From 561f34dfa3390dbd9dee520fc2aef4c7e86354c7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Mon, 25 Aug 2025 10:29:22 +0200 Subject: [PATCH] Working --- 01-Wiederholung.tex | 184 +----------------------------------------- Funktionentheorie.tex | 2 +- deploy.sh | 4 +- 3 files changed, 6 insertions(+), 184 deletions(-) diff --git a/01-Wiederholung.tex b/01-Wiederholung.tex index 388c531..a590012 100644 --- a/01-Wiederholung.tex +++ b/01-Wiederholung.tex @@ -1,189 +1,11 @@ % spell checker language \selectlanguage{german} -\chapter{Wiederholung} +\chapter{Platzhalter} -\section{Endomorphismen, Eigenwerte, Eigenvektoren} +\section{Platzhalter} -\sideremark{Vorlesung 1}Am Ende der Vorlesung „Lineare Algebra I“ hatten wir -folgende Situation betrachtet. - -\begin{situation}\label{sit:LA1}% - Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum und es - sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus des Vektorraumes $V$, also eine - $k$-lineare Abbildung $f : V → V$. -\end{situation} - -Das Ziel war, eine angeordnete Basis $B$ von $V$ zu finden, sodass die Matrix -$\Mat^B_B(f)$ möglichst einfach wird. Am besten wäre es, wenn die Matrix -Diagonalgestalt hat. - -\begin{defn}[Diagonalisierbarer Endomorphismus] - In Situation~\ref{sit:LA1}: der Endomorphismus $f$ heißt - \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Endomorphismus}, falls es eine - Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B(f)$ eine Diagonalmatrix ist. -\end{defn} - -Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert. - -\begin{defn}[Diagonalisierbare Matrix] - Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine $n ⨯ n$-Matrix $A$ heißt - \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Matrix}, falls sie einer - Diagonalmatrix ähnlich ist, d. h. $∃S ∈ Gl_n(k)$, sodass $SAS^{-1}$ eine - Diagonalmatrix ist. -\end{defn} - -Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren „Eigenwert“, „Eigenvektor“ -und „Eigenraum“. - -\begin{defn}[Eigenwert] - Situation wie in \ref{sit:LA1}. Ein Skalar $λ ∈ k$ heißt \emph{Eigenwert von - $f$}\index{Eigenwert}, wenn es einen Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$ - gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist. -\end{defn} - -\begin{defn}[Eigenraum] - Situation wie in \ref{sit:LA1}. Gegeben ein Skalar $λ ∈ k$, dann nenne - $$ - V_{λ} := \{ \vec{v} ∈ V \:|\: f(\vec{v}) = λ \vec{v} \} - $$ - den \emph{Eigenraum von $f$ zum Eigenwert $λ$}\index{Eigenraum}. -\end{defn} - -\begin{defn}[Eigenvektor] - Situation wie in \ref{sit:LA1}. Ein Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$ heißt - \emph{Eigenvektor von $f$}\index{Eigenvektor}, wenn es ein Skalar $λ ∈ k$ - gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist. -\end{defn} - -Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. In -der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte -auszurechnen: Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des -charakteristischen Polynoms -\[ - χ_f(t) := \det \bigl( f - t \Id_V \bigr). -\] -\textbf{Achtung!} Die Definition des charakteristischen Polynoms ist in der -Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren bezeichnen auch das Polynom -$\det \bigl( t \Id_V - f \bigr)$ als charakteristisches Polynom. In der Praxis -macht das keinen Unterschied, weil sich die beiden Polynome höchstens um ein -Vorzeichen unterscheiden und wir sowieso nur an den Nullstellen interessiert -sind. Ich werde versuchen, durchgehend die Konvention $χ_f(t) := \det \bigl( f -- t \Id_V \bigr)$ zu verwenden\footnote{Wie ich mich kenne, wird das aber nicht -immer gelingen. Bitte informieren Sie mich, wenn Sie irgendwo einen -Vorzeichenfehler sehen. Ich wurde gefragt, welche Konvention in Übungsaufgaben -und in der Klausur verwendet werden sollen. Der Einheitlichkeit und Einfachheit -halber wäre es schön, wenn alle die oben angegebene Konvention nutzen, aber -eigentlich ist mir die Konvention egal. Hauptsache, ihre Lösung ist richtig und -wir können verstehen, was Sie machen! Melden Sie sich, wenn Ihnen irgendwo -Punkte abgezogen wurden.}. - -\begin{erinnerung}[Komplexe Polynome zerfallen in Linearfaktoren] - Für $k = ℂ$ gilt: Jedes Polynom hat eine Nullstelle. Insbesondere gilt, dass - ich jedes Polynom über $ℂ$ als Produkt von linearen Polynomen schreiben kann. - Zum Beispiel ist - $$ - g(z) = (z - i)·(z + i)·(z + i)·(z + i)·(z - 2)·(z - 3). - $$ - Also ist $\deg(g) = 6$ und die Nullstellen von g sind $i$, $2$ und $3$ - (jeweils mit Vielfachheit 1) sowie $-i$ (mit Vielfachheit 3). -\end{erinnerung} - - -\section{Algebraische und geometrische Vielfachheit} - -Zurück zur Situation~\ref{sit:LA1}. Wenn ich nun ein Skalar $λ ∈ k$ gegeben -habe, kann ich die folgenden zwei Zahlen betrachten. -\begin{itemize} -\item Die \emph{algebraische Vielfachheit von - $λ$}\index{Vielfachheit!algebraische} ist die Vielfachheit von $λ$ als - Nullstelle des charakteristischen Polynoms. - -\item Die \emph{geometrische Vielfachheit von - $λ$}\index{Vielfachheit!geometrische} ist die Dimension des Vektorraumes - $V_{λ}$. -\end{itemize} - -\begin{bsp}\label{bsp:1.1} - Es sei $k = ℂ$, es sei $V = ℂ²$ und es sei $f : V → V$ gegeben durch die - Matrix - $$ - \begin{pmatrix} - 2 & 3 \\ 0 & 2 - \end{pmatrix}. - $$ - Dann ist $χ_f(t) = (2 - t)²$. Wir betrachten das Skalar $λ = 2$. Dies ist - eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und die algebraische - Vielfachheit von $λ$ ist zwei. Auf der anderen Seite ist - $$ - V_2 = ℂ · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. - $$ - Also ist die geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich eins. -\end{bsp} - -\begin{prop}[Vergleich von alg.\ und geom.~Vielfachheit] - In Situation~\ref{sit:LA1} sei $λ ∈ k$ ein Skalar, dann gilt: - $$ - \text{algebraische Vielfachheit } ≥ \text{ geometrische Vielfachheit} - $$ -\end{prop} -\begin{proof} - Sei ein Skalar $λ$ gegeben. Falls geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich - Null ist, ist nichts zu zeigen. Sei also die geometrische Vielfachheit $d$ - größer als Null. Das bedeutet: Es gibt eine lineare unabhängige (angeordnete) - Teilmenge $\{ \vec{v}_1, … , \vec{v}_d \} ⊂ V$, die ich zu einer - (angeordneten) Basis $B$ von $V$ ergänzen kann. Dann ist die zugehörige - Matrix von der Form - $$ - \Mat^B_B (f) = \left( - \begin{array}{lll|l} - λ & & & \\ - & \ddots & & * \\ - & & λ \\ - \hline - & 0 & & * - \end{array}\right). - $$ - Als Konsequenz ergibt sich, dass das charakteristische Polynom $χ_f$ von $f$ - die folgende Form hat, - $$ - χ_f (t) = (t - λ)^d · \text{(weiteres, unbekanntes Polynom)}. - $$ - Also ist die algebraische Vielfachheit von $λ$ ist mindestens gleich $d$. -\end{proof} - - -\section{Diagonalisierbarkeit} - -Wie hängen Diagonalisierbarkeit und die algebraischen/geometrischen -Vielfachheiten zusammen? Der folgende Satz gibt eine erste Antwort, zumindest -über den komplexen Zahlen. Im folgenden Kapitel werden wir eine bessere Antwort -kennenlernen. - -\begin{satz}[Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten]\label{satz:1.1} - In Situation~\ref{sit:LA1} sind die folgenden Aussagen äquivalent. - \begin{enumerate} - \item Der Endomorphismus $f$ ist diagonalisierbar. - - \item Das charakteristische Polynom $χ_f(t)$ zerfällt in Linearfaktoren und - für jeden Eigenwert $λ$ stimmen geometrische und algebraische Vielfachheit - überein. \qed - \end{enumerate} -\end{satz} - -Als direkte Anwendung von Satz~\ref{satz:1.1} ergibt sich, dass die Matrix aus -Beispiel~\ref{bsp:1.1} nicht diagonalisierbar ist. Der Beweis von -Satz~\ref{satz:1.1} verwendet folgendes Lemma. - -\begin{lemma}\label{lem:1.1}% - In Situation~\ref{sit:LA1} seien $λ_1, …, λ_d$ unterschiedliche Eigenwerte von - $f$. Weiter seien $\vec{v}_1, …, \vec{v}_d$ seien zugehörige Eigenvektoren. - Dann ist die Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_d \}$ linear unabhängig. \qed -\end{lemma} - -Sie sollten versuchen, Satz~\ref{satz:1.1} und Lemma~\ref{lem:1.1} selbst zu -beweisen. Der Beweis von Lemma~\ref{lem:1.1} funktioniert mit Induktion nach -$d$. Die Auflösung finden Sie in \video{1-1} und \video{1-2}. +\sideremark{Vorlesung 1} % !TEX root = LineareAlgebra2 diff --git a/Funktionentheorie.tex b/Funktionentheorie.tex index 537d280..01f7b79 100644 --- a/Funktionentheorie.tex +++ b/Funktionentheorie.tex @@ -128,7 +128,7 @@ Link in den Text ein. % % Das ist Stefan's Teil. Hier bitte nur Fehlerkorrekturen. % -\part{Endomorphismen} +\part{Platzhalter} \input{01-Wiederholung} diff --git a/deploy.sh b/deploy.sh index c41ed9c..1ba56c3 100755 --- a/deploy.sh +++ b/deploy.sh @@ -1,5 +1,5 @@ #!/bin/bash set -e -latexmk --pdf LineareAlgebra2.tex -cp LineareAlgebra2.pdf public/LineareAlgebra2.pdf +latexmk --pdf Funktionentheorie.tex +cp Funktionentheorie.pdf public/Funktionentheorie.pdf