@@ -0,0 +1,283 @@
% spell checker language
\selectlanguage { german}
\chapter { Cauchy's Integralformel}
\sideremark { Vorlesung 8}
\section { Integralformel}
\begin { satz} [Integralformel von Cauchy]\label { satz:4-4-1} %
\index { Integralformel von Cauchy} Sei $ U ⊂ ℂ $ offen und $ f ∈ 𝒪 ( U ) $ . Weiter
sei $ K ⊂ U $ eine abgeschlossene Kreisscheibe, und es sei $ γ $ ein stetiger Weg,
der den Rand von $ K $ gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Dann gilt für alle
Punkte $ w $ aus dem Inneren von $ K $ :
\begin { equation} \label { eq:4-4-0}
f(w) = \frac { 1} { 2π i} \int _ γ \frac { f(z)} { z - w} \, dz.
\end { equation}
\end { satz}
\begin { notation} [Kreisscheiben und Wege]
Gegeben $ z _ 0 ∈ ℂ $ und $ r ∈ ℝ⁺ $ , dann bezeichnen wir die offene/abgeschlossene
Kreisscheibe beziehungsweise den Rand der Kreisscheibe mit
\begin { align*}
B_ r(z_ 0) & = \{ z ∈ ℂ \mid |z - z_ 0| < r \} , \\
\overline { B} _ r(z_ 0) & = \{ z ∈ ℂ \mid |z - z_ 0| ≤ r \} , \\
∂ B_ r(z_ 0) & = \{ z ∈ ℂ \mid |z - z_ 0| = r \} .
\end { align*}
Ein Weg, der $ ∂ B _ r ( z _ 0 ) $ im Gegenuhrzeigersinn durchläuft, ist
\[
γ [ 0 , 2 π ] → ℂ \quad t ↦ z _ 0 + \exp ( it ) · r.
\]
Wir schreiben statt $ \int _ { γ } ⋯ \, dz $ auch kurz $ \int _ { ∂ B _ r ( z _ 0 ) } ⋯ \, dz $ .
\end { notation}
\begin { proof} [Beweis von Satz~\ref { satz:4-4-1} ]
Der Beweis ist relativ lang und deshalb in mehrere Schritte aufgeteilt. Sei
ein Punkt $ w $ aus dem Inneren von $ K $ gegeben.
\paragraph { Schritt 1: Kreisscheiben um $ w $ }
Wir beobachten: Wenn $ ε ∈ ℝ⁺ $ klein genug ist, dann ist die $ ε $ -Kreis\- scheibe
um $ w $ vollständig in $ K $ enthalten, also
\[
B _ ε ( w ) ⊂ K = \overline { B } _ r ( z _ 0 ) .
\]
Das heißt: Wege rund um $ K $ und um $ B _ ε ( w ) $ sind in der Menge
\[
\text { Definitionsbereich von } z ↦ \frac { f ( z ) } { z - w } = U ∖ \{ w \}
\]
frei homotop, also sind die Integrale gleich.
\begin { equation} \label { eq:4-4-1}
\int _ { ∂ K} \frac { f(z)} { z - w} \, dz
= \int _ { ∂ B_ { ε} (w)} \frac { f(z)} { z - w} \, dz.
\end { equation}
\paragraph { Schritt 2: Hilfsfunktion}
Betrachte die Hilfsfunktion
\[
g: U → ℂ \quad z ↦
\begin { cases }
\frac { f ( z ) - f ( w ) } { z - w } & z ≠ w, \\
f' ( w ) & z = w.
\end { cases }
\]
Diese Funktion ist per Definition auf ganz $ U $ stetig. Insbesondere nimmt der
Betrag von $ g $ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe $ K $ ein Maximum an, sagen
wir
\[
M = \max \bigl \{ |g ( z ) | \: : \: z ∈ K \bigr \} .
\]
Damit gilt für alle $ z ∈ U ∖ \{ w \} $ die Gleichung
\begin { equation} \label { eq:4-4-2}
\frac { f(z)} { z - w} = g(z) + f(w) · \frac { 1} { z - w}
\end { equation}
\paragraph { Schritt 3: Integration}
Insgesamt erhalten wir für alle hinreichend kleinen Zahlen $ ε $ eine Gleichheit
von Integralen,
\begin { align*}
\int _ { ∂ K} \frac { f(z)} { z - w} \, dz & = \int _ { ∂ B_ { ε} (w)} \frac { f(z)} { z - w} \, dz & & \text { \eqref { eq:4-4-1} } \\
& = \int _ { ∂ B_ { ε} (w)} g(z) + f(w)·\frac { 1} { z - w} \, dz & & \text { \eqref { eq:4-4-2} } \\
& = \underbrace { \int _ { ∂ B_ { ε} (w)} g(z) \, dz} _ { =: I_ { 1,ε} }
+ \underbrace { f(w) · \int _ { ∂ B_ { ε} (z)} \frac { 1} { z - w} \, dz} _ { =: I_ { 2,ε} } .
\end { align*}
Der Witz: Die linke Seite hängt nicht von $ ε $ ab, also hängt auch die Summe
nicht von $ ε $ ab. Wir untersuchen die beiden Integrale auf der rechten Seite
einzeln. Für hinreichend kleine $ ε $ gilt:
\begin { align*}
I_ { 2,ε} & = f(w) · 2π i & & \text { Beispiel~\ref { bsp:3-2-2} } \\
|I_ { 1,ε} | & ≤ 2π · ε · M & & \text { Beobachtung~\ref { beob:3-2-7} .}
\end { align*}
In der Summe erhalten wir $ I _ { 1 ,ε } = 0 $ und deshalb ist
\[
\int _ { ∂ K } \frac { f ( z ) } { z - w } \, dz = f ( w ) · 2 π i.
\]
Damit ist die gesuchte Gleichung \eqref { eq:4-4-0} gezeigt.
\end { proof}
\section { Anwendungen der Integralformel}
Wir betrachten einige unmittelbare Konsequenzen der Integralformel von Cauchy.
\begin { prop} [Mittelwertsatz]\label { satz:5-2-1} %
\index { Mittelwertsatz} Sei $ U ⊂ ℂ $ offen, sei $ f ∈ 𝒪 ( U ) $ und sei
$ \overline { B } _ r ( z _ 0 ) ⊂ U $ . Dann ist $ f ( z _ 0 ) $ (=der Funktionswert von $ f $ im
Mittelpunkt der Kreisscheibe) gleich dem Mittelwert von $ f $ auf dem Rand $ ∂
B _ r ( z _ 0 ) $ der Kreisscheibe. Genauer gilt:
\[
f ( z _ 0 ) = \frac { 1 } { 2 π } \int _ 0 ^ { 2 π } f ( z _ 0 + r · \exp ( it ) ) \, dt.
\]
\end { prop}
\begin { proof}
Wir betrachten den konkreten Weg $ γ [ 0 , 2 π ] → U $ , $ t ↦ z _ 0 + r · \exp ( it ) $ .
Dann sagt die Integralformel:
\begin { align*}
f(z_ 0) & = \frac { 1} { 2π i} \int _ { ∂ B_ r(z_ 0)} \frac { f(z)} { z - z_ 0} \, dz & & \text { Integralformel, Satz~\ref { satz:4-4-1} } \\
& = \frac { 1} { 2π i} \int _ 0^ { 2π} \frac { f(z_ 0 + r · \exp (it))} { r · \exp (it)} · ri \exp (it) \, dt & & \text { Definition~\ref { def:3-2-1} (Wegintegral)} \\
& = \frac { 1} { 2π} \int _ 0^ { 2π} f(z_ 0 + r · \exp (it)) \, dt.
\end { align*}
Damit ist der Mittelwertsatz gezeigt.
\end { proof}
\begin { kor} [Schwaches Maximumprinzip]\label { kor:5-2-2} %
\index { Maximumprinzip!schwaches} Es sei $ U ⊂ ℂ $ offen und $ f ∈ 𝒪 ( U ) $ . Dann
hat die stetige Funktion $ |f| $ kein echtes Maximum. Genauer: Für jeden Punkt
$ z _ 0 ∈ U $ und jede Umgebung $ V = V ( z _ 0 ) ⊆ U $ gibt es einen Punkt $ z ∈ V $ mit
$ |f ( z ) | ≥ |f ( z _ 0 ) | $ .
\end { kor}
\begin { proof}
Beweis durch Widerspruch: Angenommen, es gibt es einen Punkt $ z _ 0 ∈ U $ , bei
dem ein echtes Maximum vorliegt. Dann gibt es $ ε > 0 $ , sodass für alle $ z ∈ ∂
B _ { ε } ( z _ 0 ) ∖ \{ z _ 0 \} $ die Ungleichung $ |f ( z ) | < |f ( z _ 0 ) | $ gilt. Dann ist
\begin { align*}
|f(z_ 0)| & = \left | \frac { 1} { 2π} \int _ 0^ { 2π} f(z_ 0 + ε · \exp (it)) \, dt \right | & & \text { Mittelwertsatz~\ref { satz:5-2-1} } \\
& ≤ \frac { 1} { 2π} \int _ 0^ { 2π} |f(z_ 0 + ε · \exp (it))| \, dt & & \text { Dreiecksungleichung} \\
& < \frac { 1} { 2π} \int _ 0^ { 2π} |f(z_ 0)| \, dt = |f(z_ 0)| & & \text { Annahme.}
\end { align*}
Wir erhalten einen Widerspruch.
\end { proof}
Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.
\begin { satz} [Starkes Maximumprinzip]\label { satz:5-2-3} %
\index { Maximumprinzip!starkes} Es sei $ U ⊂ ℂ $ offen, es sei $ f ∈ 𝒪 ( U ) $ und es
sei $ z _ 0 ∈ U $ ein lokales Maximum der stetigen Funktion $ |f|: U → ℝ ^ { ≥ 0 } $ .
Dann ist $ f $ in der Nähe von $ z _ 0 $ konstant. Genauer:
\[
∃ ε > 0 : B _ { ε } ( z _ 0 ) ⊂ U \text { und } f| _ { B _ { ε } ( z _ 0 ) } \equiv \text { const. }
\]
\end { satz}
\begin { erinnerung} [Existenz lokaler Logarithmus-Funktionen]\label { erinnerung:5-2-4} %
$ z _ 0 ∈ ℂ $ , dann gibt es eine Umgebung $ V $ von $ z _ 0 $ , sodass
eine holomorphe Logarithmus-Funktion auf $ V $ existiert. Genauer: Es gibt eine
holomorphe Funktion $ \log ∈ 𝒪 ( V ) $ , sodass für alle $ z ∈ V $ die Gleichung
$ \exp ( \log z ) = z $ gilt. Der Beweis ist einfach: Falls $ z _ 0 $ ein Punkt der
geschlitzten Ebene $ ℂ ∖ ℝ _ { ≤ 0 } $ ist, dann können wir nach der Diskussion in
Abschnitt~\ref { sec:2-5-2} den Hauptzweig des Logarithmus verwenden, der auf
der ganzen geschlitzten Ebene holomorph ist. Andernfalls spiegele die
geschlitzte Ebene an der imaginären Achse und …
\end { erinnerung}
\begin { proof} [Beweis von Satz~\ref { satz:5-2-3} ]
Weil $ z _ 0 ∈ U $ ein lokales Maximum der stetigen Funktion $ |f|: U → ℝ ^ { ≥ 0 } $
ist, gibt es eine Zahl $ ε > 0 $ , sodass $ \overline { B } _ ε ( z _ 0 ) ⊂ U $ ist für alle
$ z ∈ \overline { B } _ ε ( z _ 0 ) $ die Ungleichung $ |f ( z ) | ≤ |f ( z _ 0 ) | $ gilt.
\paragraph * { Schritt 1: $ |f| $ ist konstant in der Nähe von $ z _ 0 $ }
Ich behaupte, dass $ |f| $ auf ganz $ B _ ε ( z _ 0 ) $ konstant ist. Angenommen, es
gibt einen Punkt $ z _ 1 ∈ B _ ε ( z _ 0 ) $ mit $ |f ( z _ 1 ) | < |f ( z _ 0 ) | $ . Setze $ δ : = |z _ 0
- z _ 1 | $ und berechne exakt wie im Beweis des schwachen Maximumsprinzips,
Korollar~\ref { kor:5-2-2} , dass
\begin { align*}
|f(z_ 0)| & = \left | \frac { 1} { 2π} \int _ 0^ { 2π} f(z_ 0 + δ · \exp (it)) \, dt \right | & & \text { Mittelwertsatz~\ref { satz:5-2-1} } \\
& ≤ \frac { 1} { 2π} \int _ 0^ { 2π} |f(z_ 0 + δ · \exp (it))| \, dt & & \text { Dreiecksungleichung} \\
& < \frac { 1} { 2π} \int _ 0^ { 2π} |f(z_ 0)| \, dt = |f(z_ 0)| & & \text { Annahme}
\end { align*}
ist. Wir erhalten einen Widerspruch. Also ist $ |f| $ auf ganz $ B _ ε ( z _ 0 ) $
konstant.
\paragraph * { Schritt 2: $ f $ ist konstant in der Nähe von $ z _ 0 $ }
Wenn $ f ( z _ 0 ) = 0 $ ist, dann folgt aus der lokalen Konstanz von $ |f| $ sofort,
dass $ f $ lokal konstant ist. Wir nehmen also an, dass $ f ( z _ 0 ) ≠ 0 $ ist.
Wende Erinnerung~\ref { erinnerung:5-2-4} an: Nach Verkleinern von $ U $ können
wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, das eine holomorphe Funktion
$ \log f ∈ 𝒪 ( U ) $ existiert, sodass für alle $ z ∈ U $ die Gleichung $ \exp ( \log
f ( z ) ) = f ( z ) $ gilt. Weil $ |f| $ konstant in der Nähe von $ z _ 0 $ konstant ist,
ist der Realteil $ \operatorname { Re } \log f $ dort ebenfalls konstant. Also
verschwinden die folgenden partiellen Ableitungen von $ \operatorname { Re } \log
f $ in der Nähe von $ z _ 0 $ identisch:
\[
\frac { ∂ ( \operatorname { Re } \log f ) } { ∂ z } \equiv 0 , \quad \frac { ∂ \log f } { ∂ \overline { z } } \equiv 0 .
\]
Die Cauchy-Riemann-Gleichungen für die holomorphe Funktion $ \log f $ erzwingen
dann aber, dass die Ableitungen von $ \operatorname { Im } ( \log f ) $ ebenfalls
identisch verschwinden. Also ist $ \log f $ konstant. Also ist $ f $ konstant.
\end { proof}
\begin { satz} [Satz von Goursat]\label { satz:4-4-2} %
\index { Satz von Goursat!über Differenzierbarkeit} Es sei $ U ⊂ ℂ $ offen und $ f ∈
𝒪 ( U ) $ . Dann ist $ f $ unendlich oft komplex differenzierbar. Wenn
$ \overline { B } _ r ( z _ 0 ) ⊂ U $ ist, dann gilt für alle $ w ∈ B _ r ( z _ 0 ) $ die Gleichung
\[
f ^ { ( n ) } ( w ) = \frac { n ! } { 2 π i } \int _ { ∂ B _ r ( z _ 0 ) } \frac { f ( z ) } { ( z - w ) ^ { n + 1 } } \, dz.
\]
\end { satz}
\begin { proof}
Sei eine Zahl $ r > 0 $ gegeben, sodass $ \overline { B } _ r ( z _ 0 ) ⊂ U $ ist.
\paragraph * { Schritt 1: Diskussion der Funktion $ f $ }
Für alle $ w ∈ B _ r ( z _ 0 ) $ gilt die Gleichung
\begin { align*}
f(w) & = \frac { 1} { 2π i} \int _ { ∂ B_ r(z_ 0)} \frac { f(z)} { z - w} \, dz & & \text { Integralformel, Satz~\ref { satz:4-4-1} } \\
& = \frac { 1} { 2π i} \int _ 0^ { 2π} \frac { f(z_ 0 + r · \exp (it))· ri \exp (it)} { z + r · \exp (it) - w} \, dt & & \text { Definition~\ref { def:3-2-1} (Wegintegral)}
\end { align*}
Betrachte die Funktion unter dem Integral:
\[
\varphi : B _ r ( z _ 0 ) ⨯ [ 0 , 2 π ] \to ℂ \quad ( w, t ) ↦ \frac { f ( z _ 0 + r · \exp ( it ) ) · r · i · \exp ( it ) } { z _ 0 + r · \exp ( it ) - w } .
\]
Die Funktion $ \varphi $ ist stetig. Zusätzlich gilt für jedes $ t ∈ [ 0 , 2 π ] $ ,
dass die Funktion $ \varphi ( ·, t ) : B _ r ( z _ 0 ) → ℂ $ holomorph ist. Damit folgt
aus dem Satz über die komplexe Ableitung unter dem Integral,
Satz~\ref { satz:3-1-12} , dass $ f $ auf $ B _ r ( z _ 0 ) $ komplex differenzierbar ist
(wissen wir schon) und dass für alle $ w ∈ B _ r ( z _ 0 ) $ die Gleichung
\begin { align*}
f'(w) & = \frac { 1} { 2π i} \int _ 0^ { 2π} \frac { f(z_ 0 + r · \exp (it))· r · i · \exp (it)} { (z_ 0 + r · \exp (it) - w)²} \, dt \\
& = \frac { 1} { 2π i} \int _ { ∂ B_ r(z_ 0)} \frac { f(z)} { (z - w)²} \, dz
\end { align*}
gilt.
\paragraph * { Schritt 2: Diskussion der Funktion $ f $ }
Betrachte die Funktion unter dem Integral:
\[
\varphi ': B _ r ( z _ 0 ) ⨯ [ 0 , 2 π ] \to ℂ \quad ( w, t ) ↦ \frac { f ( z _ 0 + r · \exp ( it ) ) · r · i · \exp ( it ) } { ( z _ 0 + r · \exp ( it ) - w ) ² } .
\]
Die Funktion $ \varphi ' $ ist stetig. Zusätzlich gilt für jedes $ t ∈ [ 0 , 2 π ] $ ,
dass die Funktion $ \varphi ' ( ·, t ) : B _ r ( z _ 0 ) → ℂ $ holomorph ist. Damit folgt
aus dem Satz über die komplexe Ableitung unter dem Integral,
Satz~\ref { satz:3-1-12} , dass $ f' $ auf $ B _ r ( z _ 0 ) $ komplex differenzierbar ist
(wissen wir noch nicht) und dass für alle $ w ∈ B _ r ( z _ 0 ) $ die Gleichung
\[
f'' ( w ) = ⋯
\]
gilt.
\paragraph * { Schritt 3: Iteriere ad Infimum}
Induktiv erhalten wir so die Behauptung.
\end { proof}
\begin { kor} [Satz von Liouville\footnote { Joseph Liouville (* 24.~März 1809 in Saint-Omer; † 8.~September 1882 in Paris) war ein französischer Mathematiker.} ]\label { kor:4-4-3} %
\index { Satz von Liouville} Sei $ f ∈ 𝒪 ( ℂ ) $ eine auf ganz $ ℂ $ holomorphe
Funktion. Falls $ |f| $ beschränkt ist, dann ist $ f $ konstant.
\end { kor}
\begin { proof}
Sei $ M ∈ ℝ⁺ $ eine obere Schranke von $ |f| $ . Dann gilt nach dem
Satz~\ref { satz:4-4-2} von Goursat für alle Zahlen $ r > 0 $ die Gleichung
\[
f' ( 0 ) = \frac { 1 } { 2 π i } \int _ { ∂ B _ r ( 0 ) } \frac { f ( z ) } { ( z - 0 ) ² } \, dz.
\]
Es gilt also für alle Zahlen $ r > 0 $ die Abschätzung
\[
|f' ( 0 ) | ≤ \frac { M } { 2 π } · 2 π r · \frac { 1 } { r² } .
\]
Also $ f' ( 0 ) = 0 $ . Analog zeigt man für alle anderen $ z ∈ ℂ $ ebenfalls, dass
$ f' ( z ) = 0 $ ist. Nach Konsequenz~\ref { kons:3-2-11} ist $ f $ damit konstant.
\end { proof}
% !TEX root = Funktionentheorie
Stefan Kebekus