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12-residuum.tex

@@ -424,112 +424,6 @@ Für etwas kompliziertere Funktionen sind die folgenden Resultate nützlich.
   \]
   Die Behauptung folgt.
 \end{proof}
-  
-
-\section{Anwendungen des Residuensatzes}
-
-\begin{situation}\label{sit:12-5-1}%
-  ---
-  \begin{itemize}
-    \item Es sei $U ⊂ ℂ$ Gebiet und es sei $P ⊂ U$ eine abgeschlossene und
-      diskrete Teilmenge.
-    
-    \item Es sei $f ∈ 𝒪(U ∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten
-      Singularitäten.  Wir nehmen an, dass $f$ nicht die Nullfunktion ist und
-      keine essenziellen Singularitäten hat.  Für jeden Punkt $z ∈ U$ sei
-      $ν_z(f)$ die Polstellenordnung von $f$ in $z$; diese ist positiv, wenn $f$
-      bei $z$ eine Polstelle hat und negativ bei Nullstellen.
-
-    \item Es sei $N = \{z ∈ U \mid f(z) = 0\}$ die Menge der Nullstellen von
-      $f$.
-
-    \item Es sei $γ: [a,b] → U ∖ (N ∪ P)$ sei ein in $U$ zusammenziehbarer Weg.
-  \end{itemize}
-\end{situation}
-
-\begin{bemerkung}
-  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sind die Zahlen $ν_z(f)$ für fast alle $z ∈ U$
-  gleich null, und höchstens für $z ∈ P$ positiv.
-\end{bemerkung}
-
-\begin{bemerkung}\label{bem:12-5-3}%
-  In Situation~\ref{sit:12-5-1} sagt die „Goldene Regel 2“, dass die
-  Umlaufzahlen $\Um(γ, p)$ höchstens auf einer kompakten Teilmenge von $U$
-  ungleich null sind.  Da der Schnitt einer diskreten Menge mit einer kompakten
-  Menge endlich ist, gibt es nur endlich viele Punkte $z ∈ U$, für die das
-  Produkt $\Um(γ, p) · ν_p(f)$ ungleich null ist.
-\end{bemerkung}
-
-\begin{satz}[Zählen von Null- und Polstellen]\label{satz:12-5-1}%
-  In Situation~\ref{sit:12-5-1} betrachte den Weg $f ◦ γ : [a,b] → ℂ$. Dann gilt
-  \[
-    \Um(f ◦ γ, 0) = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f).
-  \]
-  Beachte, dass nach Bemerkung~\ref{bem:12-5-3} nur endlich viele der Summanden
-  auf der rechten Seite ungleich null sind.
-\end{satz}
-\begin{proof}
-  Es gilt
-  \begin{align*}
-    \Um(f ◦ γ, 0) & = \frac{1}{2π i} \int_{f◦ γ} \frac{1}{z} \, dz && \text{Definition Umlaufzahl} \\
-    & = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz && \text{Definition Wegintegral, Kettenregel} \\
-    & = \sum_{p ∈ U} \Um(γ, p) · ν_p(f) && \text{Residuensatz, Bemerkung~\ref{bem:12-4-2}.}
-  \end{align*}
-  Damit ist Satz~\ref{satz:12-5-1} bewiesen.
-\end{proof}
-
-\begin{kor}[Satz von Rouché\footnote{Eugène Rouché (* 18.~August 1832 in
-    Sommières, Département Hérault; † 19.~August 1910 in Lunel) war ein
-    französischer Mathematiker.  }]\label{kor:12-5-2}%
-  \index{Satz von Rouché}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, $f ∈ 𝒪(U)$ und $K ⊂ U$ eine
-  abgeschlossene Kreisscheibe. Sei außerdem eine holomorphe Funktion $g ∈ 𝒪(U)$
-  gegeben, sodass für jedes $z ∈ δ K$ die Ungleichung
-  \begin{equation}\label{eq:12-5-5}%
-    |f(z)| > |g(z)|
-  \end{equation}
-  gilt.  Dann gilt Folgendes.
-  \begin{enumerate}
-    \item\label{il:12-5-5-1} Alle Nullstellen von $f$ und $f+g$ auf $K$ liegen
-      im Inneren von $K$.
-
-    \item\label{il:12-5-5-2} Mit Vielfachheit gezählt haben $f$ und $f+g$ die
-      gleiche Anzahl an Nullstellen auf $K$.
-  \end{enumerate}
-\end{kor}
-\begin{proof}
-  Für $t ∈ [0,1]$ betrachte die Familie von Funktionen $h_t(z) := f(z) +
-  t·g(z)$.  Ungleichung~\eqref{eq:12-5-5} zeigt sofort, dass für jedes $t ∈
-  [0,1]$ und jedes $z ∈ ∂K$ die Ungleichung
-  \[
-    h_t(z)
-  \]
-  gilt.  Damit ist~\ref{il:12-5-5-1} bewiesen.  Als Nächstes betrachte
-  \[
-    N : [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \frac{1}{2π i} \int_{∂K} \frac{h_t'(z)}{h_t(z)} \, dz.
-  \]
-  Auf der einen Seite sagt der Satz über parameterabhängige Integrale, dass $N$
-  stetig ist.  Auf der anderen Seite gilt nach Satz~\ref{satz:12-5-1} für jedes
-  $t ∈ [0,1]$ die Gleichung
-  \[
-    N(t) = \text{Anzahl der Nullstellen von $h_t$ in $K$}.
-  \]
-  Da $N(t)$ also ganzzahlig ist, ist $N$ konstant.  Somit gilt insbesondere
-  $N(0) = N(1)$.
-\end{proof}
-
-\begin{bsp}\label{bsp:12-5-3}%
-  Wir behaupten, dass die Funktion
-  \[
-    \frac{1}{10} z⁷ + 1 + 5 z²
-  \]
-  in $B_1(0)$ genau $2$ Nullstellen hat.  Schreibe dazu $f(z) = 5z²$, $g(z) =
-  \frac{1}{10} z⁷ + 1$ und beobachte, dass für jedes $z$ mit $|z| = 1$ die
-  Ungleichung
-  \[
-    |f(z)| = 5 > 1 + \frac{1}{10} ≥ |g(z)|
-  \]
-  gilt.  Der Satz von Rouché zeigt nun die Behauptung.
-\end{bsp}
 
 
 % !TEX root = Funktionentheorie