gleichheit gilt, weil $∂R$ kompakt ist und $f_i$ kompakt gegen $f$
+  konvergiert. Die Integrale $\int_{∂R} f_i(z)\,dz$ verschwinden nach
+  Korollar~\ref{kor:5-2-6}, weil die Funktionen $f_i$ holomorph sind.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis von \ref{il:6-0-4-2}]
+  Es sei ein Punkt $z_0 ∈ U$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass die Folge
+  $(f_i')_{i ∈ ℕ}$ in der Nähe von $z_0$ gleichmäßig gegen $f'$ konvergiert.
+  Wähle dazu einen Radius $r ∈ ℝ^+$, sodass die abgeschlossene Kreisscheibe
+  $\overline{B_r(z_0)}$ ganz in $U$ liegt. Dann wissen wir nach dem
+  Satz~\ref{satz:4-4-2} von Goursat schon: für jede Zahl $w$ aus dem Inneren der
+  Kreisscheibe, $w ∈ B_r(z_0)$ gelten die Gleichungen
+  \begin{align*}
+    f'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z-w)^2}\,dz \\
+    f_i'(w) & = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_r(z_0)} \frac{f_i(z)}{(z-w)^2}\,dz
+  \end{align*}
+  Betrachte als Nächstes die Hilfsabbildungen
+  \begin{align*}
+    φ: ∂B_r(z) \times B_r(z_0) &\to ℂ & (z, w) & \mapsto \frac{f(z)}{(z-w)^2} \\
+    φ_i: ∂B_r(z) \times B_r(z_0) &\to ℂ & (z, w) & \mapsto \frac{f_i(z)}{(z-w)^2}.
+  \end{align*}
+  Dann ist klar: auf der kompakten Menge $∂B_r(z_0) \times
+  \overline{B_{r/2}(z_0)}$ konvergiert die Funktionenfolge $φ_i$ gleichmäßig
+  gegen $φ$. Also konvergiert die Funktionenfolge $f_i'$ auf
+  $\overline{B_{r/2}(z_0)}$ gleichmäßig gegen $f'$.
+  
+  Insgesamt sehen wir: jedes Kompaktum $K ⊂ U$ ist von endlich vielen
+  abgeschlossenen Kreisscheiben überdeckt, auf denen $f_i'$ gleichmäßig gegen
+  $f'$ konvergiert, also liegt kompakte Konvergenz vor.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Potenzreihen und Holomorphie]
+  Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $ρ$
+  und Konvergenzradius $r > 0$. Weiter sei $f: B_r(ρ) → ℂ$ die zugehörige
+  Funktion.  Dann gilt:
+  \begin{enumerate}
+  \item Die Funktion $f$ ist holomorph, $f \in \sO(B_r(ρ))$.
+
+  \item Der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{i=1}^∞ i · a_i (z-ρ)^{i-1}$
+    ist mindestens $r$. Auf der Kreisscheibe $B_r(ρ)$ ist die zugehörige
+    Funktion exakt die Ableitung $f'$.  \qed
+  \end{enumerate}
+\end{kor}
+
+\begin{proberechnung}
+  Es sei $r > 0$ und es sei $f ∈ \sO(B_r(0))$. Wenn $ρ < r$ eine positive Zahl
+  ist, dann ist $\forall w ∈ B_ρ(0)$:
+  \[
+    f(w) = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z - w}\,dz
+  \]
+  
+  Witz: wenn $z ∈ ∂B_ρ(0)$ und $w ∈ B_ρ(0)$ gegeben sind, schreib
+  \[
+    \frac{1}{z-w} = \frac{1}{z} · \frac{1}{1 - w/z} = \frac{1}{z} · \sum_{i=0}^∞
+    \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ
+  \]
+  wobei $\text{Betrag} < 1$.
+  
+  Also: $\forall w ∈ B_ρ(0)$:
+  \[
+    f(w) = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z} \sum_{i=0}^∞
+    \left(\frac{w}{z}\right)ⁱ\,dz
+  \]
+  
+  \emph{komp. Konv.}
+  \begin{align*}
+    &= \frac{1}{2πi} \sum_{i=0}^∞ \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}} · wⁱ\,dz \\
+    &= \frac{1}{2πi} \sum_{i=0}^∞ \left( \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z^{i+1}}\,dz
+    \right) · wⁱ \\
+    &\qquad\qquad\qquad\llap{$\underbrace{\hphantom{\int_{∂B_ρ(0)}
+    \frac{f(z)}{z^{i+1}}\,dz}}_{= a_i}$}
+  \end{align*}
+\end{proberechnung}
+
+\begin{beobachtung}
+  Nach dem Integralsatz von Cauchy hängen die Zahlen $a_i$ gar nicht von der
+  Wahl von $ρ$ ab!
+  
+  Die Gleichung
+  \[
+    f(w) = \frac{1}{2πi} \sum_{i=0}^∞ a_i wⁱ \qquad (*)
+  \]
+  gilt also für alle $w ∈ B_r(0)$. Insbesondere ist der Konvergenzradius von
+  $(*)$ mindestens gleich $r$.
+  
+  Das funktioniert natürlich nicht nur bei Kreisscheiben um den Nullpunkt.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{satz}
+  Es sei $B_r(ρ) ⊂ ℂ$ eine Kreisscheibe und $f ∈ O(B_r(ρ))$. Dann kann $f$ auf
+  ganz $B_r(ρ)$ als Potenzreihe dargestellt werden. Genauer: Es existiert
+  Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$ mit Entwicklungspunkt $ρ$ und
+  Konvergenzradius $≥ r$, sodass $\forall z ∈ B_r(ρ)$ die Gleichung $f(z) = \sum_{i=0}^∞
+  a_i (z-ρ)ⁱ$ gilt.
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung}
+  Umkehrung gilt erreicht: Funktionen, die als Potenzreihen dargestellt werden
+  können, sind holomorph.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{frage}
+  Gegeben $f ∈ O(B_r(ρ))$. Wie komme ich an die Darstellung von $f$ als
+  Potenzreihe? Muss ich wirklich $ρ < r$ wählen und $\int_{∂B_ρ(r)}
+  \frac{f(z)}{zⁱ}\,dz$ ausrechnen?
+\end{frage}
+
+\begin{rem}[Antwort]
+  Aber nein!! Wenn ich schon sehr bin, dass es eine Darstellung gibt, $f(z) =
+  \sum a_i (z-ρ)ⁱ$, dann ist $a_0 = f(ρ)$. Außerdem haben wir bewiesen: $(*) \quad
+  f'(z) = \sum_{i=1}^∞ a_i · i (z-ρ)^{i-1}$ insquent: $\forall i ∈ ℕ$, $a_i =
+  \frac{f^{(i)}(ρ)}{i!}$.
+  
+  Die Darstellung $(*)$ ist also einfach die aus Ana I bekannte Taylor-Reihe (=
+  Maclaurin series).
+\end{rem}
+
+\begin{bemerkung}
+  Manchmal tritt folgende Situation auf: gegeben eine Kreisscheibe $B_r(ρ)$ und
+  $f ∈ O(B_r(ρ))$. Dann schreibe ich $f$ als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
+  $ρ$ und stelle fest, dass der Konvergenzradius $\tilde R > r$ ist. In dieser
+  Situation ist klar, dass ich $f$ \emph{sofort} zu einer holom. Fkt. auf
+  %$B_r(ρ) \subsetneq B_{\tilde R}(ρ)$ fortsetzen kann.
+  
+  Falls $r = \tilde R$ ist, dann ist klar, dass ich $f$ niemals auf einer
+  größeren Kreisscheibe fortsetzen kann!
+\end{bemerkung}
+
+Das führt zu interessanten Situationen!
+
+\begin{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \draw (0,0) circle (1.5);
+    \draw[dashed] (1.2,0.8) circle (1.2);
+    \fill (0,0) circle (1.5pt);
+  \end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\section{Nullstellen von holomorphen Funktionen}
+
+\begin{situation}
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ O(U)$ und
+  \[
+    Z = \{ z ∈ U \mid f(z) = 0 \}.
+  \]
+  Die Menge $Z ⊂ U$ ist \emph{abgeg} abgeschlossen. Was können wir sonst noch
+  sagen?
+\end{situation}
+
+\begin{proberechnung}
+  Sei $ρ ∈ Z$ und sei $\sum_{i=0}^∞ a_i(z-ρ)ⁱ$ $(*)$ die
+  Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$, Konvergenzradius $= r$. Zwei
+  Möglichkeiten:
+  
+  \emph{Typ 1:} alle $a_i = 0$. Dann $∃ r > 0$, sodass $B_r(ρ) ⊂ U$ ist und
+  $f|_{B_r(ρ)} \equiv 0$.
+  
+  \emph{Typ 2:} nicht alle $i = 0$. Sei $n = \min \{ i \mid a_i ≠ 0 \}$, nenne
+  $n$ die „Ordnung der Nullstelle". Schreibe
+%  \begin{align*}
+%    f(z) &= \st{$\sum_{i=n}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ$} \\
+%    &= (z-ρ)^n · \sum_{i=n}^∞ a_i (z-ρ)^{i-n} \\
+%    &= \underbrace{\vphantom{\sum}(* *)}
+%  \end{align*}
+\end{proberechnung}
+
+\begin{rem}[nachrechnen]
+  die Potenzreihe $(* *)$ hat ebenfalls Konvergenzradius $r$, definiert also
+  Funktion $g ∈ O(B_r(ρ))$ die aber bei $ρ$ keine Nullstelle hat (… und in
+  einer ausreichend kleinen Umgebung von $ρ$ ebenfalls nicht). Auf $B_r(ρ)$
+  gilt die Gleichung
+  \[
+    f(z) = (z-ρ)^n · g(z)
+  \]
+  und $∃ ε > 0$: $Z ∩ B_ε(ρ) = \{ρ\}$.
+  
+  Man sagt: $ρ$ ist eine isolierte Nullstelle von $f$.
+\end{rem}
+
+\begin{rem}[Zusammenfassung]
+  Kann die Menge $Z$ zerfallen
+  \[
+    Z = \underbrace{Typ 1}_{offen!} \quad \dot{∪} \quad Typ 2 \underbrace{\vphantom{Typ
+    1}}_{\mathclap{\text{diskret: abg., jeder Punkt}}}
+  \]
+  \[
+    \underbrace{\vphantom{Typ 1}}_{\mathclap{\text{hat $ε$-Umgebung, sodass kein
+    weiterer Punkt in dieser Umg. liegt}}}
+  \]
+  
+  \emph{Konsequenz:} Die Menge der Typ 1 - Nullstellen ist offen \emph{und}
+  abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
+\end{rem}
+
+\subsection{Zwei unmittelbare Konsequenzen} \quad $f ∈ O(U)$
+
+\begin{satz}
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend. Dann äquivalent
+  \begin{enumerate}
+  \item $Z(f)$ ist nicht diskret. (= hat Häufungspunkt")
+  \item $f \equiv 0$.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{kor}
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, seien $f, g ∈ O(U)$. Dann äquivalent:
+  \begin{enumerate}
+  \item Die Menge $\{ z ∈ U \mid f(z) = g(z) \}$ ist nicht diskret (= hat
+    Häufungspunkt")
+  \item $f = g$.
+  \end{enumerate}
+\end{kor}
+
+\begin{bsp}
+  $\exp: ℂ → ℂ$ ist die einzige holomorphe Funktion, die für reelle Zahlen mit
+  der bekannten Exponentialfunktion übereinstimmt.
+\end{bsp}
+
+\begin{kor}
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ zusammenhängend und offen, weiter sei $f ∈ O(U)$. Falls $|f|$
+  ein maximum hat, dann ist $f$ konstant.
+\end{kor}
+
+\begin{proof}
+  Sei $ρ ∈ U$ ein Maximum. Wissen schon: $∃ ε > 0$:
+  \[
+    f|_{B_ε(ρ)} = \text{const.} \quad ⇒ \quad f - f(ρ) ∈ O(U) \text{ hat
+    nicht-isolierte}
+  \]
+  Nullstelle, ist also konstant $= 0$.
+\end{proof}
+
 % !TEX root = Funktionentheorie