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@@ -258,4 +258,91 @@ Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
   Damit ist die Zahl $n$ eindeutig bestimmt.
 \end{proof}
 
+
+\section{Das Residuum}
+
+\begin{definition}[Residuensatz]\label{def:12-3-1}%
+  Es sei $f \in \sO(U \setminus p)$ und es sei $R > 0$, sodass
+  $\overline{K_{0,R}(p)} \subset U$ ist.  Der Koeffizient von $(z-p)^{-1}$ in
+  der Laurententwicklung von $f$ auf $K_{0,R}(p)$ wird
+  \emph{Residuum}\index{Residuum} von $f$ in $p$ genannt. Die Bezeichnung
+  $\Res_p(f)$ ist üblich.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}[Hebbare Singularität]
+  Wenn $f$ in $p$ eine hebbare Singularität hat, dann ist $\Res_p(f) = 0$.  
+\end{bsp}
+  
+\begin{bsp}[Polstelle]
+  Es sei $U = \bC$, $p = 0$ und $f(z) = \frac{1}{z}$. Dann ist $\Res_p(f) = 1$.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Polstelle]
+  Es sei $U = \bC^*$, $p \ne 0$ und $f(z) = \frac{1}{z}$. Dann ist $\Res_p(f) =
+  0$.
+\end{bsp}
+
+\begin{erinnerung}
+  In der Situation von Definition~\ref{def:12-3-1} ist
+  \[
+    \Res_p(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial K_R(p)} f(z) \, dz.
+  \]  
+\end{erinnerung}
+  
+
+\section{Der Residuensatz}
+
+
+\begin{satz}[Residuensatz]\label{satz:12-3-2}%
+  Es sei $U \subset \bC$ offen, es sei $P \subset U$ eine endliche Teilmenge,
+  und $f \in \sO(U \setminus P)$. Sei weiter $\gamma: [a,b] \to U \setminus P$
+  ein geschlossener und stetiger Weg, der in $U$ zusammenziehbar ist. Dann gilt:
+  \[
+    \int_\gamma f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) \cdot \Res_p(f).
+  \]
+\end{satz}
+\begin{proof}[Beweis]
+  Betrachte zunächst einen Punkt $p \in P$. Entwickle $f$ in eine Laurentreihe
+  in $p$:
+  \[
+    f(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k \cdot (z-p)^k
+  \]
+  und definiere
+  \[
+    h_p(z) := \sum_{k=-\infty}^{-2} c_k \cdot (z-p)^k.
+  \]
+  Die Funktion $h_p$ hat folgende Eigenschaften.
+  \begin{enumerate}
+    \item Nach Fakt~\ref{fakt:10-3-1} definiert die Reihe $h_p$ eine auf ganz
+      $\bC \setminus \{p\}$ holomorphe Funktion.
+
+    \item Die Reihe
+      \[
+        \sum_{k=-\infty}^{-2} c_k \cdot \frac{(z-p)^{k+1}}{k+1}
+      \]
+      definiert eine auf ganz $\bC \setminus \{p\}$ holomorphe Stammfunktion von
+      $h_p$.
+
+    \item Die auf $U \setminus P$ definierte Funktion 
+      \[
+        f(z) - h_p(z) - \Res_p(f) \cdot (z-p)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty c_k \cdot (z-p)^k
+      \]
+      hat in $p$ eine hebbare Singularität!
+    \end{enumerate}
+  Das machen wir jetzt für alle $p \in P$ und erhalten: Die Funktion
+  \[
+    g(z) := f(z) - \sum_{p \in P} h_p(z) - \sum_{p \in P} \Res_p(f) \cdot (z-p)^{-1}
+  \]
+  hat in allen Punkte $p \in P$ hebbare Singularitäten. Da die Kurve $\gamma$ in $U$ zusammenziehbar ist, folgt aus dem
+  Cauchy-Integralsatz
+  \[
+    \int_\gamma g(z) \, dz = 0.
+  \]
+  Also ist
+  \[
+    \int_\gamma f(z) \, dz = \sum_{p \in P} \underbrace{\int_\gamma h_p(z) \, dz}_{=0\text{, weil Stammfkt.~existiert}} 
+      + \sum_{p \in P} \underbrace{\int_\gamma \frac{\Res_p(f)}{z-p} \, dz}_{= 2\pi i \cdot \Um(\gamma, p) \cdot \Res_p(f)}.
+  \]
+  Damit ist der Satz bewiesen.
+\end{proof}
 % !TEX root = Funktionentheorie