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\chapter{Quadratische Reziprozität}
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\label{chap:24}
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\sideremark{Vorlesung 25}
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In diesem Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' hatten wir bislang
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noch sehr wenig Zahlentheorie. Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch
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ändern. Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz
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darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl
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ist.
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\begin{definition}[Quadratischer Rest]
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Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl, weiter sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$. Die Zahl
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$a$ heißt \emph{quadratischer Rest modulo $p$}\index{quadratischer
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Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung
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\[
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x² \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)
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\]
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in $ℤ$ lösbar ist. Andernfalls heißt \emph{quadratischer Nichtrest modulo
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$p$}.
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\end{definition}
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Wikipedia schreibt sinngemäß ``Die Entdeckung des quadratischen
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Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in
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den
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones
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Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die
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Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.''. Tatsächlich
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handelt es sich um einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte,
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von dem wir hier aber nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das
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Buch der Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz
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\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.}
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\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare
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Beweise und historische Anmerkungen.
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\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}
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Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl. Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ ℤ$ ein
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quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von
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$a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von ``quadratischem
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Rest'' häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn
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die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind also
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die Elemente von
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\[
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(𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x²
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\Bigr) ⊂ 𝔽^*_p.
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\]
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\end{bemerkung}
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Wie viele quadratische Reste gibt es überhaupt? Die Antwort ist einfach.
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\begin{lem}\label{lem:24-0-3}
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Es sei $p ∈ ℕ$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es in $𝔽_p$ genauso viele
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quadratische Reste wie Nichtreste. Die (multiplikative) Untergruppe
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$(𝔽^*_p)² ⊂ 𝔽^*_p$ hat den Index 2.
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Der surjektive Gruppenhomomorphismus
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\[
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𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x²
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\]
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hat den Kern $\{±1\}$. Weil $p$ ungerade ist, hat der Kern genau 2 Elemente.
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\end{proof}
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\section{Das Legendre-Symbol}
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Um den Begriff ``quadratischer Rest'' etwas quantitativer zu erfassen, führen
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wir das
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Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie
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Legendre} (* 18. September 1752 in Paris; † 9. Januar 1833 ebenda) war ein
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französischer Mathematiker.}-Symbol ein.
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\begin{definition}[Legendre-Symbol]
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Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$. Dann schreibe
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\[
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\left(\frac{a}{p}\right) :=
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\begin{cases}
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1 & \text{falls $a$ quadratischer Rest modulo $p$ ist} \\
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-1 & \text{falls $a$ quadratischer Nichtrest modulo $p$ ist} \\
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0 & \text{falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist}.
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\end{cases}
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\]
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Der Ausdruck wird als \emph{Legendre-Symbol} bezeichnet. Analog zur
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Bemerkung~\ref{bem:qrmp} verwendet man das Symbol nicht nur für Zahlen
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$a ∈ ℤ$, sondern auch für Elemente $a ∈ 𝔽_p$.
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\end{definition}
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\begin{beobachtung}
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Weil es nach Lemma~\ref{lem:24-0-3} genau so viele quadratische Reste wie
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Nichtreste gibt, ist $\sum_{k=1}^{p-1} \left(\frac{k}{p}\right) = 0$ und
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deshalb
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\begin{equation}\label{eq:g4.2}
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\sum_{k=1}^{p-2} \left(\frac{k}{p}\right) = -\left(\frac{p-1}{p}\right) = -\left(\frac{-1}{p}\right) ∈ F.
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\end{equation}
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\end{beobachtung}
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Wir können noch etwas mehr über das Legendre-Symbol sagen.
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\begin{lem}[Das Legendre-Symobl ist multiplikativ]\label{lem:lsim}
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Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Die Abbildung
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\[
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𝔽^*_p → \{±1\}, \quad a ↦ \left(\frac{a}{p}\right)
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\]
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ist ein Gruppenhomomorphismus.
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Erinnern Sie sich an Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}:
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die multiplikative Gruppe $𝔽^*_p$ ist zyklisch! Die Gruppe $𝔽^*_p$ hat genau
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$p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $ℤ/(p-1)$. Wir
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beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit
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den geradzahligen Elementen von $ℤ/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl
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$(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff ``geradzahligen Elementen von
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$ℤ/(p-1)$'' sinnvoll verwendet werden kann.
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Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden
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Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht
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wollen Sie kurz nachrechnen, dass dies tatsächlich wohldefiniert ist!},
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\[
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ℓ : \factor{ℤ}{(2n)} → \factor{n·ℤ}{(2n)}, \quad a ↦ n·a.
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\]
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Die Gruppe $\factor{n·ℤ}{(2n)}$ hat genau zwei Elemente und kann deshalb mit
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der Gruppe $\{\pm1\}$ identifiziert werden. Mit diesen Identifikationen
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schickt der Gruppenmorphismus $ℓ$ ein Element $a ∈ 𝔽^*_p ≅ ℤ/(2n)$ genau dann
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auf das neutrale Element $1 ∈ \{\pm1\}$, wenn $a ∈ ℤ/(2n)$ gerade ist, oder
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anders gesagt, wenn $a ∈ 𝔽^*_p$ ein quadratischer Rest modulo $p$ ist. Der
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Gruppenmorphismus $ℓ$ \emph{ist} das Legendre-Symbol!
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\end{proof}
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\begin{lem}[Euler-Kriterium für das Legendre-Symobl]\label{lem:EK}
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Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$. Dann
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gilt die Gleichung
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\[
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\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \:\:(\operatorname{mod}
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p).
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\]
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Noch einmal: die Gruppe $𝔽^*_p$ ist zyklisch von Ordnung $p-1$. Also gilt für
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jede Zahl $b ∈ ℤ$, die teilerfremd zu $p$ ist stets die Gleichung
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\[
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b^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p).
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\]
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Wenn die Zahl $a$ ein quadratischer Rest Modulo $p$ ist, also von der Form
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$a \equiv b² \:\:(\operatorname{mod} p)$, dann gilt
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\[
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a^{\frac{p-1}{2}} \equiv b^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p).
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\]
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Als Nächstes sehen wir, dass das Polynom $x^{\frac{p-1}{2}} -1 ∈ 𝔽_p[x]$
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höchstens $\frac{p-1}{2}$ Nullstellen hat. Das sind wohl genau die
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quadratischen Reste, von denen es nach Lemma~\ref{lem:24-0-3} ja genau
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$\frac{p-1}{2}$ viele gibt. Wenn $a$ also ein quadratischer Nichtrest modulo
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$p$ ist, dann ist
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\[
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a^{\frac{p-1}{2}} \not \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p) \quad\text{und}\quad a^{p-1} \equiv (a^{\frac{p-1}{2}})² \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p).
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\]
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Also muss wohl $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ sein.
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Damit ist das Euler-Kriterium in jedem Fall bewiesen.
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\end{proof}
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\section{Quadratische Reziprozität}
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Mit diesen Vorbereitungen können wir das quadratische Reziprozitätsgesetz
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formulieren.
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\begin{satz}[Quadratisches Reziprozitätsgesetz]\label{satz:qrg}
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Es seien $p$ und $q$ zwei unterschiedliche, ungerade Primzahlen. Dann gilt
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die Gleichung
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\[
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\left(\frac{p}{q}\right)·\left(\frac{q}{p}\right) =
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(-1)^{\frac{p-1}{2}·\frac{q-1}{2}}.
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||
\]
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\end{satz}
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\begin{rem}
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Das quadratische Reziprozitätsgesetz ist höchst erstaunlich, denn es ist
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überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und
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$\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben! Es gibt in der
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Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer
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``Reziprozitätsgesetze'', bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr
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tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt.
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\end{rem}
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Für die Zwecke von Übungsaufgaben und Klausuren halten wir fest, dass man mit
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dem quadratischen Reziprozitätsgesetz Legendre-Symbole sehr einfach und
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effizient ausrechnen kann. Statt großer Theorie mache ich einfach ein Beispiel.
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\begin{bsp}[Effiziente Berechnung von Legendre-Symbolen]
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Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17?
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\begin{align*}
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\left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\
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& = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3)
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\end{align*}
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Also ist die Antwort: ``nein!''
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\end{bsp}
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\subsection{Beweis des Reziprozitätsgesetzes}
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Für das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt es viele Beweise. Gauß selbst war
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so begeistert, dass er acht unterschiedliche Beweise vorlegte, Eisenstein
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lieferte fünf weitere. Das Buch \cite[Appendix~B]{MR1761696} nennt 196
|
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unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der
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Mathematik seit Gauß und Euler. Das Buch der Beweise
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\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} stellt zwei der Schönsten vor, der hier
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gezeigte Beweis ist im Wesentlichen aus dem Buch \cite{zbMATH06333926}
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abgeschrieben. Wenn Sie den Beweis nicht mögen, finden Sie in den
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hervorragenden Skripten des Bayreuther Kollegen
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\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/}{Michael Stoll} einen
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\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/EinfZAS-WS2014/Skript-EinfZAS-pub-screen.pdf}{anderen
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Beweis}. Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen
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\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Beweis
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mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}.
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\bigskip
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Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen. Der Primkörper von $F$
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is $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach
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Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative
|
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Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen. Nach dem kleinen
|
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Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und
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Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches
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von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von
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Cauchy'') ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal,
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dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit
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$ξ ∈ F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt,
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\begin{equation}\label{eq:g4.1}
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\sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F.
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\end{equation}
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Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
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\[
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G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F.
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||
\]
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\begin{behauptung}\label{beh:0}
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Es sei $n ∈ ℤ$ kein Vielfaches von $p$. Dann gelten im Körper $F$ die
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Gleichungen
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\[
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\sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n}
|
||
\quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ =
|
||
\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}
|
||
\]
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\end{behauptung}
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\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}]
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Die Annahme, dass $n ∈ ℤ$ kein Vielfaches von $p$ ist, bedeutet, dass die
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Abbildung
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\begin{equation}\label{eq:xcvx}
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𝔽_p → 𝔽_p, \quad x → n·x
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\end{equation}
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bijektiv ist. Weil die Elemente $\left(\frac{in}{p}\right)$ und $ξ^{i·n}$
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jeweils nur von der Restklasse von $i·n$ modulo $p$ abhängen zeigt
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Bijektivität von \eqref{eq:xcvx} daher, dass sich die linken und die rechten
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Seiten der Gleichungen nur um die Summationsreihenfolge unterscheiden.
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\qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:0})}
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\end{proof}
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\begin{behauptung}\label{beh:1}
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Im Körper $F$ gilt die Gleichung $G^q = \left(\frac{q}{p}\right)·G$.
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\end{behauptung}
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\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:1}]
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Wir rechnen die Behauptung direkt nach.
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\begin{align*}
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G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\
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||
& = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\
|
||
& = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\
|
||
& = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}
|
||
\end{align*}
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||
Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})}
|
||
\end{proof}
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\begin{behauptung}\label{beh:2}
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||
Im Körper $F$ gilt die Gleichung $G² = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p$. Insbesondere
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ist $G ≠ 0$ in $F$.
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\end{behauptung}
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||
\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:2}]
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||
Der Beweis der Behauptung~\ref{beh:2} ist eine direkte, aber ziemlich lästige
|
||
Rechnung, die alle bisherigen Beobachtungen nutzt.
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||
\begin{align*}
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||
G² & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^j \right) \\
|
||
& = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^j \right) \right) \\
|
||
& = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{ji}{p}\right)·ξ^{ji} \right) \right) && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}\\
|
||
& = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i²}{p}\right)·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^{(j+1)i} \right) \right) && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\
|
||
& = \sum_{i=1}^{p-1} \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^{(j+1)i} && i²\text{ ist quadratischer Rest} \\
|
||
& = \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\
|
||
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\
|
||
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\
|
||
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\
|
||
& = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
|
||
\end{align*}
|
||
Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})}
|
||
\end{proof}
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||
|
||
Alles, was wir nun noch machen müssen, ist, das Körperelement $G^q ∈ F$ mithilfe
|
||
der Behauptungen \ref{beh:1} und \ref{beh:2} auf zwei unterschiedliche Arten
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auszudrücken, und die so entstandenen Formeln zu vergleichen.
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||
\begin{align*}
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||
\left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\
|
||
& = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\
|
||
& = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\
|
||
& = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
|
||
\end{align*}
|
||
Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir
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||
kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung. \qed
|
||
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||
\section{Die Ergänzungssätze}
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||
Der Vollständigkeit halber erwähne ich noch zwei Sätze, die das Rechnen mit
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Legendre-Symbolen und der quadratischen Reziprozität vereinfachen. Die Beweise
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||
sind uninspirierend und werden deshalb weggelassen.
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||
\begin{satz}[1.~Ergänzungssatz]
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||
Für jede ungerade Primzahl $p ∈ ℕ$ gilt
|
||
\[
|
||
\left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} =
|
||
\begin{cases}
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||
1 & \text{falls } p \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 4) \\
|
||
-1 & \text{sonst}
|
||
\end{cases} \eqno \qed
|
||
\]
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
\begin{satz}[2.~Ergänzungssatz]
|
||
Für jede ungerade Primzahl $p ∈ ℕ$ gilt
|
||
\[
|
||
\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p²-1}{8}} =
|
||
\begin{cases}
|
||
1 & \text{falls } p \equiv \pm1 \:\:(\operatorname{mod} 8) \\
|
||
-1 & \text{sonst}
|
||
\end{cases} \eqno \qed
|
||
\]
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
|
||
%%% Local Variables:
|
||
%%% mode: latex
|
||
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
|
||
%%% End:
|