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\selectlanguage{german}
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\chapter{Grundbegriffe}
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\sideremark{Vorlesung 12}Bevor es richtig losgeht, stelle ich schnell noch
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einige Grundbegriffe zusammen, die wir später an allen möglichen Stellen
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brauchen. Den ersten Begriff erkläre ich am besten an einem Beispiel: betrachte
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den Körper $ℂ$. Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält
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$K$ auf jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive
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Inverse $-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, …. Am Ende erkennen wir,
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dass $K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss. In diesem Sinne ist
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$ℚ$ also der kleinste Unterkörper von $ℂ$. Das definieren wir jetzt für
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beliebige Körper. Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}.
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\begin{beobachtung}
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Es sei $L$ ein Körper, und es seien $(K_i)_{i ∈ I}$ Unterkörper. Dann ist
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auch $∩_{i ∈ I} K_i$ ein Unterkörper von $L$.
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\end{beobachtung}
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Mithilfe dieser Beobachtung können wir jetzt den kleinsten Unterkörper
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definieren.
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\begin{definition}[Primkörper]
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Sei $K$ ein Körper. Der Durchschnitt über alle Unterkörper von $K$ heißt
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\emph{Primkörper}\index{Primkörper} von $K$.
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\end{definition}
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\begin{notation}
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Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl. Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal
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und $ℤ/(p)$ ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird.
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\end{notation}
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Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten.
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\begin{satz}[Klassifikation der Primkörper]\label{Satz_Primkoerper_Isomorphie}
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Es sei $K$ ein Körper. Dann ist der Primkörper von $K$ entweder isomorph zu
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$ℚ$ oder zu einem $𝔽_p$, wobei $p$ eine Primzahl ist.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{12-1}
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\end{proof}
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\begin{definition}[Charakteristik]
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Es sei $K$ ein Körper. Falls der Primkörper von $K$ isomorph zu $ℚ$ ist, so
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sagt, man der Körper $K$ hat \emph{Charakteristik
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$0$}\index{Charakteristik!eines Körpers}. Falls der Primkörper von $K$
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isomorph zu $𝔽_p$ ist, so sagt man, der Körper $K$ hat \emph{Charakteristik
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$p$}. Die Schreibweise $\operatorname{char}(K)$ ist üblich.
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\end{definition}
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\begin{satz}
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Es sei $K$ ein endlicher Körper. Dann hat $K$ hat positive Charakteristik,
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$p = \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das
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$K$ genau $p^m$ Elemente hat.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen. Also ist
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$p = \operatorname{char}(K) > 0$. Weil $K$ endlich ist, ist der
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Erweiterungsgrad $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich. Ein
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$m$-dimensionaler Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente.
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\end{proof}
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Ich erinnere noch einmal an einige Körper, die wir in den vergangenen Kapiteln
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diskutierten.
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\begin{itemize}
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\item $𝔽_p$, $ℚ$, $ℝ$ sowie $ℂ$ sind Körper.
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\item Ist $L/K$ eine Körpererweiterung und $A⊂ L$ eine Menge, dann ist
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$K(A)$ ein Körper.
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\item Quotientenkörper von Integritätsringen sind Körper.
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\item Ist $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $m$ ein maximales Ideal, dann
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ist $R/m$ ein Körper.
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\item Ist $R$ ein Ring und $p ⊂ R$ ein Primideal, dann ist $R/p$ ein
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Integritätsring und $Q(R/p)$ ist ein Körper.
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\end{itemize}
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In der Mathematik sind die folgenden Körper am interessantesten.
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\begin{itemize}
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\item Zahlenkörper, also Zwischenkörper $ℚ ⊂ K ⊂ ℂ$, wobei $K/Q$
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algebraisch ist.
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\item Funktionenkörper, also endliche algebraische Oberkörper von $ℂ(x)$.
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\item In den letzten Jahrzehnten gab es große Fortschritte beim Studium von
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endlichen algebraischen Körpererweiterungen von $ℚ(x)$.
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\item Endliche Körper und ihre (endlichen) Körpererweiterungen spielen in der
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Kodierungstheorie eine zentrale Rolle.
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\end{itemize}
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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