From b0887c7a5a70fc9cc94c4e6e0f7a09fb469192fe Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Stefan Kebekus <kebekus@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 17 Oct 2025 13:56:03 +0200
Subject: [PATCH] Update 03-wegintegrale.tex

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 03-wegintegrale.tex | 24 ++++++++++++------------
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+++ b/03-wegintegrale.tex
@@ -18,9 +18,9 @@ Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler Vektorraum.
 
 \begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
   Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → V$, dann wählt man eine Basis von
-  $V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$ mithilfe von
-  Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis nicht von der
-  Wahl der Basis abhängt.
+  $V$, um $V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$
+  mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis
+  nicht von der Wahl der Basis abhängt.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
@@ -164,7 +164,7 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
   \end{align*}
 \end{bsp}
 
-\begin{erg}[Wegintegrale über stückweise stetig differenzierbare Wegs]
+\begin{erg}[Wegintegrale über stückweise stetig differenzierbare Wege]
   Manchmal ist es günstig, auch stückweise stetig differenzierbare Wege
   zuzulassen: Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ 𝒪(U)$, und sei $γ: [a,b] → U$
   stückweise stetig differenzierbar.  Dann definiert man
@@ -179,11 +179,11 @@ Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.
 \subsection{Elementare Fakten zur Wegintegration}
 
 \begin{prop}[Umkehrung des Weges]
-  In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overlineγ: [a,b] → U$
-  derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overlineγ(t) = γ(b+a-t)$.
+  In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overline{γ}: [a,b] → U$
+  derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overline{γ}(t) = γ(b+a-t)$.
   Dann ist
   \[
-    \int_{\overlineγ} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz.  \eqno\qed
+    \int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz.  \eqno\qed
   \]
 \end{prop}
 
@@ -295,8 +295,8 @@ Fakten der Analysis und Topologie.
   Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-12} können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
   annehmen, dass die offene Menge $U$ zusammenhängend ist.  Seien nun zwei
   Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gegeben.  Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-13} gibt es einen
-  stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ'(0) =
-  z_2$.  Dann ist aber
+  stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ(1) = z_2$.
+  Dann ist aber
   \[
     f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_γ 0 \, dz = 0.
   \]
@@ -360,13 +360,13 @@ beim Beweis helfen.
     \int_{γ_1} f(z)\, dz = \int_{γ_2} f(z)\, dz.
   \]
   Zusammenfassung: Wenn das Wegintegral über jeden geschlossenen Weg
-  verschwindet, dann hängen die Wegintegral $\int_• f(d)\, dz$ nur von Start-
+  verschwindet, dann hängen die Wegintegral $\int_• f(z)\, dz$ nur von Start-
   und Endpunkt ab.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{satz}[Existenz von Stammfunktionen]\label{satz:3-3-9}%
-  Sei $U ⊂ ℂ$ offen, und sei $f: U → ℂ$ stetig.  Falls die Wegintegral $\int_•
-  f(d)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt abhängen, dann existiert eine
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen, und sei $f: U → ℂ$ stetig.  Falls die Wegintegrale $\int_•
+  f(z)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt abhängen, dann existiert eine
   Stammfunktion.
 \end{satz}
 \begin{proof}