From c11ba91369d63d6df36bc87e7c81bb2e7ca707c7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Fri, 17 Oct 2025 15:27:16 +0200 Subject: [PATCH] Update 03-wegintegrale.tex --- 03-wegintegrale.tex | 92 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 88 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/03-wegintegrale.tex b/03-wegintegrale.tex index 56b3312..9727d46 100644 --- a/03-wegintegrale.tex +++ b/03-wegintegrale.tex @@ -1,7 +1,7 @@ % spell checker language \selectlanguage{german} -\chapter{Wegintegrale} +\chapter{Integration über stetig differenzierbare Wege} \section{Integration von vektorwertigen Funktionen} @@ -222,7 +222,7 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein. \end{beobachtung} -\section{Wegintegrale und Stammfunktionen} +\section{Stammfunktionen} \begin{definition}[Stammfunktion] Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig. Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$ @@ -500,8 +500,8 @@ folgenden Art. \begin{align*} F(p + h) & = \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz \\ & = \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz \\ - & \qquad - \bigl(\int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz + \int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz\bigr) \\ - & = \int_{γ_1} f(z)\, dz - \bigl(\int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz\bigr) \\ + & \qquad - \left(\int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz + \int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz \right) \\ + & = \int_{γ_1} f(z)\, dz - \left( \int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz \right) \\ & = F(p) - \int_{δ_3} f(z)\, dz. \intertext{Also ist} F(p+h) - F(p) & = -\int_{δ_3} f(z)\, dz = \int_0¹ f(p + t · h) · h\, dt \\ @@ -527,6 +527,90 @@ folgenden Art. \end{proof} +\chapter{Integration über stetige Wege} + +\section{Wegintegrale} + +In Definition~\ref{def:3-2-1} haben wir Wegintegrale nur für stetig +differenzierbare Wege definiert. In vielen Situationen ist es aber nützlich, +Wegintegrale auch für stetige Wege zu definieren. Als Vorbereitung erinnern wir +uns an zwei elementare Fakten der Analysis und Topologie. + +\begin{erinnerung}[Bilder von kompakten Mengen unter stetigen Abbildungen]\label{eri:3-4-1}% + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $K \subset \bR^n$ kompakt und es sei $\gamma : K + → U$ stetig. Dann gilt Folgendes. + \begin{enumerate} + \item Die Bildmenge $\gamma(K) \subset U$ ist kompakt. + + \item Es gibt endlich viele Kreisscheiben $\Delta_1, …, \Delta_n$ in $U$, + die die Bildmenge $\gamma(K)$ überdecken. In Formelsprache: + \[ + \gamma(K) \subseteq \cup_{j=1}^n \Delta_j \subseteq U. + \] + + \item\label{il:3-4-1-3} Es gibt eine relle Zahl $\delta > 0$, sodass es für + jede Teilmenge $A \subseteq K$ mit Durchmesser \O$(A) \leq \delta$ einen + Index $i$ gibt mit $\gamma(A) \subseteq \Delta_i$. + \end{enumerate} + Die Zahl $\delta$ aus \ref{il:3-4-1-3} ist Ihnen vielleicht als + \emph{Lebesgue-Zahl}\index{Lebesgue-Zahl} der Überdeckung $\{\Delta_1, …, + \Delta_n\}$ bekannt. Details finden Sie unter anderem bei + \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue's_number_lemma}{Wikipedia}. +\end{erinnerung} + +\begin{konstruktion}[Wegintegrale: Integration über stetige Wege]\label{kons:3-4-2}% + Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph. Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein + stetig differenzierbarer Weg. Nach Erinnerung~\ref{eri:3-4-1} gibt es eine + Überdeckung von $γ([a,b])$ durch endlich viele Kreisscheiben $\Delta_1, …, + \Delta_n$, die ganz in $U$ liegen. Nach Satz~\ref{satz:3-3-11} finden wir auf + jeder dieser Kreisscheiben eine Stammfunktion $F_i: \Delta_i → ℂ$ von $f$. + + Nach Punkt~\ref{il:3-4-1-3} der Erinnerung~\ref{eri:3-4-1} gibt es eine + endliche Unterteilung des Intervalls $[a,b]$, + \[ + a = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_m = b, + \] + sodass für jeden Index $0 \le j < m$ der Wertebereicht $\gamma([t_j, + t_{j+1}])$ ganz in einer der Kreisscheiben $\Delta_1, …, \Delta_n$ liegt. + Genauer: für jeden Index $0 \le j < m$ gibt es einen Index $i_j ∈ \{1, …, n\}$ + mit + \[ + γ([t_{j-1}, t_j]) ⊂ \Delta_{i_j}. + \] + Wir betrachten dann die Zahl + \[ + I_\gamma := \sum_{j=0}^{m-1} \left( F_{i_j}(γ(t_{j+1})) - F_{i_j}(γ(t_j)) \right). + \] + Konstruktion~\ref{kons:3-4-2} endet hier. +\end{konstruktion} + +Der Beweis des folgenden Fakts ist elementar, aber etwas langwierig. Er wird in der +Vorlesung nicht geführt. + +\begin{fakt}[Wegintegrale: Unabhängigkeit von der Wahl der Überdeckung]\label{fakt:3-4-3}% + Die Zahl $I_γ$ aus der obigen Konstruktion hängt nicht von der Wahl der + Überdeckung durch Kreisscheiben, der Wahl der Stammfunktionen und der Wahl der + Unterteilung des Intervalls $[a,b]$ ab. \qed +\end{fakt} + +\begin{beobachtung} + Wenn der Weg $\gamma$ aus Konstruktion~\ref{kons:3-4-2} stetig differenzierbar + ist, dann gilt + \[ + I_γ = \int_γ f(z) \, dz. + \] +\end{beobachtung} + +\begin{definition}[Wegintegrale: Integration über stetige Wege]\label{def:3-4-5}% + Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph. Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein + stetiger Weg. Dann definiert man das \emph{Wegintegral}\index{Wegintegral} + als + \[ + \int_γ f(z) \, dz := I_\gamma. + \] +\end{definition} + + \section{Homotopie von Wegen} Gegeben eine offene Menge $U ⊂ ℂ$ und Punkte $z_0, z_1 ∈ U$, so betrachten wir