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\chapter{Auflösung von Gleichungen durch Radikale}
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\label{chap:23}
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\sideremark{Vorlesung 24}Ich möchte in dieser Vorlesung die Frage aus
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Kapitel~\ref{sec:4} beantworten: gegeben ein Körper $K$ und ein
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Polynom $f ∈ K[x]$. Gibt es dann eine Möglichkeit, wenigstens eine der
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Nullstellen von $f$ in der Form
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\begin{equation*}
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\sqrt[n_1]{\sqrt[n_2]{…}+\sqrt[n_3]{…}}+\sqrt[n_4]{…}
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\end{equation*}
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zu schreiben? In der Sprache von Kapitel~\ref{sec:4}: Ist die Gleichung
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$f(x)=0$ durch Radikale auflösbar? Gibt es eine Radikalerweiterung\index{Radikalerweiterung} $L/K$,
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sodass $f$ in $L$ eine Nullstelle hat? Die Antwort hängt natürlich mit der
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Galoisgruppe von $f$ zusammen, der Zusammenhang soll in dieser Vorlesung
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beschrieben werden.
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\begin{satz}[\mathlib{FieldTheory/AbelRuffini.html\#isSolvable_gal_of_irreducible}]\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins}\index{Auflösbarkeit durch Radikale}\index{Galoisgruppe!eines Polynoms}\index{Gruppe!auflösbar}\index{Auflösungskette}
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Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein
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irreduzibles Polynom\footnote{Für reduzible Polynome ist die Äquivalenz mit
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Definition~\vref{def:gidra} im Allgemeinen falsch: Wenn $g ∈ ℚ[x]$ ein
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Polynom mit nicht-auflösbarer Galoisgruppe ist, dann hat $f = (x²-2)·g$
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die Nullstelle $\sqrt2$ in der Radikalerweiterung $ℚ(\sqrt2)$, aber
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$\Gal(f)$ ist nicht auflösbar.}. Dann sind die folgenden Aussagen
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äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} Das Polynom $f$ ist
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über $K$ durch Radikale lösbar.
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\item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} Die Galoisgruppe
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$\Gal{f}$ ist auflösbar.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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Wir werden Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} am Ende dieses
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Kapitels im Abschnitt~\ref{sec:almostlast} beweisen. Zuerst möchte ich aber
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noch zwei Korollare vorstellen.
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\begin{kor}
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Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ vom Grad
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$\deg f ≤ 4$. Dann ist $f$ durch Radikale lösbar.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Wähle einen irreduziblen Faktor $g$ von $f$; jede Nullstelle von $g$ ist auch
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eine Nullstelle von $f$. Die Galoisgruppe $\Gal(g)$ ist eine Untergruppe von
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$S_4$, und jede Untergruppe von $S_4$ ist auflösbar. Nach
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Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} ist $g$ durch Radikale
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lösbar, also auch $f$.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Korollar von Galois]\index{Galois, Korollar von|textbf}
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Das Polynom $f = x⁵-4·x+2 ∈ ℚ[x]$ ist \emph{nicht} durch Radikale auflösbar.
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Insbesondere gibt es keine Lösungsformel für Polynome vom Grad $≥ 5$.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Das Polynom $f$ ist ein Eisenstein-Polynom, also irreduzibel. Analytische
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Überlegungen zeigen, dass $f$ genau drei reelle Nullstellen $n_1$, $n_2$ und
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$n_3$ sowie zwei komplexe Nullstellen $n_4$, $n_5$ hat. Wir fassen die
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Galoisgruppe als Untergruppe der Permutationsgruppe\index{symmetrische Gruppe}
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\[
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S_5 = \text{Permutationen von } \{ n_1, …, n_5 \}
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\]
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auf. Folgendes können wir sofort sagen.
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\begin{itemize}
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\item Die Gruppenordnung ist ein Vielfaches der Zahl 5. Also existiert nach
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dem Satz von Cauchy, Satz~\vref{Satz_von_Cauchy}, ein Element $σ_5$ von
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Ordnung 5, also ein 5-Zykel.
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\item Die komplexen Nullstellen sind zueinander konjugiert. Die komplexe
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Konjugation liefert deshalb einen Automorphismus des Zerfällungskörpers, der
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die drei reellen Nullstellen fixiert und die beiden komplexen Nullstellen
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vertauscht. Dies ist ein Element $σ_2$ der Ordnung 2, also eine
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Transposition\index{Transposition}.
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\end{itemize}
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Zeigen Sie jetzt als Hausaufgabe, dass die von $σ_5$ und $σ_2$ erzeugte
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Untergruppe der Permutationsgruppe $S_5$ bereits ganz $S_5$ ist. Mit anderen
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Worten: Jede Permutation aus $S_5$ kann durch die Transposition $σ_2$ und den
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Zykel $σ_5$ dargestellt werden. Also ist die $\Gal f = S_5$, aber diese
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Gruppe ist nicht auflösbar.
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\end{proof}
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\section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen}
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Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den
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Fragen: „Ist $f$ durch Radikale auflösbar?“, und „Wie sieht die Galoisgruppe von
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$f$ aus?“ zuerst im besonders einfachen Fall von „reinen“ Polynomen, bei denen
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die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
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\begin{defn}[Reines Polynom]
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Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{Polynom!rein|textbf}, wenn es $n ∈ ℕ$ und $a ∈ K$ gibt, sodass
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$f(x) = x^n-a$ ist.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}[Separabilität von reinen Polynomen]\label{bem:23-1-2}\index{Polynom!separabel}%
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Wenn
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$\operatorname{char}K = 0$ ist oder wenn $\operatorname{char}K \nmid n$ ist,
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dann sind alle reinen Polynome der Form $x^n-a$ mit $a ≠ 0$ separabel.
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\end{bemerkung}
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\begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen, \mathlib{FieldTheory/KummerExtension.html\#isCyclic_tfae}]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins}\index{Polynom!rein}\index{Körpererweiterung!galoissch}\index{Gruppe!zyklisch}
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Falls
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$\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist.
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Wenn $K$ alle $n$.ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die
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Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch.
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\item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2} Wenn $L/K$ eine
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Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) ≅ ℤ/(n)$ ist, dann gibt es ein
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$a ∈ L$ mit $L = K(a)$ und $a^n ∈ K$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1}, \video{24-1}]
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Es sei ein Element $a ∈ K^*$ gegeben; betrachte $f(x) = x^n - a$, es sei $L$
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der Zerfällungskörper von $f$ und es sei $α$ eine Nullstelle von $f$ im Körper
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$L$. Wie im Beweis von \ref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2} unten
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wähle außerdem eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ ∈ K$: Nach
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Bemerkung~\ref{bem:23-1-2} hat das separable Polynom $x^n-1$ genau $n$
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Nullstellen, die nach Annahme alle in $K$ liegen und nach
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Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} eine zyklische Gruppe
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bilden; $ξ$ sei ein erzeugendes Element.
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Dann wissen wir Folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Die Erweiterung $L/K$ ist Galoisch, denn $L$ ist der Zerfällungskörper
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des Polynoms $f$, und $f$ ist nach Bemerkung~\ref{bem:23-1-2} separabel.
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\item Die Nullstellen von $f$ in $L$ sind genau die $n$ paarweise
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verschiedenen Elemente
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\begin{equation*}
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α, \quad ξ·α, \quad ξ²·α, \quad …, \quad ξ^{n-1}·α.
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\end{equation*}
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Jedes dieser Elemente ist nämlich wegen $ξ^n = 1$ eine Nullstelle, und
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mehr als $n$ Nullstellen kann das Polynom $f$ vom Grad $n$ nicht haben.
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Insbesondere ist $L = K(α)$, denn alle Nullstellen liegen bereits in
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$K(α)$.
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\end{itemize}
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Als Konsequenz gibt es für jedes Element $σ ∈ \Gal(L/K)$ eine Zahl $k_σ ∈ ℤ$,
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sodass $σ(α) = ξ^{k_σ}·α$ ist, denn $σ(α)$ ist wieder eine Nullstelle von $f$.
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Die Zahl $k_σ$ ist dabei wohldefiniert modulo $n$; wir erhalten also eine
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Abbildung
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\begin{equation*}
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μ : \Gal(L/K) → \factor{ℤ}{(n)}, \quad σ ↦ [k_σ].
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\end{equation*}
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Das ist ein Gruppenmorphismus: Für $σ$, $τ ∈ \Gal(L/K)$ ist
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\begin{equation*}
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(σ◦τ)(α) = σ\bigl(ξ^{k_τ}·α\bigr) = ξ^{k_τ}·σ(α)
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= ξ^{k_σ + k_τ}·α,
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\end{equation*}
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denn $σ$ fixiert das Körperelement $ξ ∈ K$. Wegen $L = K(α)$ ist jedes $σ ∈
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\Gal(L/K)$ durch das Bild $σ(α)$ eindeutig festgelegt. Das bedeutet: Die
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Abbildung $μ$ ist injektiv, also ist $\Gal(L/K)$ isomorph zu einer Untergruppe
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der zyklischen Gruppe $ℤ/(n)$ --- und damit selbst zyklisch.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2}, \video{24-2}]
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Es sei also $L/K$ eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe zyklisch von der
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Ordnung $n$ ist. Wähle ein erzeugendes Element $σ ∈ \Gal(L/K)$. Dann ist
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\begin{equation*}
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\Gal(L/K) = \bigl\{ \Id, σ, σ², …, σ^{n-1} \bigr\},
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\end{equation*}
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wobei die Automorphismen $\Id$, $σ$, …, $σ^{n-1}$ paarweise verschieden sind.
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Weil die Erweiterung $L/K$ Galoisch ist, ist außerdem $[L:K] = |\Gal(L/K)| =
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n$.
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\schritt{Schritt 1: Wahl einer primitiven Einheitswurzel.} Nach Annahme ist
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$\operatorname{char} K = 0$ oder $\operatorname{char} K \nmid n$.
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Bemerkung~\ref{bem:23-1-2} sagt dann, dass das reine Polynom $x^n-1 ∈ K[x]$
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separabel ist, also $n$ verschiedene Nullstellen im algebraischen Abschluss
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$\overline{K}$ hat. Nach Annahme liegen alle diese Nullstellen bereits in
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$K$. Die $n$.ten Einheitswurzeln bilden also eine Untergruppe von $K^*$ mit
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genau $n$ Elementen. Nach
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Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist diese Gruppe
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zyklisch. Wähle ein erzeugendes Element $ξ ∈ K$. Das ist eine primitive
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$n$.te Einheitswurzel; insbesondere sind die Potenzen $ξ⁰$, $ξ^{-1}$,
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$ξ^{-2}$, …, $ξ^{-(n-1)}$ paarweise verschieden.
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\schritt{Schritt 2: Konstruktion eines Elementes $a$ mit $σ(a) = ξ^{-1}·a$.}
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Wie in Bemerkung~\vref{bem:16-1-4} fassen wir die Automorphismen $\Id$, $σ$,
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…, $σ^{n-1}$ als Charaktere von $L^*$ in $L$ auf. Diese Charaktere sind
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paarweise verschieden, denn die Automorphismen sind paarweise verschieden und
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bilden allesamt $0$ auf $0$ ab. Der Satz über die lineare Unabhängigkeit von
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Charakteren, Satz~\vref{Satz_lineare_Unabhaengigkeit_von_Charakteren}, sagt
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jetzt, dass die Abbildung
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\begin{equation*}
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ψ : L^* → L, \quad x ↦ \sum_{i=0}^{n-1} ξ^i·σ^i(x)
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\end{equation*}
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nicht die Nullabbildung ist, denn die Koeffizienten $ξ^i$ sind alle von Null
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verschieden. Es gibt also ein Element $α ∈ L^*$, sodass
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\begin{equation*}
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a := \sum_{i=0}^{n-1} ξ^i·σ^i(α)
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\end{equation*}
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nicht Null ist. Der Automorphismus $σ$ fixiert die Einheitswurzel $ξ ∈ K$,
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deshalb ist
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\begin{equation*}
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σ(a) = \sum_{i=0}^{n-1} ξ^i·σ^{i+1}(α)
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= ξ^{-1}·\sum_{i=0}^{n-1} ξ^{i+1}·σ^{i+1}(α)
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= ξ^{-1}·\sum_{j=0}^{n-1} ξ^j·σ^j(α)
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= ξ^{-1}·a.
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\end{equation*}
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Bei der vorletzten Gleichung haben wir die Summe mit $j = i+1$ umindiziert und
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ausgenutzt, dass wegen $σ^n = \Id$ und $ξ^n = 1$ der Summand für $j=n$ gleich
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dem Summanden für $j=0$ ist.
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\schritt{Schritt 3: Das Element $a^n$ liegt in $K$.} Aus $σ(a) = ξ^{-1}·a$
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folgt
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\begin{equation*}
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σ(a^n) = σ(a)^n = ξ^{-n}·a^n = a^n.
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\end{equation*}
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Weil $σ$ die Galoisgruppe erzeugt, ist $a^n$ invariant unter jedem Element von
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$\Gal(L/K)$, also $a^n ∈ \Fix\bigl(\Gal(L/K)\bigr)$. Nach dem Hauptsatz der
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Galoistheorie, \ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_2} von
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Satz~\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie}, ist $\Fix\bigl(\Gal(L/K)\bigr) = K$,
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also $a^n ∈ K$.
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\schritt{Schritt 4: Es ist $L = K(a)$.} Induktiv folgt aus $σ(a) = ξ^{-1}·a$
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für jeden Index $0 ≤ i < n$ die Gleichung $σ^i(a) = ξ^{-i}·a$. Weil $a ≠ 0$
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ist und die Potenzen $ξ⁰$, $ξ^{-1}$, …, $ξ^{-(n-1)}$ nach Schritt~1 paarweise
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verschieden sind, sind auch die Elemente $\Id(a)$, $σ(a)$, …, $σ^{n-1}(a)$
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paarweise verschieden. Die Einschränkungen der Automorphismen $\Id$, $σ$, …,
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$σ^{n-1}$ auf den Zwischenkörper $K(a)$ liefern deshalb $n$ paarweise
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verschiedene $K$-Morphismen $K(a) → L$. Nach Korollar~\vref{cor:14-4-6} ist
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dann $[K(a):K] ≥ n$. Andererseits ist $K(a) ⊆ L$, nach der Gradformel,
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Satz~\vref{satz:3-6-1}, also $[K(a):K] ≤ [L:K] = n$. Zusammen ist $[K(a):K] =
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[L:K]$ und damit $L = K(a)$.
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\end{proof}
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\section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen}
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Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von
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„Radikalerweiterung“, Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
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dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{Das ging auch gar nicht, weil
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Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der
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folgende Satz behebt diesen Mangel.
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\begin{satz}\label{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}\label{satz:23.2.1}\index{Radikalerweiterung}\index{Körpererweiterung!galoissch}
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Sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und $L/K$ eine Radikalerweiterung.
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Dann existiert eine Körpererweiterung $L'/L$, sodass
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\begin{enumerate}
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\item $L'/K$ Galoisch ist.
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\item $L'/K$ eine Radikalerweiterung ist,
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{24-3}]
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Wir führen eine Induktion nach dem Grad $[L:K]$.
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\schritt{Induktionsstart, $[L:K] = 1$.} Dann ist $L = K$, und wir können $L' =
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K$ nehmen; hier ist nichts zu zeigen.
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\schritt{Induktionsschritt, $[L:K] > 1$.} Nach der Definition der
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Radikalerweiterung, Definition~\vref{def:radikal}, ist $L = K(a_1, …, a_n)$,
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wobei jeweils $a_i^{r_i} ∈ K(a_1, …, a_{i-1})$ ist. Nach dem Streichen von
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überflüssigen Erzeugern existiert also ein Zwischenkörper $K ⊆ Z ⊊ L$, sodass
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$Z/K$ eine Radikalerweiterung ist, und ein Element $b ∈ L$ mit
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\begin{equation*}
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L = Z(b) \quad\text{und}\quad b^n ∈ Z
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\end{equation*}
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für eine geeignete Zahl $n$. Wegen $Z ⊊ L$ ist $[Z:K] < [L:K]$, und die
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Induktionsannahme liefert eine Körpererweiterung $Z'/Z$, sodass $Z'/K$
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Galoisch und eine Radikalerweiterung ist. Weil $Z'/K$ in Charakteristik~0
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Galoisch ist, ist $Z'$ nach
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\vref{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} der Zerfällungskörper
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eines Polynoms $f ∈ K[x]$.
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Ziel ist es, den gesuchten Körper $L'$ ebenfalls als Zerfällungskörper zu
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konstruieren. Betrachte dazu das Polynom
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\begin{equation*}
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g(x) := \prod_{σ ∈ \Gal(Z'/K)} \bigl( x^n - σ(b^n) \bigr) ∈ Z'[x];
|
||
\end{equation*}
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beachte dabei, dass $b^n$ in $Z ⊆ Z'$ liegt, sodass die Elemente $σ(b^n)$
|
||
definiert sind. Wenn ich ein Element $τ ∈ \Gal(Z'/K)$ auf die Koeffizienten
|
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von $g$ anwende, erhalte ich
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\begin{equation*}
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||
\prod_{σ ∈ \Gal(Z'/K)} \bigl( x^n - (τ◦σ)(b^n) \bigr)
|
||
= \prod_{σ ∈ \Gal(Z'/K)} \bigl( x^n - σ(b^n) \bigr) = g(x),
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||
\end{equation*}
|
||
denn es tauchen dieselben Faktoren auf, nur in anderer Reihenfolge. Die
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Koeffizienten von $g$ sind also invariant unter der Galoisgruppe und liegen
|
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nach dem Hauptsatz der Galoistheorie,
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Satz~\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie}, im Fixkörper $K$. Insgesamt ist $g ∈
|
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K[x]$.
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Definiere jetzt $L'$ als den Zerfällungskörper von $g ∈ Z'[x]$ über $Z'$.
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Dann kann ich Folgendes sagen.
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\begin{itemize}
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\item Der Körper $L'$ ist zugleich der Zerfällungskörper des Polynoms $f·g ∈
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K[x]$ über $K$: Er enthält die Nullstellen von $f$ (die $Z'$ erzeugen) und
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die Nullstellen von $g$ und wird von all diesen erzeugt. Insbesondere ist
|
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$L'/K$ in Charakteristik~0 Galoisch.
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\item $L'/K$ ist eine Radikalerweiterung: Der Körper $L'$ entsteht aus $Z'$
|
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durch Adjunktion der Nullstellen von $g$, und jede Nullstelle $β$ eines
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||
Faktors $x^n - σ(b^n)$ erfüllt $β^n = σ(b^n) ∈ Z'$. Zusammen mit der
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Radikalerweiterung $Z'/K$ ergibt das eine Kette wie in
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Definition~\vref{def:radikal}.
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\item $L'$ ist ein Oberkörper von $L$: Das Polynom $g$ enthält für $σ = \Id$
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den Faktor $x^n - b^n$, also ist $b ∈ L'$, und damit $L = Z(b) ⊆ L'$.
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\end{itemize}
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Damit leistet $L'$ alles, was der Satz verlangt.
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}[Noch einmal: was bedeutet ``Auflösbarkeit durch Radikale'']\index{Auflösbarkeit durch Radikale}
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Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein
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irreduzibles Polynom. Angenommen, $f$ sei durch Radikale auflösbar. Nach
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||
Definition~\vref{def:gidra} bedeutet das, dass es eine Radikalerweiterung
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$L/K$ gibt, in der $f$ \emph{eine} Nullstelle hat. Satz~\ref{satz:23.2.1}
|
||
sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$ gibt, sodass $f$ über $L'$ in
|
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Linearfaktoren zerfällt. Also gibt es eine Radikalerweiterung, die
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\emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält. Kurz gesagt: Wenn $f$ irreduzibel
|
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ist und \emph{eine} Nullstelle als „Wurzelausdruck“ geschrieben werden kann,
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dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden.
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\end{bemerkung}
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||
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\begin{bemerkung}[Noch einmal: das Konstruktionsproblem]\label{bem:nedkp}\index{konstruierbare Punkte}
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Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ eine Menge und es sei $z ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl,
|
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die aus $M$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist\footnote{Mit anderen
|
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Worten: es sei $z ∈ \Kons(M)$.}. Betrachten Sie den Körper
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$K := ℚ(M∪\overline{M})$ und erinnern Sie sich noch einmal an die Hausaufgabe,
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die wir in Satz~\vref{Satz_von_Seite_69} zusammengefasst haben: Der Körper
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$L := K(z)$ entsteht als Folge von quadratischen Erweiterungen,
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\[
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||
L = L_m ⊃ L_{m-1}⊃ ⋯ ⊃ L_1⊃ L_0 = K.
|
||
\]
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||
Schauen Sie sich den Beweis von Satz~\ref{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}
|
||
noch einmal scharf an und erkennen Sie, dass dann auch $L'/K$ eine Folge von
|
||
quadratischen Erweiterungen ist, denn
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||
\begin{equation*}
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g=\prod_{\varphi∈ G} \bigl(x²-\varphi(b²) \bigr)
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\end{equation*}
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ist ein Produkt von quadratischen Polynomen. Der Erweiterungsgrad $[L':K]$
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ist also eine Zweierpotenz. Als Nächstes sei $N$ der Zerfällungskörper des
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Minimalpolynoms von $z$ über $K$. Anders gesagt: $N$ sei die normale Hülle
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der Körpererweiterung $L/K$. Dann ist $N$ ein Unterkörper von $L'$ und hat
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deshalb nach der Gradformel, Satz~\vref{satz:3-6-1}, ebenfalls eine
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Zweierpotenz als Grad. Erkennen Sie, dass wir damit
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Bemerkung~\ref{rem:svs197} bewiesen haben: Das Kriterium für die
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Konstruierbarkeit von Punkten aus Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist notwendig
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\emph{und} hinreichend!
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\end{bemerkung}
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\begin{proof}[Beweisidee]
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Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie (\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie})
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entsprechen Ketten von Unterkörpern von $L/K$ (wobei $L$ der Zerfällungskörper
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von $f$ ist) Ketten von Untergruppen von $\Gal(L/K) = \Gal f$. Zyklische
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Gruppen entsprechen dabei der Adjunktion einer Wurzel $\sqrt[n]{a}$ --
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zumindest dann, wenn es genügend viele Einheitswurzeln gibt.
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\end{proof}
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\section{Beweis von Satz~\ref*{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins}}
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\label{sec:almostlast}
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Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei
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Vorüberlegungen.
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\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}%
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Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive
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$n$.te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn
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wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynoms $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
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ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynoms $g·(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist
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$L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls.
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\end{claim-de}
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\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}%
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Wenn $ξ$ eine primitive $n$.te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
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ist $ξ^l$ eine primitive $m$.te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
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…, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden.
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\end{claim-de}
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\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2}$, \video{24-4}]
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Es sei $N$ der Zerfällungskörper von $f$; wir müssen zeigen, dass $\Gal(N/K)$
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auflösbar ist.
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\schritt{Schritt 1: Eine Galoische Radikalerweiterung, die $N$ enthält.} Nach
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Definition~\vref{def:gidra} gibt es eine Radikalerweiterung von $K$, in der
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$f$ eine Nullstelle hat. Nach Satz~\vref{satz:23.2.1} können wir diese zu
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einer Erweiterung $L/K$ vergrößern, die Galoisch \emph{und} eine
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||
Radikalerweiterung ist. Insbesondere ist $L/K$ normal; weil das irreduzible
|
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Polynom $f$ in $L$ eine Nullstelle hat, zerfällt $f$ über $L$ in
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||
Linearfaktoren. Ohne Einschränkung dürfen wir deshalb $N ⊆ L$ annehmen. Als
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Radikalerweiterung besitzt $L$ eine Kette
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\begin{equation*}
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K = L_0 ⊆ L_1 ⊆ ⋯ ⊆ L_m = L
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\end{equation*}
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mit $L_{i+1} = L_i(b_{i+1})$ und Zahlen $n_{i+1}$, sodass $b_{i+1}^{n_{i+1}} ∈
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L_i$ ist.
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\schritt{Schritt 2: Einheitswurzeln hinzufügen.} Setze $n := n_1·n_2 ⋯ n_m$,
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wähle eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ im algebraischen Abschluss und
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setze
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\begin{equation*}
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K' := K(ξ), \quad L_i' := L_i(ξ), \quad L' := L(ξ).
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\end{equation*}
|
||
Damit erhalten wir die Kette
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\begin{equation*}
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K ⊆ K' = L_0' ⊆ L_1' ⊆ ⋯ ⊆ L_m' = L'.
|
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\end{equation*}
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||
Nach Vorüberlegung~\vref{Vorueberlegung_1} sind $L'/K$ und alle Erweiterungen
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$L'/L_i'$ Galoisch.
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\schritt{Schritt 3: Eine Auflösungskette.} Der Hauptsatz der Galoistheorie,
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Satz~\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie}, übersetzt die Körperkette in eine
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Kette von Untergruppen
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\begin{equation}\label{eq:radkette}
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\{\Id\} = \Gal\bigl(\factor{L'}{L_m'}\bigr)
|
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⊆ \Gal\bigl(\factor{L'}{L_{m-1}'}\bigr)
|
||
⊆ ⋯ ⊆ \Gal\bigl(\factor{L'}{K'}\bigr)
|
||
⊆ \Gal\bigl(\factor{L'}{K}\bigr).
|
||
\end{equation}
|
||
Ich behaupte, dass das --- nach dem Streichen von Wiederholungen ---
|
||
eine Auflösungskette ist.
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\begin{itemize}
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\item Die Erweiterung $L_{i+1}'/L_i'$ ist der Zerfällungskörper des reinen
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Polynoms $x^{n_{i+1}} - b_{i+1}^{n_{i+1}} ∈ L_i'[x]$: Nach
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||
Vorüberlegung~\vref{Vorueberlegung_2} enthält $L_i'$ nämlich mit $ξ$ auch
|
||
eine primitive $n_{i+1}$.te Einheitswurzel, sodass mit $b_{i+1}$ alle
|
||
Nullstellen in $L_i'(b_{i+1}) = L_{i+1}'$ liegen. Insbesondere ist
|
||
$L_{i+1}'/L_i'$ Galoisch, und die Galoisgruppe ist nach
|
||
\vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} zyklisch.
|
||
Teil~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} des Hauptsatzes sagt
|
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jetzt: $\Gal(L'/L_{i+1}')$ ist normal in $\Gal(L'/L_i')$, mit zyklischem
|
||
Quotienten $\Gal\bigl(L_{i+1}'/L_i'\bigr)$.
|
||
|
||
\item Die Erweiterung $K'/K$ ist als Zerfällungskörper von $x^n-1$ Galoisch.
|
||
Wieder nach Teil~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} des
|
||
Hauptsatzes ist $\Gal(L'/K')$ normal in $\Gal(L'/K)$, mit Quotient
|
||
$\Gal(K'/K)$. Diese Gruppe ist Abelsch: Wie im Beweis von
|
||
Satz~\vref{satz:ktk} ist jedes Element $σ ∈ \Gal(K'/K)$ durch $σ(ξ) =
|
||
ξ^{k_σ}$ festgelegt, und die Zuordnung $σ ↦ [k_σ]$ ist ein injektiver
|
||
Gruppenmorphismus in die Abelsche Gruppe $\bigl(ℤ/(n)\bigr)^*$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Also ist \eqref{eq:radkette} eine Auflösungskette, und $\Gal(L'/K)$ ist
|
||
auflösbar.
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||
|
||
\schritt{Schritt 4: Übergang zu $N$.} Der Zerfällungskörper $N$ ist ein
|
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Zwischenkörper der Galoiserweiterung $L'/K$, und $N/K$ ist selbst Galoisch.
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||
Nach Teil~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} des Hauptsatzes ist
|
||
deshalb
|
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\begin{equation*}
|
||
\Gal\bigl(\factor{N}{K}\bigr)
|
||
≅ \factor{\Gal\bigl(\factor{L'}{K}\bigr)}{\Gal\bigl(\factor{L'}{N}\bigr)}
|
||
\end{equation*}
|
||
eine Restklassengruppe der auflösbaren Gruppe $\Gal(L'/K)$ und nach
|
||
Satz~\vref{satz:20-1-6} selbst auflösbar.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1}$, \video{{24-5}}]
|
||
Es sei $L/K$ der Zerfällungskörper von $f$; nach Annahme ist $\Gal(L/K)$
|
||
auflösbar. Nach dem Satz über gute Auflösungsketten,
|
||
Satz~\vref{Satz_Aufloesungskette}, existiert eine Auflösungskette
|
||
\begin{equation*}
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\{e\} = G_m ⊊ G_{m-1} ⊊ ⋯ ⊊ G_0 = \Gal(L/K),
|
||
\end{equation*}
|
||
deren Quotienten $G_{i-1}/G_i$ zyklisch sind. Der Hauptsatz der
|
||
Galoistheorie, Satz~\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie}, übersetzt das mit
|
||
$L_i := \Fix(G_i)$ in eine Kette von Körpererweiterungen
|
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\begin{equation*}
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||
L = L_m ⊋ L_{m-1} ⊋ ⋯ ⊋ L_0 = K,
|
||
\end{equation*}
|
||
in der die Erweiterungen $L_i/L_{i-1}$ jeweils Galoisch mit zyklischer
|
||
Galoisgruppe $\Gal(L_i/L_{i-1}) ≅ G_{i-1}/G_i$ sind. Die Idee ist jetzt,
|
||
\vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2} anzuwenden: Zyklische
|
||
Galoiserweiterungen entstehen durch Adjunktion einer Wurzel --- wenn der
|
||
Grundkörper genug Einheitswurzeln enthält. Um das sicherzustellen, setze $n :=
|
||
[L:K]$, wähle eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ ∈ \overline{K}$ und
|
||
betrachte die Kette
|
||
\begin{equation*}
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||
L(ξ) = L_m(ξ) ⊇ L_{m-1}(ξ) ⊇ ⋯ ⊇ L_0(ξ) = K(ξ) ⊇ K.
|
||
\end{equation*}
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||
Der Beweis ist fertig, wenn wir zeigen, dass $L(ξ)/K$ eine Radikalerweiterung
|
||
ist: Das Polynom $f$ hat in $L ⊆ L(ξ)$ eine Nullstelle, und nach
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||
Definition~\vref{def:gidra} ist $f$ dann durch Radikale auflösbar.
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||
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||
Der erste Schritt der Kette ist harmlos: $K(ξ)$ entsteht aus $K$ durch
|
||
Adjunktion von $ξ$, und es ist $ξ^n = 1 ∈ K$. Für die übrigen Schritte genügt
|
||
es nach \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2} zu zeigen, dass die
|
||
Erweiterungen $L_i(ξ)/L_{i-1}(ξ)$ Galoisch sind und dass
|
||
$\Gal\bigl(L_i(ξ)/L_{i-1}(ξ)\bigr)$ zyklisch ist, mit einer Ordnung $d$, die
|
||
$n$ teilt: Nach Vorüberlegung~\vref{Vorueberlegung_2} enthält $L_{i-1}(ξ)$
|
||
nämlich mit $ξ$ auch eine primitive $d$.te Einheitswurzel, und
|
||
\vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2} sagt dann, dass $L_i(ξ)$ aus
|
||
$L_{i-1}(ξ)$ durch Adjunktion eines Elementes $a$ mit $a^d ∈ L_{i-1}(ξ)$
|
||
entsteht.
|
||
|
||
Nach Vorüberlegung~\vref{Vorueberlegung_1}, angewendet auf die
|
||
Galoiserweiterung $L_i/L_{i-1}$, sind die Erweiterungen $L_i(ξ)/L_{i-1}$ und
|
||
$L_i(ξ)/L_{i-1}(ξ)$ Galoisch. Weil $L_i/L_{i-1}$ Galoisch ist, liefert
|
||
Teil~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} des Hauptsatzes einen
|
||
surjektiven Einschränkungs-Morphismus
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\begin{equation*}
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S : \Gal\bigl(\factor{L_i(ξ)}{L_{i-1}}\bigr)
|
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→ \Gal\bigl(\factor{L_i}{L_{i-1}}\bigr), \quad σ ↦ σ|_{L_i}.
|
||
\end{equation*}
|
||
Es sei $η$ die Einschränkung von $S$ auf die Untergruppe
|
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$\Gal\bigl(L_i(ξ)/L_{i-1}(ξ)\bigr)$.
|
||
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||
\schritt{Behauptung: $η$ ist injektiv.} Falls das stimmt, sind wir fertig:
|
||
Dann können wir $\Gal\bigl(L_i(ξ)/L_{i-1}(ξ)\bigr)$ als Untergruppe der
|
||
zyklischen Gruppe $\Gal(L_i/L_{i-1})$ auffassen. Insbesondere ist die Gruppe
|
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selbst zyklisch, und ihre Ordnung teilt $|\Gal(L_i/L_{i-1})| = [L_i :
|
||
L_{i-1}]$, nach der Gradformel also auch $[L:K] = n$.
|
||
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||
Zum Beweis der Behauptung sei $φ ∈ \Gal\bigl(L_i(ξ)/L_{i-1}(ξ)\bigr)$ ein
|
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Element im Kern von $η$. Dann gilt Folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Die Abbildung $φ$ bildet $ξ$ auf $ξ$ ab, denn $φ$ ist ein
|
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$L_{i-1}(ξ)$-Morphismus.
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\item Die Einschränkung $φ|_{L_i}$ ist die Identität, denn $φ$ liegt im Kern
|
||
von $η$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Also ist $φ$ die Identität auf dem von $L_i$ und $ξ$ erzeugten Körper
|
||
$L_i(ξ)$. Der Kern von $η$ ist demnach trivial, und $η$ ist tatsächlich
|
||
injektiv.
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||
\end{proof}
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%%% Local Variables:
|
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%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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