Working

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -34,3 +34,5 @@ Intra
 Verbania
 Lebesgue
 Beauvais
+Maximumsprinzips
+Saint-Omer

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -12,3 +12,4 @@
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QZahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qkompl.\\E$"}
 {"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und damit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QNach Punkt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der Erinnerung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gibt es eine endliche Unterteilung des Intervalls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für jeden Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der Wertebereich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ganz in einer der Kreisscheiben \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q liegt.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGenauer: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qconst.\\E$"}

02-diffbarkeit.tex

@@ -201,7 +201,7 @@ Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
 
 Die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine
 eigene Notation entwickelt hat, der „Wirtinger\footnote{Wilhelm Wirtinger (* 19.
-Juli 1865 in Ybbs an der Donau; † 16. Januar 1945 ebenda) war ein
+Juli 1865 in Ybbs an der Donau; † 16.  Januar 1945 ebenda) war ein
 österreichischer Mathematiker.}-Kalkül“.
 
 \begin{notation}[Wirtinger-Kalkül]\label{not:2-2-6}%
@@ -445,6 +445,7 @@ mit Ableitung
 
 
 \subsection{Logarithmus}
+\label{sec:2-5-2}
 
 Analog zur Wurzelfunktion ist der Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene,
 \[

03-wegintegraleDiffbar.tex

@@ -121,7 +121,7 @@ diese Begriffe nicht verwechseln!
   schreibt, mit dem Skalar links und dem Vektor rechts.  \qed
 \end{satz}
 
-\begin{satz}[Ableiten unter dem Integral]\label{satz:ableiten-integral}%
+\begin{satz}[Ableiten unter dem Integral]\label{satz:ableiten-integral}\label{satz:3-1-12}%
   Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, und es sei $(f_t)_{t ∈ [a,b]}$ eine Familie von
   holomorphen Funktionen.  Falls die Abbildung
   \[
@@ -582,8 +582,9 @@ ich hier einen direkten und elementaren Beweis des Satzes von Goursat, der auf
 einer Viertelungsargumentation basiert.
 
 \begin{satz}[Satz von Goursat]\label{satz:3-4-6}%
-  Es sei $U ⊆ ℂ$ offen, es sei $f ∈ 𝒪(U)$ holomorph und sei
+  \index{Satz von Goursat!über Wegintegrale}Es sei $U ⊆ ℂ$ offen, es sei $f ∈
-  $\mathcal{R} ⊂ G$ ein achsenparalleles Rechteck.  Dann gilt:
+  𝒪(U)$ holomorph und sei $\mathcal{R} ⊂ G$ ein achsenparalleles Rechteck.
+  Dann gilt:
   \begin{equation}\label{eq:3-4-6-1}
     \int_{∂ R} f(z) \, dz = 0
   \end{equation}
@@ -669,7 +670,7 @@ einer Viertelungsargumentation basiert.
   \paragraph{Schritt 4: Konvergenzpunkt}
 
   Da die Rechtecke geschachtelt sind und ihre Durchmesser gegen 0 gehen,
-  existiert genau ein Punkt: $z_0 ∈ \bigcap_{n=1}^∞ R^{(n)}$. Dieser Punkt liegt
+  existiert genau ein Punkt: $z_0 ∈ \bigcap_{n=1}^∞ R^{(n)}$.  Dieser Punkt liegt
   in $R ⊂ G$.
 
 
@@ -697,7 +698,7 @@ einer Viertelungsargumentation basiert.
   \begin{equation}\label{eq:3-4-6-8}
     |r(z)| ≤ ε · 2^{-n} d.
   \end{equation}
-  Wir erhalten damit die folgende Integralabschätzung:  
+  Wir erhalten damit die folgende Integralabschätzung:
   \begin{align*}
     \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz \right| &= \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0) + r(z) \, dz \right| && \text{\eqref{eq:3-4-6-6}}\\
     & = \left|\int_{∂ R^{(n)}} r(z) \, dz \right| && \text{Beweis im Spezialfall} \\

04-wegintegraleStetig.tex

@@ -192,9 +192,10 @@ kommt: Wegintegrale über homotope Wege sind gleich.  Der folgende Satz stellt
 dies präzise dar.
 
 \begin{satz}[Homotopieinvarianz von Wegintegralen]\label{satz:4-3-1}%
-  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter seien $γ_0, γ_1
+  \index{Homotopieinvarianz von Wegintegralen}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f
-  : [a, b] → U$ zwei stetige Wege mit $γ_0(a) = γ_1(a)$ und $γ_0(b) = γ_1(b)$.
+  : U → ℂ$ holomorph.  Weiter seien $γ_0, γ_1 : [a, b] → U$ zwei stetige Wege
-  Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander homotop sind, dann gilt die Gleichheit
+  mit $γ_0(a) = γ_1(a)$ und $γ_0(b) = γ_1(b)$.  Wenn $γ_0$ und $γ_1$ zueinander
+  homotop sind, dann gilt die Gleichheit
   \begin{equation}\label{eq:4-3-1-1}
     \int_{γ_0} f(z) \, dz = \int_{γ_1} f(z) \, dz.
   \end{equation}
@@ -237,8 +238,9 @@ dies präzise dar.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}[Integralsatz von Cauchy]\label{kor:4-3-2}%
-  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$ holomorph.  Weiter sei $γ : [a, b]
+  \index{Integralsatz von Cauchy}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und es sei $f : U → ℂ$
-  → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg.  Dann ist
+  holomorph.  Weiter sei $γ : [a, b] → U$ ein zusammenziehbarer, stetiger Weg.
+  Dann ist
   \[
     \int_{γ} f(z) \, dz = 0.
   \]

05-cauchy.tex

@@ -0,0 +1,283 @@
+% spell checker language
+\selectlanguage{german}
+
+\chapter{Cauchy's Integralformel}
+
+\sideremark{Vorlesung 8}
+
+
+\section{Integralformel}
+
+\begin{satz}[Integralformel von Cauchy]\label{satz:4-4-1}%
+  \index{Integralformel von Cauchy}Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Weiter
+  sei $K ⊂ U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe, und es sei $γ$ ein stetiger Weg,
+  der den Rand von $K$ gegen den Uhrzeigersinn durchläuft.  Dann gilt für alle
+  Punkte $w$ aus dem Inneren von $K$:
+  \begin{equation}\label{eq:4-4-0}
+    f(w) = \frac{1}{2π i} \int_γ \frac{f(z)}{z - w} \, dz.
+  \end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{notation}[Kreisscheiben und Wege]
+  Gegeben $z_0 ∈ ℂ$ und $r ∈ ℝ⁺$, dann bezeichnen wir die offene/abgeschlossene
+  Kreisscheibe beziehungsweise den Rand der Kreisscheibe mit
+  \begin{align*}
+    B_r(z_0) &= \{ z ∈ ℂ \mid |z - z_0| < r \}, \\
+    \overline{B}_r(z_0) &= \{ z ∈ ℂ \mid |z - z_0| ≤ r \}, \\
+    ∂ B_r(z_0) &= \{ z ∈ ℂ \mid |z - z_0| = r \}.
+  \end{align*}
+  Ein Weg, der $∂ B_r(z_0)$ im Gegenuhrzeigersinn durchläuft, ist
+  \[
+    γ: [0, 2π] → ℂ, \quad t ↦ z_0 + \exp(it) · r.
+  \]
+  Wir schreiben statt $\int_{γ} ⋯\, dz$ auch kurz $\int_{∂ B_r(z_0)} ⋯\, dz$.
+\end{notation}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:4-4-1}]
+  Der Beweis ist relativ lang und deshalb in mehrere Schritte aufgeteilt.  Sei
+  ein Punkt $w$ aus dem Inneren von $K$ gegeben.
+
+
+  \paragraph{Schritt 1: Kreisscheiben um $w$}
+
+  Wir beobachten: Wenn $ε ∈ ℝ⁺$ klein genug ist, dann ist die $ε$-Kreis\-scheibe
+  um $w$ vollständig in $K$ enthalten, also
+  \[
+    B_ε(w) ⊂ K = \overline{B}_r(z_0).
+  \]
+  Das heißt: Wege rund um $K$ und um $B_ε(w)$ sind in der Menge
+  \[
+    \text{Definitionsbereich von } z ↦ \frac{f(z)}{z - w} = U ∖ \{w\}
+  \]
+  frei homotop, also sind die Integrale gleich.
+  \begin{equation}\label{eq:4-4-1}
+    \int_{∂ K} \frac{f(z)}{z - w} \, dz
+    = \int_{∂ B_{ε}(w)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz.
+  \end{equation}
+
+
+  \paragraph{Schritt 2: Hilfsfunktion}
+
+  Betrachte die Hilfsfunktion
+  \[
+    g: U → ℂ, \quad z ↦
+    \begin{cases}
+      \frac{f(z) - f(w)}{z - w} & z ≠ w, \\
+      f'(w) & z = w.
+    \end{cases}
+  \]
+  Diese Funktion ist per Definition auf ganz $U$ stetig.  Insbesondere nimmt der
+  Betrag von $g$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe $K$ ein Maximum an, sagen
+  wir
+  \[
+    M = \max \bigl\{ |g(z)| \::\: z ∈ K \bigr\}.
+  \]
+  Damit gilt für alle $z ∈ U ∖ \{w\}$ die Gleichung
+  \begin{equation}\label{eq:4-4-2}
+    \frac{f(z)}{z - w} = g(z) + f(w) · \frac{1}{z - w}
+  \end{equation}
+
+
+  \paragraph{Schritt 3: Integration}
+
+  Insgesamt erhalten wir für alle hinreichend kleinen Zahlen $ε$ eine Gleichheit
+  von Integralen,
+  \begin{align*}
+    \int_{∂ K} \frac{f(z)}{z - w} \, dz & = \int_{∂ B_{ε}(w)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz && \text{\eqref{eq:4-4-1}} \\
+    &= \int_{∂ B_{ε}(w)} g(z) + f(w)·\frac{1}{z - w} \, dz && \text{\eqref{eq:4-4-2}} \\
+    &= \underbrace{\int_{∂ B_{ε}(w)} g(z) \, dz}_{=: I_{1,ε}}
+       + \underbrace{f(w) · \int_{∂ B_{ε}(z)} \frac{1}{z - w} \, dz}_{=: I_{2,ε}}.
+  \end{align*}
+  Der Witz: Die linke Seite hängt nicht von $ε$ ab, also hängt auch die Summe
+  nicht von $ε$ ab.  Wir untersuchen die beiden Integrale auf der rechten Seite
+  einzeln.  Für hinreichend kleine $ε$ gilt:
+  \begin{align*}
+    I_{2,ε} & = f(w) · 2π i && \text{Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}} \\
+    |I_{1,ε}| & ≤ 2π · ε · M && \text{Beobachtung~\ref{beob:3-2-7}.}
+  \end{align*}
+  In der Summe erhalten wir $I_{1,ε} = 0$ und deshalb ist
+  \[
+    \int_{∂ K} \frac{f(z)}{z - w} \, dz = f(w) · 2π i.
+  \]
+  Damit ist die gesuchte Gleichung \eqref{eq:4-4-0} gezeigt.
+\end{proof}
+
+
+\section{Anwendungen der Integralformel}
+
+Wir betrachten einige unmittelbare Konsequenzen der Integralformel von Cauchy.
+
+\begin{prop}[Mittelwertsatz]\label{satz:5-2-1}%
+  \index{Mittelwertsatz}Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ 𝒪(U)$ und sei
+  $\overline{B}_r(z_0) ⊂ U$.  Dann ist $f(z_0)$ (=der Funktionswert von $f$ im
+  Mittelpunkt der Kreisscheibe) gleich dem Mittelwert von $f$ auf dem Rand $∂
+  B_r(z_0)$ der Kreisscheibe.  Genauer gilt:
+  \[
+    f(z_0) = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(z_0 + r · \exp(it)) \, dt.
+  \]
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  Wir betrachten den konkreten Weg $γ: [0, 2π] → U$, $t ↦ z_0 + r · \exp(it)$.
+  Dann sagt die Integralformel:
+  \begin{align*}
+    f(z_0) & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_r(z_0)} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz && \text{Integralformel, Satz~\ref{satz:4-4-1}} \\
+    & = \frac{1}{2π i} \int_0^{2π} \frac{f(z_0 + r · \exp(it))}{r · \exp(it)} · ri \exp(it) \, dt && \text{Definition~\ref{def:3-2-1} (Wegintegral)} \\
+    & = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(z_0 + r · \exp(it)) \, dt.
+  \end{align*}
+  Damit ist der Mittelwertsatz gezeigt.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Schwaches Maximumprinzip]\label{kor:5-2-2}%
+  \index{Maximumprinzip!schwaches}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Dann
+  hat die stetige Funktion $|f|$ kein echtes Maximum.  Genauer: Für jeden Punkt
+  $z_0 ∈ U$ und jede Umgebung $V = V(z_0) ⊆ U$ gibt es einen Punkt $z ∈ V$ mit
+  $|f(z)| ≥ |f(z_0)|$.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Beweis durch Widerspruch: Angenommen, es gibt es einen Punkt $z_0 ∈ U$, bei
+  dem ein echtes Maximum vorliegt.  Dann gibt es $ε > 0$, sodass für alle $z ∈ ∂
+  B_{ε}(z_0) ∖ \{z_0\}$ die Ungleichung $|f(z)| < |f(z_0)|$ gilt.  Dann ist
+  \begin{align*}
+    |f(z_0)| & = \left| \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(z_0 + ε · \exp(it)) \, dt \right| && \text{Mittelwertsatz~\ref{satz:5-2-1}} \\
+    & ≤ \frac{1}{2π} \int_0^{2π} |f(z_0 + ε · \exp(it))| \, dt && \text{Dreiecksungleichung} \\
+    & < \frac{1}{2π} \int_0^{2π} |f(z_0)| \, dt = |f(z_0)| && \text{Annahme.}
+  \end{align*}
+  Wir erhalten einen Widerspruch.
+\end{proof}
+
+Es gilt noch mehr, aber dafür müssen wir etwas mehr arbeiten.
+
+\begin{satz}[Starkes Maximumprinzip]\label{satz:5-2-3}%
+  \index{Maximumprinzip!starkes}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f ∈ 𝒪(U)$ und es
+  sei $z_0 ∈ U$ ein lokales Maximum der stetigen Funktion $|f|: U → ℝ^{≥ 0}$.
+  Dann ist $f$ in der Nähe von $z_0$ konstant.  Genauer:
+  \[
+    ∃ ε > 0: B_{ε}(z_0) ⊂ U \text{ und } f|_{B_{ε}(z_0)} \equiv \text{const.}
+  \]
+\end{satz}
+
+\begin{erinnerung}[Existenz lokaler Logarithmus-Funktionen]\label{erinnerung:5-2-4}%
+  Gegeben irgendein $z_0 ∈ ℂ$, dann gibt es eine Umgebung $V$ von $z_0$, sodass
+  eine holomorphe Logarithmus-Funktion auf $V$ existiert.  Genauer: Es gibt eine
+  holomorphe Funktion $\log ∈ 𝒪(V)$, sodass für alle $z ∈ V$ die Gleichung
+  $\exp(\log z) = z$ gilt.  Der Beweis ist einfach: Falls $z_0$ ein Punkt der
+  geschlitzten Ebene $ℂ ∖ ℝ_{≤ 0}$ ist, dann können wir nach der Diskussion in
+  Abschnitt~\ref{sec:2-5-2} den Hauptzweig des Logarithmus verwenden, der auf
+  der ganzen geschlitzten Ebene holomorph ist.  Andernfalls spiegele die
+  geschlitzte Ebene an der imaginären Achse und …
+\end{erinnerung}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:5-2-3}]
+  Weil $z_0 ∈ U$ ein lokales Maximum der stetigen Funktion $|f|: U → ℝ^{≥ 0}$
+  ist, gibt es eine Zahl $ε > 0$, sodass $\overline{B}_ε(z_0) ⊂ U$ ist für alle
+  $z ∈ \overline{B}_ε(z_0)$ die Ungleichung $|f(z)| ≤ |f(z_0)|$ gilt.
+
+
+  \paragraph*{Schritt 1: $|f|$ ist konstant in der Nähe von $z_0$}
+
+  Ich behaupte, dass $|f|$ auf ganz $B_ε(z_0)$ konstant ist.  Angenommen, es
+  gibt einen Punkt $z_1 ∈ B_ε(z_0)$ mit $|f(z_1)| < |f(z_0)|$.  Setze $δ := |z_0
+  - z_1|$ und berechne exakt wie im Beweis des schwachen Maximumsprinzips,
+  Korollar~\ref{kor:5-2-2}, dass
+  \begin{align*}
+    |f(z_0)| & = \left| \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(z_0 + δ · \exp(it)) \, dt \right| && \text{Mittelwertsatz~\ref{satz:5-2-1}} \\
+    & ≤ \frac{1}{2π} \int_0^{2π} |f(z_0 + δ · \exp(it))| \, dt && \text{Dreiecksungleichung} \\
+    & < \frac{1}{2π} \int_0^{2π} |f(z_0)| \, dt = |f(z_0)| && \text{Annahme}
+  \end{align*}
+  ist.  Wir erhalten einen Widerspruch.  Also ist $|f|$ auf ganz $B_ε(z_0)$
+  konstant.
+
+  \paragraph*{Schritt 2: $f$ ist konstant in der Nähe von $z_0$}
+  
+  Wenn $f(z_0) = 0$ ist, dann folgt aus der lokalen Konstanz von $|f|$ sofort,
+  dass $f$ lokal konstant ist.  Wir nehmen also an, dass $f(z_0) ≠ 0$ ist.
+  Wende Erinnerung~\ref{erinnerung:5-2-4} an: Nach Verkleinern von $U$ können
+  wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, das eine holomorphe Funktion
+  $\log f ∈ 𝒪(U)$ existiert, sodass für alle $z ∈ U$ die Gleichung $\exp(\log
+  f(z)) = f(z)$ gilt.  Weil $|f|$ konstant in der Nähe von $z_0$ konstant ist,
+  ist der Realteil $\operatorname{Re} \log f$ dort ebenfalls konstant.  Also
+  verschwinden die folgenden partiellen Ableitungen von $\operatorname{Re} \log
+  f$ in der Nähe von $z_0$ identisch:
+  \[
+    \frac{∂(\operatorname{Re} \log f)}{∂ z} \equiv 0, \quad \frac{∂\log f}{∂ \overline{z}} \equiv 0.
+  \]
+  Die Cauchy-Riemann-Gleichungen für die holomorphe Funktion $\log f$ erzwingen
+  dann aber, dass die Ableitungen von $\operatorname{Im}(\log f)$ ebenfalls
+  identisch verschwinden.  Also ist $\log f$ konstant.  Also ist $f$ konstant.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Satz von Goursat]\label{satz:4-4-2}%
+  \index{Satz von Goursat!über Differenzierbarkeit}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈
+  𝒪(U)$.  Dann ist $f$ unendlich oft komplex differenzierbar.  Wenn
+  $\overline{B}_r(z_0) ⊂ U$ ist, dann gilt für alle $w ∈ B_r(z_0)$ die Gleichung
+  \[
+    f^{(n)}(w) = \frac{n!}{2π i} \int_{∂ B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z - w)^{n+1}} \, dz.
+  \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Sei eine Zahl $r > 0$ gegeben, sodass $\overline{B}_r(z_0) ⊂ U$ ist.
+
+
+  \paragraph*{Schritt 1: Diskussion der Funktion $f$}
+
+  Für alle $w ∈ B_r(z_0)$ gilt die Gleichung
+  \begin{align*}
+    f(w) & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_r(z_0)} \frac{f(z)}{z - w} \, dz && \text{Integralformel, Satz~\ref{satz:4-4-1}} \\
+    & = \frac{1}{2π i} \int_0^{2π} \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· ri \exp(it)}{z + r · \exp(it) - w} \, dt && \text{Definition~\ref{def:3-2-1} (Wegintegral)}
+  \end{align*}
+  Betrachte die Funktion unter dem Integral:
+  \[
+    \varphi: B_r(z_0) ⨯ [0, 2π] \to ℂ, \quad (w, t) ↦ \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· r · i · \exp(it)}{z_0 + r · \exp(it) - w}.
+  \]
+  Die Funktion $\varphi$ ist stetig.  Zusätzlich gilt für jedes $t ∈ [0, 2π]$,
+  dass die Funktion $\varphi(·, t): B_r(z_0) → ℂ$ holomorph ist.  Damit folgt
+  aus dem Satz über die komplexe Ableitung unter dem Integral,
+  Satz~\ref{satz:3-1-12}, dass $f$ auf $B_r(z_0)$ komplex differenzierbar ist
+  (wissen wir schon) und dass für alle $w ∈ B_r(z_0)$ die Gleichung
+  \begin{align*}
+    f'(w) & = \frac{1}{2π i} \int_0^{2π} \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· r · i · \exp(it)}{(z_0 + r · \exp(it) - w)²} \, dt \\
+    & = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_r(z_0)} \frac{f(z)}{(z - w)²} \, dz
+  \end{align*}
+  gilt.
+  
+
+  \paragraph*{Schritt 2: Diskussion der Funktion $f$}
+
+  Betrachte die Funktion unter dem Integral:
+  \[
+    \varphi': B_r(z_0) ⨯ [0, 2π] \to ℂ, \quad (w, t) ↦ \frac{f(z_0 + r · \exp(it))· r · i · \exp(it)}{(z_0 + r · \exp(it) - w)²}.
+  \]
+  Die Funktion $\varphi'$ ist stetig.  Zusätzlich gilt für jedes $t ∈ [0, 2π]$,
+  dass die Funktion $\varphi'(·, t): B_r(z_0) → ℂ$ holomorph ist.  Damit folgt
+  aus dem Satz über die komplexe Ableitung unter dem Integral,
+  Satz~\ref{satz:3-1-12}, dass $f'$ auf $B_r(z_0)$ komplex differenzierbar ist
+  (wissen wir noch nicht) und dass für alle $w ∈ B_r(z_0)$ die Gleichung
+  \[
+    f''(w) = ⋯
+  \]
+  gilt.
+
+  \paragraph*{Schritt 3: Iteriere ad Infimum}
+
+  Induktiv erhalten wir so die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Satz von Liouville\footnote{Joseph Liouville (* 24.~März 1809 in Saint-Omer; † 8.~September 1882 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}]\label{kor:4-4-3}%
+  \index{Satz von Liouville}Sei $f ∈ 𝒪(ℂ)$ eine auf ganz $ℂ$ holomorphe
+  Funktion.  Falls $|f|$ beschränkt ist, dann ist $f$ konstant.
+\end{kor}
+\begin{proof}
+  Sei $M ∈ ℝ⁺$ eine obere Schranke von $|f|$.  Dann gilt nach dem
+  Satz~\ref{satz:4-4-2} von Goursat für alle Zahlen $r > 0$ die Gleichung
+  \[
+    f'(0) = \frac{1}{2π i} \int_{∂ B_r(0)} \frac{f(z)}{(z - 0)²} \, dz.
+  \]
+  Es gilt also für alle Zahlen $r > 0$ die Abschätzung
+  \[
+    |f'(0)| ≤ \frac{M}{2π} · 2π r · \frac{1}{r²}.
+  \]
+  Also $f'(0) = 0$.  Analog zeigt man für alle anderen $z ∈ ℂ$ ebenfalls, dass
+  $f'(z) = 0$ ist.  Nach Konsequenz~\ref{kons:3-2-11} ist $f$ damit konstant.
+\end{proof}
+
+% !TEX root = Funktionentheorie

Funktionentheorie.tex

@@ -139,6 +139,11 @@ Link in den Text ein.
 \input{03-wegintegraleDiffbar}
 \input{04-wegintegraleStetig}
 
+
+\part{Lokale Struktur holomorpher Funktionen}
+
+\input{05-cauchy}
+
 \addchap{Lizenz}
 
 Dieser Text ist unter der Lizenz