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@@ -36,3 +36,4 @@ Lebesgue
 Beauvais
 Maximumsprinzips
 Saint-Omer
+Holomorphie

03-wegintegraleDiffbar.tex

@@ -720,7 +720,7 @@ einer Viertelungsargumentation basiert.
   Das ist Ungleichung~\eqref{eq:3-4-6-2}, die zu zeigen war.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe I]\label{kor:3-4-7}%
+\begin{kor}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe II]\label{kor:3-4-7}%
   Es sei $U = \{z ∈ ℂ \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U → ℂ$
   holomorph.  Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.  \qed
 \end{kor}

05-cauchy.tex

@@ -227,7 +227,7 @@ Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.
   \end{align*}
   Betrachte die Funktion unter dem Integral:
   \[
-    \varphi: B_r(z_0) ⨯ [0, 2π] \to ℂ, \quad (w, t) ↦ \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· r · i · \exp(it)}{z_0 + r · \exp(it) - w}.
+    \varphi: B_r(z_0) ⨯ [0, 2π] → ℂ, \quad (w, t) ↦ \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· r · i · \exp(it)}{z_0 + r · \exp(it) - w}.
   \]
   Die Funktion $\varphi$ ist stetig.  Zusätzlich gilt für jedes $t ∈ [0, 2π]$,
   dass die Funktion $\varphi(·, t): B_r(z_0) → ℂ$ holomorph ist.  Damit folgt
@@ -245,7 +245,7 @@ Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.
 
   Betrachte die Funktion unter dem Integral:
   \[
-    \varphi': B_r(z_0) ⨯ [0, 2π] \to ℂ, \quad (w, t) ↦ \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· r · i · \exp(it)}{(z_0 + r · \exp(it) - w)²}.
+    \varphi': B_r(z_0) ⨯ [0, 2π] → ℂ, \quad (w, t) ↦ \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· r · i · \exp(it)}{(z_0 + r · \exp(it) - w)²}.
   \]
   Die Funktion $\varphi'$ ist stetig.  Zusätzlich gilt für jedes $t ∈ [0, 2π]$,
   dass die Funktion $\varphi'(·, t): B_r(z_0) → ℂ$ holomorph ist.  Damit folgt
@@ -280,4 +280,125 @@ Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.
   $f'(z) = 0$ ist.  Nach Konsequenz~\ref{kons:3-2-11} ist $f$ damit konstant.
 \end{proof}
 
+\sideremark{Vorlesung 9}
+
+\begin{kor}[Fundamentalsatz der Algebra]\label{kor:5-2-5}%
+  \index{Fundamentalsatz der Algebra}Es sei $f ∈ 𝒪(ℂ)$ ein Polynom ohne
+  Nullstelle.  Dann ist $f$ konstant.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Wir werden gleich zeigen: $|f|$ ist nach unten beschränkt.  Genauer: Es
+  existiert eine Zahl $m ∈ ℝ⁺$, sodass für jedes $z ∈ ℂ$ die Ungleichung $m <
+  |f(z)|$ gilt.  Dann ist $1/f ∈ 𝒪(ℂ)$ beschränkt und holomorph, also nach
+  Korollar~\ref{kor:4-4-3} („Satz von Liouville“) konstant.  Also ist $f$
+  konstant.  Um die Beschränktheit zu zeigen, schreibe das Polynom $f$ zunächst
+  aus,
+  \[
+    f = \sum_{i=0}^n a_i · zⁱ, \quad \text{mit Leitkoeffizient } a_n ≠ 0.
+  \]
+  Wähle eine Zahl $0 < ε ≪ |a_n|$ und beobachte, dass ein Radius $r ∈ ℝ⁺$
+  existiert, sodass für jedes $z ∈ ℂ ∖ B_r(0)$ die Ungleichung
+  \[
+    \left| \frac{a_{n-1}}{z} + ⋯ + \frac{a_0}{z^n} \right| < ε
+  \]
+  gilt.  Nach der Dreiecksungleichung gilt dann für jedes $z ∈ ℂ ∖ B_r(0)$
+  \[
+    \left| f(z)/z^n \right| = \left| a_n + \frac{a_{n-1}}{z} + ⋯ + \frac{a_0}{z^n} \right|
+    > |a_n| - ε
+  \]
+  und somit
+  \[
+    |f(z)| > |z|^n · (|a_n| - ε) > r^n · (|a_n| - ε).
+  \]
+  Also gilt für jedes $z ∈ ℂ$ die Ungleichung
+  \[
+    |f(z)| > \min \left\{ r^n (|a_n| - ε), \min_{\substack{z ∈ \overline{B}_r(0)}} |f(z)| \right\}.
+  \]
+  Beachte dazu, dass die stetige Funktion $|f|$ auf der kompakten Menge
+  $\overline{B}_r(0)$ ein Minimum annimmt.  Die rechte Seite der Ungleichung ist
+  daher positiv.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Charakterisierung holomorpher Funktionen]\label{kor:5-2-6}%
+  Sei $U ⊆ ℂ$ offen und $f : U → ℂ$ sei stetig.  Dann sind die folgenden
+  Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:5-2-8-1} Die Funktion $f$ ist holomorph.
+    \item\label{il:5-2-8-2} Für jedes achsenparallele Rechteck $\mathcal{R} ⊂ U$
+      verschwindet das Randintegral,
+      \[
+        \int_{∂ \mathcal{R}} f(z)\, dz = 0.
+      \]
+  \end{enumerate}
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Die Richtung \ref{il:5-2-8-1} $⇒$ \ref{il:5-2-8-2} ist
+  Korollar~\ref{kor:4-3-2} („Integralsatz von Cauchy“) denn der Weg rund um das
+  Rechteck $\mathcal{R}$ ist in $U$ zusammenziehbar.
+
+  Um Richtung \ref{il:5-2-8-2} $⇒$ \ref{il:5-2-8-1} zu zeigen, erinnern wir uns,
+  dass Holomorphie ist eine lokale Eigenschaft ist.  Wir können die Menge $U$
+  mit Kreisscheiben $\{Δ_i\}_{i ∈ I}$ überdecken und für jedes $i ∈ I$ zeigen,
+  dass $f|_{Δ_i} : Δ_i → ℂ$ holomorph ist.  Also dürfen wir ohne Einschränkung
+  annehmen, dass $U$ eine Kreisscheibe ist.  Nach Korollar~\ref{kor:3-4-7}
+  („Stammfunktionen auf der Kreisscheibe II“) hat $f$ eine Stammfunktion, also
+  eine Funktion $F ∈ 𝒪(U)$ mit $F' = f$.  Wir wissen nach Satz~\ref{satz:4-4-2}
+  („Satz von Goursat“), dass $F$ nicht nur ein mal, sondern unendlich oft
+  komplex differenzierbar ist.  Also ist $f = F' ∈ 𝒪(U)$.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Hebbarkeitssatz]\label{kor:5-2-7}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $L ⊂ ℂ$ eine Gerade (nicht unbedingt durch den
+  Ursprung).  Falls $f : U → ℂ$ stetig und $f|_{U ∖ L} ∈ 𝒪(U ∖ L)$ ist, dann
+  ist $f ∈ 𝒪(U)$.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Nach Drehung (= Multiplikation mit einer Zahl der Form $e^{iα}$ aus $ℂ^*$) und
+  Verschieben (= Addition mit Zahl komplexen) können wir ohne Beschränkung der
+  Allgemeinheit annehmen, dass die Gerade $L$ die reelle Achse ist.  Um zu
+  zeigen, dass $f$ holomorph ist, betrachten wir achsenparallele Rechtecke
+  $\mathcal{R} ⊂ U$.  Wenn $\mathcal{R}$ ganz in $U ∖ L$ liegt, ist
+  \[
+    \int_{∂ \mathcal{R}} f(z)\, dz = 0.
+  \]
+  Wenn $\mathcal{R}$ die Gerade $L$ schneidet, zerlege $\mathcal{R}$ in zwei
+  Rechtecke.
+  \begin{center}
+  \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+    \draw[thick] (-2,0) -- (4,0) node[right] {$L$};
+    \draw[thick] (0,-1) rectangle (3,2);
+    \draw[dashed] (0,0) -- (3,0);
+    \node at (1.5,1) {$\mathcal{R}_1$};
+    \node at (1.5,-0.5) {$\mathcal{R}_2$};
+  \end{tikzpicture}
+  \end{center}
+  Es genügt, das Rechteck $\mathcal{R}_1$ zu betrachten.  Gegeben eine Zahl $ε >
+  0$, so zerlegen wir $\mathcal{R}_1$ weiter.
+  \begin{center}
+  \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+    \draw[thick] (0,0) rectangle (3,2);
+    \draw[dashed] (0,0.3) -- (3,0.3);
+    \draw[thick] (-1,0) -- (4,0) node[right] {$L$};
+    \node at (1.5,1.15) {$\mathcal{R}'_{ε}$};
+    \node at (1.5,0.15) {$\mathcal{R}''_{ε}$};
+  \end{tikzpicture}
+  \end{center}
+  Dann ist
+  \[
+    \int_{∂ \mathcal{R}_1} f(z)\, dz
+    = \underbrace{\int_{∂ \mathcal{R}'_{ε}} f(z)\, dz}_{= 0 \text{ weil } \mathcal{R}'_{ε} ⊂ U ∖ L} + \int_{∂ \mathcal{R}''_{ε}} f(z)\, dz.
+  \]
+  Beachte, dass der zweite Summand für $ε → 0$ gegen $0$ konvergiert, weil $f$
+  stetig ist.  Also ist $\int_{∂ \mathcal{R}_1} f(z)\, dz = 0$, und analog ist
+  $\int_{∂ \mathcal{R}} f(z)\, dz = 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Variante]\label{kor:5-2-8}%
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $L_1, … L_n$ seien endlich viele Geraden.  Falls $f : U
+  → ℂ$ stetig ist und $f ∈ 𝒪(U ∖ (L_1 ∪ ⋯ ∪ L_n))$, dann ist $f ∈ 𝒪(U)$.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Entferne eine Gerade nach der anderen und argumentiere induktiv.
+\end{proof}
+
 % !TEX root = Funktionentheorie

06-potenz.tex

@@ -0,0 +1,67 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Potenzreihenentwicklung}
+
+In der Analysis liefern Potenzreihen $\sum a_i xⁱ$ interessante Beispiele für
+reelle Funktionen.  Gegeben irgendeine $\cC^∞$-Funktion $f$, so kann ich $f$ mit
+der Taylor-Entwicklung vergleichen.  In diesem Abschnitt geht es um ähnliche
+Aussagen für komplexe Potenzreihen $\sum a_i zⁱ$ (wo $a_i ∈ ℂ$, $z$ eine
+komplexe Variable) und Taylor-Entwicklungen von holomorphen Funktionen.
+
+\begin{erinnerung}[Potenzreihen in Analysis I und II]
+  Es sei $(a_i)_i$ eine Folge reeller Zahlen und sei $ρ ∈ ℝ$ eine feste Zahl.
+  \begin{enumerate}
+  \item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ heißen „Potenzreihen mit
+    Entwicklungspunkt $ρ$“.
+  
+  \item Angenommen, es existiert ein $x_0 ∈ ℝ$, sodass $\sum a_i (x_0 - ρ)ⁱ$
+    konvergiert.  Dann gilt für alle $x$ mit $|x - ρ| < |x_0 - ρ|$, dass die
+    Reihe $\sum a_i (x - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
+  
+  \item Die Zahl
+    \[
+      \sup \left\{ |x - ρ| \::\: x ∈ ℝ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
+      ∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}
+    \]
+    heißt Konvergenzradius.
+
+  \item Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius
+    $R > 0$.  Dann gilt: die Folge der Partialsummen konvergiert auf dem offenen
+    Intervall $(ρ-r, ρ+r)$ kompakt.  Das bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge
+    $K$ von $(ρ-r, ρ+r)$ konvergiert die Folge der Partialsummen gleichmäßig.
+  \end{enumerate}
+\end{erinnerung}
+
+Alle Aussagen gelten mit denselben Beweisen auf für komplexe Zahlen.
+
+\begin{fakt}[Komplexe Potenzreihen]
+  Es sei $(a_i)_i$ eine Folge komplexer Zahlen und sei $ρ ∈ ℂ$ eine feste Zahl.
+  \begin{enumerate}
+  \item Ausdrücke der Form $\sum_{i=0}^∞ a_i (z - ρ)ⁱ$ heißen „komplexe
+    Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $ρ$“.
+  
+  \item Angenommen, es existiert ein $z_0 ∈ ℂ$, sodass $\sum a_i (z_0 - ρ)ⁱ$
+    konvergiert.  Dann gilt für alle $z$ mit $|z - ρ| < |z_0 - ρ|$, dass die
+    Reihe $\sum a_i (z - ρ)ⁱ$ absolut konvergiert.
+  
+  \item Die Zahl
+    \[
+      \sup \left\{ |z - ρ| \::\: z ∈ ℂ, \text{ sodass } \sum a_i (x - ρ)ⁱ \text{ konvergiert} \right\}
+      ∈ ℝ^{≥ 0} ∪ \{∞\}
+    \]
+    heißt Konvergenzradius.
+
+  \item\label{il:6-0-2-4} Es sei $\sum_{i=0}^∞ a_i (x - ρ)ⁱ$ eine komplexe
+    Potenzreihe mit Konvergenzradius $R > 0$.  Dann gilt: die Folge der
+    Partialsummen konvergiert auf der offenen Kreisscheibe $B_r(ρ)$ kompakt. Das
+    bedeutet: auf jeder kompakten Teilmenge $K$ von $B_r(ρ)$ konvergiert die
+    Folge der Partialsummen gleichmäßig.
+  \end{enumerate}
+\end{fakt}
+
+Man beachte: Genau wie in der reellen Situation machen wir in \ref{il:6-0-2-4}
+keinerlei Aussagen über Konvergenz der Reihe für Punkte $z$, die auf dem Rand $∂
+B_r(ρ)$ der Kreisscheibe liegen.
+
+% !TEX root = Funktionentheorie

Funktionentheorie.tex

@@ -143,6 +143,7 @@ Link in den Text ein.
 \part{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}
 
 \input{05-cauchy}
+\input{06-potenz}
 
 \addchap{Lizenz}