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\chapter{Wegintegrale}

\section{Integration von vektorwertigen Funktionen}

In diesem Abschnitt ist $[a,b] ⊂ ℝ$ stets ein nicht leeres, kompaktes Intervall.
Weiter sei $V$ ein reeller, endlich-dimensionaler Vektorraum.

\begin{definition}[Integration von Funktionen mit Werten im $ℝ^n$]\label{def:3-1-1}%
  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → ℝ^n$, dann definiert man
  \[
    \int_a^b f(t) \, dt ∈ ℝ^n
  \]
  durch komponentenweise Integration.
\end{definition}

\begin{definition}[Integration von vektorwertigen Funktionen]
  Gegeben eine stetige Abbildung $f: [a,b] → V$, dann wählt man eine Basis von
  $V$, um $V$ mit $ℝ^n$ zu identifizieren, definiert $\int_a^b f(t) \, dt$
  mithilfe von Definition~\ref{def:3-1-1} und rechnet nach, dass das Ergebnis
  nicht von der Wahl der Basis abhängt.
\end{definition}

\begin{bsp}
  Es ist
  \[
    \int_0^{2π} \exp(i · t) \, dt = \begin{pmatrix} \int_0^{2π} \cos(t) \, dt \\ \int_0^{2π} \sin(t) \, dt \end{pmatrix} = 0 ∈ ℂ.
  \]
\end{bsp}

Die folgenden Aussagen sollten Ihnen aus den Analysis-Vorlesungen bekannt sein.

\begin{prop}
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Dann gilt Folgendes.
  \begin{enumerate}
  \item Für jedes $c ∈ (a,b)$ gilt $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^c f(t) \, dt +
  \int_c^b f(t) \, dt$.

  \item Wenn $W$ reell-dimensionaler $ℝ$-Vektorraum ist und $φ: V → W$ linear,
  dann ist
  \[
    \int_a^b (φ ◦ f)(t) \, dt = φ \left( \int_a^b f(t) \, dt \right).
  \]

  \item Wenn $f \equiv \vec{v}$ konstant ist, dann ist $\int_a^b f(t) \, dt =
  (b-a) · \vec{v}$

  \item Für jede Norm auf $V$ gilt $\left\| \int_a^b f(t) \, dt \right\| ≤
  \int_a^b \|f(t)\| \, dt.$ \qed
  \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{definition}[Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Eine Abbildung $F: [a,b] → V$ heißt
  Stammfunktion\index{Stammfunktion} von $f$, falls $F$ differenzierbar ist und
  die Gleichung $F' = f$ gilt.
\end{definition}

\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig.  Dann ist
  \[
    F: [a,b] → V, \quad t ↦ \int_a^t f(u) \, du
  \]
  eine Stammfunktion \qed
\end{satz}

\begin{satz}[Eindeutigkeit von Stammfunktionen]
  Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante \qed
\end{satz}

\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion.  Dann ist
  \[
    \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a).  \eqno\qed
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[Integrale und Stammfunktionen]
  Sei $f: [a,b] → V$ stetig und $F$ eine Stammfunktion.  Dann ist
  \[
    \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a).  \eqno\qed
  \]
\end{satz}

\sideremark{Vorlesung 4}

\begin{bsp}[Integrale und Stammfunktionen]
  Durch die Formel $\frac{1}{i} \exp(it)$ ist eine Stammfunktion von $\exp(it)$
  gegeben.  Also ist
  \[
    \int_0^{2π} \exp(it) \, dt = \frac{1}{i} \left( \exp(2πi) - \exp(2πi · 0) \right) = 0.
  \]
\end{bsp}


\subsection{Rechenregeln zur Integration}

\begin{satz}[Substitution]\label{satz:substitution}%
  Es sei $[α,β] ⊂ ℝ$ nicht leer und kompakt, und $γ: [α,β] → [a,b]$ sei
  differenzierbar.  Dann ist
  \[
    \int_{γ(α)}^{γ(β)} f(t) \, dt = \int_α^β f(γ(s)) · γ'(s) \, ds.  \qed
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[Ableiten unter dem Integral]\label{satz:ableiten-integral}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, und es sei $(f_t)_{t ∈ [a,b]}$ eine Familie von
  holomorphen Funktionen.  Falls die Abbildung
  \[
    f: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ f_t(z)
  \]
  und
  \[
    \frac{∂f}{∂z}: U ⨯ [a,b] → ℂ, \quad (z,t) ↦ \frac{∂f_t}{∂z}(z)
  \]
  beide stetig sind, dann ist die Abbildung
  \[
    F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_0^b f_t(z) \, dt
  \]
  holomorph und
  \[
    \frac{dF}{dz}(z) = \int_0^b \frac{∂f_t}{∂z}(z) \, dt.  \eqno\qed
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[Hausaufgabe]
  Partielle Integration funktioniert so, wie man denkt.
\end{satz}

\begin{satz}[Hausaufgabe]
  Partialbruchzerlegung funktioniert so, wie man denkt:
  \[
    \frac{1}{1 + x²} = \frac{i/2}{x+i} + \frac{-i/2}{x-i}.
  \]
\end{satz}


\section{Wegintegrale}

\begin{definition}[Wegintegrale]\label{def:3-2-1}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph.  Weiter sei $γ: [a,b] → U$ ein
  stetig differenzierbarer Weg.  Dann definiert man das
  \emph{Wegintegral}\index{Wegintegral} als
  \[
    \int_γ f(z) \, dz := \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt.
  \]
\end{definition}

\begin{bsp}[Wegintegral]\label{bsp:3-2-2}%
  Es sei $U = ℂ^*$ und es sei $f(z) = z^n$.  Weiter betrachten wir den Weg
  \[
    γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ r\exp(it),
  \]
  der einen Kreis mit Radius $r$ um den Nullpunkt beschreibt.  Dann ist
  \begin{align*}
    \int_γ f(z) \, dz &= \int_0^{2π} \left[ r · \exp(it) \right]^n · ri · \exp(it) \, dt \\
    &= i · \int_0^{2π} r^{n+1} · \exp\bigl((n+1)it\bigr) \, dt \\
    &= \begin{cases}
      0 & \text{falls } n ≠ -1 \\
      2πi & \text{falls } n = -1.
    \end{cases}
  \end{align*}
\end{bsp}

\begin{erg}[Wegintegrale über stückweise stetig differenzierbare Wege]
  Manchmal ist es günstig, auch stückweise stetig differenzierbare Wege
  zuzulassen: Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $f ∈ 𝒪(U)$, und sei $γ: [a,b] → U$
  stückweise stetig differenzierbar.  Dann definiert man
  \[
    \int_γ f(z) \, dz
  \]
  als Summe der Integrale über die (endlich vielen) stetig differenzierbaren
  Teilwege.
\end{erg}


\subsection{Elementare Fakten zur Wegintegration}

\begin{prop}[Umkehrung des Weges]
  In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $\overline{γ}: [a,b] → U$
  derselbe Weg wie $γ$, nur umgekehrt durchlaufen: $\overline{γ}(t) = γ(b+a-t)$.
  Dann ist
  \[
    \int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = - \int_γ f(z) \, dz.  \eqno\qed
  \]
\end{prop}

\begin{prop}[Unabhängigkeit von der Parametrisierung]
  In der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} sei $δ : [c, d] → [a,b]$
  stetig differenzierbar mit $δ(c) = a$ und $δ(d) = b$.  Dann ist
  \[
    \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz = \int_γ f(z) \, dz.
  \]
\end{prop}
\begin{proof}
  Um die Notation zu entwickeln, schreibe
  \[
    φ: [a,b] → ℂ, \quad φ(t) = f(γ(t)) · γ'(t).
  \]
  Dann
  \begin{align*}
    \int_γ f(z) \, dz &= \int_a^b f(γ(t)) · γ'(t) \, dt = \int_a^b φ(t) \, dt \\
    &= \int_c^d φ(δ(s)) · δ'(s) \, ds && \text{Substitutionsregel} \\
    &= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · γ'(δ(s)) · δ'(s) \, ds \\
    &= \int_c^d f\bigl((γ ◦ δ)(s)\bigr) · (γ ◦ δ)' \, ds && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
    &= \int_{γ ◦ δ} f(z) \, dz.  && \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{beobachtung}[Abschätzungen]
  Wir bleiben in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} und erinnern uns
  daran, dass die Länge des Weges $γ$ durch die Formel
  \[
    L(γ) := \int_0^b |γ'(t)| \, dt
  \]
  gegeben ist.  Damit erhalten wir die Abschätzung
  \[
    \left| \int_γ f(z) \, dz \right| ≤ \int_a^b |f(γ(t))| · |γ'(t)| \, dt ≤ \sup_{t ∈ [a,b]} |f(γ(t))| · L(γ).
  \]
\end{beobachtung}


\section{Wegintegrale und Stammfunktionen}

\begin{definition}[Stammfunktion]
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f: U → ℂ$ stetig.  Eine holomorphe Funktion $F: U → ℂ$
  heißt \emph{Stammfunktion}\index{Stammfunktion} von $f$, wenn $F' = f$ ist.
\end{definition}

Wir haben zwei Begriffe von Stammfunktionen: einmal für Funktionen auf reellen
Intervallen $φ: [a,b] → ℂ$, einmal für Funktionen $φ: U → ℂ$ auf offenen Mengen
von $ℂ$.  Die Begriffe hängen offenbar zusammen.

\begin{beobachtung}
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $f: U → ℂ$ stetig mit Stammfunktion $F: U → ℂ$.
  Weiter sei $γ: [a,b] → U$ stetig differenzierbar.  Dann ist
  \begin{align*}
    (F ◦ γ)' & = (F' ◦ γ) · γ' && \text{reell-komplexe Kettenregel} \\
    & = (f ◦ γ) · γ' && F ◦ γ \text{ ist Stammfunktion auf } [a,b] \text{ von } (f ◦ γ) · γ'.
  \end{align*}
  Also gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
  \[
    \int_γ f(z) \, dz = \int_a^b [f ◦ γ(t)] · γ'(t) \, dt = [F ◦ γ](b) - [F ◦ γ](a).
  \]
\end{beobachtung}


\subsection{Berechnung von Wegintegralen mithilfe von Stammfunktionen}

\begin{kons}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
  Wenn in der Situation von Definition~\ref{def:3-2-1} eine Stammfunktion von
  $f$ existiert, dann hängt das Wegintegral $\int_γ f(z) \, dz$ nur vom Start-
  und Endpunkt des Weges ab, aber nicht vom Weg selbst.  Insbesondere gilt: Wenn
  $γ$ ein geschlossener Weg ist (d.h.~Startpunkt = Endpunkt), dann ist $\int_γ
  f(z) \, dz = 0$.
\end{kons}

\begin{bsp}[Wegintegrale bei Existenz von Stammfunktionen]
  Betrachte die Situation von Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}.  Für $n ≠ -1$ ist
  $\frac{1}{n+1} · z^{n+1}$ eine Stammfunktion von $z^n$.  Also ist für $n ≠ -1$
  das Integral
  \[
    \int_γ z^n \, dz = 0, \quad \text{wo } γ: [0,2π] → ℂ^*, \quad t ↦ \exp(it).
  \]
  Für $n = -1$ gibt es keine auf ganz $ℂ^*$ definierte Stammfunktion, denn das
  wäre der Logarithmus.
\end{bsp}

\begin{kons}[Funktionen mit verschwindender Ableitung]\label{kons:3-2-11}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph mit $f' \equiv 0$.  Dann ist
  $f$ lokal konstant.
\end{kons}

Vor dem Beweis der Konsequenz~\ref{kons:3-2-11} erinnere ich an zwei elementare
Fakten der Analysis und Topologie.

\begin{fakt}[Zerlegung in Zusammenhangskomponenten]\label{fakt:3-2-12}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen.  Dann kann ich $U$ auf eindeutige Weise schreiben als
  \[
    U = \bigcup_{α ∈ A} U_α,
  \]
  wobei die Teilmengen $U_α ⊂ ℂ$ offen, zusammenhängend und disjunkt sind.
  \qed
\end{fakt}

\begin{fakt}[Zusammenhang und Wegzusammenhang]\label{fakt:3-2-13}%
  Wenn $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend ist, und wenn $z_1, z_2 ∈ U$ sind, dann
  gibt es einen stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und
  $γ(1) = z_2$.  \qed
\end{fakt}

\begin{proof}[Beweis von Konsequenz~\ref{kons:3-2-11}]
  Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-12} können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
  annehmen, dass die offene Menge $U$ zusammenhängend ist.  Seien nun zwei
  Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gegeben.  Nach Fakt~\ref{fakt:3-2-13} gibt es einen
  stetig differenzierbaren Weg $γ: [0,1] → U$ mit $γ(0) = z_1$ und $γ(1) = z_2$.
  Dann ist aber
  \[
    f(z_2) - f(z_1) = \int_γ f'(z) \, dz = \int_γ 0 \, dz = 0.
  \]
  Da dies für alle Punkte $z_1, z_2 ∈ U$ gilt, ist die Konstanz der Funktion
  $f$ gezeigt.
\end{proof}


\subsection{Konstruktion von Stammfunktionen durch Wegintegrale}

\sideremark{Vorlesung 5}

Wir erinnern uns an die Ergebnisse des letzten Abschnitts: Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
und es sei $f: U → ℂ$ stetig.  Wenn $f$ eine Stammfunktion $F: U → ℂ$ besitzt,
dann gilt für jeden (stückweise) stetig differenzierbaren Weg $γ: [a,b] → U$ die
Gleichung
\[
\int_γ f(z)\, dz = F(γ(b)) - F(γ(a)).
\]
Das Wegintegral hängt also nur von Start- und Endpunkt ab.  Insbesondere gilt:
Wenn der Weg $γ$ geschlossen ist (das bedeutet: $γ(a) = γ(b)$), dann ist
\[
\int_γ f(z)\, dz = 0.
\]
Ziel dieses Kapitels ist die Umkehrung dieser Aussage: Wir wollen zeigen, dass
die Existenz einer Stammfunktion bereits aus der Tatsache folgt, dass das
Wegintegral nur von Start- und Endpunkt abhängt.  Die folgende Beobachtung wird
beim Beweis helfen.

\begin{beobachtung}
  Es sei $U ⊆ ℂ$ offen und es sei $f: U → ℂ$ eine Funktion, sodass für jeden
  geschlossenen Weg $γ$ stets $\int_γ f(z)\, dz = 0$ ist.  Gegeben seien zwei
  (stückweise) stetig differenzierbare Wege
  \[
    γ_1: [a_1, b_1] → U \qquad γ_2: [a_2, b_2] → U
  \]
  mit identischem Start- und Endpunkt,
  \[
    γ_1(a_1) = γ_2(a_2) =: z_a
    \quad\text{und}\quad
    γ_1(b_1) = γ_2(b_2) =: z_b.
  \]
  Wir wollen zeigen, dass die Wegintegrale über $γ_1$ und $γ_2$ gleich sind.
  Dazu betrachten wir den Weg, der zuerst $γ_1$ hin und dann $γ_2$ zurück
  durchläuft.  Genauer: Betrachte den folgenden, stückweise stetig
  differenzierbaren Weg
  \[
    δ: [a_1, (b_1 - a_1), (b_2 - a_2)] → U, \quad t ↦
    \begin{cases}
      γ_1(t + a_1) & \text{falls } t < b_1 - a_1 \\
      γ_2(b_2 + b_2 - a_1 - t) & \text{sonst}.
    \end{cases}
  \]
  Dann gilt:
  \begin{align*}
    0 & = \int_{δ} f(z)\, dz && \text{weil $δ$ geschlossen} \\
    & = \int_{γ_1} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz.
  \end{align*}
  Also folgt:
  \[
    \int_{γ_1} f(z)\, dz = \int_{γ_2} f(z)\, dz.
  \]
  Zusammenfassung: Wenn das Wegintegral über jeden geschlossenen Weg
  verschwindet, dann hängen die Wegintegral $\int_• f(z)\, dz$ nur von Start-
  und Endpunkt ab.
\end{beobachtung}

\begin{satz}[Existenz von Stammfunktionen]\label{satz:3-3-9}%
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen, und sei $f: U → ℂ$ stetig.  Falls die Wegintegrale $\int_•
  f(z)\, dz$ nur von Start- und Endpunkt abhängen, dann existiert eine
  Stammfunktion.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass die offene Menge
  $U$ zusammenhängend ist -- ansonsten betrachte die Zusammenhangskomponenten
  einzeln.  Wähle einen Punkt $z_0 ∈ U$.  Die Annahme, dass Wegintegrale nur von
  Start- und Endpunkt abhängen, erlaubt die Definition der folgenden Funktion:
  \[
    F: U → ℂ, \quad z ↦ \int_γ f(z)\, dz, \text{ wobei $γ$ ein Weg ist, der $z_0$ und $z$ verbindet.}
  \]
  Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.  Dazu müssen wir
  zeigen, dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass
  $F' = f$ gilt.  Sei also ein Punkt $p ∈ U$ gegeben.  Wir müssen zeigen, dass
  \begin{equation}\label{eq:3-3-9-1}
    \lim_{h → 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p)
  \end{equation}
  ist.  Dazu wähle irgendeinen Weg $δ: [0, 1] → U$ mit $δ(0) = z_0$, und $δ(1) =
  p$.  Für komplexe Zahlen $h$ von hinreichend kleinem Betrag ist die
  Kreisscheibe um $p$ mit Radius $|h|$ komplett in $U$ enthalten. Gegeben ein
  solches $h$, betrachten wir den Weg
  \[
    γ_h: [0, 1] → U, \quad t ↦ p + t · h.
  \]
  Dann ist
  \[
    F(p) = \int_{δ} f(z)\, dz \quad\text{und}\quad F(p+h) = \int_{δ} f(z)\, dz + \int_{γ_h} f(z)\, dz.
  \]
  Also gilt für jede komplexe Zahl $h$ mit ausreichend kleinem Betrag die
  Gleichung
  \begin{align*}
    \frac{F(p+h) - F(h)}{h} & = \frac{\int_{γ_h} f(z)\, dz}{h} \\
    & = \frac{1}{h} \int_0¹ f(γ_h(t)) · γ_h'(t)\, dt \\
    & = \frac{1}{h} \int_0¹ f(p + t · h) · h\, dt \\
    & = \int_0¹ f(p + th)\, dt.
  \end{align*}
  Gleichung~\eqref{eq:3-3-9-1} folgt sofort, weil $f$ bei $p$ stetig ist!
\end{proof}


\subsection{Rechteckwege}

Satz~\ref{satz:3-3-9} gibt es sehr allgemein.  Die Voraussetzung ist aber sehr
stark: Das Wegintegral muss über jeden geschlossenen Weg verschwinden.  Das ist
in der Praxis schwer zu überprüfen.  Wir wollen daher eine Variante des Satzes
beweisen, die eine schwächere Voraussetzung hat.  Dazu betrachten statt
beliebigen nur noch achsenparallele Wege der folgenden Art.

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
  \draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$γ_2$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}

Statt beliebiger geschlossener Wege betrachtet man nur „Rechteckwege“ der
folgenden Art.

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
    \draw[->] (2,0) -- (2,1.5) node[midway,right] {$γ_2$};
    \draw[->] (2,1.5) -- (0,1.5) node[midway,above] {$γ_3$};
    \draw[->] (0,1.5) -- (0,0) node[midway,left] {$γ_4$};
  \end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{notation}
  Gegeben eine offene Menge $U ⊆ ℂ$, ein achsenparalleles Rechteck $\mathcal{R}
  ⊂ U$ und eine stetige Funktion $f : U → ℂ$, dann nennt man
  \[
    \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz + \int_{γ_3} f(z)\, dz + \int_{γ_4} f(z)\, dz
  \]
  das \emph{Randintegral}\index{Randintegral} über das Rechteck $\mathcal{R}$.
\end{notation}

\begin{satz}[Stammfunktionen auf der Kreisscheibe]\label{satz:3-3-11}%
  Es sei $U = \{z ∈ ℂ \mid |z| < 1\}$ die Kreisscheibe und es sei $f: U → ℂ$
  eine stetige Funktion, sodass das Randintegral über achsenparallele Rechtecke
  stets verschwindet.  Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
  Die Aussage „Dann besitzt $f$ eine Stammfunktion.“ ist nicht optimal.  Es
  gilt: „Die Funktion $f$ besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn …“.  Die
  Umkehrrichtung ist ja schon aus dem letzten Kapitel bekannt.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  Satz~\ref{satz:3-3-11} zeigt dieselbe Folgerung wie Satz~\ref{satz:3-3-9},
  aber unter schwächeren Voraussetzungen.  Also ist der Beweis aufwändiger.  Die
  Grundidee ist aber dieselbe.
\end{bemerkung}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-3-11} als Bildgeschichte]
  Gegeben irgendeinen Punkt $p ∈ U$, dann kann ich den $0$-Punkt wie folgt durch
  zwei achsenparallele Wege mit $p$ verbinden, die ganz innerhalb von $U$
  verlaufen.  Hier benutze ich natürlich, dass $U$ eine Kreisscheibe ist.
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
      \draw (0,0) circle (2cm);
      \draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node[midway,below] {$γ_1$};
      \draw[->] (1.5,0) -- (1.5,1) node[midway,left] {$γ_2$};
      \node at (1.5,1) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=left:$p$] {};
      \node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=below:$0$] {};
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
  Definiere damit eine Funktion
  \[
    F : U → ℂ, \quad p ↦ \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{γ_2} f(z)\, dz.
  \]
  Ich behaupte, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.  Dazu müssen wir
  zeigen, dass $F$ an jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist und dass
  $F' = f$ gilt.  Sei also ein Punkt $p ∈ U$ gegeben.

  Ich diskutiere erst einmal die partielle Ableitung von $F$ nach $x$.  Gegeben
  eine hinreichend kleine reelle Zahl $h$, betrachte die folgenden Wege, die
  wieder vollständig innerhalb von $U$ verlaufen.
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
      \draw[->] (0,0) -- (2,0) node[midway,below] {$γ_1$};
      \draw[->] (2,0) -- (3,0) node[midway,below] {$δ_1$};
      \draw[->] (2,0) -- (2,2) node[midway,left] {$γ_2$};
      \draw[->] (3,0) -- (3,2) node[midway,right] {$δ_2$};
      \draw[->] (3,2) -- (2,2) node[midway,above] {$δ_3$};
      \node at (2,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=left:$p$] {};
      \node at (3,2) [circle,fill,inner sep=1pt,label=right:$p+h$] {};
      \node at (0,0) [circle,fill,inner sep=1pt,label=below:$0$] {};
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
  Weil das Randintegral über das Rechteck verschwindet, ist
  \begin{align*}
    F(p + h) & = \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz \\
    & = \int_{γ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz \\
    & \qquad - \bigl(\int_{δ_1} f(z)\, dz + \int_{δ_2} f(z)\, dz + \int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz\bigr) \\
    & = \int_{γ_1} f(z)\, dz - \bigl(\int_{δ_3} f(z)\, dz - \int_{γ_2} f(z)\, dz\bigr) \\
    & = F(p) - \int_{δ_3} f(z)\, dz.
    \intertext{Also ist}
    F(p+h) - F(p) & = -\int_{δ_3} f(z)\, dz = \int_0¹ f(p + t · h) · h\, dt \\
  \end{align*}
  und damit
  \[
    \lim_{h → 0} \frac{F(p+h) - F(p)}{h} = f(p).
  \]
  Zusammenfassung: Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $x$
  differenzierbar und es ist $\frac{∂ F}{∂ x}(p) = f(p)$.  Analog beweist man:
  Die Funktion $F$ ist am Punkt $p$ partiell nach $y$ differenzierbar und es ist
  $\frac{∂ F}{∂ y}(p) = i · f(p)$. Das hat zwei Konsequenzen.
  \begin{itemize}
    \item Weil $f$ stetig ist, haben wir gezeigt, dass $F$ stetig partiell
    differenzierbar ist, also total differenzierbar.

    \item Es ist $\frac{∂ F}{∂ \overline{z}} = \frac{∂ F}{∂ x} + i \frac{∂ F}{∂
    y} = 0$.  Also erfüllen die partiellen Ableitungen von $F$ die
    Cauchy-Riemann-Differenzialgleichungen.
  \end{itemize}
  In der Summe sehen wir, dass $F$ komplex differenzierbar ist und dass $F' = f$
  gilt.
\end{proof}


\section{Homotopie von Wegen}

Gegeben eine offene Menge $U ⊂ ℂ$ und Punkte $z_0, z_1 ∈ U$, so betrachten wir
Wege, die $z_0$ und $z_1$ verbinden.  Anschaulich ist klar, dass manche dieser
Wege stetig ineinander übergeführt werden können und andere nicht.

\begin{definition}[Homotopie von Wegen]\label{def:3-4-1}%
  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] ⊂ ℝ$ ein kompaktes Intervall.
  Zwei stetige Wege
  \[
    γ_0: [a, b] → U, \quad γ_1: [a, b] → U
    \quad\text{mit}\quad
    γ_0(a) = γ_1(a), \quad γ_0(b) = γ_1(b)
  \]
  heißen \emph{homotop}\index{homotop}, wenn es stetige Abbildung
  \[
    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] \longrightarrow U
  \]
  gibt, sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
  \begin{itemize}
    \item $\forall s ∈ [0, 1] : Γ(a, s) = γ_0(a) \text{ und } Γ(b, s) = γ_0(b)$
    \item $\forall t ∈ [a, b] : Γ(t, 0) = γ_0(t) \text{ und } Γ(t, 1) = γ_1(t)$.
  \end{itemize}
  Eine Abbildung $Γ$ mit diesen Eigenschaften heißt
  \emph{Homotopie}\index{Homotopie} zwischen den Wegen $γ_0$ und $γ_1$.
\end{definition}

In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} kann man die Homotopie als
Familie von Wegen auffassen, $γ_s := Γ(•, s)$, die stetig zwischen den Wegen
$γ_0$ und $γ_1$ interpoliert.

\begin{definition}[Zusammenziehbare Wege und einfach zusammenhängende Räume]\label{def:3-4-2}%
  Es sei $U$ ein topologischer Raum, und $[a, b] ⊂ ℝ$ ein kompaktes Intervall.
  Ein \emph{geschlossener Weg}\index{geschlossener Weg} in $U$ ist ein stetiger
  Weg
  \[
    γ: [a, b] → U \quad\text{mit}\quad γ(a) = γ(b).
  \]
  Ein geschlossener Weg heißt \emph{zusammenziehbar}\index{zusammenziehbar} oder
  \emph{kontrahierbar}\index{kontrahierbar}, wenn er homotop zu einem konstanten
  Weg ist.  Der Raum $U$ heißt \emph{wegweise einfach
  zusammenhängend}\index{wegweise einfach zusammenhängend}, wenn jeder
  geschlossener Weg zusammenziehbar ist.
\end{definition}

\begin{bsp}[Zentrierte geschlossene Wege in der Kreisscheibe]
  Es sei $U ⊂ ℂ$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $γ_0: [a, b] → U$ ein Weg
  mit $γ_0(a) = γ_0(b) = 0$.  Dann ist
  \[
    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] → U, \quad (t, s) ↦ (1 - t) · γ_0(t)
  \]
  eine Homotopie zwischen dem Weg $γ_0$ und dem konstanten Weg $γ_1 \equiv 0$.
  Also ist $γ_0$ zusammenziehbar.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Allgemeine geschlossene Wege in der Kreisscheibe]\label{bsp:3-4-4}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ die Einheits-Kreisscheibe und es sei $γ_0: [a, b] → U$
  irgendein geschlossener Weg mit $γ_0(a) = γ_0(b) =: z$.  Dann ist
  \[
    Γ: [a, b] ⨯ [0, 1] → U, \quad (t, s) ↦ (1 - s) · (γ_0(t) - z) + z
  \]
  eine Homotopie zwischen $γ_0$ und dem konstanten Weg $γ_1 \equiv z$. Also ist
  die Kreisscheibe einfach zusammenhängend.
\end{bsp}

\begin{bemerkung}[Konvexe Mengen sind einfach zusammenhängend]
  Der wesentliche Punkt in Beispiel~\ref{bsp:3-4-4} ist, dass die Bildmenge von
  $Γ$ ganz in der Kreisscheibe enthalten ist.  Die zum Beweis notwendige
  Rechnung verwendet allerdings nur, dass die Kreisscheibe konvex ist.
  Tatsächlich sind alle konvexen Mengen wegweise einfach zusammenhängend. In
  nicht-konvexen Mengen können geschlossene Wege durchaus nicht zusammenziehbar
  sein.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Wege mit festen
  Anfangs- und Endpunkten.  Insbesondere ist Homotopie reflexiv, symmetrisch und
  transitiv.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  Wir haben noch kein Kriterium dafür, dass eine Menge \emph{nicht} einfach
  zusammenhängend ist.  Der Integralsatz von Cauchy wird uns aber bald ein
  solches Kriterium liefern.
\end{bemerkung}

% !TEX root = Funktionentheorie
