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.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -48,3 +48,8 @@ Morera
 Novara
 Amandus
 Biholomorphie
+Hebbarkeitssatz
+Ostenfelde
+Casorati
+Casteggio
+Hebbarkeitsatz

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -26,3 +26,4 @@
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QId.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QInsbesondere gibt es offene Umgebung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sodass für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWegen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gibt es eine offene Umgebung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf der eine \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sodass für jedes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
+{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QDie Funktionen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q stimmen demnach auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q überein, sind nach Korollar\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (“Identitätssatz für holomorphe Funktionen”) also gleich!\\E$"}

05-cauchy.tex

@@ -353,9 +353,9 @@ arbeiten.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}[Hebbarkeitssatz]\label{kor:5-2-7}%
-  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $L ⊂ ℂ$ eine Gerade (nicht unbedingt durch den
-  Ursprung).  Falls $f : U → ℂ$ stetig und $f|_{U ∖ L} ∈ 𝒪(U ∖ L)$ ist, dann
-  ist $f ∈ 𝒪(U)$.
+  \index{Hebbarkeitssatz}Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $L ⊂ ℂ$ eine Gerade (nicht
+  unbedingt durch den Ursprung).  Falls $f : U → ℂ$ stetig und $f|_{U ∖ L} ∈
+  𝒪(U ∖ L)$ ist, dann ist $f ∈ 𝒪(U)$.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Nach Drehung (= Multiplikation mit einer Zahl der Form $e^{iα}$ aus $ℂ^*$) und

06-potenz.tex

@@ -64,8 +64,6 @@ Man beachte: Genau wie in der reellen Situation machen wir in \ref{il:6-0-2-4}
 keinerlei Aussagen über Konvergenz der Reihe für Punkte $z$, die auf dem Rand $∂
 B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
 
-\sideremark{Vorlesung 10}
-
 \begin{bsp}[Exponentialreihe]
   \index{Exponentialreihe}Die Potenzreihe $\sum_{i=0}^∞ \frac{zⁱ}{i!}$ kennen
   wir schon, das ist die Exponentialfunktion.  Der Konvergenzradius ist $∞$.
@@ -151,9 +149,9 @@ B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
 \section{Holomorphe Funktionen liefern Potenzreihen}
 
 \begin{proberechnung}[Konstruktion von Potenzeihen]\label{prorech:6-1-2}%
-  Es sei $r > 0$ und es sei $f ∈ 𝒪(B_r(0))$.  Wenn $ρ < r$ eine positive Zahl
-  ist, dann nach der Integralformel von Cauchy, Satz~\ref{satz:4-4-1}, für jede
-  Zahl $w ∈ B_ρ(0)$ die Gleichung
+  \sideremark{Vorlesung 10}Es sei $r > 0$ und es sei $f ∈ 𝒪(B_r(0))$.  Wenn $ρ
+  < r$ eine positive Zahl ist, dann nach der Integralformel von Cauchy,
+  Satz~\ref{satz:4-4-1}, für jede Zahl $w ∈ B_ρ(0)$ die Gleichung
   \begin{equation}\label{eq:6-0-6-1}
     f(w) = \frac{1}{2πi} \int_{∂B_ρ(0)} \frac{f(z)}{z - w}\,dz.
   \end{equation}

09-singularities.tex

@@ -56,4 +56,121 @@ Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, s
   \end{enumerate}
 \end{definition}
 
+\begin{satz}[Hebbarkeitsatz von Riemann]\label{satz:9-1-hebbarkeit}%
+  \index{Hebbarkeitsatz von Riemann}In der Situation von
+  Definition~\ref{def:9-1-1} sei $ρ ∈ T$.  Falls die Funktion $|f|$ in der Nähe
+  von $ρ$ beschränkt ist, dann hat $f$ bei $ρ$ eine hebbare Singularität.
+  Genauer: Falls es $ε > 0$ und $M > 0$ gibt, sodass für jedes $z ∈ B_ε(ρ) ∖ T$
+  die Ungleichung $|f(z)| < M$ gilt, dann hat $f$ bei $ρ$ eine hebbare
+  Singularität.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Nach Verkleinerung von $U$ können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $U$
+  eine Kreisscheibe um $ρ$ ist und dass $ρ$ der einzige Punkt in $U ∩ T$ ist.
+  Betrachte die Funktion
+  \[
+    φ : U \longrightarrow ℂ, \quad z ↦ \begin{cases}
+      f(z)·(z - ρ) & \text{falls } z ≠ ρ \\
+      0 & \text{falls } z = ρ.
+    \end{cases}
+  \]
+  Per Annahme ist diese Funktion stetig, und auf $U ∖ \{ρ\}$ holomorph.  Also
+  ist nach Korollar~\ref{kor:5-2-7} („Hebbarkeitssatz“) die Abbildung $φ$ auf
+  ganz $U$ holomorph.  Weil $φ$ aber bei $ρ$ eine Nullstelle hat, finden durch
+  Potenzreihenentwicklung eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$, sodass für jedes
+  $z ∈ U$ die Gleichung $φ(z) = (z - ρ)·g(z)$ gilt.  Die Funktionen $g$ und $f$
+  stimmen demnach auf $U ∖ \{ρ\}$ überein, sind nach Korollar~\ref{kor:7-2-2}
+  („Identitätssatz für holomorphe Funktionen“) also gleich!
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+  Die Aussage ist in der reellen Analysis überhaupt nicht differenzierbar!
+  Betrachte die Funktion $f : ℝ² ∖ \{0\} → ℝ$, $\vec{v} ↦ |\vec{v}|$.  Die
+  Abbildung ist stetig und außerhalb von $0$ differenzierbar.  Aber auf ganz
+  $ℝ²$ überhaupt nicht differenzierbar.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{frage}
+  Was kann ich über Beiträge von Funktionen mit Polstelle sagen?
+\end{frage}
+
+Als Antwort eine Beispielrechnung.
+
+\begin{rem}[Beispielrechnung zu Funktionen mit Polstellen]
+  In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei $ρ ∈ T$ eine Polstelle der
+  Ordnung $n > 0$ hat.  Also gibt es eine Zahl $ε > 0$ und eine holomorphe
+  Funktion $g ∈ 𝒪(B_ε(ρ))$, sodass folgendes gilt.
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Kreisscheibe $B_ε(ρ)$ liegt in $U$.
+    \item Es ist $g(ρ) ≠ 0$.
+    \item Für jedes $z ∈ B_ε(ρ) ∖ \{ρ\}$ gilt die Gleichung $g(z) =
+    (z - ρ)^n · f(z)$.
+  \end{enumerate}
+  Die Funktion $|g|$ ist stetig.  Wenn ich $ε$ verkleinere, kann ich ohne
+  Beschränkung der Allgemeinheit zusätzlich annehmen, dass für jedes $z ∈
+  B_ε(ρ)$ die Gleichung
+  \[
+    |g(z)| > \tfrac{1}{2} |g(ρ)|
+  \]
+  gilt.  Also ist für jedes $z ∈ B_ε(ρ) ∖ \{ρ\}$
+  \[
+    \frac{1}{2} |g(ρ)| < |g(z)| = |z - ρ|^n · |f(z)| < ε^n · |f(z)|.
+  \]
+  Die Beispielrechnung endet hier.
+\end{rem}
+
+Zusammengefasst sagt uns die Beispielrechnung folgendes: Hat $f$ bei $ρ$ einen
+Pol, dann gilt für jedes $M ∈ ℝ⁺$ und alle ausreichend kleinen $ε > 0$.
+\begin{enumerate}
+  \item Es ist $B_ε(ρ) ⊂ U$ und $ρ$ ist die einzige Singularität von $f$ auf
+    $B_ε(ρ)$.
+
+  \item Für jedes $z ∈ B_ε(ρ) ∖ \{ρ\}$ ist $|f(z)| > M$.
+\end{enumerate}
+Die Funktionswerte von $f$ explodieren also betragsmäßig, wenn ich mich dem
+Punkt $ρ$ annähere.  Auf jeden Fall sind die Funktionswerte von $0$ weg
+beschränkt.  \textbf{Das ist bei wesentlichen Singularitäten ganz anders!}
+
+\begin{satz}[Satz von Casorati\footnote{Felice Casorati (* 17.~Dezember 1835 in
+  Pavia; † 11.~September 1890 in Casteggio) war ein italienischer
+  Mathematiker.}-Weierstraß\footnote{Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (*
+  31.~Oktober 1815 in Ostenfelde bei Ennigerloh, Münsterland; † 19.~Februar 1897
+  in Berlin) war ein deutscher Mathematiker, der sich um die logisch fundierte
+  Aufarbeitung der Analysis verdient gemacht hat.  Daneben leistete er
+  bahnbrechende Beiträge in verschiedenen Gebieten der Mathematik, wie der
+  Funktionentheorie, der Variationsrechnung, der Differenzialgeometrie und der
+  Theorie der elliptischen Funktionen.}]\label{satz:9-1-casorati-weierstrass}%
+  \index{Satz von Casorati-Weierstraß}In der Situation von
+  Definition~\ref{def:9-1-1} sei $ρ ∈ T$.  Falls $f$ bei $ρ$ eine wesentliche
+  Singularität hat, dann ist $f(U ∖ T) ⊂ ℂ$ dicht.
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung}[Anwendungsidee]
+  Betrachte weiter die Situation von Definition~\ref{def:9-1-1}.  Wenn $ρ ∈ T$
+  eine wesentliche Singularität ist, dann gilt für jedes $ε > 0$, dass die
+  Bildmenge $f\bigl(B_ε(ρ) ∖ (U ∖ T)\bigr)$ in ganz $ℂ$ dicht ist.  Die
+  Funktionswerte sind also in der Nähe von $ρ$ kein bisschen von $0$ weg
+  beschränkt --- ganz im Gegensatz zum Verhalten von Funktionen mit Polstellen.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{proof}
+  Wir beweisen die Kontraposition: Angenommen, $f(U ∖ T) ⊂ ℂ$ wäre nicht dicht.
+  Dann gibt es einen Punkt $z_0 ∈ ℂ$ und ein $ε > 0$, sodass $B_ε(z_0)$ die
+  Bildmenge $f(U ∖ T)$ nicht schneidet.  Betrachte als Nächstes die Funktion $f
+  - z_0$, dann gilt für jedes $z ∈ U ∖ T$ die Ungleichung
+  \[
+    |f(z) - z_0| > ε.
+  \]
+  Jetzt betrachte
+  \[
+    \frac{1}{f - z_0} ∈ 𝒪\bigl(U ∖ T\bigr)
+  \]
+  und stelle fest: Die Beträge dieser Funktion sind nach oben durch
+  $\frac{1}{ε}$ beschränkt.  Also sind nach Satz~\ref{satz:9-1-hebbarkeit}
+  („Hebbarkeitsatz von Riemann“) alle Singularitäten hebbar und es gibt eine
+  holomorphe Funktion $h ∈ 𝒪(U)$ die auf $U ∖ T$ mit $\frac{1}{f - z_0}$
+  übereinstimmt.  Es folgt direkt, dass $f = h^{-1} + z_0$ nur Polstellen und
+  deshalb keine wesentlichen Singularitäten hat.
+\end{proof}
+
 % !TEX root = Funktionentheorie

SuggestionsForImprovement.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+# §6.1
+
+- At the end of the paragraph, observe that if a function f is given by a power
+  series, then the coefficients can be computed by evaluating derivatives of f
+  at the center point. This implies in particular, that the map (power series)
+  -> (functions) is injective.