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@@ -14,3 +14,5 @@ Lebesgue-Zahl
 homotope
 Homotopieinvarianz
 zusammenziehbarer
+Homotopien
+Hin-

04-wegintegraleStetig.tex

@@ -181,7 +181,7 @@ $γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.
 \end{bemerkung}
 
 
-\section{Homotopieinvarianz von Wegintegralen und der Integralsatz von Cauchy}
+\section{Der Integralsatz von Cauchy}
 
 \sideremark{Vorlesung 6}
 
@@ -189,7 +189,7 @@ Nach den vorhergehenden Abschnitten werden Sie sich schon denken, was jetzt
 kommt: Wegintegrale über homotope Wege sind gleich.  Der folgende Satz stellt
 dies präzise dar.
 
-\begin{satz}[Homotopieinvarianz von Wegintegralen]
+\begin{satz}[Homotopieinvarianz von Wegintegralen]\label{satz:4-3-1}%
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter seien $γ_0, γ_1
   : [a, b] → U$ zwei stetige Wege mit $γ_0(a) = γ_1(a)$ und $γ_0(b) = γ_1(b)$.
   Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander homotop sind, dann gilt die Gleichheit
@@ -222,7 +222,7 @@ dies präzise dar.
     \int_{β_{j,l}} f(z) \, dz = 0.
   \]
   Gleichung~\eqref{eq:4-3-1-1} folgt nun durch Addition über alle Indizes $i$
-  und $j$.  Man beachte dabei, dass sich Wegeintegrale über entgegengesetzt
+  und $j$.  Man beachte dabei, dass sich Wegintegrale über entgegengesetzt
   orientierte Wege aufheben.
   \begin{figure}
     \begin{center}
@@ -234,9 +234,9 @@ dies präzise dar.
   \end{figure}
 \end{proof}
 
-\begin{kor}[Integralsatz von Cauchy]
-  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter seien $γ : [a,
-  b] → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg.  Dann ist
+\begin{kor}[Integralsatz von Cauchy]\label{kor:4-3-2}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter sei $γ : [a, b]
+  → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg.  Dann ist
   \[
     \int_{γ} f(z) \, dz = 0.
   \]
@@ -249,14 +249,158 @@ dies präzise dar.
   \[
     γ: [0, 1] → U, \quad t ↦ e^{2πi t}.
   \]
-  Wir haben haben in Beispiel~\vref{bsp:3-2-2} aber bereits ausgerechnet, dass
-  das Wegintegral gleich
+  Wir haben in Beispiel~\vref{bsp:3-2-2} aber bereits ausgerechnet, was das
+  Wegintegral ist:
   \[
-    \int_γ \frac{1}{z} \, dz = 2πi
+    \int_γ \frac{1}{z} \, dz = 2πi.
   \]
-  ist.  Nach dem Integralsatz von Cauchy ist der Weg $γ$ also nicht
-  zusammenziehbar.  Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $ℂ^*$ nicht einfach
-  zusammenhängend ist.
+  Nach Korollar~\ref{kor:4-3-2}, dem Integralsatz von Cauchy, ist der Weg $γ$
+  also nicht zusammenziehbar. Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $ℂ^*$
+  nicht einfach zusammenhängend ist.
 \end{bsp}
 
+\sideremark{Vorlesung 7}
+
+\begin{kor}[Existenz von Stammfunktionen in einfach zusammenhängenden Mengen]%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und wegweise einfach zusammenhängend, und es sei $f : U
+  → ℂ$ holomorph.  Dann gibt es eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ von $f$.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Sei eine holomorphe Funktion $f$ gegeben. Um die Existenz einer Stammfunktion
+  zu beweisen, genügt es nach Satz~\vref{satz:3-3-9}zu zeigen, dass die
+  Wegintegrale $\int_• f(z)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt des jeweiligen
+  Weges abhängen. Seien also $γ_0 : [a_0, b_0] → U$ $γ_1 : [a_1, b_1] → U$ zwei
+  stetige Wege gleichem Start- und Endpunkt, $γ_0(a_0) = γ_1(a_1)$ und $γ_0(b_0)
+  = γ_1(b_1)$. Betrachte als Nächstes den Weg $γ$, definiert durch
+  \[
+    γ : [a_0, b_0 + b_1 - a_1] \to U, \quad t \mapsto := \begin{cases}
+      γ_0(t) & t ∈ [a_0, b_0), \\
+      γ_1(b_0 + b_1 - t) & t ∈ [b_0, b_0 + b_1 - a_1].
+    \end{cases}
+  \]
+  Beachte, dass der Weg $\gamma$ stetig ist und $γ(a_0) = γ(b_0 + b_1 - a_1)$ gilt, also
+  dass $γ$ ein geschlossener Weg ist.  Da $U$ wegweise einfach zusammenhängend ist, ist der Weg $γ$ zusammenziehbar.
+  Nach dem  gilt daher nach dem Integralsatz von Cauchy, 
+  \begin{align*}
+    0 & = \int_{γ} f(z) \, dz && \text{Korollar~\ref{kor:4-3-2}}\\
+    & = \int_{γ_0} f(z) \, dz - \int_{γ_1} f(z) \, dz && \text{Konstruktion von }\gamma. 
+  \end{align*}
+  Damit folgt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+Gelegentlich ist es nützlich, die folgende schwächere Version des Begriffs der
+Homotopie zu verwenden. Abbildung~\ref{fig:4-3-1-2} veranschaulicht die Situation.
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=13cm]{04-freeHomotopy-1.png}
+  \end{center}
+
+  \caption{Freie Homotopie von geschlossenen Wegen}
+  \label{fig:4-3-1-2}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}[Freie Homotopie von geschlossenen Wegen]\label{def:4-3-5}%
+  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] ⊂ ℝ$ ein kompaktes Intervall.
+  Zwei geschlossene Wege
+  \[
+    γ_0: [a, b] → U, \quad γ_1: [a, b] → U
+    \quad\text{mit}\quad
+    γ_0(a) = γ_0(b), \quad γ_1(a) = γ_1(b)
+  \]
+  heißen \emph{frei homotop}\index{freie Homotopie von Wegen}, wenn es eine
+  stetige Abbildung
+  \[
+    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] \longrightarrow U
+  \]
+  gibt, sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
+  \begin{itemize}
+    \item $\forall s ∈ [0, 1] : Γ(a, s) = γ_0(b)$
+    \item $\forall t ∈ [a, b] : Γ(t, 0) = γ_0(t) \text{ und } Γ(t, 1) = γ_1(t)$.
+  \end{itemize}
+  Eine Abbildung $Γ$ mit diesen Eigenschaften heißt \emph{freie
+  Homotopie}\index{freie Homotopie von Wegen} zwischen den Wegen $γ_0$ und
+  $γ_1$.
+\end{definition}
+
+Der Satz~\ref{satz:4-3-1} über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen lässt
+sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
+übertragen.  
+
+\begin{satz}[Invarianz von Wegintegralen unter freier Homotopie]\label{satz:4-3-6}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter seien $γ_0, γ_1
+  : [a, b] → U$ zwei stetige. Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander frei homotop sind,
+  dann gilt die Gleichheit
+  \begin{equation}\label{eq:4-3-6-1}
+    \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
+  \end{equation}
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweisskizze mit Bild]
+  Es sei $\Gamma : [a,b] ⨯ [0,1] \to U$ eine freie Homotopie zwischen den
+  geschlossenen Wegen $γ_0$ und $γ_1$.  Betrachte weiter den in
+  Abbildung~\ref{fig:4-3-3} gezeigten Weg
+  \begin{figure}
+    \begin{center}
+      \includegraphics[width=5cm]{04-freeHomotopy-2.png}
+    \end{center}
+
+    \caption{Beweis: Invarianz von Wegintegralen unter freier Homotopie}
+    \label{fig:4-3-3}
+  \end{figure}
+  \[
+    \delta : [0, 1] → U, s \mapsto \Gamma(a, s).
+  \]
+  Dies ist ein Weg, der den Punkt $γ_0(a) = γ_0(b)$ mit dem Punkt $γ_1(a) =
+  γ_1(b)$ verbindet. Konstruiere nun einen geschlossenen Weg $\wtilde{\gamma}_1 :
+  [a,b] \to U$, der Folgendes macht: 
+  \begin{itemize}
+    \item Er beginnt bei $γ_0(a)$,
+    \item folgt dem Weg $δ$ bis zu $γ_1(a)$,
+    \item folgt dann dem Weg $γ_1$ bis zu $γ_1(b)$,
+    \item folgt dann dem Weg $δ$ zurück bis zu $γ_0(a)$.
+  \end{itemize}
+  Ich behaupte, dass die Wege $γ_0$ und $\wtilde{\gamma}_1$ homotop sind.  Dazu
+  konstruiere eine Homotopie, also eine stetige Familie von Wegen, die $γ_0$ in
+  $\wtilde{\gamma}_1$ überführt.  Für jeden Parameterwert $s ∈ [0, 1]$
+  definieren wir den Weg
+  \[
+    \wtilde{\gamma}_s : [a,b] \to U,
+  \]
+  der Folgendes macht:
+  \begin{itemize}
+    \item Er beginnt bei $γ_0(a)$,
+    \item folgt dem Weg $δ$ bis zu $Γ(a,s)$,
+    \item folgt dann dem Weg $Γ(•, s)$ bis zu $Γ(b,s)$,
+    \item folgt dann dem Weg $δ$ zurück bis zu $γ_0(a)$.
+  \end{itemize}
+  Die Abbildung
+  \[
+    \wtilde{\Gamma} : [a,b] ⨯ [0,1] \to U, \quad (t,s) \mapsto \wtilde{\gamma}_s(t)
+  \]
+  definiert dann die gesuchte Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und
+  $\wtilde{\gamma}_1$.  Nach Satz~\ref{satz:4-3-1} gilt daher
+  \[
+    \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{\wtilde{\gamma}_1} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
+  \]  
+  Die letzte Gleichung folgt unmittelbar aus der Definition des Wegintegrals
+  über stetige Wege (Definition~\ref{def:4-1-5}) und der Tatsache, dass die
+  Wegintegrale über den Hin- und Rückweg entlang von $δ$ sich aufheben.
+\end{proof}
+
+
+\section{Anwendung: Reelle Integration}
+
+Der Integralsatz von Cauchy kann verwendet werden, um rein reelle Integrale
+auszurechnen, die uns auch schon in der Vorlesung ``Analysis II'' interessiert
+hätten.  Die Notizen von Andreas Demleitner zur letzten Vorlesung
+``Funktionentheorie'' sind so gut, dass ich die Seiten hier einfach wiedergebe.
+
+\begin{center}
+  \noindent\includegraphics[width=14cm]{04-integration-1.png}
+  
+  \noindent\includegraphics[width=14cm]{04-integration-2.png}
+
+  \noindent\includegraphics[width=14cm]{04-integration-3.png}
+\end{center}
+
 % !TEX root = Funktionentheorie