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\chapter{Der Hauptsatz der Galoistheorie}
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\label{chap:16}
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Erinnern Sie sich daran, wie wir gezeigt haben, dass gewisse
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Konstruktionsaufgaben unlösbar sind? Wir haben dazu Ketten $K ⊂ L ⊂ M$ von
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Körpern betrachtet und beobachtet, dass $[L:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist. Das
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zentrale Argument in den Nichtkonstruierbarkeitsbeweisen war dann, dass die
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relevanten Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme stets Grad $2^n$ über
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$ℚ$ haben, und dass konstruierbare Punkte Unterkörper liefern, deren Grad dann
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wohl ebenfalls eine Zweierpotenz sein muss.
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Ich in diesem Skript immer wieder geschrieben, dass für schwierigere
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Nichtkonstruierbarkeitsbeweise eine einfache Betrachtung von Erweiterungsgraden
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nicht reicht, und das wir Symmetrien betrachten müssen. Inzwischen ist klar,
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dass ich mit „Symmetrie“ die Galoisgruppe meine. Jetzt ist es an der Zeit zu
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sagen, wie Symmetrien genutzt werden können, um Ketten von Körpererweiterungen
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zu untersuchen. Am Ende werden wir sehen, dass die relevanten
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Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme nicht nur Grad $2^n$ über $ℚ$
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haben, sondern auch eine recht spezielle Galoisgruppe besitzen. Die
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Unterkörper, die von konstruierbaren Punkten kommen, müssen dann ebenfalls recht
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speziell sein.
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\begin{bemerkung}
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Der Hauptsatz der Galoistheorie wird „Hauptsatz der Galoistheorie“ genannt,
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weil er in der Theorie der Galoiserweiterungen eine zentrale Rolle einnimmt.
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Es ist vielleicht eine gute Idee, diesen Satz ernst zu nehmen.
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\end{bemerkung}
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\section{Fixkörper}
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Bevor wir den Hauptsatz der Galoistheorie auch nur hinschreiben, möchte ich noch
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ein besonders schönes Beispiel für Galoiserweiterungen diskutieren: die
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Fixkörper einer Menge von Körperautomorphismen. Der Beweis des folgenden Satzes
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ist eine Hausaufgabe.
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\begin{satzdef}[Invariante Elemente, Fixkörper]\label{DefSatz_Fixkoerper}
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Sei $L$ ein Körper und $G$ eine Menge von Automorphismen $L → L$. Dann ist
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die Menge
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\begin{equation*}
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\Fix G = \{a ∈ L \::\: σ(a) = a\ \forall\ σ∈ G\}
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\end{equation*}
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ein Unterkörper von $L$, genannt \emph{Fixkörper} von $G$\index{Fixkörper}.
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Die Elemente von $\Fix G$ heißen \emph{$G$-invariante
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Elemente}\index{invariante Körperelemente} von $L$. \qed
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\end{satzdef}
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Der folgende Satz von Emil
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Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (*
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3.~März 1898 in Wien; † 20.~Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer
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Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des
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20.~Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass
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Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern.
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\begin{satz}[Satz von Emil Artin]\label{Theorem_von_E_Artin}
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Es sei $G$ eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe eines Körpers
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$L$ und es sei $K := \Fix G $ der zugehörige Fixkörper. Dann ist $L/K$ eine
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Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) = G$. Insbesondere ist
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$[L:K] =|G|$.
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\end{satz}
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Der Beweis des Satzes von Emil Artin ist nicht trivial. Wir geben einen Beweis
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im Abschnitt~\vref{ssec:16-3}, müssen als Vorbereitung aber zuerst die lineare
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Unabhängigkeit von Charakteren beweisen. Wahrscheinlich muss ich auch noch
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erklären, was ein „Charakter“ eigentlich ist.
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\subsection{Die lineare Unabhängigkeit von Charakteren}
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Um eine gegebene Gruppe $H$ zu verstehen, kann man untersuchen, welche
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Gruppenmorphismen der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative
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Gruppe eines Körpers $L$ sein soll. Leute, die viel mit Gruppen arbeiten,
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meinen, dass solche Abbildungen die Gruppe charakterisieren. Ich finde diese
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Wortwahl nicht sehr überzeugend, aber mich fragt ja keiner.
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\begin{defn}[Charakter einer Gruppe]
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Es sei $H$ eine Gruppe, es sei $L$ ein Körper und $L^*$ sei die Gruppe der
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Einheiten aus $L$. Ein \emph{Charakter von $H$ in $L$}\index{Charakter einer
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Gruppe} ist ein Gruppenmorphismus $σ : H → L^*$.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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Wenn $K$ ein Körper ist, und $σ : K → L$ ein nicht-trivialer Ringmorphismus,
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dann induziert $σ$ auch einen Gruppenmorphismus
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\begin{equation*}
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σ^* : K^* → L^*.
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\end{equation*}
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Wir können (und werden!) insbesondere jeden Automorphismus $σ : L → L$ als
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linearen Charakter $L^* → L^*$ auffassen.
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\end{bemerkung}
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\begin{satz}[Lineare Unabhängigkeit von Charakteren]\label{Satz_lineare_Unabhaengigkeit_von_Charakteren}
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Es sei $H$ eine Gruppe und $L$ sei ein Körper. Weiter seien $σ_1, …, σ_n$
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paarweise verschiedene Charaktere von $H$ in $L$. Zusätzlich und seien
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Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$ gegeben, sodass die Linearkombination
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\begin{equation*}
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ψ : H → L, \quad h ↦ \sum a_i·σ_i(h)
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\end{equation*}
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die Nullabbildung ist. Dann ist $a_1= ⋯ = a_n=0$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{17-2}
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\end{proof}
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\subsection{Beweis des Satzes von Emil Artin}
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\label{ssec:16-3}
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\begin{proof}[Beweis des Satzes von Artin, Satz~\ref{Theorem_von_E_Artin}]
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\video{17-3}
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\end{proof}
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\section{Die Klassifikation endlicher Körper}
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\label{sec:klassEK}
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Bevor wir zum Hauptsatz der Galoistheorie kommen, kann ich es nicht lassen,
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ihnen sofort eine Anwendung des Satzes von Emil Artin zu zeigen: die
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Klassifikation der endlichen Körper. Wir kennen schon einige endliche Körper:
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gegeben eine Primzahl $p ∈ ℕ$, dann haben wir den Körper $𝔽_p = ℤ/(p)$
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betrachtet. Es gibt aber noch andere.
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\begin{bsp}[Konstruktion endlicher Körper]\label{bsp:kek}
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Gegeben sei eine Primzahl $p ∈ ℕ$. Weiter sei $q$ eine Potenz von $p$, also
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eine Zahl der Form $q = p^m$ für ein geeignetes $m ∈ ℕ$. Es sei $𝔽_q$ der
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Zerfällungskörper des Polynoms $f(x) = x^q-x ∈ 𝔽_p[x]$. Ich behaupte, dass
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dieser Körper genau $q$ Elemente hat. Dazu stelle ich erst einmal fest, dass
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$f'(x) = 1$ ist. Also hat $f$ keine mehrfachen Nullstellen; es folgt, dass $f$
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genau $q$ unterschiedliche Nullstellen hat; dies zeigt schon einmal, dass
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$𝔽_q$ mindestens $q$ Elemente hat. Wir sind fertig, wenn wir zeigen, dass
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die Menge dieser Nullstellen ein Körper ist (der dann ja wohl der
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Zerfällungskörper sein muss). Dazu verwende Satz~\ref{DefSatz_Fixkoerper} und
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beachte, dass die Nullstellen von $f$ genau die Fixpunkte des iterierten
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Frobeniusmorphismus $F^{m}$ sind.
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\end{bsp}
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Der folgende Satz zeigt, dass jeder endliche Körper auf diese Weise entsteht.
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\begin{satz}[Klassifikation endlicher Körper]\label{Satz_Klassifikation_endlicher_Koerper}
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Es sei $K$ ein endlicher Körper mit Primkörper $𝔽_p ⊆ K$. Weiter
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sei $p$ die Charakteristik von $K$ und $q$ sei die Anzahl der Elemente. Dann
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ist $q = p^{[K:𝔽_p]}$ und $K$ ist isomorph zum Körper $𝔽_q$ aus
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Beispiel~\ref{bsp:kek}. Die Galoisgruppe $\Gal(K/𝔽_p)$ ist der Form
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$ℤ/(m)$ und wird durch den Frobeniusmorphismus erzeugt.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{17-4}
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\end{proof}
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\section{Der Hauptsatz der Galoistheorie}
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\sideremark{Vorlesung 18}Jetzt kommen wir also zum Hauptsatz. Gegeben eine
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Körpererweiterung $L/K$ und eine Untergruppe der Galoisgruppe, dann liefert uns
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die Fixkörperkonstruktion einen Zwischenkörper. Falls $L/K$ Galois ist, dann
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sagt der Hauptsatz, dass auf diese Weise eine Korrespondenz zwischen
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Untergruppen und Zwischenkörpern entsteht. Die reduziert die Frage nach
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Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem.
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Die Formulierung des Hauptsatzes verwendet folgende Beobachtung, die ich
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eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen.
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\begin{obs}[Index einer Untergruppe]\label{obs:Index}
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Es sei $G$ eine endliche Gruppe und es sei $H ⊂ G$ eine Untergruppe. Dann ist
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die Zahl $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Zum Beweis definierte man eine
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Äquivalenzrelation: zwei Elemente $a$ und $b$ aus $G$ seien äquivalent, wenn
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es ein Element $h ∈ H$ gibt, sodass $a = h·b$ ist. Man rechne nach, dass
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dies tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, und dass alle Äquivalenzklassen
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die gleiche Größe haben, nämlich $|H|$. Also ist die Größe von $G$ gegeben
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als $|G| = |H|·\#(\text{Äquivalenzklassen})$. Man schreibt
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\[
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[G:H] = \factor{|G|}{|H|}
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\]
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und nennt diese Zahl den \emph{Index}\index{Index} der Untergruppe $H ⊂ G$.
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\end{obs}
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\begin{satz}[Hauptsatz der Galoistheorie]\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie}
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Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung und es sei $G = \Gal(L/K)$ die
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Galoisgruppe. Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1} Für jeden Zwischenkörper
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$Z$ von $L/K$ ist $\Gal(L/Z)$ eine Untergruppe von $G$. Für jede
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Untergruppe $H⊂ G$ ist $\Fix{H} ⊂ L$ ein Zwischenkörper von $L/K$.
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\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_2} Die so definierten
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Abbildungen
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\[
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\begin{aligned}
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\begin{matrix}
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\Gal\bigl(\factor{L}{•}\bigr) &:& \{\text{Zwischenkörper}\} &→& \{\text{Untergruppen}\}, &\quad& Z &↦ & \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr) \\[2mm]
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||
\Fix(•) &:& \{\text{Untergruppen}\} &→& \{\text{Zwischenkörper}\}, &\quad& H& ↦& \Fix\bigl(H\bigr)
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||
\end{matrix}
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||
\end{aligned}
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\]
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sind zueinander inverse Bijektionen.
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\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_3} Die Abbildungen
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$\Gal\bigl(\factor{L}{•}\bigr)$ und $\Fix(•)$ sind inklusionsumkehrend und
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indexerhaltend. Präzise: wenn $H_1$ und $H_2$ Untergruppen von $G$ und wenn
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$Z_1$ und $Z_2$ Zwischenkörper sind, dann gilt Folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Falls $Z_1 ⊆ Z_2$ ist, dann ist
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\begin{align*}
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\Gal\bigl(\factor{L}{Z_1}\bigr) & ⊇ \Gal\bigl(\factor{L}{Z_2}\bigr) && \text{und} \\
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||
[Z_2:Z_1] & = \left[\Gal\bigl(\factor{L}{Z_1}\bigr) : \Gal\bigl(\factor{L}{Z_2}\bigr)\right],
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||
\end{align*}
|
||
|
||
\item Falls $H_1 ⊆ H_2$ ist, dann ist
|
||
\begin{align*}
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||
\Fix{H_1} & ⊇ \Fix{H_2} && \text{und} \\
|
||
[H_2:H_1] & = [\Fix{H_1} : \Fix{H_2}].
|
||
\end{align*}
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||
\end{itemize}
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\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4} Für jedes $σ ∈ G$ und
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jeden Zwischenkörper $Z$ ist $σ(Z)$ ein Zwischenkörper und es ist
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\begin{equation*}
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\Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1}.
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\end{equation*}
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\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} Für einen Zwischenkörper
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$Z$ ist $Z/K$ genau dann Galoisch, wenn $\Gal(L/Z)$ eine normale Untergruppe
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von $G = \Gal(L/K)$ ist, das heißt, wenn für alle $σ∈ G$
|
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\begin{equation*}
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||
σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1} = \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)
|
||
\end{equation*}
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||
ist. Wenn dies der Fall sein sollte, dann ist
|
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\begin{equation*}
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||
\Gal\bigl(\factor{Z}{K}\bigr) ≅ \factor{\Gal\bigl(\factor{L}{K}\bigr)}{\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)}.
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Ich beweise die
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Teilaussagen~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1}--\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4}
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im \video{18-1}. Für die letzte
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Teilaussage~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} gibt es ein eigenes
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\video{18-2}.
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}[Widerliche Rechthaberei]
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Sehen Sie, warum ich in der ersten Woche der Vorlesungszeit so viel Aufhebens
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um den Begriff der normalen Untergruppe gemacht habe?
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\end{bemerkung}
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\section{Ein Beispiel}
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Um den Hauptsatz der Galoistheorie zu illustrieren, setzen wir das
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Beispiel~\vref{bsp:x-2} fort. Sei also wieder $K = ℚ$ und sei $N$ der
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Zerfällungskörper von $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Wir haben bereits gezeigt, dass
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$[N:K] = 6$ ist. Mit $ξ = e^{\frac{2π i}{3}}$ und
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\[
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a_1=\sqrt[3]{2}, \quad a_2 = ξ·\sqrt[3]{2} \quad\text{und}\quad a_3=ξ²·\sqrt[3]{2}
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||
\]
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gilt
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\begin{equation*}
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N = ℚ\bigl(a_1, a_2, a_3\bigr) = ℚ\bigl(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3}·i\bigr).
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\end{equation*}
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Dann ist $\Gal(N/ℚ) ≅ S_3$ die volle Permutationsgruppe der Nullstellenmenge
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$\{a_1, a_2, a_3\}$. Wir haben folgende Untergruppen von $S_3$:
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\[
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\begin{tikzcd}[column sep=tiny]
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& & S_3 \\
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\{\Id, (12) \} \ar[urr, hook] & \{\Id, (13) \} \ar[ur, hook] & & \{\Id, (23) \} \ar[ul, hook]&\{\Id, (123), (132)\} \ar[ull, hook]\\
|
||
& & \{\Id\} \ar[ull, hook] \ar[ul, hook] \ar[ur, hook] \ar[urr, hook]
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
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und folgende Zwischenkörper von $N/ℚ$,
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\[
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\begin{tikzcd}[column sep=tiny]
|
||
& & ℚ \ar[dll, hook] \ar[dl, hook] \ar[dr, hook] \ar[drr, hook] \\
|
||
ℚ(a_3) \ar[drr, hook] & ℚ(a_2) \ar[dr, hook] & & ℚ(a_1) \ar[dl, hook]& ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr) \ar[dll, hook]\\
|
||
& & N.
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
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||
Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe $\{\Id,
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||
(123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte. Sie haben sich
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vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl
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$\sqrt3·i$ überhaupt in $N$ liegt. Dann haben Sie nachgerechnet und konnten
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$\sqrt3·i$ mithilfe der $a_1$, $a_2$ und $a_3$ ausdrücken. Schauen Sie sich
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||
diesen Ausdruck einmal ganz scharf an. Wenn Sie nicht weiterkommen, sprechen
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||
Sie uns an!
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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||
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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