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@@ -17,3 +17,20 @@ zusammenziehbarer
 Homotopien
 Hin-
 Demleitner
+Viertelung
+Integralabschätzung
+Goursat
+Lanzac
+Département
+Viertelungsargumentation
+Stokes
+Baronet
+Skreen
+Sligo
+Sceaux
+Breselenz
+Selasca
+Intra
+Verbania
+Lebesgue
+Beauvais

02-diffbarkeit.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 % spell checker language
 \selectlanguage{german}
 
-\chapter{Differenzierbarkeit}
+\chapter{Komplexe Differenzierbarkeit}
 
 \section{Holomorphe Funktionen}
 
@@ -164,8 +164,17 @@ Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
 \end{proof}
 
 \begin{notation}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
-  Man nennt das Gleichungssystem~\eqref{eq:2-2-2-1} die „Cauchy-Riemann
+  Man nennt das Gleichungssystem~\eqref{eq:2-2-2-1} die „Cauchy\footnote{Baron
-  partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
+  Augustin-Louis Cauchy (* 21.  August 1789 in Paris; † 23.  Mai 1857 in Sceaux)
+  war ein französischer Mathematiker und Physiker.}-Riemann\footnote{Georg
+  Friedrich Bernhard Riemann (* 17.  September 1826 in Breselenz bei Dannenberg
+  (Elbe); † 20.  Juli 1866 in Selasca, Gemeinde Intra [heute zu Verbania] am Lago
+  Maggiore) war ein deutscher Mathematiker, der trotz seines relativ kurzen
+  Lebens auf vielen Gebieten der Analysis, Differenzialgeometrie, mathematischen
+  Physik und der analytischen Zahlentheorie bahnbrechend wirkte.  Er gilt als
+  einer der bedeutendsten Mathematiker.  Seine Arbeit legte den Grundstein für
+  die Allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein.  } partiellen
+  Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
 \end{notation}
 
 \sideremark{Vorlesung 3}Es gilt sogar eine Äquivalenz.
@@ -191,7 +200,9 @@ Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
 \end{proof}
 
 Die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine
-eigene Notation entwickelt hat.
+eigene Notation entwickelt hat, der „Wirtinger\footnote{Wilhelm Wirtinger (* 19.
+Juli 1865 in Ybbs an der Donau; † 16. Januar 1945 ebenda) war ein
+österreichischer Mathematiker.}-Kalkül“.
 
 \begin{notation}[Wirtinger-Kalkül]\label{not:2-2-6}%
   \index{Wirtinger-Kalkül}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine

03-wegintegraleDiffbar.tex

@@ -116,7 +116,7 @@ diese Begriffe nicht verwechseln!
     \int_{γ(α)}^{γ(β)} f(t) \, dt = \int_α^β f(γ(s)) · γ'(s) \, ds.
   \]
   Beachte dabei: Für gegebenes $s$ ist $f(γ(s))$ ein Vektor, und $γ'(s)$ ist
-  eine reelle Zahl. Das Produkt $f(γ(s)) · γ'(s)$ ist die skalare
+  eine reelle Zahl.  Das Produkt $f(γ(s)) · γ'(s)$ ist die skalare
   Multiplikation, die man traditionell eigentlich immer in anderer Reihenfolge
   schreibt, mit dem Skalar links und dem Vektor rechts.  \qed
 \end{satz}
@@ -231,7 +231,7 @@ diese Begriffe nicht verwechseln!
   \end{align*}
 \end{proof}
 
-\begin{beobachtung}[Abschätzungen]
+\begin{beobachtung}[Abschätzungen]\label{beob:3-2-7}%
   Wir bleiben in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} und erinnern uns
   daran, dass die Länge des Weges $γ$ durch die Formel
   \[
@@ -433,6 +433,8 @@ beim Beweis helfen.
 \end{proof}
 
 
+\section{Stammfunktionen auf der Kreisscheibe}
+
 \subsection{Rechteckwege}
 
 Satz~\ref{satz:3-3-9} gibt es sehr allgemein.  Die Voraussetzung ist aber sehr
@@ -460,16 +462,22 @@ folgenden Art.
   \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
-\begin{notation}
+\begin{notation}[Randintegrale über Rechtecke]\label{not:3-4-1}%
   Gegeben eine offene Menge $U ⊆ ℂ$, ein achsenparalleles Rechteck $\mathcal{R}
   ⊂ U$ und eine stetige Funktion $f : U → ℂ$, dann nennt man
   \[
-    \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz + \int_{γ_3} f(z)\, dz + \int_{γ_4} f(z)\, dz
+    \int_{∂ \mathcal{R}} f(z)\, dz \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz + \int_{γ_3} f(z)\, dz + \int_{γ_4} f(z)\, dz
   \]
   das \emph{Randintegral}\index{Randintegral} über das Rechteck $\mathcal{R}$.
 \end{notation}
 
-\begin{satz}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe]\label{satz:3-3-11}%
+\begin{bemerkung}
+  In Notation~\ref{not:3-4-1} meinen ich mit dem Rechteck $\mathcal{R}$ die
+  (topologisch abgeschlossene) Rechtecksfläche.  Mit $\mathcal{R} ⊂ U$ meine ich
+  also, dass das gesamte Rechteck in $U$ liegt, also nicht nur der Rand.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe I]\label{satz:3-3-11}%
   Es sei $U = \{z ∈ ℂ \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U → ℂ$
   eine stetige Funktion, sodass das Randintegral über achsenparallele Rechtecke
   stets verschwindet.  Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
@@ -553,7 +561,167 @@ folgenden Art.
   gilt.
 \end{proof}
 
-{\color{red}Hier fehlt das Korollar, dass jede holomorphe Funktion auf der Kreisscheibe
+
-eine Stammfunktion besitzt.}
+\subsection{Der Satz von Goursat}
+
+Satz~\ref{satz:3-3-11} beweist die Existenz von Stammfunktionen unter der
+Voraussetzung, dass das Randintegral über achsenparallele Rechtecke
+verschwindet.  Der folgende Satz von Goursat\footnote{Édouard Jean-Baptiste
+Goursat (* 21.  Mai 1858 in Lanzac, Département Lot, Frankreich; † 25.  November
+1936 in Paris, Frankreich) war ein französischer Mathematiker, der als Verfasser
+eines klassischen Analysis-Lehrbuchs bekannt ist.} zeigt, dass diese
+Voraussetzung für holomorphe Funktionen immer erfüllt ist.
+
+Der Satz von Goursat ist ein Spezialfall der viel allgemeineren Integralformel
+von Stokes\footnote{Sir George Gabriel Stokes, 1.  Baronet PRS (* 13.  August 1819
+in Skreen, County Sligo; † 1.  Februar 1903 in Cambridge) war ein irischer
+Mathematiker und Physiker.}, die den Hauptsatz der Differenzial- und
+Integralrechnung auf höhere Dimensionen verallgemeinert.  Weil sie die Formel
+von Stokes in ihren Vorlesungen vielleicht noch nicht kennengelernt haben, gebe
+ich hier einen direkten und elementaren Beweis des Satzes von Goursat, der auf
+einer Viertelungsargumentation basiert.
+
+\begin{satz}[Satz von Goursat]\label{satz:3-4-6}%
+  Es sei $U ⊆ ℂ$ offen, es sei $f ∈ 𝒪(U)$ holomorph und sei
+  $\mathcal{R} ⊂ G$ ein achsenparalleles Rechteck.  Dann gilt:
+  \begin{equation}\label{eq:3-4-6-1}
+    \int_{∂ R} f(z) \, dz = 0
+  \end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis im Spezialfall]
+  Wir beweisen die Aussage zuerst im Spezialfall, dass $f$ in $R$ sogar konstant
+  ist.  In diesem Fall ist das Integral über jede Kante des Rechtecks das
+  Integral einer Konstanten über eine Strecke, also der Wert der Konstanten
+  multipliziert mit der Länge der Strecke.  Da die Kanten des Rechtecks
+  paarweise entgegengesetzt orientiert sind, heben sich die Integrale über die
+  gegenüberliegenden Kanten auf, und somit ist das gesamte Randintegral gleich
+  null.
+
+  Analog beweisen wir die Aussage im Spezialfall, dass $f$ in $R$ eine affine
+  Funktion ist, also die Form $f(z) = a z + b$ mit $a, b ∈ ℂ$ hat.  Wiederum
+  heben sich die Integrale über die gegenüberliegenden Kanten des Rechtecks auf,
+  da die Beiträge der linearen Funktion an den gegenüberliegenden Kanten gleich
+  groß und entgegengesetzt sind.  Somit ist auch in diesem Fall das gesamte
+  Randintegral gleich null.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis im Allgemeinen]
+  Der Beweis ist relativ lang und deshalb in mehrere Schritte aufgeteilt.  Wie
+  üblich in der Analysis zeige ich \eqref{eq:3-4-6-1} nicht direkt, sondern
+  beweise die Aussage: Sei $d$ der Durchmesser des Rechtecks $\mathcal{R}$ und
+  sei $U$ der Umfang.  Dann gilt für alle $ε > 0$ die Abschätzung
+  \begin{equation}\label{eq:3-4-6-2}
+    \left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right| ≤ ε · d · U.
+  \end{equation}
+  Sei also eine Zahl $ε > 0$ gegeben.
+
+
+  \paragraph*{Schritt 1: Viertelung des Rechtecks}
+
+  Teile $R$ durch Mittelsenkrechte in vier kongruente Rechtecke $R_1, R_2, R_3,
+  R_4$.  Die Integrale über die inneren Kanten heben sich paarweise auf
+  (entgegengesetzte Orientierung), daher gilt
+  \[
+    \int_{∂ R} f(z) \, dz = \sum_{j=1}⁴ \int_{∂ R_j} f(z) \, dz.
+  \]
+
+
+  \paragraph{Schritt 2: Auswahl}
+
+  Nach der Dreiecksungleichung gilt die Ungleichung
+  \[
+    \left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right| ≤ \sum_{j=1}⁴ \left|\int_{∂ R_j} f(z) \, dz\right|.
+  \]
+  Also existiert (mindestens) ein Index $j$ mit:
+  \[
+    \left|\int_{∂ R_j} f(z) \, dz\right| ≥ \frac{1}{4}\left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right|
+  \]
+  Wähle ein solches Rechteck und nenne es $R^{(1)}$.
+
+
+  \paragraph{Schritt 3: Iteration}
+
+  Wiederhole dieses Verfahren: Teile $R^{(1)}$ in vier Teile, wähle $R^{(2)}$
+  mit
+  \[
+    \left|\int_{∂ R^{(2)}} f(z) \, dz\right| ≥ \frac{1}{4}\left|\int_{∂ R^{(1)}} f(z) \, dz\right|
+  \]
+  und so weiter.  Wir erhalten eine Folge geschachtelter Rechtecke,
+  \[
+    R = R^{(0)} ⊃ R^{(1)} ⊃ R^{(2)} ⊃ ⋯
+  \]
+  mit folgenden Eigenschaften.
+  \begin{enumerate}
+    \item Für jede Zahl $n$ sei $d_n$ der \textbf{Durchmesser} des Rechtecks
+    $R^{(n)}$.  Dann ist $d_n = 2^{-n}·d$.
+
+    \item\label{il:3-4-6-4} Für jede Zahl $n$ sei $U_n$ der \textbf{Umfang} des
+    Rechtecks $R^{(n)}$.  Dann ist $U_n = 2^{-n}·U$.
+
+    \item\label{il:3-4-6-5} Entsprechend der Auswahl der Rechtecke gilt die
+    \textbf{Integralabschätzung}
+    \[
+      \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz\right| ≥ 4^{-n}\left|\int_{∂ R} f(z) \, dz\right|.
+    \]
+  \end{enumerate}
+
+  \paragraph{Schritt 4: Konvergenzpunkt}
+
+  Da die Rechtecke geschachtelt sind und ihre Durchmesser gegen 0 gehen,
+  existiert genau ein Punkt: $z_0 ∈ \bigcap_{n=1}^∞ R^{(n)}$. Dieser Punkt liegt
+  in $R ⊂ G$.
+
+
+  \paragraph{Schritt 5: Komplexe Differenzierbarkeit}
+
+  Da $f$ in $z_0$ komplex differenzierbar ist, gilt:
+  \begin{equation}\label{eq:3-4-6-6}
+    f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + r(z),
+  \end{equation}
+  wobei der Rest $r(z)$ die Eigenschaft hat:
+  \[
+    \lim_{z → z_0} \frac{r(z)}{z - z_0} = 0.
+  \]
+  Das bedeutet: Zu unserem gegebenen $ε > 0$ existiert $δ > 0$, sodass für jeden
+  Punkt $z$ mit $|z - z_0| < δ$ gilt:
+  \begin{equation}\label{eq:3-4-6-7}
+    |r(z)| ≤ ε |z - z_0|.
+  \end{equation}
+
+  \paragraph{Schritt 6: Integralabschätzung}
+
+  Für hinreichend großes $n$ liegt $R^{(n)}$ ganz in der $δ$-Umgebung von $z_0$.
+  Für jedes $z ∈ ∂ R^{(n)}$ mit $|z - z_0| ≤ d_n = 2^{-n} d$ gilt dann
+  nach~\eqref{eq:3-4-6-7} die Ungleichung
+  \begin{equation}\label{eq:3-4-6-8}
+    |r(z)| ≤ ε · 2^{-n} d.
+  \end{equation}
+  Wir erhalten damit die folgende Integralabschätzung:  
+  \begin{align*}
+    \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz \right| &= \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0) + r(z) \, dz \right| && \text{\eqref{eq:3-4-6-6}}\\
+    & = \left|\int_{∂ R^{(n)}} r(z) \, dz \right| && \text{Beweis im Spezialfall} \\
+    & = \int_{∂ R^{(n)}} \left|r(z) \right| \, dz && \text{Dreiecksungleichung} \\
+    & ≤ \int_{∂ R^{(n)}} \left|r(z) \right| \, dz && \text{Dreiecksungleichung} \\
+    & ≤ \max_{z ∈ ∂ R^{(n)}} |r(z)| · U_n && \text{Monotonie} \\
+    & ≤ ε · 2^{-n}·d·U_n && \text{\eqref{eq:3-4-6-7}} \\
+    & = ε · 2^{-n}· d·2^{-n}·U && \text{\ref{il:3-4-6-4}} \\
+    & = ε · 4^{-n}·d·U.
+  \end{align*}
+  
+  \paragraph{Schritt 7: Ende des Beweises}
+
+  In der Summe aller bisheriger Schritte finden wir
+  \begin{align*}
+    \left|\int_{∂ \mathcal{R}} f(z) \, dz \right| &≤ 4^n \left|\int_{∂ R^{(n)}} f(z) \, dz\right| && \text{\ref{il:3-4-6-5}} \\
+    & ≤ 4^n·ε·4^{-n}·d·U = ε·d·U && \text{Schritt 6.}
+  \end{align*}
+  Das ist Ungleichung~\eqref{eq:3-4-6-2}, die zu zeigen war.
+\end{proof}
+
+\begin{kor}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe I]\label{kor:3-4-7}%
+  Es sei $U = \{z ∈ ℂ \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U → ℂ$
+  holomorph.  Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.  \qed
+\end{kor}
 
 % !TEX root = Funktionentheorie

04-wegintegraleStetig.tex

@@ -27,8 +27,10 @@ uns an zwei elementare Fakten der Analysis und Topologie.
     ⊆ Δ_i$.
   \end{enumerate}
   Die Zahl $δ$ aus \ref{il:3-4-1-3} ist Ihnen vielleicht als
-  \emph{Lebesgue-Zahl}\index{Lebesgue-Zahl} der Überdeckung $\{Δ_1, …, Δ_n\}$
+  \emph{Lebesgue-Zahl}\index{Lebesgue-Zahl}\footnote{Henri Léon Lebesgue (* 28.
-  bekannt.  Details finden Sie unter anderem bei
+  Juni 1875 in Beauvais; † 26.  Juli 1941 in Paris) war ein französischer
+  Mathematiker.} der Überdeckung $\{Δ_1, …, Δ_n\}$ bekannt.  Details finden Sie
+  unter anderem bei
   \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue's_number_lemma}{Wikipedia}.
 \end{erinnerung}
 
@@ -213,12 +215,11 @@ dies präzise dar.
   \end{align*}
   sodass für alle Indizes $0 ≤ j < m$ und $0 ≤ l < k$ die Bildmenge
   $Γ\bigl([t_j, t_{j+1}] ⨯ [s_l, s_{l+1}]\bigr)$ ganz in einer der Kreisscheiben
-  $Δ_1, …, Δ_n$ liegt.  Als Nächstes wenden wir
+  $Δ_1, …, Δ_n$ liegt.  Als Nächstes wenden wir Korollar~\ref{kor:3-4-7} an und
-  Satz~\ref{satz:3-3-11}\sideremark{Disaster here: Existenz von Stammfunktionen
+  wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von
-  ist nicht sicher!} an und wählen für jede Kreisscheibe $Δ_i$ eine
+  $f|_{Δ_i}$.  Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3} gilt dann für jeden der in
-  Stammfunktion $F_i: Δ_i → ℂ$ von $f|_{Δ_i}$.  Nach Konsequenz~\ref{kons:3-3-3}
+  Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten (geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$
-  gilt dann für jeden der in Abbildung~\ref{fig:4-3-1-1} eingezeichneten
+  die Gleichung
-  (geschlossenen!) Wege $β_{i,j}$ die Gleichung
   \[
     \int_{β_{j,l}} f(z) \, dz = 0.
   \]
@@ -274,7 +275,7 @@ dies präzise dar.
   stetige Wege gleichem Start- und Endpunkt, $γ_0(a_0) = γ_1(a_1)$ und $γ_0(b_0)
   = γ_1(b_1)$.  Betrachte als Nächstes den Weg $γ$, definiert durch
   \[
-    γ : [a_0, b_0 + b_1 - a_1] → U, \quad t ↦ := 
+    γ : [a_0, b_0 + b_1 - a_1] → U, \quad t ↦ :=
     \begin{cases}
       γ_0(t) & t ∈ [a_0, b_0), \\
       γ_1(b_0 + b_1 - t) & t ∈ [b_0, b_0 + b_1 - a_1].
@@ -282,7 +283,7 @@ dies präzise dar.
   \]
   Beachte, dass der Weg $γ$ stetig ist und $γ(a_0) = γ(b_0 + b_1 - a_1)$ gilt,
   also dass $γ$ ein geschlossener Weg ist.  Da $U$ wegweise einfach
-  zusammenhängend ist, ist der Weg $γ$ zusammenziehbar. Nach dem gilt daher nach
+  zusammenhängend ist, ist der Weg $γ$ zusammenziehbar.  Nach dem gilt daher nach
   dem Integralsatz von Cauchy,
   \begin{align*}
     0 & = \int_{γ} f(z) \, dz && \text{Korollar~\ref{kor:4-3-2}}\\
@@ -396,7 +397,7 @@ sich mit kleinen Änderungen auch auf freie Homotopien von geschlossenen Wegen
 
 Der Integralsatz von Cauchy kann verwendet werden, um rein reelle Integrale
 auszurechnen, die uns auch schon in der Vorlesung „Analysis II“ interessiert
-hätten.  Die Notizen von Andreas Demleitner zur  Vorlesung „Funktionentheorie“
+hätten.  Die Notizen von Andreas Demleitner zur Vorlesung „Funktionentheorie“
 aus dem Jahr 2022 sind so gut, dass ich die Seiten hier einfach wiedergebe.
 
 \begin{center}

Funktionentheorie.tex

@@ -132,7 +132,7 @@ Link in den Text ein.
 %
 % Das ist Stefan's Teil.  Hier bitte nur Fehlerkorrekturen.
 %
-\part{Platzhalter}
+\part{Infinitesimalrechnung im Komplexen}
 
 \input{01-komplexeZahlen}
 \input{02-diffbarkeit}