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\selectlanguage{german}
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\chapter{Restklassenringe}
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\sideremark{Vorlesung 11}Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf
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unserem \href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
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bereitgestellt.
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Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon gesagt, warum wir uns für
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Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der Konstruktion des
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Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen Quotienten von Ringen
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konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele Studierende ihre Probleme mit
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``Quotientenvektorräumen'' haben und nutze an dieser Stelle normalerweise die
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Gelegenheit, um mit der Konstruktion des Restklassenringes die Begriffe und
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Beweistechniken noch einmal zu wiederholen. In diesem Semester geht das nicht,
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denn das Semester ist deutlich kürzer als in normalen Jahren. Ich verzichte
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deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und behaupte, dass ``alles genau so
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geht, wie in der Linearen Algebra''.
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\begin{warnung}
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Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die VL ``Lineare
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Algebra'' erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst -- solche
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Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
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\end{warnung}
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\section{Definition von Restklassenringen}
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Genau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe
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durch folgende universelle Eigenschaft definiert.
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\begin{defn}[Restklassenring]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Ein
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\emph{Restklassenring}\index{Restklassenring} oder
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\emph{Quotientenring}\index{Quotientenring} ist ein kommutativer Ring $S$ mit
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Eins zusammen mit einem Ringmorphismus $φ : R → S$, sodass $\ker φ = I$ ist
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und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist $ψ : R → T$ ein
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weiterer Ringmorphismus mit $I ⊆ \ker ψ$, dann gibt es genau einen
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Ringmorphismus $h : S → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
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\[
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\begin{tikzcd}
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R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & S \ar[d, "h"] \\
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R \ar[r, "ψ"'] & T.
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\end{tikzcd}
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\]
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\end{defn}
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Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn
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Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man
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spricht deswegen oft nicht ganz richtig von ``dem'' Restklassenring und
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bezeichnet ``den'' Restklassenring mit $R/I$.
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\section{Konstruktion von Restklassenringen}
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Da Restklassenringe eindeutig durch die universelle Eigenschaft gegeben sind,
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folgt alles, was man überhaupt über Restklassenringe sagen kann, aus der
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universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz. Wir beweisen die
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Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
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eines Restklassenringes angeben.
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\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei
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Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo
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Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise
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$a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
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\end{defn}
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\begin{lem}\label{lem:10-1-2}
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In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
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eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
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die Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
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\begin{equation*}
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a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
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\end{equation*}
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\end{lem}
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\begin{notation}[Restklasse von $a$ modulo $I$]
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In der Situation von Lemma~\ref{lem:10-1-2} nennt man $a+I$ die
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\emph{Restklasse von $a$ modulo $I$}\index{Restklasse}.
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\end{notation}
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\begin{bsp}
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Der Name ``Restklasse'' kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei
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$m ∈ ℕ$ eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist
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$a \equiv b \:\:(\operatorname{mod} I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der
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Division durch $m$ denselben Rest haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt
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$ℤ$ also genau in die Restklassen
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\begin{equation*}
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0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
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\end{equation*}
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\end{bsp}
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\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}
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Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die
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Äquivalenzrelation ``Kongruenz modulo $I$'' werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann
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sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
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die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
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Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
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\[
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\begin{matrix}
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+ : & S ⨯ S & → & S \\
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& ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a+b) + I \\
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\\
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· : & S ⨯ S & → & S \\
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||
& ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a·b) + I.
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||
\end{matrix}
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\]
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Mit diesen Verknüpfungen ist $S$ ein kommutativer Ring mit Eins, die
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Restklassenabbildung\index{Restklassenabbildung}
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\begin{equation*}
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φ : R → S, \quad a ↦ a+I
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\end{equation*}
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ist ein Ringmorphismus. Das Paar $S$ und $φ$ ist ein Restklassenring. \qed
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\end{satz}
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Satz~\ref{satz:exvrklr} gibt eine explizite Konstruktion eines
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Restklassenringes. Manchmal lassen sich Restklassenringe und ihre Elemente auf
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diese Art und Weise direkt beschreiben.
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\begin{bsp}
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Es sei $K$ ein Körper, es sei $R = K[x]$ und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom vom
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Grad $n$. Weiter sei $I = (f)$. Die Elemente von $K[x]/(f)$ sind also von
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der Gestalt $g+(f)$. In diesem Beispiel bilden die Polynome vom Grad $<n$ ein
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vollständiges Repräsentantensystem für die Kongruenz modulo $(f)$. Mithilfe
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dieses Repräsentantensystems kann man die Multiplikation in $R/(f)$ wie folgt
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beschreiben
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\begin{equation*}
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\bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
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\end{equation*}
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wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist
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$\deg f ≥ 1$, dann ist die Abbildung
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\begin{equation*}
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K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
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\end{equation*}
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injektiv und insbesondere ist $K[x]/(f)$ ein $K$-Vektorraum.
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\end{bsp}
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\section{Noch einmal: Körpererweiterungen und Restklassenringe}
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\label{sec:10-3}
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Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
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Eigenschaft.
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\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
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surjektiver Ringmorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung
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\begin{equation*}
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h : \factor{R}{\ker ψ} → S
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\end{equation*}
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isomorph. \qed
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\end{prop}
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Mithilfe des Homomorphiesatzes kann ich jetzt etwas genauer erklären, was
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Restklassenringe mit unserem Ziel zu tun haben, Körpererweiterungen zu
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verstehen. Sei dazu $L/K$ eine Körpererweiterung, es sei $a ∈ L$ algebraisch
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und es sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Betrachte nun den
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Substitutionsmorphismus
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\begin{equation*}
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ψ : K[x] → L, \quad g ↦ g(a).
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\end{equation*}
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\begin{description}
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\item[Wie sieht der Kern von $ψ$ aus?] Ein Polynom $g$ ist offenbar genau dann
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im von $ψ$ Kern, wenn $g(a)=0$ ist. Wir haben schon gesehen, dass $g$ dann
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ein Vielfaches von $f$ ist. Kurz gesagt ist $\ker ψ = (f)$ das von $f$
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erzeugte Hauptideal.
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\item[Wie sieht das Bild von $ψ$ aus?] Sei $n = [a:K]$. Dann wissen wir schon,
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dass
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\begin{equation*}
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K(a) = K + K·a + ⋯ + K· a^{n-1}.
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\end{equation*}
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Also ist das Bild von $ψ$ gleich $K(a)$.
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\end{description}
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Zusammenfassend folgt aus dem Homomorphiesatz für Ringe, dass $K(a)$ isomorph
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zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.
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\section{Ideale oben und unten}
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Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
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der linearen Algebra kennen (``Kürzen'' von Untervektorräumen). Um diese Sätze
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korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie ``Ideale in $R$'' und
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``Ideale in $R/I$'' zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den
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Zusammenhang nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für
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beliebige Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer
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Ideale. Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus
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surjektiv ist --- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
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\begin{satz}[Urbilder von Idealen]
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Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
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Wenn $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein
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Ideal in $R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
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\begin{equation*}
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\begin{matrix}
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\{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\
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I & ↦ & \varphi^{-1} (I)
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\end{matrix}
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\end{equation*}
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eine Bijektion.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{11-1}
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\end{proof}
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\begin{satz}[Bilder von Idealen]\label{Satz_Ringmorphismus_Eigenschaften}
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Es sei $\varphi : R → S$ ein surjektiver Morphismus von kommutativen Ringen.
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Wenn $I ⊂ R$ ein Ideal ist, dann ist auch die Bildmenge $\varphi(I)$ ein
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Ideal. Wenn $J ⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist der Kern der Komposition
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\begin{equation*}
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R → S → \factor{S}{J}
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\end{equation*}
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exakt $\varphi^{-1}(J)$ und die Abbildung
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\begin{equation*}
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\begin{matrix}
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\factor{R}{\varphi^{-1}(J)} & → & \factor{S}{J} \\[2mm]
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a+\varphi^{-1}(J) & ↦ & \varphi(a)+J
|
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\end{matrix}
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\end{equation*}
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ist ein Isomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{11-2}
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\end{proof}
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\begin{notation}\label{not:xx}
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I ⊂ J ⊂ R$ zwei
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Ideale. Wir bezeichnen die Quotientenabbildung mit $φ : R → R/I$. Dann wird
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das Ideal $φ(J)$ des Restklassenringes $R/I$ häufig mit $J/I$ bezeichnet.
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\end{notation}
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\begin{kor}
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Es sei $\varphi : R → S$ surjektiver Morphismus von kommutativen Ringen mit
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Eins. Wenn $R$ noethersch ist (bzw.\ Hauptidealring) ist, dann ist auch $S$
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noethersch (bzw.\ ein Hauptidealring). \qed
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\end{kor}
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\begin{bsp}
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Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal. Dann ist
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$K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
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\end{bsp}
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Der folgende Satz ist wieder eine Konsequenz der universellen Eigenschaft. Die
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Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
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\begin{prop}[Noetherscher Isomorphiesatz]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I ⊂ J ⊂ R$ zwei
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Ideale. Dann sind die Restklassenringe
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\begin{equation*}
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\factor{R}{J} \quad\text{und}\quad \factor{(\factor{R}{I})}{(\factor{J}{I})}
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\end{equation*}
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in kanonischer Weise zueinander isomorph. \qed
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\end{prop}
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\section{Primideale und maximale Ideale}
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Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
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Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist. Etwas
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bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei? Für den Ring
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$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung ``Lineare Algebra'' kennengelernt.
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Der Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies
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ist genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt
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``Primzahl'' jetzt den Begriff des ``Primideals'' einführen.
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\begin{defn}[Primideal]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
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||
\emph{Primideal}\index{Primideal}, falls $I \ne R$ ist und falls für alle $a$,
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$b ∈ R$ gilt:
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\begin{equation*}
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a·b ∈ I\quad⇒ \quad a∈ I \text{ oder } b∈ I.
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\end{equation*}
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Hauptideal $(0) ⊊ (p) ⊂ R$ ist
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genau dann ein Primideal, wenn $p ∈ R$ ein Primelement ist.
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\end{bsp}
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\begin{defn}[Maximales Ideal]
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||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
|
||
\emph{maximal}\index{maximales Ideal}, falls $I \ne R$ ist und falls für jedes
|
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Ideal $I ⊆ J ⊆ R$ gilt $J = I$ oder $J = R$.
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\end{defn}
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\begin{rem}
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Maximale Ideale sind Primideale.
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\end{rem}
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\begin{beobachtung}
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Körper werden unter den kommutativen Ringen dadurch charakterisiert, dass
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$(0)$ und $(1)$ die einzigen Ideale sind. Mit anderen Worten: ein Ring ist
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genau dann ein Körper, wenn das Nullideal maximal ist.
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\end{beobachtung}
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Der folgende Satz charakterisiert Primideale und maximale Ideale in Termen des
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Restklassenringes. Das liefert weitere Beispiele.
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\begin{satz}\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel}
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||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel_1} Ein Ideal $p ⊂ R$ ist genau dann ein
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Primideal, wenn $R/p$ ein Integritätsring ist.
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||
\item\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel_2} Ein Ideal $m ⊂ R$ ist genau dann
|
||
maximal, wenn $R/m$ ein Körper ist. \qed
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
|
||
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||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $K$ ein Körper und es sei $R = K[x_1, …, x_n]$. Wenn $a_1, …, a_n ∈ K$
|
||
sind, dann ist das Ideal $(x_1-a_1, …, x_n-a_n)$ maximal. Um diese Behauptung
|
||
zu beweisen, betrachte man den Substitutionsmorphismus
|
||
\begin{equation*}
|
||
\varphi : K[x_1, …, x_n] → K, \quad g ↦ g(a_1, …, a_n).
|
||
\end{equation*}
|
||
Dann ist $\varphi$ surjektiv und es ist
|
||
$\ker \varphi = (x_1-a_1, …, x_n-a_n)$. Also ist
|
||
\begin{equation*}
|
||
K ≅ \factor{K[x_1, …, x_n]}{(x_1-a_1, …, x_n-a_n)}.
|
||
\end{equation*}
|
||
Satz~\ref{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel} liefert dann die gewünschte Aussage.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
|
||
\section{Der Chinesische Restsatz}
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||
Der Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen
|
||
und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor. Dabei geht es
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||
um folgende Aufgabe: Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es seien
|
||
Ideale $I_1, … I_n ⊂ R$ und Ringelemente $r_1, …, r_n∈ R$ gegeben. Gesucht ist
|
||
ein $r∈ R$ (wenn es eines gibt), sodass die Gleichungen simultan erfüllt sind,
|
||
\[
|
||
r \equiv r_1 \: (\operatorname{mod}{I_1}), \quad
|
||
r \equiv r_2 \: (\operatorname{mod}{I_2}), \quad
|
||
…, \quad
|
||
r \equiv r_n \: (\operatorname{mod}{I_n}).
|
||
\]
|
||
Wenn ein solches Element $r$ überhaupt existiert, dann gilt für alle Indizes $k$
|
||
und $l$
|
||
\begin{equation*}
|
||
r_k - r_l = \underbrace{r_k-r}_{∈ I_k} + \underbrace{r-r_l}_{∈ I_l} ∈ I_k + I_l.
|
||
\end{equation*}
|
||
Wenn $I_k + I_l = R$ sind, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch
|
||
erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch
|
||
lösbar ist.
|
||
|
||
\begin{definition}[Teilerfremde Ideale]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I_1$ und $I_2$ zwei
|
||
Ideale in $R$. Die Ideale heißen \emph{teilerfremd}\index{teilerfremde
|
||
Ideale}, wenn $I_1 + I_2=R$ ist; dabei bezeichnet $I_1+I_2$ das Summenideal
|
||
aus Beispiel~\vref{bsp:9-2-8}.
|
||
\end{definition}
|
||
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||
\begin{bemerkung}
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||
Was hat diese Definition mit ``Teilerfremdheit'' zu tun? Schauen Sie sich den
|
||
Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an. In der
|
||
Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
|
||
gegeben. Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$. Der
|
||
Euklidische Algorithmus zeigt aber, dass $\ggT(f,g) ∈ (f) + (g)$ ist. Die
|
||
Aussage, dass 1 in dem Ideal $(f) + (g)$ ist, ist aber gleichbedeutend damit,
|
||
dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
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||
\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}
|
||
\index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
|
||
seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale. Dann ist der
|
||
kanonische Ringhomomorphismus
|
||
\begin{equation*}
|
||
α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add. und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
|
||
\end{equation*}
|
||
surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
\video{11-3}
|
||
\end{proof}
|
||
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||
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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