380 lines
15 KiB
TeX
380 lines
15 KiB
TeX
% spell checker language
|
||
\selectlanguage{german}
|
||
|
||
\chapter{Restklassenringe}
|
||
|
||
\sideremark{Vorlesung 11}Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon
|
||
gesagt, warum wir uns für Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der
|
||
Konstruktion des Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen
|
||
Quotienten von Ringen konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele
|
||
Studierende ihre Probleme mit „Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser
|
||
Stelle normalerweise die Gelegenheit, um mit der Konstruktion des
|
||
Restklassenringes die Begriffe und Beweistechniken noch einmal zu wiederholen.
|
||
In diesem Semester geht das nicht, denn das Semester ist deutlich kürzer als in
|
||
normalen Jahren. Ich verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und
|
||
behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.
|
||
|
||
\begin{warnung}
|
||
Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung
|
||
„Lineare Algebra“ erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst --
|
||
solche Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
|
||
\end{warnung}
|
||
|
||
|
||
\section{Definition von Restklassenringen}
|
||
|
||
Genau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe
|
||
durch folgende universelle Eigenschaft definiert.
|
||
|
||
\begin{defn}[Restklassenring]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Ein
|
||
\emph{Restklassenring}\index{Restklassenring} oder
|
||
\emph{Quotientenring}\index{Quotientenring} ist ein kommutativer Ring $S$ mit
|
||
Eins zusammen mit einem Ringmorphismus $φ : R → S$, sodass $\ker φ = I$ ist
|
||
und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist $ψ : R → T$ ein
|
||
weiterer Ringmorphismus mit $I ⊆ \ker ψ$, dann gibt es genau einen
|
||
Ringmorphismus $h : S → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & S \ar[d, "h"] \\
|
||
R \ar[r, "ψ"'] & T.
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn
|
||
Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man
|
||
spricht deswegen oft nicht ganz richtig von „dem“ Restklassenring und bezeichnet
|
||
„den“ Restklassenring mit $R/I$.
|
||
|
||
|
||
\section{Konstruktion von Restklassenringen}
|
||
|
||
Da Restklassenringe eindeutig durch die universelle Eigenschaft gegeben sind,
|
||
folgt alles, was man überhaupt über Restklassenringe sagen kann, aus der
|
||
universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz. Wir beweisen die
|
||
Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
|
||
eines Restklassenringes angeben.
|
||
|
||
\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}%
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei
|
||
Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo
|
||
Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise $a \equiv b
|
||
\:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{lem}\label{lem:10-1-2}%
|
||
In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
|
||
eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
|
||
Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
|
||
\begin{equation*}
|
||
a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
|
||
\end{equation*}
|
||
\end{lem}
|
||
|
||
\begin{notation}[Restklasse von $a$ modulo $I$]
|
||
In der Situation von Lemma~\ref{lem:10-1-2} nennt man $a+I$ die
|
||
\emph{Restklasse von $a$ modulo $I$}\index{Restklasse}.
|
||
\end{notation}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Der Name „Restklasse“ kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei $m ∈ ℕ$
|
||
eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod}
|
||
I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ denselben Rest
|
||
haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt $ℤ$ also genau in die Restklassen
|
||
\begin{equation*}
|
||
0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
|
||
\end{equation*}
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}%
|
||
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die
|
||
Äquivalenzrelation „Kongruenz modulo $I$“ werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann
|
||
sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
|
||
die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
|
||
Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
|
||
\[
|
||
\begin{matrix}
|
||
+ : & S ⨯ S & → & S \\
|
||
& ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a+b) + I \\
|
||
\\
|
||
· : & S ⨯ S & → & S \\
|
||
& ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a·b) + I.
|
||
\end{matrix}
|
||
\]
|
||
Mit diesen Verknüpfungen ist $S$ ein kommutativer Ring mit Eins, die
|
||
Restklassenabbildung\index{Restklassenabbildung}
|
||
\begin{equation*}
|
||
φ : R → S, \quad a ↦ a+I
|
||
\end{equation*}
|
||
ist ein Ringmorphismus. Das Paar $S$ und $φ$ ist ein Restklassenring. \qed
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
Satz~\ref{satz:exvrklr} gibt eine explizite Konstruktion eines
|
||
Restklassenringes. Manchmal lassen sich Restklassenringe und ihre Elemente auf
|
||
diese Art und Weise direkt beschreiben.
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $K$ ein Körper, es sei $R = K[x]$ und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom vom
|
||
Grad $n$. Weiter sei $I = (f)$. Die Elemente von $K[x]/(f)$ sind also von
|
||
der Gestalt $g+(f)$. In diesem Beispiel bilden die Polynome vom Grad $<n$ ein
|
||
vollständiges Repräsentantensystem für die Kongruenz modulo $(f)$. Mithilfe
|
||
dieses Repräsentantensystems kann man die Multiplikation in $R/(f)$ wie folgt
|
||
beschreiben
|
||
\begin{equation*}
|
||
\bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
|
||
\end{equation*}
|
||
wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist $\deg f
|
||
≥ 1$, dann ist die Abbildung
|
||
\begin{equation*}
|
||
K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
|
||
\end{equation*}
|
||
injektiv und insbesondere ist $K[x]/(f)$ ein $K$-Vektorraum.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
|
||
\section{Noch einmal: Körpererweiterungen und Restklassenringe}
|
||
\label{sec:10-3}
|
||
|
||
Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
|
||
Eigenschaft.
|
||
|
||
\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}%
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
|
||
surjektiver Ringmorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung
|
||
\begin{equation*}
|
||
h : \factor{R}{\ker ψ} → S
|
||
\end{equation*}
|
||
isomorph. \qed
|
||
\end{prop}
|
||
|
||
Mithilfe des Homomorphiesatzes kann ich jetzt etwas genauer erklären, was
|
||
Restklassenringe mit unserem Ziel zu tun haben, Körpererweiterungen zu
|
||
verstehen. Sei dazu $L/K$ eine Körpererweiterung, es sei $a ∈ L$ algebraisch
|
||
und es sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Betrachte nun den
|
||
Substitutionsmorphismus
|
||
\begin{equation*}
|
||
ψ : K[x] → L, \quad g ↦ g(a).
|
||
\end{equation*}
|
||
\begin{description}
|
||
\item[Wie sieht der Kern von $ψ$ aus?] Ein Polynom $g$ ist offenbar genau dann
|
||
im von $ψ$ Kern, wenn $g(a)=0$ ist. Wir haben schon gesehen, dass $g$ dann
|
||
ein Vielfaches von $f$ ist. Kurz gesagt ist $\ker ψ = (f)$ das von $f$
|
||
erzeugte Hauptideal.
|
||
|
||
\item[Wie sieht das Bild von $ψ$ aus?] Sei $n = [a:K]$. Dann wissen wir schon,
|
||
dass
|
||
\begin{equation*}
|
||
K(a) = K + K·a + ⋯ + K· a^{n-1}.
|
||
\end{equation*}
|
||
Also ist das Bild von $ψ$ gleich $K(a)$.
|
||
\end{description}
|
||
Zusammenfassend folgt aus dem Homomorphiesatz für Ringe, dass $K(a)$ isomorph
|
||
zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.
|
||
|
||
|
||
\section{Ideale oben und unten}
|
||
|
||
Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
|
||
der linearen Algebra kennen („Kürzen“ von Untervektorräumen). Um diese Sätze
|
||
korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie „Ideale in $R$“ und
|
||
„Ideale in $R/I$“ zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den Zusammenhang
|
||
nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für beliebige
|
||
Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer Ideale.
|
||
Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
|
||
--- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
|
||
|
||
\begin{satz}[Urbilder von Idealen]
|
||
Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Wenn
|
||
$I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein Ideal in
|
||
$R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
|
||
\begin{equation*}
|
||
\begin{matrix}
|
||
\{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\
|
||
I & ↦ & \varphi^{-1} (I)
|
||
\end{matrix}
|
||
\end{equation*}
|
||
eine Bijektion.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
\video{11-1}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{satz}[Bilder von Idealen]\label{Satz_Ringmorphismus_Eigenschaften}
|
||
Es sei $\varphi : R → S$ ein surjektiver Morphismus von kommutativen Ringen.
|
||
Wenn $I ⊂ R$ ein Ideal ist, dann ist auch die Bildmenge $\varphi(I)$ ein
|
||
Ideal. Wenn $J ⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist der Kern der Komposition
|
||
\begin{equation*}
|
||
R → S → \factor{S}{J}
|
||
\end{equation*}
|
||
exakt $\varphi^{-1}(J)$ und die Abbildung
|
||
\begin{equation*}
|
||
\begin{matrix}
|
||
\factor{R}{\varphi^{-1}(J)} & → & \factor{S}{J} \\[2mm]
|
||
a+\varphi^{-1}(J) & ↦ & \varphi(a)+J
|
||
\end{matrix}
|
||
\end{equation*}
|
||
ist ein Isomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
\video{11-2}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{notation}\label{not:xx}
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I ⊂ J ⊂ R$ zwei
|
||
Ideale. Wir bezeichnen die Quotientenabbildung mit $φ : R → R/I$. Dann wird
|
||
das Ideal $φ(J)$ des Restklassenringes $R/I$ häufig mit $J/I$ bezeichnet.
|
||
\end{notation}
|
||
|
||
\begin{kor}
|
||
Es sei $\varphi : R → S$ surjektiver Morphismus von kommutativen Ringen mit
|
||
Eins. Wenn $R$ noethersch ist (bzw.\ Hauptidealring) ist, dann ist auch $S$
|
||
noethersch (bzw.\ ein Hauptidealring). \qed
|
||
\end{kor}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal. Dann ist der
|
||
Quotientenring $K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
Der folgende Satz ist wieder eine Konsequenz der universellen Eigenschaft. Die
|
||
Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
|
||
|
||
\begin{prop}[Noetherscher Isomorphiesatz]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I ⊂ J ⊂ R$ zwei
|
||
Ideale. Dann sind die Restklassenringe
|
||
\begin{equation*}
|
||
\factor{R}{J} \quad\text{und}\quad \factor{(\factor{R}{I})}{(\factor{J}{I})}
|
||
\end{equation*}
|
||
in kanonischer Weise zueinander isomorph. \qed
|
||
\end{prop}
|
||
|
||
|
||
\section{Primideale und maximale Ideale}
|
||
|
||
Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
|
||
Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist. Etwas
|
||
bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei? Für den Ring
|
||
$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt. Der
|
||
Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies ist
|
||
genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt
|
||
„Primzahl“ jetzt den Begriff des „Primideals“ einführen.
|
||
|
||
\begin{defn}[Primideal]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
|
||
\emph{Primideal}\index{Primideal}, falls $I \ne R$ ist und falls für alle $a$,
|
||
$b ∈ R$ gilt:
|
||
\begin{equation*}
|
||
a·b ∈ I\quad⇒ \quad a∈ I \text{ oder } b∈ I.
|
||
\end{equation*}
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Hauptideal $(0) ⊊ (p) ⊂ R$ ist
|
||
genau dann ein Primideal, wenn $p ∈ R$ ein Primelement ist.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{defn}[Maximales Ideal]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
|
||
\emph{maximal}\index{maximales Ideal}, falls $I \ne R$ ist und falls für jedes
|
||
Ideal $I ⊆ J ⊆ R$ gilt $J = I$ oder $J = R$.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{rem}
|
||
Maximale Ideale sind Primideale.
|
||
\end{rem}
|
||
|
||
\begin{beobachtung}
|
||
Körper werden unter den kommutativen Ringen dadurch charakterisiert, dass
|
||
$(0)$ und $(1)$ die einzigen Ideale sind. Mit anderen Worten: ein Ring ist
|
||
genau dann ein Körper, wenn das Nullideal maximal ist.
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
Der folgende Satz charakterisiert Primideale und maximale Ideale in Termen des
|
||
Restklassenringes. Das liefert weitere Beispiele.
|
||
|
||
\begin{satz}\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel}
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel_1} Ein Ideal $p ⊂ R$ ist genau dann ein
|
||
Primideal, wenn $R/p$ ein Integritätsring ist.
|
||
|
||
\item\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel_2} Ein Ideal $m ⊂ R$ ist genau dann
|
||
maximal, wenn $R/m$ ein Körper ist. \qed
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $K$ ein Körper und es sei $R = K[x_1, …, x_n]$. Wenn $a_1, …, a_n ∈ K$
|
||
sind, dann ist das Ideal $(x_1-a_1, …, x_n-a_n)$ maximal. Um diese Behauptung
|
||
zu beweisen, betrachte man den Substitutionsmorphismus
|
||
\begin{equation*}
|
||
\varphi : K[x_1, …, x_n] → K, \quad g ↦ g(a_1, …, a_n).
|
||
\end{equation*}
|
||
Dann ist $\varphi$ surjektiv und es ist
|
||
$\ker \varphi = (x_1-a_1, …, x_n-a_n)$. Also ist
|
||
\begin{equation*}
|
||
K ≅ \factor{K[x_1, …, x_n]}{(x_1-a_1, …, x_n-a_n)}.
|
||
\end{equation*}
|
||
Satz~\ref{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel} liefert dann die gewünschte Aussage.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
|
||
\section{Der Chinesische Restsatz}
|
||
|
||
Der Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen
|
||
und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor. Dabei geht es
|
||
um folgende Aufgabe: Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es seien
|
||
Ideale $I_1, … I_n ⊂ R$ und Ringelemente $r_1, …, r_n∈ R$ gegeben. Gesucht ist
|
||
ein $r∈ R$ (wenn es eines gibt), sodass die Gleichungen simultan erfüllt sind,
|
||
\[
|
||
r \equiv r_1 \: (\operatorname{mod}{I_1}), \quad
|
||
r \equiv r_2 \: (\operatorname{mod}{I_2}), \quad
|
||
…, \quad
|
||
r \equiv r_n \: (\operatorname{mod}{I_n}).
|
||
\]
|
||
Wenn ein solches Element $r$ überhaupt existiert, dann gilt für alle Indizes $k$
|
||
und $l$
|
||
\begin{equation*}
|
||
r_k - r_l = \underbrace{r_k-r}_{∈ I_k} + \underbrace{r-r_l}_{∈ I_l} ∈ I_k + I_l.
|
||
\end{equation*}
|
||
Wenn $I_k + I_l = R$ sind, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch
|
||
erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch
|
||
lösbar ist.
|
||
|
||
\begin{definition}[Teilerfremde Ideale]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I_1$ und $I_2$ zwei
|
||
Ideale in $R$. Die Ideale heißen \emph{teilerfremd}\index{teilerfremde
|
||
Ideale}, wenn $I_1 + I_2=R$ ist; dabei bezeichnet $I_1+I_2$ das Summenideal
|
||
aus Beispiel~\vref{bsp:9-2-8}.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
Was hat diese Definition mit „Teilerfremdheit“ zu tun? Schauen Sie sich den
|
||
Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an. In der
|
||
Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
|
||
gegeben. Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$. Der
|
||
Euklidische Algorithmus zeigt aber, dass $\ggT(f,g) ∈ (f) + (g)$ ist. Die
|
||
Aussage, dass 1 in dem Ideal $(f) + (g)$ ist, ist aber gleichbedeutend damit,
|
||
dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
|
||
\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}%
|
||
\index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
|
||
seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale. Dann ist der
|
||
kanonische Ringhomomorphismus
|
||
\begin{equation*}
|
||
α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.~und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
|
||
\end{equation*}
|
||
surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
\video{11-3}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
|
||
%%% Local Variables:
|
||
%%% mode: latex
|
||
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
|
||
%%% End:
|