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\chapter{Irreduzibilitätskriterien}
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\sideremark{Vorlesung 8}Nach allen Vorbereitungen wollen wir jetzt die Frage
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angehen, wie man entscheidet, ob ein gegebenes Polynom $f ∈ K[x]$ irreduzibel
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ist.
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\section{Das Irreduzibilitätskriterium von Gauß}
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Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität
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vollständig beantworten. Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der
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Konstruierbarkeit der „Verdoppelung des Würfels“ mit der Frage zusammenhing, ob
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das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
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\begin{beobachtung}
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Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der
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Koeffizienten entscheidbar. Das geht zum Beispiel so: seien
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\begin{equation*}
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f = r_0 + r_1·x + ⋯ + r_n·x^n
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\quad\text{und}\quad
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g = s_0 + s_1·x + ⋯ + s_m·x^m
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\end{equation*}
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Polynome aus $ℤ[x]$. Dann folgt aus $g|f$ zumindest, dass $s_0|r_0$ und
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$s_m|r_n$ gilt. Wenn $r_0$ und $r_n$ wenige Teiler haben, grenzt dies die
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Möglichkeiten für potenzielle Teilerpolynome $g$ schon einmal ein.
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\end{beobachtung}
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\begin{bsp}
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Im Spezialfall, wo $f$ ein kubisches Polynom ist, und $g = s_0 + s_1·x$ ein
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Linearfaktor sein soll, dann muss $s_0|r_0$ und $s_1|r_3$ gelten. Sei jetzt
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noch spezieller $f = x³-2 ∈ ℤ[x]$. Dann müsste jeder Linearfaktor aussehen
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wie $±x±1$ oder $±x±2$. Tatsächlich ist aber keines dieser Polynome ein
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Teiler von $f$, weil $±1$ oder $±2$ keine Nullstellen von $f$ sind. Also ist
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$f = x³-2$ irreduzibel in $ℤ[x]$.
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\end{bsp}
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Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium
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von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist!
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\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}%
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Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es
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sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben. Wenn $f$ in $R[x]$
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irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel.
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\end{satz}
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Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma. Das
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Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist.
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\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}%
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Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und $g ∈
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K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom. Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass $a·
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g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich $1$
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ist.
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\end{lemma}
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\begin{bemerkung}
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Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht
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genau so für mehr als zwei Elemente. Für Polynome $a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m
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∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$ notwendig, aber nicht
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hinreichend für die Irreduzibilität.
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\end{bemerkung}
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\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}]
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\video{8-1}
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}]
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\video{8-2}
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\end{proof}
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\subsection{Anwendung des Gauß-Kriteriums}
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Das Kriterium von Gauß führt die Frage, ob ein gegebenes Polynom $f ∈ ℚ[x]$
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irreduzibel ist, auf die Frage zurück, ob $a· f ∈ ℤ[x]$ irreduzibel ist, für
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geeignetes $a ∈ ℚ ∖ \{0\}$. Die Irreduzibilität von $a· f ∈ ℤ[x]$ kann man aber
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in endlich vielen Rechenschritten entscheiden ($→$Klausur). Ein Verfahren soll
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jetzt ganz kurz skizziert werden. Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus
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den Anfängervorlesungen.
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\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.~Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.~April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]%
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Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
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ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_0, …, a_n∈ K$ paarweise
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verschiedene Elemente. Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_0), …, f(a_n)$
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eindeutig festgelegt. Genauer gilt:
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\begin{equation*}
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f(x) = \sum_{i=0…n}f(a_i)\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0…n}{j≠i}}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}.
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\end{equation*}
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\end{erinnerung}
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\begin{proof}
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Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x) \in K[x]$ vom Grad $\deg
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R = n$, sodass für alle Indices $i$ gilt:
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\[
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R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0…n}{j≠i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
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\]
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Dann ist $f-R$ ein Polynom vom Grad $≤ n$, das $n+1$ Nullstellen hat, also das
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Nullpolynom.
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\end{proof}
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Sei jetzt also $f ∈ ℤ[x]$ ein Polynom vom Grad $n$. Wähle paarweise
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verschiedene Zahlen $a_1, …, a_{n+1} ∈ ℤ$ und betrachte die Werte $f(a_i) ∈ ℤ$.
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Falls es Polynom $g(x) ∈ ℤ[x]$ gibt, welches $f$ teilt, dann gilt für jeden
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Index $i$ die Relation $g(a_i) | f(a_i)$. Weil das Polynom $g$ aber durch die
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Werte $g(a_1), …, g(a_{n+1})$ aber eindeutig bestimmt ist, und jede der Zahlen
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$f(a_i)$ endlich viele Teiler hat, gibt es insgesamt nur endlich viele Polynome,
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die als Teiler infrage kommen. Es genügt also, zu überprüfen, ob es unter den
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endlich vielen Kombinationen von Teilern $t_i$ von $f(a_i)$ solche gibt, für die
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gilt:
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\begin{enumerate}
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\item Das Polynom
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\[
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g(x) = \sum_{i=1}^{n+1} t_i·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠ i}} \frac{x-a_j}{a_i-a_j}
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\]
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hat ganzzahlige Koeffizienten.
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\item Es gilt $g|f ∈ ℚ[x]$.
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\item Das Polynom $g$ ist ein echter Teiler, also $g ≠ ±1$ und $g ≠ ±f$.
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\end{enumerate}
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\begin{bemerkung}
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Es ist zweckmäßig die Zahlen $a_i$ so zu wählen, dass $f(a_i)$ möglichst
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wenige Teiler hat. Wenn man nur noch Teilern vom Grad $≤ m<n$ sucht, dann
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braucht man die Formel lediglich auf $m+1$ Punkte anzuwenden. Das hilft oft
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sehr.
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\end{bemerkung}
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\section{Das Eisenstein-Kriterium}
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\sideremark{Vorlesung 9}Mit der Langrangeschen Interpolationsformel kann ich die
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Frage nach der Irreduzibilität zwar beantworten, allerdings sind die nötigen
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Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!). Das
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folgende Kriterium von Theodor
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Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor
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Schönemann} (* 4.~April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; † 16.~Januar
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1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.}, das in der
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Literatur durchgehend falsch mit „Eisenstein-Kriterium“
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bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand
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Gotthold Max Eisenstein} (* 16.~April 1823 in Berlin; † 11.~Oktober 1852 ebenda)
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war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie und über
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elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller. Es ist so
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wichtig, dass es dazu sogar
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf
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Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
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\begin{satz}[Eisenstein Kriterium]\label{Satz_Eisenstein_Kriterium}
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Es sei $R$ ein faktorieller Ring und es sei
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\begin{equation*}
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f = a_0+a_1· x + \dots +a_n· x^n∈ R[x]
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\end{equation*}
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ein Polynom vom Grad $n>0$. Weiter sei $\ggT(a_0, …, a_n)=1$. Wenn es ein
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Primelement $p ∈ R$ gibt mit $p|a_0$, $p|a_1$, …, $p|a_{n-1}$ und
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$p² \nmid a_0$, dann ist $f$ irreduzibel in $R[x]$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{9-1}
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\end{proof}
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\begin{notation}
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Ein Polynom, das die Bedingung von Satz~\ref{Satz_Eisenstein_Kriterium}
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erfüllt, nennt man \emph{Eisen\-stein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}.
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\end{notation}
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\begin{bsp}
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Das Polynom $x^n-r ∈ ℤ[x]$ ist irreduzibel, wenn $r$ durch eine Primzahl
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$p$, aber nicht durch $p²$ teilbar ist.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Das Polynom $x^n-p ∈ ℤ[x]$ ist für jede Primzahl $p$ irreduzibel, und
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deshalb Minimalpolynom von $\sqrt[n]{p}$ als Element der Körpererweiterung
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$ℂ/ℚ$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Ein Polynom in mehreren Variablen der Gestalt
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\begin{equation*}
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x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
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\end{equation*}
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über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …,
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x_n)$ als Element von $R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist.
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\end{bsp}
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\subsection{Hilfe bei der Anwendung des Eisenstein-Kriteriums}
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Das Eisenstein-Kriterium lässt manchmal auch in solchen Situationen anwenden, in
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denen kein Eisenstein-Polynom vorliegt. Hin und wieder ist es nämlich möglich,
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einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
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\begin{lem}
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Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $S$ ein Integritätsring und es sei
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$\varphi : R[x] → S$ ein Ringmorphismus, der kein Polynom positiven Grades auf
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eine Einheit in $S$ abbildet. Weiter sei $f∈ R[x]$ ein Polynom vom Grad $>0$,
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sodass der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist. Wenn
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jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel.
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei
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$g$ und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte
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gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils
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positiven Grad haben. Die Gleichung
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\begin{equation*}
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\varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h)
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\end{equation*}
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zeigt dann, dass $\varphi(f)$ echte Teiler hat, also nicht irreduzibel ist.
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\end{proof}
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Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die
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folgenden Weisen.
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\begin{description}
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\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten] Ist
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$\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch
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\begin{equation*}
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Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν
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\end{equation*}
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ein Ringmorphismus.
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\item[Einsetzungskomposition]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
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Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben. Setze
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\begin{equation*}
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Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν
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\end{equation*}
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\item[Substitutionsmorphismus]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
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Element $a∈ R$ gegeben. Dann betrachte die Abbildung
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\begin{equation*}
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Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν.
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\end{equation*}
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Diese Abbildung ist sogar ein Isomorphismus, weil sie durch $x ↦ x+a$
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umgekehrt wird.
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\end{description}
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\begin{bsp}\label{bsp:7.2.7}
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Es sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl und es sei
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\[
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f = x^{p-1}+x^{p-2}+ ⋯ + x+1 ∈ ℤ[x].
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\]
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Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden. Wir wollen
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den Substitutionsmorphismus $\varphi : \bZ[x] \to \bZ[x]$, $x \mapsto x+1$
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anwenden. Es ist
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\[
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\varphi(f) = (x+1)^{p-1}+(x+1)^{p-2}+ ⋯ + (x+1)+1 ∈ ℤ[x],
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\]
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aber das ist schwer auszurechnen. Deshalb ein Trick: man beobachte, dass sich
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das Polynom $f$ durch Multiplikation mit $x-1$ mächtig vereinfacht,
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\begin{equation*}
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(x-1)·f = x^p-1.
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\end{equation*}
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Dann ist auf der einen Seite
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\begin{align*}
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\varphi( (x-1)·f ) & = \varphi(x-1)·\varphi(f) = x·\varphi(f)
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\intertext{und auf der anderen Seite ist}
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\varphi( (x-1)·f ) & = \varphi( x^p-1 ) = (x+1)^p-1 \\
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& = \sum_{ν = 0}^{p}\binom{p}{ν}x^ν -1 = \sum_{ν = 1}^{p}\binom{p}{ν}x^ν.
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\intertext{Ein Vergleich der beiden Seiten zeigt dann}
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\varphi(f) & = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}.
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\end{align*}
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Das ist ein Eisenstein-Polynom in $\bZ[x]$, denn es gilt Folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Für alle Zahlen $1 ≤ ν < p$ gilt $p|\binom{p}{ν}$.
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\item Es ist $\binom{p}{1}=p$, also $p² \nmid \binom{p}{1}$.
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\item Es ist $\binom{p}{p}=1$, sodass der ggT der Koeffizienten ganz sicher
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gleich eins ist.
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\end{itemize}
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Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $\bZ[x]$ jeweils irreduzibel. Nach
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Satz~\ref{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus} („Irreduzibilitätskriterium von
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Gauß“) sind $\varphi(f)$ und $f$ dann auch im Polynomring
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$ℚ[x]$ irreduzibel.
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\end{bsp}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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