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Multiplikationsabbildung
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Multiplikationsabbildung
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Majorantenkriterium
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Summenregel
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.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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@@ -1,3 +1,5 @@
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QFür komplexe Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bezeichnet man den Winkel zwischen der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Achse und der Achse \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als das “Argument” von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QFür komplexe Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bezeichnet man den Winkel zwischen der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Achse und der Achse \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q als das “Argument” von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QMan invertiert eine komplexe Zahl, indem man den Betrag invertiert und das Argument negiert.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QMan invertiert eine komplexe Zahl, indem man den Betrag invertiert und das Argument negiert.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qist.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar mit Ableitungsmatrix \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QMat\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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@@ -5,12 +5,10 @@
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\section{Konstruktion, Notation und elementare Eigenschaften}
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\section{Konstruktion, Notation und elementare Eigenschaften}
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\sideremark{Vorlesung 1}
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\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung „Analysis I“ haben Sie Funktionen $f :
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ℝ → ℝ$ diskutiert. In der Vorlesung „Funktionentheorie“ diskutieren wir
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In der Vorlesung „Analysis I“ haben Sie Funktionen $f : ℝ → ℝ$ diskutiert. In
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Funktionen $f : ℂ → ℂ$. Damit alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich in
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der Vorlesung „Funktionentheorie“ diskutieren wir Funktionen $f : ℂ → ℂ$. Damit
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aller Kürze die wesentlichen Begriffe zu den komplexen Zahlen.
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alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich in aller Kürze die wesentlichen
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Begriffe zu den komplexen Zahlen.
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\begin{konstruktion}[Konstruktion der komplexen Zahlen]
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\begin{konstruktion}[Konstruktion der komplexen Zahlen]
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Wir definieren auf der reellen Ebene $ℝ²$ zwei Abbildungen (oder:
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Wir definieren auf der reellen Ebene $ℝ²$ zwei Abbildungen (oder:
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@@ -219,9 +217,9 @@ Quadratwurzel besitzt.
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\end{kons}
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\end{kons}
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\begin{proof}
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\begin{proof}
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Gegeben eine Zahl $z ∈ ℂ$. Falls $z = 0$ ist, dann ist $w := 0$ eine
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Gegeben eine Zahl $z ∈ ℂ$. Falls $z = 0$ ist, dann ist $w := 0$ eine
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Quadratwurzel von $z$. Ansonsten sei $λ := |z|$ und $α := \arg z$. Weiter sei
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Quadratwurzel von $z$. Ansonsten sei $λ := |z|$ und $α := \arg z$. Weiter
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$w ∈ ℂ^*$ die Zahl mit Betrag $\sqrt{λ}$ und Argument $α/2$. Mit dieser Wahl
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sei $w ∈ ℂ^*$ die Zahl mit Betrag $\sqrt{λ}$ und Argument $α/2$. Mit dieser
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ist $w² = z$, die Zahl $w$ ist also eine Quadratwurzel von $z$.
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Wahl ist $w² = z$, die Zahl $w$ ist also eine Quadratwurzel von $z$.
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\end{proof}
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\end{proof}
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Quadratwurzeln sind natürlich nicht eindeutig, denn wenn $w$ eine Quadratwurzel
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Quadratwurzeln sind natürlich nicht eindeutig, denn wenn $w$ eine Quadratwurzel
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@@ -237,7 +235,7 @@ Aber Achtung! Obwohl jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt, gibt es
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keine stetige Wurzelfunktion! Das folgende Lemma zeigt, dass es nicht einmal
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keine stetige Wurzelfunktion! Das folgende Lemma zeigt, dass es nicht einmal
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auf der Teilmenge $ℂ^* ⊂ ℂ$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann.
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auf der Teilmenge $ℂ^* ⊂ ℂ$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann.
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\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Wurzelfunktion]
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\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Wurzelfunktion]\label{lem:1-1-23}%
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Es sei $w: ℂ^* → ℂ^*$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $w(z)² =
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Es sei $w: ℂ^* → ℂ^*$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $w(z)² =
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z$. Dann ist die Abbildung $w$ nicht stetig.
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z$. Dann ist die Abbildung $w$ nicht stetig.
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\end{lem}
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\end{lem}
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@@ -260,5 +258,228 @@ auf der Teilmenge $ℂ^* ⊂ ℂ$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann.
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\end{proof}
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\end{proof}
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\section{Die Exponentialfunktion}
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\sideremark{Vorlesung 2}In der Vorlesung ``Analysis'' wurden Folgen und
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Grenzwerte in $ℂ = ℝ²$ ausführlich betrachtet.
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\begin{erinnerung}[Konvergenz von Folgen und Reihen]
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Eine Folge von komplexen Zahlen, $(z_n)_{n ∈ ℕ}$, mit $z_n = x_n + i · y_n$
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konvergiert genau dann (absolut), wenn die Folge $x_n$ der Realteile und die
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Folge $y_n$ der Imaginärteile jeweils einzeln (absolut) konvergieren. Analoges
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gilt für Reihen $\sum_{n=0}^{∞} z_n$.
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\end{erinnerung}
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\begin{erinnerung}[Stetigkeit]
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Der Begriff der Stetigkeit für Funktionen $f: ℂ → ℂ$ ist der Begriff der
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Stetigkeit für Abbildungen $ℝ² → ℝ²$.
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\end{erinnerung}
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Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion.
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\begin{proposition}[Exponentialreihe]
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Für jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ$ konvergiert die Reihe
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\[
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\sum_{k=0}^{∞} \frac{z^k}{k!}
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\]
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absolut.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Gegeben $z ∈ ℂ$ und $k ∈ ℕ$, so gilt
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\[
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|\operatorname{Re}(z^k)| ≤ |z^k| = |z|^k
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\quad\text{und}\quad
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|\operatorname{Im}(z^k)| ≤ |z^k| = |z|^k.
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\]
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Verwende jetzt dieselbe Argumentation wie bei der Diskussion der
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Exponentialreihe in Analysis I/II. Alternativ: verwende das
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Majorantenkriterium mit Reihe $\sum \frac{1}{k!} |z|^k$..
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\end{proof}
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\begin{notation}[Exponentialfunktion]
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Die Abbildung
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\[
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\exp : ℂ → ℂ, \quad z ↦ \sum_{k=0}^{∞} \frac{z^k}{k!}
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\]
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wird als komplexe Exponentialfunktion\index{Exponentialfunktion} bezeichnet.
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\end{notation}
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\subsection{Die Exponentialfunktion an reellen und rein imaginären Stellen}
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\begin{beobachtung}[Komplexe Exponentialfunktion an reellen Stellen]
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Für reelle Zahlen $z$ stimmt die komplexe Exponentialfunktion mit der reellen
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Exponentialfunktion überein, die wir aus der Vorlesung ``Analysis'' kennen.
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}[Komplexe Exponentialfunktion an rein imaginären Stellen]
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Für reelle Zahlen $α$ gilt
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\begin{align*}
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\exp(i·α) &= \cos α + i·\sin α\\
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|
\exp(-i·α) &= \cos(-α) + i·\sin(-α) = \cos(α) - i·\sin(α) = \overline{\exp(i·α)}
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\end{align*}
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\end{beobachtung}
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\begin{proof}
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Vergleiche die Exponentialreihe $\sum_{k=0}^{∞} \frac{(i·α)^k}{k!} =
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\sum_{k=0}^{∞} \frac{i^k · z^k}{k!}$ mit den bekannten Reihen für Sinus und
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Cosinus. Beachte, dass
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\[
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i^k =
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\begin{cases}
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1 & \text{falls } k \equiv 0 \bmod 4\\
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i & \text{falls } k \equiv 1 \bmod 4\\
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-1 & \text{falls } k \equiv 2 \bmod 4\\
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-i & \text{falls } k \equiv 3 \bmod 4.
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\end{cases}
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\]
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Deshalb ist
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\begin{align*}
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\exp(i α) &= \begin{pmatrix} \frac{1}{0!} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{α}{1!} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-α²}{2!} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-α³}{3!} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{α⁴}{4!} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{α⁵}{5!} \end{pmatrix} + …\\
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&= \begin{pmatrix} \cos α \\ \sin α \end{pmatrix} = (\cos α) + i(\sin α)
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\end{align*}
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ist. Die Aussage für $\exp(-i·α)$ beweist man analog.
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\end{proof}
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\begin{kons}[Betrag und Argument von $\exp (i·α)$]
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Für jede reelle Zahl $α$ gilt
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\[
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|\exp (i·α)| = 1
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\quad\text{und}\quad
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\arg \exp (i·α) = α.
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\]
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\end{kons}
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\begin{kons}[Sinus und Kosinus in Termen der komplexen Exponentialfunktion]
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Für jede reelle Zahl $α$ gilt
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\begin{align}
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\label{eq:1-2-7-1} \cos α &= \frac{1}{2} \left( \exp(iα) + \exp(-iα) \right) \\
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\label{eq:1-2-7-2} \sin α &= \frac{1}{2i} \left( \exp(iα) - \exp(-iα) \right)
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\end{align}
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\end{kons}
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Die rechten Seiten von \eqref{eq:1-2-7-1} und \eqref{eq:1-2-7-2} ergeben nicht
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nur für reelle Zahlen $α$ Sinn, sondern sind für beliebige $α ∈ ℂ$ definiert.
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\begin{definition}[Komplexe Sinus und Cosinus]
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Definiere die komplexe Sinus\index{Sinus} und Cosinus\index{Cosinus}
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Funktionen wie folgt,
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\begin{align*}
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\cos: ℂ → ℂ, &\quad z ↦ \frac{1}{2} \left( \exp(i·z) + \exp(-i·z) \right)\\
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\sin: ℂ → ℂ, &\quad z ↦ \frac{1}{2i} \left( \exp(i·z) - \exp(-i·z) \right).
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\end{align*}
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\end{definition}
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Wie bei der komplexen Exponentialfunktion beachte man, dass der komplexe Sinus
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und Cosinus für reelle Argumente mit den bekannten Funktionen übereinstimmen.
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\subsection{Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion}
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Genau wie in der Vorlesung Analysis rechnet man die folgenden beiden
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Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion nach.
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\begin{fakt}[Exponentialfunktion als Grenzwert]\label{fakt:1-2-10}
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Für jede komplexe Zahl $z$ gilt
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\[
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\exp z = \lim_{n → ∞} \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n.
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\]
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\end{fakt}
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\begin{fakt}[Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion]\label{fakt:1-2-11}
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Für je zwei komplexe Zahlen $z_1$, $z_2$ gilt
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\[
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\exp (z_1 + z_2) = (\exp z_1) + (\exp z_2).
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\]
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\end{fakt}
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\subsection{Die geometrische Bedeutung der Exponentialfunktion}
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Gegeben irgendeine komplexe Zahl $z = x + i·y$, dan ist
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\[
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\exp(z) = \exp(x + i·y) = \exp(x) · \exp(iy) = \exp(x) · (\cos y + i \sin y)
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\]
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Damit ist die geometrische Bedeutung der Exponentialfunktion klar: $\exp(x +
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iy)$ ist die eindeutig bestimmte Zahl mit Betrag $|\exp z| = \exp x > 0$ und
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Argument $\arg (\exp z) = y$.
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\begin{kons}
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Die Exponentialabbildung nimmt nur Werte in $ℂ^*$ an, kann also als Abbildung
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$\exp : ℂ → ℂ^*$ aufgefasst werden. \qed
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\end{kons}
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\begin{kons}[Surjektivität der Exponentialabbildung]\label{kons:1-2-13}%
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Die Exponentialabbildung $\exp : ℂ → ℂ^*$ ist surjektiv.
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\end{kons}
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\begin{proof}
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Sei $z ∈ ℂ^*$ gegeben. Dann ist $\exp((\log |z|) + i·\arg z)$ eine komplexe
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Zahl, deren Betrag und Argument mit $z$ übereinstimmt. Also sind die beiden
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Zahlen gleich.
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\end{proof}
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\begin{kons}\label{kons:1-2-14}%
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Die Exponentialabbildung $\exp : ℂ → ℂ^*$ ist nicht injektiv. Genauer:
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Gegeben $z_1, z_2 ∈ ℂ$, dann sind folgende Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item Es ist $\exp(z_1) = \exp(z_2)$.
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\item Es existiert eine ganze Zahl $n ∈ ℤ$, sodass $z_1 - z_2 = (2π i) · n$
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ist.
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\end{enumerate}
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\end{kons}
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\begin{proof}
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Schreibe $z_1 = x_1 + i·y_1$ und $z_2 = x_2 + i·y_2$. Dann ist
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\begin{align*}
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\exp(z_1) = \exp(z_2) & ⇔ \exp(x_1) · (\cos y_1 + i \sin y_1) = \exp(x_2) · (\cos y_2 + i \sin y_2) \\
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& ⇔ x_1 = x_2 \text{ und } (\cos y_1 + i \sin y_1) = (\cos y_2 + i \sin y_2) \\
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& ⇔ x_1 = x_2 \text{ und } \cos y_1 = \cos y_2 \text{ und } \sin y_1 = \sin y_2 \\
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|
& ⇔ ∃ n ∈ ℤ: z_1 - z_2 = (2π i) · n. \qedhere
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|
\end{align*}
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\end{proof}
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\subsection{Komplexe Logarithmen}
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Konsequenez~\ref{kons:1-2-13} impliziert, dass jede komplexe Zahl $z ∈ ℂ^*$
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einen Logarithmus hat, also eine Zahl $w$ mit $\exp(w) = z$. Aber: Genau wie
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bei der Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion
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\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion]
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Es sei $\log : ℂ^* → ℂ$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ℂ^*$ gilt: $\exp
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\log z = z$. Dann ist die Abbildung $\log$ nicht stetig.
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Hausaufgabe! Haben Sie den Beweis von Konsequenz~\ref{kons:1-2-13} wirklich
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verstanden?
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\end{proof}
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\begin{notation}[Hauptzweig des Logarithmus]
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Die unstetige Funktion
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\[
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\log: ℂ^* → ℂ, \quad z ↦ \begin{pmatrix} \ln |z| \\ \arg z \end{pmatrix}
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\]
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wird in der Literatur also ``Hauptzweig des Logarithmus''\index{Hauptzweig des
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Logarithmus} bezeichnet.
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\end{notation}
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\subsection{Die Exponentialfunktion als Gruppenmorphismus}
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Wenn ich beachte, dass $\exp(0) = 1$ ist, dann kann ich die
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Fakten~\ref{fakt:1-2-10} und \ref{fakt:1-2-10} auch anders ausdrücken: Die
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Exponentialabbildung $\exp: ℂ → ℂ^*$ ist ein Gruppenmorphismus zwischen der
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additiven Gruppe $(ℂ, +)$ und der multiplikativen Gruppe $(ℂ^*, ·)$.
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Konsequenz~\ref{kons:1-2-13} sagt, dass dieser Gruppenmorphismus surjektiv ist.
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Also ist $(ℂ^*, ·)$ isomorph zur Quotientengruppe,
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\[
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ℂ^* ≅ \factor{ℂ}{\ker \exp}.
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\]
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Konsequenz~\ref{kons:1-2-14} sagt, was der Kern des Gruppenmorphismus ist,
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\[
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\ker \exp = (2π i) · ℤ ⊂ ℂ.
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||||||
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\]
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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167
02-diffbarkeit.tex
Normal file
167
02-diffbarkeit.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,167 @@
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% spell checker language
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\selectlanguage{german}
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\chapter{Differenzierbarkeit}
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\section{Holomorphe Funktionen}
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Wir definieren in wenigen Zeilen, komplexe Differenzierbarkeit von Funktionen
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$ℂ → ℂ$. Vorher erinnern wir kurz an die relevanten Begriffe aus den
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Analysis-Vorlesungen.
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\begin{definition}[Reelle Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-1}
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Es sei $U ⊂ ℝ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℝ$ ist
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bei $p$ differenzierbar mit Ableitung $δ ∈ ℝ$, wenn
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\[
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||||||
|
\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ
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\]
|
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|
ist.
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||||||
|
\end{definition}
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\begin{bemerkung}
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Reell differenzierbare Funktionen sind stetig. Es gelten die Summenregel,
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Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, …
|
||||||
|
\end{bemerkung}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{definition}[Komplexe Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-3}
|
||||||
|
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℂ$ ist
|
||||||
|
bei $p$ komplex differenzierbar\index{komplex differenzierbar} mit Ableitung
|
||||||
|
$δ ∈ ℂ$, wenn
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
ist.
|
||||||
|
\end{definition}
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\begin{bemerkung}
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Genau wie in der Vorlesung „Analysis“ beweist man: komplex differenzierbare
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Funktionen sind stetig. Es gelten die Summenregel, Produktregel,
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Quotientenregel, Kettenregel, …
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\end{bemerkung}
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\begin{definition}[Holomorphie an einem Punkt]
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℂ$ heißt
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„holomorph\index{holomorph} bei $p$“, wenn es eine offene Umgebung $p ∈ V ⊂ U$
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gibt, sodass $f$ bei jedem Punkt aus $V$ komplex differenzierbar ist. Die
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Menge der Funktionen, die bei $p$ holomorph sind, wird mit $𝒪_p$ bezeichnet.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Holomorphie auf einer offenen Menge]
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → ℂ$ heißt „holomorph
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auf $U$“, wenn $f$ bei jedem Punkt aus $U$ komplex differenzierbar ist. In
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diesem Fall wird die Ableitungsfunktion mit $f' : U → ℂ$ bezeichnet. Die
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Menge der Funktionen, die auf $U$ holomorph sind, wird mit $𝒪(U)$
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bezeichnet.
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\end{definition}
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\section{Komplex Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit}
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Definitionen~\ref{def:2-1-1} und \ref{def:2-1-3} sehen völlig gleich aus. Das
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wirft die Frage auf: Ist komplexe Differenzierbarkeit wirklich ein neuer
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Begriff? Gibt es einen Unterschied zum Begriff der Differenzierbarkeit von
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Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis“ kennen?
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\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]
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Es sei $U ⊂ ℝ²$ offen und $p ∈ U$. Eine Abbildung $f: U → ℝ²$ heißt bei $p$
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differenzierbar mit Ableitungsmatrix $A ∈ \text{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$, wenn
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\[
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\lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0.
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\]
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Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℝ²$ ist
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\[
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\lim_{n → ∞} \frac{|f(p+h_n) - f(p) - A · h_n|}{|h_n|} = 0.
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\]
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Falls $f$ bei $p$ differenzierbar ist, dann wissen wir auch genau, wie die
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Ableitungsmatrix $A$ aussieht. Dazu schreiben wir die Funktion $f$ zuerst in
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Komponenten,
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\[
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f(x,y) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix}.
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\]
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Dann ist $A$ die Matrix der partiellen Ableitungen,
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\[
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A = \begin{pmatrix} \frac{∂}{∂ x}f_1(p) & \frac{∂}{∂ y} f_1(p) \\ \frac{∂}{∂ x} f_2(p) & \frac{∂}{∂ y} f_2(p) \end{pmatrix}.
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\]
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\end{erinnerung}
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\subsubsection{Proberechnungen}
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Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen,
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machen wir in diesem Abschnitt eine große Proberechnung. Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
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und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit
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Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$. Es gilt also
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\[
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\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ = d_1 + i · d_2.
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\]
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Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist
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\begin{equation}\label{eq:2-2-1-1}
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\lim_{n → ∞} \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n} = δ = d_1 + i · d_2.
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\end{equation}
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Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in
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Komponenten,
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\[
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p = p_1 + i·p_2
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\quad\text{und}\quad
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f(x + iy) = f_1(x,y) + i · f_2(x,y).
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\]
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\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge}
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Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir also
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zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist. Dann ist
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\begin{align*}
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d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\
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& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
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||||||
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& = \frac{∂}{∂ x}f_1(p_1, p_2) + i \frac{∂}{∂ x} f_2(p_1, p_2).
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\end{align*}
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Wir sehen:
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\begin{equation}\label{eq:2-2-1-2}
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\frac{∂}{∂ x} f_1(p) = d_1
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\quad\text{und}\quad
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\frac{∂}{∂ x} f_2(p) = d_2.
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\end{equation}
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\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge}
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Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir also
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als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen
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ist. Dann ist
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\begin{align*}
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d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\
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& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\
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||||||
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& = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
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||||||
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& = -i·\left(\frac{∂}{∂ y}f_1(p_1, p_2) + i \frac{∂}{∂ y} f_2(p_1, p_2)\right) \\
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& = \frac{∂}{∂ y} f_2(p_1, p_2)-i·\frac{∂}{∂ y}f_1(p_1, p_2).
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\end{align*}
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Wir sehen:
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\begin{equation}\label{eq:2-2-1-3}
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\frac{∂}{∂ y} f_2(p) = d_1
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\quad\text{und}\quad
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\frac{∂}{∂ y} f_1(p) = -d_2.
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\end{equation}
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Wir beenden die Proberechnungen hier. Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
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\begin{prop}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex
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differenzierbar. Schreibe $f$ in Komponenten, $f$ in Komponenten, $f = f_1 +
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i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann ist
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\begin{equation}\label{eq:2-2-2-1}
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\frac{∂}{∂ x} f_1(p) = \frac{∂}{∂ y} f_2(p)
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\quad\text{und}\quad
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\frac{∂}{∂ y} f_1(p) = -\frac{∂}{∂ x} f_2(p).
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\end{equation}
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Vergleiche~\eqref{eq:2-2-1-2} und \eqref{eq:2-2-1-3}.
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\end{proof}
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\begin{notation}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
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Man nennt das Gleichungssystem~\eqref{eq:2-2-2-1} die „Cauchy-Riemann
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partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
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\end{notation}
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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@@ -132,7 +132,8 @@ Link in den Text ein.
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%
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%
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\part{Platzhalter}
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\part{Platzhalter}
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\input{01-Wiederholung}
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\input{01-komplexeZahlen}
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\input{02-diffbarkeit}
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\addchap{Lizenz}
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\addchap{Lizenz}
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Binary file not shown.
Reference in New Issue
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