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@@ -16,3 +16,4 @@ Homotopieinvarianz
 zusammenziehbarer
 Homotopien
 Hin-
+Demleitner

04-wegintegraleStetig.tex

@@ -204,9 +204,9 @@ dies präzise dar.
   \]
   eine Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$.  Weil die Menge $[a, b] ⨯
   [0, 1]$ kompakt ist, können wir nach Erinnerung~\ref{eri:3-4-1} die Bildmenge
-  $γ\bigl([a, b] ⨯ [0, 1]\bigr) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …,
+  $γ\bigl([a, b] ⨯ [0, 1]\bigr) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben
-  Δ_n$ aus $U$ überdecken.  Weiter können wir eine Unterteilung der Intervalle
+  $Δ_1, …, Δ_n$ aus $U$ überdecken.  Weiter können wir eine Unterteilung der
-  finden,
+  Intervalle finden,
   \begin{align*}
     a & = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_m = b && \text{von } [a, b], \\
     0 & = s_0 < s_1 < s_2 < … < s_k = 1 && \text{von } [0, 1],
@@ -243,9 +243,9 @@ dies präzise dar.
 \end{kor}
 
 \begin{bsp}[Die Menge $ℂ^*$ ist nicht einfach zusammenhängend]\label{bsp:4-3-3}%
-  Wir betrachten die offene Menge $U := ℂ^* = ℂ ∖ \{0\}$ und die
+  Wir betrachten die offene Menge $U := ℂ^* = ℂ ∖ \{0\}$ und die holomorphe
-  holomorphe Funktion $f: U → ℂ$, $z ↦ 1/z$.  Weiter betrachten wir den
+  Funktion $f: U → ℂ$, $z ↦ 1/z$.  Weiter betrachten wir den geschlossenen
-  geschlossenen Kreisweg
+  Kreisweg
   \[
     γ: [0, 1] → U, \quad t ↦ e^{2πi t}.
   \]
@@ -255,41 +255,44 @@ dies präzise dar.
     \int_γ \frac{1}{z} \, dz = 2πi.
   \]
   Nach Korollar~\ref{kor:4-3-2}, dem Integralsatz von Cauchy, ist der Weg $γ$
-  also nicht zusammenziehbar. Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $ℂ^*$
+  also nicht zusammenziehbar.  Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $ℂ^*$
   nicht einfach zusammenhängend ist.
 \end{bsp}
 
 \sideremark{Vorlesung 7}
 
 \begin{kor}[Existenz von Stammfunktionen in einfach zusammenhängenden Mengen]%
-  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und wegweise einfach zusammenhängend, und es sei $f : U
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und wegweise einfach zusammenhängend, und es sei $f : U →
-  → ℂ$ holomorph.  Dann gibt es eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ von $f$.
+  ℂ$ holomorph.  Dann gibt es eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ von $f$.
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  Sei eine holomorphe Funktion $f$ gegeben. Um die Existenz einer Stammfunktion
+  Sei eine holomorphe Funktion $f$ gegeben.  Um die Existenz einer Stammfunktion
   zu beweisen, genügt es nach Satz~\vref{satz:3-3-9}zu zeigen, dass die
   Wegintegrale $\int_• f(z)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt des jeweiligen
-  Weges abhängen. Seien also $γ_0 : [a_0, b_0] → U$ $γ_1 : [a_1, b_1] → U$ zwei
+  Weges abhängen.  Seien also $γ_0 : [a_0, b_0] → U$ $γ_1 : [a_1, b_1] → U$ zwei
   stetige Wege gleichem Start- und Endpunkt, $γ_0(a_0) = γ_1(a_1)$ und $γ_0(b_0)
-  = γ_1(b_1)$. Betrachte als Nächstes den Weg $γ$, definiert durch
+  = γ_1(b_1)$.  Betrachte als Nächstes den Weg $γ$, definiert durch
   \[
-    γ : [a_0, b_0 + b_1 - a_1] \to U, \quad t \mapsto := \begin{cases}
+    γ : [a_0, b_0 + b_1 - a_1] → U, \quad t ↦ := 
+    \begin{cases}
       γ_0(t) & t ∈ [a_0, b_0), \\
       γ_1(b_0 + b_1 - t) & t ∈ [b_0, b_0 + b_1 - a_1].
     \end{cases}
   \]
-  Beachte, dass der Weg $\gamma$ stetig ist und $γ(a_0) = γ(b_0 + b_1 - a_1)$ gilt, also
+  Beachte, dass der Weg $γ$ stetig ist und $γ(a_0) = γ(b_0 + b_1 - a_1)$ gilt,
-  dass $γ$ ein geschlossener Weg ist.  Da $U$ wegweise einfach zusammenhängend ist, ist der Weg $γ$ zusammenziehbar.
+  also dass $γ$ ein geschlossener Weg ist.  Da $U$ wegweise einfach
-  Nach dem  gilt daher nach dem Integralsatz von Cauchy, 
+  zusammenhängend ist, ist der Weg $γ$ zusammenziehbar. Nach dem gilt daher nach
+  dem Integralsatz von Cauchy,
   \begin{align*}
     0 & = \int_{γ} f(z) \, dz && \text{Korollar~\ref{kor:4-3-2}}\\
-    & = \int_{γ_0} f(z) \, dz - \int_{γ_1} f(z) \, dz && \text{Konstruktion von }\gamma. 
+    & = \int_{γ_0} f(z) \, dz - \int_{γ_1} f(z) \, dz && \text{Konstruktion von }γ.
   \end{align*}
   Damit folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
 Gelegentlich ist es nützlich, die folgende schwächere Version des Begriffs der
-Homotopie zu verwenden. Abbildung~\ref{fig:4-3-1-2} veranschaulicht die Situation.
+Homotopie zu verwenden.  Abbildung~\ref{fig:4-3-1-2} veranschaulicht die
+Situation.
 
 \begin{figure}
   \begin{center}
@@ -325,20 +328,20 @@ Homotopie zu verwenden. Abbildung~\ref{fig:4-3-1-2} veranschaulicht die Situatio
 
 Der Satz~\ref{satz:4-3-1} über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen lässt
 sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
-übertragen.  
+übertragen.
 
 \begin{satz}[Invarianz von Wegintegralen unter freier Homotopie]\label{satz:4-3-6}%
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter seien $γ_0, γ_1
-  : [a, b] → U$ zwei stetige. Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander frei homotop sind,
+  : [a, b] → U$ zwei stetige.  Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander frei homotop
-  dann gilt die Gleichheit
+  sind, dann gilt die Gleichheit
   \begin{equation}\label{eq:4-3-6-1}
     \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
   \end{equation}
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweisskizze mit Bild]
-  Es sei $\Gamma : [a,b] ⨯ [0,1] \to U$ eine freie Homotopie zwischen den
+  Es sei $Γ : [a,b] ⨯ [0,1] → U$ eine freie Homotopie zwischen den geschlossenen
-  geschlossenen Wegen $γ_0$ und $γ_1$.  Betrachte weiter den in
+  Wegen $γ_0$ und $γ_1$.  Betrachte weiter den in Abbildung~\ref{fig:4-3-3}
-  Abbildung~\ref{fig:4-3-3} gezeigten Weg
+  gezeigten Weg
   \begin{figure}
     \begin{center}
       \includegraphics[width=5cm]{04-freeHomotopy-2.png}
@@ -348,23 +351,23 @@ sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
     \label{fig:4-3-3}
   \end{figure}
   \[
-    \delta : [0, 1] → U, s \mapsto \Gamma(a, s).
+    δ : [0, 1] → U, s ↦ Γ(a, s).
   \]
   Dies ist ein Weg, der den Punkt $γ_0(a) = γ_0(b)$ mit dem Punkt $γ_1(a) =
-  γ_1(b)$ verbindet. Konstruiere nun einen geschlossenen Weg $\wtilde{\gamma}_1 :
+  γ_1(b)$ verbindet.  Konstruiere nun einen geschlossenen Weg $\wtilde{γ}_1 :
-  [a,b] \to U$, der Folgendes macht: 
+  [a,b] → U$, der Folgendes macht:
   \begin{itemize}
     \item Er beginnt bei $γ_0(a)$,
     \item folgt dem Weg $δ$ bis zu $γ_1(a)$,
     \item folgt dann dem Weg $γ_1$ bis zu $γ_1(b)$,
     \item folgt dann dem Weg $δ$ zurück bis zu $γ_0(a)$.
   \end{itemize}
-  Ich behaupte, dass die Wege $γ_0$ und $\wtilde{\gamma}_1$ homotop sind.  Dazu
+  Ich behaupte, dass die Wege $γ_0$ und $\wtilde{γ}_1$ homotop sind.  Dazu
   konstruiere eine Homotopie, also eine stetige Familie von Wegen, die $γ_0$ in
-  $\wtilde{\gamma}_1$ überführt.  Für jeden Parameterwert $s ∈ [0, 1]$
+  $\wtilde{γ}_1$ überführt.  Für jeden Parameterwert $s ∈ [0, 1]$ definieren wir
-  definieren wir den Weg
+  den Weg
   \[
-    \wtilde{\gamma}_s : [a,b] \to U,
+    \wtilde{γ}_s : [a,b] → U,
   \]
   der Folgendes macht:
   \begin{itemize}
@@ -375,13 +378,13 @@ sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
   \end{itemize}
   Die Abbildung
   \[
-    \wtilde{\Gamma} : [a,b] ⨯ [0,1] \to U, \quad (t,s) \mapsto \wtilde{\gamma}_s(t)
+    \wtilde{Γ} : [a,b] ⨯ [0,1] → U, \quad (t,s) ↦ \wtilde{γ}_s(t)
   \]
   definiert dann die gesuchte Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und
-  $\wtilde{\gamma}_1$.  Nach Satz~\ref{satz:4-3-1} gilt daher
+  $\wtilde{γ}_1$.  Nach Satz~\ref{satz:4-3-1} gilt daher
   \[
-    \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{\wtilde{\gamma}_1} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
+    \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{\wtilde{γ}_1} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
-  \]  
+  \]
   Die letzte Gleichung folgt unmittelbar aus der Definition des Wegintegrals
   über stetige Wege (Definition~\ref{def:4-1-5}) und der Tatsache, dass die
   Wegintegrale über den Hin- und Rückweg entlang von $δ$ sich aufheben.
@@ -391,9 +394,9 @@ sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
 \section{Anwendung: Reelle Integration}
 
 Der Integralsatz von Cauchy kann verwendet werden, um rein reelle Integrale
-auszurechnen, die uns auch schon in der Vorlesung ``Analysis II'' interessiert
+auszurechnen, die uns auch schon in der Vorlesung „Analysis II“ interessiert
-hätten.  Die Notizen von Andreas Demleitner zur letzten Vorlesung
+hätten.  Die Notizen von Andreas Demleitner zur  Vorlesung „Funktionentheorie“
-``Funktionentheorie'' sind so gut, dass ich die Seiten hier einfach wiedergebe.
+aus dem Jahr 2022 sind so gut, dass ich die Seiten hier einfach wiedergebe.
 
 \begin{center}
   \noindent\includegraphics[width=14cm]{04-integration-1.png}