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Multiplikationsabbildung Multiplikationsabbildung
Majorantenkriterium
Summenregel

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\section{Konstruktion, Notation und elementare Eigenschaften} \section{Konstruktion, Notation und elementare Eigenschaften}
\sideremark{Vorlesung 1} \sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung „Analysis I“ haben Sie Funktionen $f :
$ diskutiert. In der Vorlesung „Funktionentheorie“ diskutieren wir
In der Vorlesung „Analysis I“ haben Sie Funktionen $f : $ diskutiert. In Funktionen $f : $. Damit alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich in
der Vorlesung „Funktionentheorie“ diskutieren wir Funktionen $f : $. Damit aller Kürze die wesentlichen Begriffe zu den komplexen Zahlen.
alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich in aller Kürze die wesentlichen
Begriffe zu den komplexen Zahlen.
\begin{konstruktion}[Konstruktion der komplexen Zahlen] \begin{konstruktion}[Konstruktion der komplexen Zahlen]
Wir definieren auf der reellen Ebene $ℝ²$ zwei Abbildungen (oder: Wir definieren auf der reellen Ebene $ℝ²$ zwei Abbildungen (oder:
@@ -219,9 +217,9 @@ Quadratwurzel besitzt.
\end{kons} \end{kons}
\begin{proof} \begin{proof}
Gegeben eine Zahl $z ∈ $. Falls $z = 0$ ist, dann ist $w := 0$ eine Gegeben eine Zahl $z ∈ $. Falls $z = 0$ ist, dann ist $w := 0$ eine
Quadratwurzel von $z$. Ansonsten sei $λ := |z|$ und $α := \arg z$. Weiter sei Quadratwurzel von $z$. Ansonsten sei $λ := |z|$ und $α := \arg z$. Weiter
$w ∈ ^*$ die Zahl mit Betrag $\sqrt{λ}$ und Argument $α/2$. Mit dieser Wahl sei $w ∈ ^*$ die Zahl mit Betrag $\sqrt{λ}$ und Argument $α/2$. Mit dieser
ist $= z$, die Zahl $w$ ist also eine Quadratwurzel von $z$. Wahl ist $= z$, die Zahl $w$ ist also eine Quadratwurzel von $z$.
\end{proof} \end{proof}
Quadratwurzeln sind natürlich nicht eindeutig, denn wenn $w$ eine Quadratwurzel Quadratwurzeln sind natürlich nicht eindeutig, denn wenn $w$ eine Quadratwurzel
@@ -237,7 +235,7 @@ Aber Achtung! Obwohl jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel besitzt, gibt es
keine stetige Wurzelfunktion! Das folgende Lemma zeigt, dass es nicht einmal keine stetige Wurzelfunktion! Das folgende Lemma zeigt, dass es nicht einmal
auf der Teilmenge $^*$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann. auf der Teilmenge $^*$ eine stetige Wurzelfunktion geben kann.
\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Wurzelfunktion] \begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Wurzelfunktion]\label{lem:1-1-23}%
Es sei $w: ^*^*$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ^*$ gilt: $w(z)² = Es sei $w: ^*^*$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ^*$ gilt: $w(z)² =
z$. Dann ist die Abbildung $w$ nicht stetig. z$. Dann ist die Abbildung $w$ nicht stetig.
\end{lem} \end{lem}
@@ -260,5 +258,228 @@ auf der Teilmenge $^* ⊂ $ eine stetige Wurzelfunktion geben kann.
\end{proof} \end{proof}
\section{Die Exponentialfunktion}
\sideremark{Vorlesung 2}In der Vorlesung ``Analysis'' wurden Folgen und
Grenzwerte in $ = ℝ²$ ausführlich betrachtet.
\begin{erinnerung}[Konvergenz von Folgen und Reihen]
Eine Folge von komplexen Zahlen, $(z_n)_{n ∈ }$, mit $z_n = x_n + i · y_n$
konvergiert genau dann (absolut), wenn die Folge $x_n$ der Realteile und die
Folge $y_n$ der Imaginärteile jeweils einzeln (absolut) konvergieren. Analoges
gilt für Reihen $\sum_{n=0}^{} z_n$.
\end{erinnerung}
\begin{erinnerung}[Stetigkeit]
Der Begriff der Stetigkeit für Funktionen $f: $ ist der Begriff der
Stetigkeit für Abbildungen $ℝ² → ℝ²$.
\end{erinnerung}
Das wichtigste Beispiel für Reihen war die Exponentialfunktion.
\begin{proposition}[Exponentialreihe]
Für jede komplexe Zahl $z ∈ $ konvergiert die Reihe
\[
\sum_{k=0}^{} \frac{z^k}{k!}
\]
absolut.
\end{proposition}
\begin{proof}
Gegeben $z ∈ $ und $k ∈ $, so gilt
\[
|\operatorname{Re}(z^k)| ≤ |z^k| = |z|^k
\quad\text{und}\quad
|\operatorname{Im}(z^k)| ≤ |z^k| = |z|^k.
\]
Verwende jetzt dieselbe Argumentation wie bei der Diskussion der
Exponentialreihe in Analysis I/II. Alternativ: verwende das
Majorantenkriterium mit Reihe $\sum \frac{1}{k!} |z|^k$..
\end{proof}
\begin{notation}[Exponentialfunktion]
Die Abbildung
\[
\exp : , \quad z ↦ \sum_{k=0}^{} \frac{z^k}{k!}
\]
wird als komplexe Exponentialfunktion\index{Exponentialfunktion} bezeichnet.
\end{notation}
\subsection{Die Exponentialfunktion an reellen und rein imaginären Stellen}
\begin{beobachtung}[Komplexe Exponentialfunktion an reellen Stellen]
Für reelle Zahlen $z$ stimmt die komplexe Exponentialfunktion mit der reellen
Exponentialfunktion überein, die wir aus der Vorlesung ``Analysis'' kennen.
\end{beobachtung}
\begin{beobachtung}[Komplexe Exponentialfunktion an rein imaginären Stellen]
Für reelle Zahlen $α$ gilt
\begin{align*}
\exp(i·α) &= \cos α + i·\sin α\\
\exp(-i·α) &= \cos(-α) + i·\sin(-α) = \cos(α) - i·\sin(α) = \overline{\exp(i·α)}
\end{align*}
\end{beobachtung}
\begin{proof}
Vergleiche die Exponentialreihe $\sum_{k=0}^{} \frac{(α)^k}{k!} =
\sum_{k=0}^{} \frac{i^k · z^k}{k!}$ mit den bekannten Reihen für Sinus und
Cosinus. Beachte, dass
\[
i^k =
\begin{cases}
1 & \text{falls } k \equiv 0 \bmod 4\\
i & \text{falls } k \equiv 1 \bmod 4\\
-1 & \text{falls } k \equiv 2 \bmod 4\\
-i & \text{falls } k \equiv 3 \bmod 4.
\end{cases}
\]
Deshalb ist
\begin{align*}
\exp(i α) &= \begin{pmatrix} \frac{1}{0!} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{α}{1!} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-α²}{2!} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-α³}{3!} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{α⁴}{4!} \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{α⁵}{5!} \end{pmatrix} + …\\
&= \begin{pmatrix} \cos α \\ \sin α \end{pmatrix} = (\cos α) + i(\sin α)
\end{align*}
ist. Die Aussage für $\exp(-α)$ beweist man analog.
\end{proof}
\begin{kons}[Betrag und Argument von $\exp (α)$]
Für jede reelle Zahl $α$ gilt
\[
|\exp (i·α)| = 1
\quad\text{und}\quad
\arg \exp (i·α) = α.
\]
\end{kons}
\begin{kons}[Sinus und Kosinus in Termen der komplexen Exponentialfunktion]
Für jede reelle Zahl $α$ gilt
\begin{align}
\label{eq:1-2-7-1} \cos α &= \frac{1}{2} \left( \exp(iα) + \exp(-iα) \right) \\
\label{eq:1-2-7-2} \sin α &= \frac{1}{2i} \left( \exp(iα) - \exp(-iα) \right)
\end{align}
\end{kons}
Die rechten Seiten von \eqref{eq:1-2-7-1} und \eqref{eq:1-2-7-2} ergeben nicht
nur für reelle Zahlen $α$ Sinn, sondern sind für beliebige $α$ definiert.
\begin{definition}[Komplexe Sinus und Cosinus]
Definiere die komplexe Sinus\index{Sinus} und Cosinus\index{Cosinus}
Funktionen wie folgt,
\begin{align*}
\cos: , &\quad z ↦ \frac{1}{2} \left( \exp(i·z) + \exp(-i·z) \right)\\
\sin: , &\quad z ↦ \frac{1}{2i} \left( \exp(i·z) - \exp(-i·z) \right).
\end{align*}
\end{definition}
Wie bei der komplexen Exponentialfunktion beachte man, dass der komplexe Sinus
und Cosinus für reelle Argumente mit den bekannten Funktionen übereinstimmen.
\subsection{Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion}
Genau wie in der Vorlesung Analysis rechnet man die folgenden beiden
Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion nach.
\begin{fakt}[Exponentialfunktion als Grenzwert]\label{fakt:1-2-10}
Für jede komplexe Zahl $z$ gilt
\[
\exp z = \lim_{n → ∞} \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n.
\]
\end{fakt}
\begin{fakt}[Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion]\label{fakt:1-2-11}
Für je zwei komplexe Zahlen $z_1$, $z_2$ gilt
\[
\exp (z_1 + z_2) = (\exp z_1) + (\exp z_2).
\]
\end{fakt}
\subsection{Die geometrische Bedeutung der Exponentialfunktion}
Gegeben irgendeine komplexe Zahl $z = x + i·y$, dan ist
\[
\exp(z) = \exp(x + i·y) = \exp(x) · \exp(iy) = \exp(x) · (\cos y + i \sin y)
\]
Damit ist die geometrische Bedeutung der Exponentialfunktion klar: $\exp(x +
iy)$ ist die eindeutig bestimmte Zahl mit Betrag $|\exp z| = \exp x > 0$ und
Argument $\arg (\exp z) = y$.
\begin{kons}
Die Exponentialabbildung nimmt nur Werte in $^*$ an, kann also als Abbildung
$\exp : ^*$ aufgefasst werden. \qed
\end{kons}
\begin{kons}[Surjektivität der Exponentialabbildung]\label{kons:1-2-13}%
Die Exponentialabbildung $\exp : ^*$ ist surjektiv.
\end{kons}
\begin{proof}
Sei $z ∈ ^*$ gegeben. Dann ist $\exp((\log |z|) +\arg z)$ eine komplexe
Zahl, deren Betrag und Argument mit $z$ übereinstimmt. Also sind die beiden
Zahlen gleich.
\end{proof}
\begin{kons}\label{kons:1-2-14}%
Die Exponentialabbildung $\exp : ^*$ ist nicht injektiv. Genauer:
Gegeben $z_1, z_2$, dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
\item Es ist $\exp(z_1) = \exp(z_2)$.
\item Es existiert eine ganze Zahl $n ∈ $, sodass $z_1 - z_2 = (2π i) · n$
ist.
\end{enumerate}
\end{kons}
\begin{proof}
Schreibe $z_1 = x_1 + i·y_1$ und $z_2 = x_2 + i·y_2$. Dann ist
\begin{align*}
\exp(z_1) = \exp(z_2) &\exp(x_1) · (\cos y_1 + i \sin y_1) = \exp(x_2) · (\cos y_2 + i \sin y_2) \\
& ⇔ x_1 = x_2 \text{ und } (\cos y_1 + i \sin y_1) = (\cos y_2 + i \sin y_2) \\
& ⇔ x_1 = x_2 \text{ und } \cos y_1 = \cos y_2 \text{ und } \sin y_1 = \sin y_2 \\
& ⇔ ∃ n ∈ : z_1 - z_2 = (2π i) · n. \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\subsection{Komplexe Logarithmen}
Konsequenez~\ref{kons:1-2-13} impliziert, dass jede komplexe Zahl $z ∈ ^*$
einen Logarithmus hat, also eine Zahl $w$ mit $\exp(w) = z$. Aber: Genau wie
bei der Quadratwurzel gibt es keine stetige Logarithmusfunktion
\begin{lem}[Nichtexistenz einer stetigen Logarithmusfunktion]
Es sei $\log : ^*$ eine Funktion, sodass für alle $z ∈ ^*$ gilt: $\exp
\log z = z$. Dann ist die Abbildung $\log$ nicht stetig.
\end{lem}
\begin{proof}
Hausaufgabe! Haben Sie den Beweis von Konsequenz~\ref{kons:1-2-13} wirklich
verstanden?
\end{proof}
\begin{notation}[Hauptzweig des Logarithmus]
Die unstetige Funktion
\[
\log: ^* → , \quad z ↦ \begin{pmatrix} \ln |z| \\ \arg z \end{pmatrix}
\]
wird in der Literatur also ``Hauptzweig des Logarithmus''\index{Hauptzweig des
Logarithmus} bezeichnet.
\end{notation}
\subsection{Die Exponentialfunktion als Gruppenmorphismus}
Wenn ich beachte, dass $\exp(0) = 1$ ist, dann kann ich die
Fakten~\ref{fakt:1-2-10} und \ref{fakt:1-2-10} auch anders ausdrücken: Die
Exponentialabbildung $\exp: ^*$ ist ein Gruppenmorphismus zwischen der
additiven Gruppe $(, +)$ und der multiplikativen Gruppe $(^*, ·)$.
Konsequenz~\ref{kons:1-2-13} sagt, dass dieser Gruppenmorphismus surjektiv ist.
Also ist $(^*, ·)$ isomorph zur Quotientengruppe,
\[
^* ≅ \factor{}{\ker \exp}.
\]
Konsequenz~\ref{kons:1-2-14} sagt, was der Kern des Gruppenmorphismus ist,
\[
\ker \exp = (2π i) · .
\]
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167
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@@ -0,0 +1,167 @@
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\selectlanguage{german}
\chapter{Differenzierbarkeit}
\section{Holomorphe Funktionen}
Wir definieren in wenigen Zeilen, komplexe Differenzierbarkeit von Funktionen
$$. Vorher erinnern wir kurz an die relevanten Begriffe aus den
Analysis-Vorlesungen.
\begin{definition}[Reelle Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-1}
Es sei $U ⊂ $ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → $ ist
bei $p$ differenzierbar mit Ableitung $δ ∈ $, wenn
\[
\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ
\]
ist.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Reell differenzierbare Funktionen sind stetig. Es gelten die Summenregel,
Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, …
\end{bemerkung}
\begin{definition}[Komplexe Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-3}
Es sei $U ⊂ $ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → $ ist
bei $p$ komplex differenzierbar\index{komplex differenzierbar} mit Ableitung
$δ ∈ $, wenn
\[
\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ
\]
ist.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Genau wie in der Vorlesung „Analysis“ beweist man: komplex differenzierbare
Funktionen sind stetig. Es gelten die Summenregel, Produktregel,
Quotientenregel, Kettenregel, …
\end{bemerkung}
\begin{definition}[Holomorphie an einem Punkt]
Es sei $U ⊂ $ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → $ heißt
„holomorph\index{holomorph} bei $p$“, wenn es eine offene Umgebung $p ∈ V ⊂ U$
gibt, sodass $f$ bei jedem Punkt aus $V$ komplex differenzierbar ist. Die
Menge der Funktionen, die bei $p$ holomorph sind, wird mit $𝒪_p$ bezeichnet.
\end{definition}
\begin{definition}[Holomorphie auf einer offenen Menge]
Es sei $U ⊂ $ offen und $p ∈ U$. Eine Funktion $f: U → $ heißt „holomorph
auf $U$“, wenn $f$ bei jedem Punkt aus $U$ komplex differenzierbar ist. In
diesem Fall wird die Ableitungsfunktion mit $f' : U → $ bezeichnet. Die
Menge der Funktionen, die auf $U$ holomorph sind, wird mit $𝒪(U)$
bezeichnet.
\end{definition}
\section{Komplex Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit}
Definitionen~\ref{def:2-1-1} und \ref{def:2-1-3} sehen völlig gleich aus. Das
wirft die Frage auf: Ist komplexe Differenzierbarkeit wirklich ein neuer
Begriff? Gibt es einen Unterschied zum Begriff der Differenzierbarkeit von
Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis“ kennen?
\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]
Es sei $U ⊂ ℝ²$ offen und $p ∈ U$. Eine Abbildung $f: U → ℝ²$ heißt bei $p$
differenzierbar mit Ableitungsmatrix $A ∈ \text{Mat}(2 2, )$, wenn
\[
\lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0.
\]
Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℝ²$ ist
\[
\lim_{n → ∞} \frac{|f(p+h_n) - f(p) - A · h_n|}{|h_n|} = 0.
\]
Falls $f$ bei $p$ differenzierbar ist, dann wissen wir auch genau, wie die
Ableitungsmatrix $A$ aussieht. Dazu schreiben wir die Funktion $f$ zuerst in
Komponenten,
\[
f(x,y) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix}.
\]
Dann ist $A$ die Matrix der partiellen Ableitungen,
\[
A = \begin{pmatrix} \frac{}{∂ x}f_1(p) & \frac{}{∂ y} f_1(p) \\ \frac{}{∂ x} f_2(p) & \frac{}{∂ y} f_2(p) \end{pmatrix}.
\]
\end{erinnerung}
\subsubsection{Proberechnungen}
Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen,
machen wir in diesem Abschnitt eine große Proberechnung. Es sei $U ⊂ $ offen
und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → $ bei $p$ komplex differenzierbar mit
Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$. Es gilt also
\[
\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ = d_1 + i · d_2.
\]
Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $$ ist
\begin{equation}\label{eq:2-2-1-1}
\lim_{n → ∞} \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n} = δ = d_1 + i · d_2.
\end{equation}
Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in
Komponenten,
\[
p = p_1 + i·p_2
\quad\text{und}\quad
f(x + iy) = f_1(x,y) + i · f_2(x,y).
\]
\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge}
Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir also
zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist. Dann ist
\begin{align*}
d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\
& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
& = \frac{}{∂ x}f_1(p_1, p_2) + i \frac{}{∂ x} f_2(p_1, p_2).
\end{align*}
Wir sehen:
\begin{equation}\label{eq:2-2-1-2}
\frac{}{∂ x} f_1(p) = d_1
\quad\text{und}\quad
\frac{}{∂ x} f_2(p) = d_2.
\end{equation}
\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge}
Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir also
als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen
ist. Dann ist
\begin{align*}
d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\
& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\
& = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
& = -i·\left(\frac{}{∂ y}f_1(p_1, p_2) + i \frac{}{∂ y} f_2(p_1, p_2)\right) \\
& = \frac{}{∂ y} f_2(p_1, p_2)-i·\frac{}{∂ y}f_1(p_1, p_2).
\end{align*}
Wir sehen:
\begin{equation}\label{eq:2-2-1-3}
\frac{}{∂ y} f_2(p) = d_1
\quad\text{und}\quad
\frac{}{∂ y} f_1(p) = -d_2.
\end{equation}
Wir beenden die Proberechnungen hier. Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
\begin{prop}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
Es sei $U ⊂ $ offen und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → $ bei $p$ komplex
differenzierbar. Schreibe $f$ in Komponenten, $f$ in Komponenten, $f = f_1 +
i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → $. Dann ist
\begin{equation}\label{eq:2-2-2-1}
\frac{}{∂ x} f_1(p) = \frac{}{∂ y} f_2(p)
\quad\text{und}\quad
\frac{}{∂ y} f_1(p) = -\frac{}{∂ x} f_2(p).
\end{equation}
\end{prop}
\begin{proof}
Vergleiche~\eqref{eq:2-2-1-2} und \eqref{eq:2-2-1-3}.
\end{proof}
\begin{notation}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
Man nennt das Gleichungssystem~\eqref{eq:2-2-2-1} die „Cauchy-Riemann
partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
\end{notation}
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