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04-wegintegraleStetig.tex

@@ -52,7 +52,7 @@ uns an zwei elementare Fakten der Analysis und Topologie.
   \]
   Wir betrachten dann die Zahl
   \[
-    I_{γ} := \sum_{j=0}^{m-1} \left( F_{i_j}(γ(t_{j+1})) - F_{i_j}(γ(t_j)) \right).
+    I_γ := \sum_{j=0}^{m-1} \left( F_{i_j}(γ(t_{j+1})) - F_{i_j}(γ(t_j)) \right).
   \]
   Konstruktion~\ref{kons:3-4-2} endet hier.
 \end{konstruktion}
@@ -66,7 +66,7 @@ ihn deshalb lieber weg.
   Unterteilung des Intervalls $[a,b]$ ab.  \qed
 \end{fakt}
 
-\begin{beobachtung}
+\begin{beobachtung}\label{beob:4-1-4}%
   Wenn der Weg $γ$ aus Konstruktion~\ref{kons:3-4-2} stetig differenzierbar ist,
   dann gilt
   \[
@@ -74,7 +74,14 @@ ihn deshalb lieber weg.
   \]
 \end{beobachtung}
 
-\begin{definition}[Wegintegrale: Integration über stetige Wege]\label{def:3-4-5}%
+Wie in Bemerkung~\vref{bem:3-2-2} versprochen, können wir nun den Begriff des
+Wegintegrals auf stetige Wege erweitern.  Fakt~\ref{fakt:3-4-3} garantiert, dass
+die Definition sinnvoll ist und nicht von den Wahlen abhängt, die wir in
+Konstruktion~\ref{kons:3-4-2} getroffen haben.  Beobachtung~\ref{beob:4-1-4}
+garantiert, dass die neue Definition für stetig differenzierbare Wege mit der
+alten Definition übereinstimmt.
+
+\begin{definition}[Wegintegrale: Integration über stetige Wege]\label{def:4-1-5}%
   Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph.  Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein
   stetiger Weg.  Dann definiert man das \emph{Wegintegral}\index{Wegintegral!für
   stetige Wege} als