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\selectlanguage{german}
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\chapter{Der Quotientenkörper eines Integritätsrings}
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\section{Worum geht es?}
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\sideremark{Vorlesung 7}Das Ziel ist immer noch, Körpererweiterungen zu
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verstehen. Wir haben gesehen, dass algebraische Elemente und Minimalpolynome
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dabei eine wichtige Rolle spielen, können aber immer noch nicht entscheiden, ob
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ein gegebenes Polynom nun tatsächlich ein Minimalpolynom ist oder nicht! Wir
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wissen, dass Minimalpolynome irreduzibel sein müssen (sonst wäre einer echten
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Teiler ja ein Polynom von kleinerem Grad mit der gesuchten Nullstelle), aber wir
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wissen auch nicht, wie man entscheiden kann, ob ein Polynom irreduzibel ist.
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Wie wir später noch genauer sehen werden, kann man Irreduzibilität im Ring
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$ℤ[x]$ recht gut entscheiden --- wir sind aber meistens am Ring $ℚ[x]$
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interessiert, nicht an $ℤ[x]$. Die beiden Ringe hängen aber eng zusammen! In
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diesem vorbereitenden Kapitel klären wir erst einmal den Zusammenhang zwischen
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$ℤ$ und $ℚ$, oder allgemeiner, zwischen einem Integritätsring und seinem
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Quotientenkörper.
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\begin{frage}
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Es sei $R$ ein Ring. Können wir einen Körper $K$ konstruieren, der $R$ als
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Unterring enthält? Am besten so, dass $K$ möglichst klein ist.
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\end{frage}
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\begin{obs}
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$R$ muss ein Integritätsring sein, sonst habe ich überhaupt keine Chance -- in
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Körpern gibt es ja keine Nullteiler! Also fangen wir am besten mit einem
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Integritätsring an.
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\end{obs}
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Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem „möglichst kleinen
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Körper, der $R$ enthält“ eigentlich genau meinen. Wenn Sie bei mir die
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Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
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Definition sehr vertraut vorkommen. Falls nicht, ist jetzt die perfekte
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Gelegenheit, alles über „universelle Eigenschaften“ zu lernen.
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\begin{definition}[Quotientenkörper]
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Sei $R$ ein Integritätsring. Ein \emph{Quotientenkörper von
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$R$}\index{Quotientenkörper} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem injektiven
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Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle Eigenschaft gilt:
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Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus von $R$ in einem
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Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus $h:K→ L$, sodass $j=h◦
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i$ ist. Mit anderen Worten, es existiert genau ein Ringhomomorphismus, sodass
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das folgende Diagramm kommutiert,
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\[
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\begin{tikzcd}
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R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ ! h"] \\
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R \ar[r, hook, "j"'] & L.
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\end{tikzcd}
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\]
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\end{definition}
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Wir merken gleich an, dass die Abbildung $h$ immer injektiv sein wird.
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\begin{lem}\label{lem:inj}
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Ein Homomorphismus $\varphi : K → S$ von einem Körper in einen Ring ist immer
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Injektiv, oder die Nullabbildung.
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Angenommen $\varphi$ ist nicht injektiv, dann existiert ein $x∈ K∖ \{0\}$ mit
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$\varphi(x) =0$. Dann ist
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\begin{equation*}
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\varphi(1) = \varphi(x· x^{-1}) = \varphi(x)·\varphi(x^{-1}) = 0.
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\end{equation*}
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Also gilt für alle $y∈ K$, dass
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\begin{equation*}
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\varphi(y)= \varphi(1· y) = \varphi(1)·\varphi(y) = 0
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\end{equation*}
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und $\varphi$ ist die Nullabbildung.
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\end{proof}
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\section{Eindeutigkeit und Existenz}
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Aus der universellen Eigenschaft folgt sofort die Eindeutigkeit des
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Quotientenkörpers. Den folgenden Beweis sollten Sie genau verstehen!
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\begin{satz}[Eindeutigkeit von Quotientenkörpern]\label{satz:edvq}
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Es sei $R$ ein Integritätsring und es seien $ι_1 : R → K_1$, $ι_2 : R → K_2$
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zwei Quotientenkörper. Dann gibt es genau einen Isomorphismus $h: K_1 → K_2$,
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sodass das folgende Diagramm kommutiert,
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\[
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\begin{tikzcd}
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R \ar[r, hook, "ι_1"] \ar[d, equals] & K_1 \ar[d, "∃ ! h\text{, isomorph}"] \\
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R \ar[r, hook, "ι_2"'] & K_2.
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\end{tikzcd}
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\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{7-1}
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\end{proof}
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Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben
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ist. Die Aussage „es existiert eine eindeutiger Morphismus“ ist eine viel
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bessere Aussage als „es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
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vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)“. Das ist
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super-wichtig! Man sagt, „Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
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Isomorphie“.
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\begin{notation}
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Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind,
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spricht man oft von „dem“ Quotientenkörper. Die Notation $Q(R)$ ist üblich.
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\end{notation}
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\begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern]
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Es sei $R$ ein Integritätsring $R$. Dann existiert ein Quotientenkörper.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{7-2}
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\end{proof}
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Wir hatten in der Einleitung davon gesprochen, dass der Quotientenkörper eines
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Ringes $R$ der kleinste Körper sein soll, der $R$ enthält. Die folgende
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Proposition macht diese Bemerkung präzise.
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\begin{prop}
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Sei $R$ ein Integritätsring. Dann ist $Q(R)$ in folgendem Sinne der kleinste
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Körper, der $R$ enthält: Sei $L$ ein weiterer Körper, der $R$ enthält. Dann
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existiert eine injektive Abbildung $Q(R)$ nach $L$, deren Einschränkung auf
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$R$ die Identität ist.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Universelle Eigenschaft und Lemma~\ref{lem:inj}.
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\end{proof}
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\section{Beispiele}
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Sie kennen schon viele Beispiele für Quotientenkörper! Ich nenne hier nur
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einige Beispiele und verzichte auf detaillierte Beweise; alle Behauptungen
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folgen direkt aus der Definition.
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\begin{bsp}
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Ist $R = ℤ$, dann ist $Q(R) = ℚ$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Ist $K$ ein Körper, so ist $Q(K) = K$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Betrachte den Ring aus Warnung~\vref{war:nufd},
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\[
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R := ℤ[\sqrt{-5}] = \{ a+b· \sqrt{-5} \::\: a,b ∈ ℤ \} ⊂ ℂ.
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\]
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Dann ist $Q(R)=ℚ(\sqrt{-5})$. Denn weil $R ⊂ ℂ$ ist, gibt es aufgrund der
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universellen Eigenschaft eine Injektion $Q(R) → ℂ$. Der Körper
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$ℚ(\sqrt{-5}) ⊆ ℂ$ ist aber der kleinste Unterkörper von $ℂ$, der sowohl $ℤ$
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als auch $\sqrt{-5}$ enthält.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Es sei $K$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $R := K[x_1, …, x_n]$ sei
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der Polynomring in $n$ Variablen. Dann ist $Q(R)$ der Körper der rationalen
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Funktionen in $n$ Variablen. Die Elemente sind Brüche der Form
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\[
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\frac{f(x_1, …, x_n)}{g(x_1, …, x_n)}
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\]
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wobei $f,g ∈ K[x_1, …, x_n]$ und $g ≠ 0$ ist. Die Schreibweise
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\[
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K(x_1, …, x_n) := Q(R)
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\]
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ist üblich.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ ein vollständiges
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Repräsentantensystem für die Klassen assoziierter Primelemente, wie in
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Situation~\vref{sit:5-5-1}. Jedes Element $v∈ Q(R)$ lässt sich dann auf
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eindeutige Weise schrieben als
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\[
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v = ε \prod_{i ∈ I}p_i^{ν_i}
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\]
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wobei $ε ∈ R^*$, $ν_i ∈ ℤ$ und fast alle der $ν_i = 0$ sind.
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\end{bsp}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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