kebekus/Funktionentheorie
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@@ -17,3 +17,20 @@ zusammenziehbarer
Homotopien
Hin-
Demleitner
Viertelung
Integralabschätzung
Goursat
Lanzac
Département
Viertelungsargumentation
Stokes
Baronet
Skreen
Sligo
Sceaux
Breselenz
Selasca
Intra
Verbania
Lebesgue
Beauvais

19
02-diffbarkeit.tex
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@@ -1,7 +1,7 @@
% spell checker language
\selectlanguage{german}
\chapter{Differenzierbarkeit}
\chapter{Komplexe Differenzierbarkeit}
\section{Holomorphe Funktionen}
@@ -164,8 +164,17 @@ Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
\end{proof}
\begin{notation}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
Man nennt das Gleichungssystem~\eqref{eq:2-2-2-1} die „Cauchy-Riemann
partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
Man nennt das Gleichungssystem~\eqref{eq:2-2-2-1} die „Cauchy\footnote{Baron
Augustin-Louis Cauchy (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux)
war ein französischer Mathematiker und Physiker.}-Riemann\footnote{Georg
Friedrich Bernhard Riemann (* 17. September 1826 in Breselenz bei Dannenberg
(Elbe); † 20. Juli 1866 in Selasca, Gemeinde Intra [heute zu Verbania] am Lago
Maggiore) war ein deutscher Mathematiker, der trotz seines relativ kurzen
Lebens auf vielen Gebieten der Analysis, Differenzialgeometrie, mathematischen
Physik und der analytischen Zahlentheorie bahnbrechend wirkte. Er gilt als
einer der bedeutendsten Mathematiker. Seine Arbeit legte den Grundstein für
die Allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein. } partiellen
Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
\end{notation}
\sideremark{Vorlesung 3}Es gilt sogar eine Äquivalenz.
@@ -191,7 +200,9 @@ Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
\end{proof}
Die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine
eigene Notation entwickelt hat.
eigene Notation entwickelt hat, der „Wirtinger\footnote{Wilhelm Wirtinger (* 19.
Juli 1865 in Ybbs an der Donau; † 16. Januar 1945 ebenda) war ein
österreichischer Mathematiker.}-Kalkül“.
\begin{notation}[Wirtinger-Kalkül]\label{not:2-2-6}%
\index{Wirtinger-Kalkül}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine

182
03-wegintegraleDiffbar.tex
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@@ -116,7 +116,7 @@ diese Begriffe nicht verwechseln!
\int_{γ(α)}^{γ(β)} f(t) \, dt = \int_α^β f(γ(s)) · γ'(s) \, ds.
\]
Beachte dabei: Für gegebenes $s$ ist $f(γ(s))$ ein Vektor, und $γ'(s)$ ist
eine reelle Zahl. Das Produkt $f(γ(s)) · γ'(s)$ ist die skalare
eine reelle Zahl. Das Produkt $f(γ(s)) · γ'(s)$ ist die skalare
Multiplikation, die man traditionell eigentlich immer in anderer Reihenfolge
schreibt, mit dem Skalar links und dem Vektor rechts. \qed
\end{satz}
@@ -231,7 +231,7 @@ diese Begriffe nicht verwechseln!
\end{align*}
\end{proof}
\begin{beobachtung}[Abschätzungen]
\begin{beobachtung}[Abschätzungen]\label{beob:3-2-7}%
Wir bleiben in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} und erinnern uns
daran, dass die Länge des Weges $γ$ durch die Formel
\[
@@ -433,6 +433,8 @@ beim Beweis helfen.
\end{proof}
\section{Stammfunktionen auf der Kreisscheibe}
\subsection{Rechteckwege}
Satz~\ref{satz:3-3-9} gibt es sehr allgemein. Die Voraussetzung ist aber sehr
@@ -460,16 +462,22 @@ folgenden Art.
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{notation}
\begin{notation}[Randintegrale über Rechtecke]\label{not:3-4-1}%
Gegeben eine offene Menge $U ⊆ ℂ$, ein achsenparalleles Rechteck $\mathcal{R}
⊂ U$ und eine stetige Funktion $f : U → ℂ$, dann nennt man
\[
\int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz + \int_{γ_3} f(z)\, dz + \int_{γ_4} f(z)\, dz
\int_{∂ \mathcal{R}} f(z)\, dz \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz + \int_{γ_3} f(z)\, dz + \int_{γ_4} f(z)\, dz
\]
das \emph{Randintegral}\index{Randintegral} über das Rechteck $\mathcal{R}$.
\end{notation}
\begin{satz}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe]\label{satz:3-3-11}%
\begin{bemerkung}
In Notation~\ref{not:3-4-1} meinen ich mit dem Rechteck $\mathcal{R}$ die
(topologisch abgeschlossene) Rechtecksfläche. Mit $\mathcal{R} ⊂ U$ meine ich
also, dass das gesamte Rechteck in $U$ liegt, also nicht nur der Rand.
\end{bemerkung}
\begin{satz}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe I]\label{satz:3-3-11}%
Es sei $U = \{z ∈ ℂ \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U → ℂ$
eine stetige Funktion, sodass das Randintegral über achsenparallele Rechtecke
stets verschwindet. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
@@ -553,7 +561,167 @@ folgenden Art.
gilt.
\end{proof}
{\color{red}Hier fehlt das Korollar, dass jede holomorphe Funktion auf der Kreisscheibe
eine Stammfunktion besitzt.}
\subsection{Der Satz von Goursat}
Satz~\ref{satz:3-3-11} beweist die Existenz von Stammfunktionen unter der
Voraussetzung, dass das Randintegral über achsenparallele Rechtecke
verschwindet. Der folgende Satz von Goursat\footnote{Édouard Jean-Baptiste
Goursat (* 21. Mai 1858 in Lanzac, Département Lot, Frankreich; † 25. November
1936 in Paris, Frankreich) war ein französischer Mathematiker, der als Verfasser
eines klassischen Analysis-Lehrbuchs bekannt ist.} zeigt, dass diese
Voraussetzung für holomorphe Funktionen immer erfüllt ist.
Der Satz von Goursat ist ein Spezialfall der viel allgemeineren Integralformel
von Stokes\footnote{Sir George Gabriel Stokes, 1. Baronet PRS (* 13. August 1819
in Skreen, County Sligo; † 1. Februar 1903 in Cambridge) war ein irischer
Mathematiker und Physiker.}, die den Hauptsatz der Differenzial- und
Integralrechnung auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Weil sie die Formel
von Stokes in ihren Vorlesungen vielleicht noch nicht kennengelernt haben, gebe
ich hier einen direkten und elementaren Beweis des Satzes von Goursat, der auf
einer Viertelungsargumentation basiert.
\begin{satz}[Satz von Goursat]\label{satz:3-4-6}%
Es sei $U ⊆ ℂ$ offen, es sei $f ∈ 𝒪(U)$ holomorph und sei
$\mathcal{R} ⊂ G$ ein achsenparalleles Rechteck. Dann gilt:
\begin{equation}\label{eq:3-4-6-1}
\int_{∂ R} f(z) \, dz = 0
\end{equation}
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis im Spezialfall]
Wir beweisen die Aussage zuerst im Spezialfall, dass $f$ in $R$ sogar konstant
ist. In diesem Fall ist das Integral über jede Kante des Rechtecks das
Integral einer Konstanten über eine Strecke, also der Wert der Konstanten
multipliziert mit der Länge der Strecke. Da die Kanten des Rechtecks
paarweise entgegengesetzt orientiert sind, heben sich die Integrale über die
gegenüberliegenden Kanten auf, und somit ist das gesamte Randintegral gleich
null.
Analog beweisen wir die Aussage im Spezialfall, dass $f$ in $R$ eine affine
Funktion ist, also die Form $f(z) = a z + b$ mit $a, b ∈ ℂ$ hat. Wiederum
heben sich die Integrale über die gegenüberliegenden Kanten des Rechtecks auf,
da die Beiträge der linearen Funktion an den gegenüberliegenden Kanten gleich
groß und entgegengesetzt sind. Somit ist auch in diesem Fall das gesamte
Randintegral gleich null.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis im Allgemeinen]
Der Beweis ist relativ lang und deshalb in mehrere Schritte aufgeteilt. Wie
üblich in der Analysis zeige ich \eqref{eq:3-4-6-1} nicht direkt, sondern
beweise die Aussage: Sei $d$ der Durchmesser des Rechtecks $\mathcal{R}$ und
sei $U$ der Umfang. Dann gilt für alle $ε > 0$ die Abschätzung
\begin{equation}\label{eq:3-4-6-2}
\left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right| ≤ ε · d · U.
\end{equation}
Sei also eine Zahl $ε > 0$ gegeben.
\paragraph*{Schritt 1: Viertelung des Rechtecks}
Teile $R$ durch Mittelsenkrechte in vier kongruente Rechtecke $R_1, R_2, R_3,
R_4$. Die Integrale über die inneren Kanten heben sich paarweise auf
(entgegengesetzte Orientierung), daher gilt
\[
\int_{∂ R} f(z) \, dz = \sum_{j=1}⁴ \int_{∂ R_j} f(z) \, dz.
\]
\paragraph{Schritt 2: Auswahl}
Nach der Dreiecksungleichung gilt die Ungleichung
\[
\left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right| ≤ \sum_{j=1}⁴ \left|\int_{∂ R_j} f(z) \, dz\right|.
\]
Also existiert (mindestens) ein Index $j$ mit:
\[
\left|\int_{∂ R_j} f(z) \, dz\right| ≥ \frac{1}{4}\left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right|
\]
Wähle ein solches Rechteck und nenne es $R^{(1)}$.
\paragraph{Schritt 3: Iteration}
Wiederhole dieses Verfahren: Teile $R^{(1)}$ in vier Teile, wähle $R^{(2)}$
mit
\[
\left|\int_{∂ R^{(2)}} f(z) \, dz\right| ≥ \frac{1}{4}\left|\int_{∂ R^{(1)}} f(z) \, dz\right|
\]
und so weiter. Wir erhalten eine Folge geschachtelter Rechtecke,
\[
R = R^{(0)} ⊃ R^{(1)} ⊃ R^{(2)} ⊃ ⋯
\]
mit folgenden Eigenschaften.
\begin{enumerate}
\item Für jede Zahl $n$ sei $d_n$ der \textbf{Durchmesser} des Rechtecks
$R^{(n)}$. Dann ist $d_n = 2^{-n}·d$.
\item\label{il:3-4-6-4} Für jede Zahl $n$ sei $U_n$ der \textbf{Umfang} des
Rechtecks $R^{(n)}$. Dann ist $U_n = 2^{-n}·U$.
\item\label{il:3-4-6-5} Entsprechend der Auswahl der Rechtecke gilt die
\textbf{Integralabschätzung}
\[
\left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz\right| ≥ 4^{-n}\left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right|.
\]
\end{enumerate}
\paragraph{Schritt 4: Konvergenzpunkt}
Da die Rechtecke geschachtelt sind und ihre Durchmesser gegen 0 gehen,
existiert genau ein Punkt: $z_0 ∈ \bigcap_{n=1}^∞ R^{(n)}$. Dieser Punkt liegt
in $R ⊂ G$.
\paragraph{Schritt 5: Komplexe Differenzierbarkeit}
Da $f$ in $z_0$ komplex differenzierbar ist, gilt:
\begin{equation}\label{eq:3-4-6-6}
f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + r(z),
\end{equation}
wobei der Rest $r(z)$ die Eigenschaft hat:
\[
\lim_{z → z_0} \frac{r(z)}{z - z_0} = 0.
\]
Das bedeutet: Zu unserem gegebenen $ε > 0$ existiert $δ > 0$, sodass für jeden
Punkt $z$ mit $|z - z_0| < δ$ gilt:
\begin{equation}\label{eq:3-4-6-7}
|r(z)| ≤ ε |z - z_0|.
\end{equation}
\paragraph{Schritt 6: Integralabschätzung}
Für hinreichend großes $n$ liegt $R^{(n)}$ ganz in der $δ$-Umgebung von $z_0$.
Für jedes $z ∈ ∂ R^{(n)}$ mit $|z - z_0| ≤ d_n = 2^{-n} d$ gilt dann
nach~\eqref{eq:3-4-6-7} die Ungleichung
\begin{equation}\label{eq:3-4-6-8}
|r(z)| ≤ ε · 2^{-n} d.
\end{equation}
Wir erhalten damit die folgende Integralabschätzung:
\begin{align*}
\left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz \right| &= \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0) + r(z) \, dz \right| && \text{\eqref{eq:3-4-6-6}}\\
& = \left|\int_{∂ R^{(n)}} r(z) \, dz \right| && \text{Beweis im Spezialfall} \\
& = \int_{∂ R^{(n)}} \left|r(z) \right| \, dz && \text{Dreiecksungleichung} \\
& ≤ \int_{∂ R^{(n)}} \left|r(z) \right| \, dz && \text{Dreiecksungleichung} \\
& ≤ \max_{z ∈ ∂ R^{(n)}} |r(z)| · U_n && \text{Monotonie} \\
& ≤ ε · 2^{-n}·d·U_n && \text{\eqref{eq:3-4-6-7}} \\
& = ε · 2^{-n}· d·2^{-n}·U && \text{\ref{il:3-4-6-4}} \\
& = ε · 4^{-n}·d·U.
\end{align*}
\paragraph{Schritt 7: Ende des Beweises}
In der Summe aller bisheriger Schritte finden wir
\begin{align*}
\left|\int_{∂ \mathcal{R}} f(z) \, dz \right| &≤ 4^n \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz\right| && \text{\ref{il:3-4-6-5}} \\
& ≤ 4^n·ε·4^{-n}·d·U = ε·d·U && \text{Schritt 6.}
\end{align*}
Das ist Ungleichung~\eqref{eq:3-4-6-2}, die zu zeigen war.
\end{proof}
\begin{kor}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe I]\label{kor:3-4-7}%
Es sei $U = \{z ∈ ℂ \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U → ℂ$
holomorph. Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion. \qed
\end{kor}
% !TEX root = Funktionentheorie

23
04-wegintegraleStetig.tex
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@@ -27,8 +27,10 @@ uns an zwei elementare Fakten der Analysis und Topologie.
⊆ Δ_i$.
\end{enumerate}
Die Zahl $δ$ aus \ref{il:3-4-1-3} ist Ihnen vielleicht als
\emph{Lebesgue-Zahl}\index{Lebesgue-Zahl} der Überdeckung $\{Δ_1, …, Δ_n\}$
bekannt. Details finden Sie unter anderem bei
\emph{Lebesgue-Zahl}\index{Lebesgue-Zahl}\footnote{Henri Léon Lebesgue (* 28.
Juni 1875 in Beauvais; † 26. Juli 1941 in Paris) war ein französischer
Mathematiker.} der Überdeckung $\{Δ_1, …, Δ_n\}$ bekannt. Details finden Sie
unter anderem bei
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue's_number_lemma}{Wikipedia}.
\end{erinnerung}
@@ -213,12 +215,11 @@ dies präzise dar.
\end{align*}
sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge
$Γ\bigl([t_j, t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}]\bigr)$ ganz in einer der Kreisscheiben
$Δ_1, …, Δ_n$ liegt. Als Nächstes wenden wir
Satz~\ref{satz:3-3-11}\sideremark{Disaster here: Existenz von Stammfunktionen
ist nicht sicher!} an und wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine
Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von $f|_{Δ_i}$. Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3}
gilt dann für jeden der in Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten
(geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$ die Gleichung
$Δ_1, …, Δ_n$ liegt. Als Nächstes wenden wir Korollar~\ref{kor:3-4-7} an und
wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von
$f|_{Δ_i}$. Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in
Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$
die Gleichung
\[
\int_{β_{j,l}} f(z) \, dz = 0.
\]
@@ -274,7 +275,7 @@ dies präzise dar.
stetige Wege gleichem Start- und Endpunkt, $γ_0(a_0) = γ_1(a_1)$ und $γ_0(b_0)
= γ_1(b_1)$. Betrachte als Nächstes den Weg $γ$, definiert durch
\[
γ : [a_0, b_0 + b_1 - a_1] → U, \quad t ↦ :=
γ : [a_0, b_0 + b_1 - a_1] → U, \quad t ↦ :=
\begin{cases}
γ_0(t) & t ∈ [a_0, b_0), \\
γ_1(b_0 + b_1 - t) & t ∈ [b_0, b_0 + b_1 - a_1].
@@ -282,7 +283,7 @@ dies präzise dar.
\]
Beachte, dass der Weg $γ$ stetig ist und $γ(a_0) = γ(b_0 + b_1 - a_1)$ gilt,
also dass $γ$ ein geschlossener Weg ist. Da $U$ wegweise einfach
zusammenhängend ist, ist der Weg $γ$ zusammenziehbar. Nach dem gilt daher nach
zusammenhängend ist, ist der Weg $γ$ zusammenziehbar. Nach dem gilt daher nach
dem Integralsatz von Cauchy,
\begin{align*}
0 & = \int_{γ} f(z) \, dz && \text{Korollar~\ref{kor:4-3-2}}\\
@@ -396,7 +397,7 @@ sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
Der Integralsatz von Cauchy kann verwendet werden, um rein reelle Integrale
auszurechnen, die uns auch schon in der Vorlesung „Analysis II“ interessiert
hätten. Die Notizen von Andreas Demleitner zur Vorlesung „Funktionentheorie“
hätten. Die Notizen von Andreas Demleitner zur Vorlesung „Funktionentheorie“
aus dem Jahr 2022 sind so gut, dass ich die Seiten hier einfach wiedergebe.
\begin{center}

2
Funktionentheorie.tex
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@@ -132,7 +132,7 @@ Link in den Text ein.
%
% Das ist Stefan's Teil. Hier bitte nur Fehlerkorrekturen.
%
\part{Platzhalter}
\part{Infinitesimalrechnung im Komplexen}
\input{01-komplexeZahlen}
\input{02-diffbarkeit}