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Stefan Kebekus
@@ -204,9 +204,9 @@ dies präzise dar.
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eine Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$. Weil die Menge $[a, b] ⨯
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[0, 1]$ kompakt ist, können wir nach Erinnerung~\ref{eri:3-4-1} die Bildmenge
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$γ\bigl([a, b] ⨯ [0, 1]\bigr) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben $Δ_1, …,
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Δ_n$ aus $U$ überdecken. Weiter können wir eine Unterteilung der Intervalle
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finden,
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$γ\bigl([a, b] ⨯ [0, 1]\bigr) ⊂ U$ ist kompakt mit endlich viele Kreisscheiben
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$Δ_1, …, Δ_n$ aus $U$ überdecken. Weiter können wir eine Unterteilung der
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Intervalle finden,
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\begin{align*}
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a & = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_m = b && \text{von } [a, b], \\
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0 & = s_0 < s_1 < s_2 < … < s_k = 1 && \text{von } [0, 1],
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@@ -243,9 +243,9 @@ dies präzise dar.
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\end{kor}
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\begin{bsp}[Die Menge $ℂ^*$ ist nicht einfach zusammenhängend]\label{bsp:4-3-3}%
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Wir betrachten die offene Menge $U := ℂ^* = ℂ ∖ \{0\}$ und die
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holomorphe Funktion $f: U → ℂ$, $z ↦ 1/z$. Weiter betrachten wir den
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geschlossenen Kreisweg
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Wir betrachten die offene Menge $U := ℂ^* = ℂ ∖ \{0\}$ und die holomorphe
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Funktion $f: U → ℂ$, $z ↦ 1/z$. Weiter betrachten wir den geschlossenen
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Kreisweg
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\[
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γ: [0, 1] → U, \quad t ↦ e^{2πi t}.
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@@ -255,41 +255,44 @@ dies präzise dar.
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\int_γ \frac{1}{z} \, dz = 2πi.
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\]
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Nach Korollar~\ref{kor:4-3-2}, dem Integralsatz von Cauchy, ist der Weg $γ$
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also nicht zusammenziehbar. Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $ℂ^*$
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also nicht zusammenziehbar. Wir haben damit gezeigt, dass die Menge $ℂ^*$
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nicht einfach zusammenhängend ist.
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\end{bsp}
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\sideremark{Vorlesung 7}
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\begin{kor}[Existenz von Stammfunktionen in einfach zusammenhängenden Mengen]%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und wegweise einfach zusammenhängend, und es sei $f : U
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→ ℂ$ holomorph. Dann gibt es eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ von $f$.
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und wegweise einfach zusammenhängend, und es sei $f : U →
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ℂ$ holomorph. Dann gibt es eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ von $f$.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Sei eine holomorphe Funktion $f$ gegeben. Um die Existenz einer Stammfunktion
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Sei eine holomorphe Funktion $f$ gegeben. Um die Existenz einer Stammfunktion
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zu beweisen, genügt es nach Satz~\vref{satz:3-3-9}zu zeigen, dass die
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Wegintegrale $\int_• f(z)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt des jeweiligen
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Weges abhängen. Seien also $γ_0 : [a_0, b_0] → U$ $γ_1 : [a_1, b_1] → U$ zwei
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Weges abhängen. Seien also $γ_0 : [a_0, b_0] → U$ $γ_1 : [a_1, b_1] → U$ zwei
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stetige Wege gleichem Start- und Endpunkt, $γ_0(a_0) = γ_1(a_1)$ und $γ_0(b_0)
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= γ_1(b_1)$. Betrachte als Nächstes den Weg $γ$, definiert durch
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= γ_1(b_1)$. Betrachte als Nächstes den Weg $γ$, definiert durch
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\[
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γ : [a_0, b_0 + b_1 - a_1] \to U, \quad t \mapsto := \begin{cases}
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γ : [a_0, b_0 + b_1 - a_1] → U, \quad t ↦ :=
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\begin{cases}
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γ_0(t) & t ∈ [a_0, b_0), \\
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γ_1(b_0 + b_1 - t) & t ∈ [b_0, b_0 + b_1 - a_1].
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\end{cases}
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\]
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Beachte, dass der Weg $\gamma$ stetig ist und $γ(a_0) = γ(b_0 + b_1 - a_1)$ gilt, also
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dass $γ$ ein geschlossener Weg ist. Da $U$ wegweise einfach zusammenhängend ist, ist der Weg $γ$ zusammenziehbar.
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Nach dem gilt daher nach dem Integralsatz von Cauchy,
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Beachte, dass der Weg $γ$ stetig ist und $γ(a_0) = γ(b_0 + b_1 - a_1)$ gilt,
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also dass $γ$ ein geschlossener Weg ist. Da $U$ wegweise einfach
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zusammenhängend ist, ist der Weg $γ$ zusammenziehbar. Nach dem gilt daher nach
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dem Integralsatz von Cauchy,
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\begin{align*}
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0 & = \int_{γ} f(z) \, dz && \text{Korollar~\ref{kor:4-3-2}}\\
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& = \int_{γ_0} f(z) \, dz - \int_{γ_1} f(z) \, dz && \text{Konstruktion von }\gamma.
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& = \int_{γ_0} f(z) \, dz - \int_{γ_1} f(z) \, dz && \text{Konstruktion von }γ.
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\end{align*}
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Damit folgt die Behauptung.
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\end{proof}
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Gelegentlich ist es nützlich, die folgende schwächere Version des Begriffs der
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Homotopie zu verwenden. Abbildung~\ref{fig:4-3-1-2} veranschaulicht die Situation.
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Homotopie zu verwenden. Abbildung~\ref{fig:4-3-1-2} veranschaulicht die
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Situation.
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\begin{figure}
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\begin{center}
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@@ -325,20 +328,20 @@ Homotopie zu verwenden. Abbildung~\ref{fig:4-3-1-2} veranschaulicht die Situatio
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Der Satz~\ref{satz:4-3-1} über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen lässt
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sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
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übertragen.
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übertragen.
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\begin{satz}[Invarianz von Wegintegralen unter freier Homotopie]\label{satz:4-3-6}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph. Weiter seien $γ_0, γ_1
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: [a, b] → U$ zwei stetige. Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander frei homotop sind,
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dann gilt die Gleichheit
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: [a, b] → U$ zwei stetige. Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander frei homotop
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sind, dann gilt die Gleichheit
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\begin{equation}\label{eq:4-3-6-1}
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\int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
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\end{equation}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweisskizze mit Bild]
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Es sei $\Gamma : [a,b] ⨯ [0,1] \to U$ eine freie Homotopie zwischen den
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geschlossenen Wegen $γ_0$ und $γ_1$. Betrachte weiter den in
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Abbildung~\ref{fig:4-3-3} gezeigten Weg
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Es sei $Γ : [a,b] ⨯ [0,1] → U$ eine freie Homotopie zwischen den geschlossenen
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Wegen $γ_0$ und $γ_1$. Betrachte weiter den in Abbildung~\ref{fig:4-3-3}
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gezeigten Weg
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\begin{figure}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=5cm]{04-freeHomotopy-2.png}
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@@ -348,23 +351,23 @@ sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
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\label{fig:4-3-3}
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\end{figure}
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\[
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\delta : [0, 1] → U, s \mapsto \Gamma(a, s).
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δ : [0, 1] → U, s ↦ Γ(a, s).
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\]
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Dies ist ein Weg, der den Punkt $γ_0(a) = γ_0(b)$ mit dem Punkt $γ_1(a) =
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γ_1(b)$ verbindet. Konstruiere nun einen geschlossenen Weg $\wtilde{\gamma}_1 :
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[a,b] \to U$, der Folgendes macht:
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γ_1(b)$ verbindet. Konstruiere nun einen geschlossenen Weg $\wtilde{γ}_1 :
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[a,b] → U$, der Folgendes macht:
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\begin{itemize}
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\item Er beginnt bei $γ_0(a)$,
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\item folgt dem Weg $δ$ bis zu $γ_1(a)$,
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\item folgt dann dem Weg $γ_1$ bis zu $γ_1(b)$,
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\item folgt dann dem Weg $δ$ zurück bis zu $γ_0(a)$.
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\end{itemize}
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Ich behaupte, dass die Wege $γ_0$ und $\wtilde{\gamma}_1$ homotop sind. Dazu
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Ich behaupte, dass die Wege $γ_0$ und $\wtilde{γ}_1$ homotop sind. Dazu
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konstruiere eine Homotopie, also eine stetige Familie von Wegen, die $γ_0$ in
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$\wtilde{\gamma}_1$ überführt. Für jeden Parameterwert $s ∈ [0, 1]$
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definieren wir den Weg
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$\wtilde{γ}_1$ überführt. Für jeden Parameterwert $s ∈ [0, 1]$ definieren wir
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den Weg
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\[
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\wtilde{\gamma}_s : [a,b] \to U,
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\wtilde{γ}_s : [a,b] → U,
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\]
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der Folgendes macht:
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\begin{itemize}
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@@ -375,13 +378,13 @@ sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
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\end{itemize}
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Die Abbildung
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\[
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\wtilde{\Gamma} : [a,b] ⨯ [0,1] \to U, \quad (t,s) \mapsto \wtilde{\gamma}_s(t)
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\wtilde{Γ} : [a,b] ⨯ [0,1] → U, \quad (t,s) ↦ \wtilde{γ}_s(t)
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\]
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definiert dann die gesuchte Homotopie zwischen den Wegen $γ_0$ und
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$\wtilde{\gamma}_1$. Nach Satz~\ref{satz:4-3-1} gilt daher
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$\wtilde{γ}_1$. Nach Satz~\ref{satz:4-3-1} gilt daher
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\[
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\int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{\wtilde{\gamma}_1} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
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\]
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\int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{\wtilde{γ}_1} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
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\]
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Die letzte Gleichung folgt unmittelbar aus der Definition des Wegintegrals
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über stetige Wege (Definition~\ref{def:4-1-5}) und der Tatsache, dass die
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Wegintegrale über den Hin- und Rückweg entlang von $δ$ sich aufheben.
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@@ -391,9 +394,9 @@ sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
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\section{Anwendung: Reelle Integration}
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Der Integralsatz von Cauchy kann verwendet werden, um rein reelle Integrale
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auszurechnen, die uns auch schon in der Vorlesung ``Analysis II'' interessiert
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hätten. Die Notizen von Andreas Demleitner zur letzten Vorlesung
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``Funktionentheorie'' sind so gut, dass ich die Seiten hier einfach wiedergebe.
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auszurechnen, die uns auch schon in der Vorlesung „Analysis II“ interessiert
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hätten. Die Notizen von Andreas Demleitner zur Vorlesung „Funktionentheorie“
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aus dem Jahr 2022 sind so gut, dass ich die Seiten hier einfach wiedergebe.
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\begin{center}
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\noindent\includegraphics[width=14cm]{04-integration-1.png}
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Reference in New Issue
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