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\chapter{Kreisteilungskörper und die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks}
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\label{chap:22}
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Jetzt, ganz am Ende des Semesters, haben wir alle Vorbereitungen zusammen, um die
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Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks vollständig zu
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beantworten. Der Beweis verwendet den Stoff des Semesters vollständig!
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\section{Die Einheitswurzeln und die $φ$-Funktion}
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Wir hatten gleich am Anfang die Frage nach der Konstruierbarkeit mit
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Körpertheorie zusammengebracht. Der relevante Körper für das reguläre $n$-Eck
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ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^n-1$.
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\begin{definition}[Kreisteilungskörper, Einheitswurzeln, \mathlib{NumberTheory/Cyclotomic/Basic.html\#CyclotomicField}]\label{def:ktk}
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Der Zerfällungskörper des Polynoms
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$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ wird als \emph{$n$.ter Kreisteilungskörper über
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$ℚ$}\index{Kreisteilungskörper|textbf} bezeichnet. Die Schreibweise $L_n/ℚ$ ist
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üblich.
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\end{definition}
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\def \n {8}
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\def \radius {1.5}
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\def \laenger {0.3}
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\draw (-\radius-\laenger,0) -- ( \radius+\laenger,0);
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\draw (0,-\radius-\laenger) -- (0, \radius+\laenger);
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\draw[lightgray, dashed] (0,0) circle (\radius);
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\foreach \s in {0,...,7} {
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\coordinate (\s) at ({360/\n * (\s)}:\radius);
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}
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\foreach \s in {1,3,5,7} {
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\fill[red] (\s) circle (.1);
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}
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\foreach \s in {0,...,7} {
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\fill (\s) circle (.05);
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}
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\end{tikzpicture}
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\quad
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\def \n {6}
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\def \radius {1.5}
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\def \laenger {0.3}
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\draw (-\radius-\laenger,0) -- ( \radius+\laenger,0);
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\draw (0,-\radius-\laenger) -- (0, \radius+\laenger);
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\draw[lightgray, dashed] (0,0) circle (\radius);
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\foreach \s in {0,...,5}{
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\coordinate (\s) at ({360/\n * (\s)}:\radius);
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}
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\foreach \s in {1,5}{
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\fill[red] (\s) circle (.1);
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}
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\foreach \s in {0,...,5}{
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\fill (\s) circle (.05);
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}
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\end{tikzpicture}
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Die primitiven Einheitswurzeln sind rot markiert.
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\caption{Achte und sechste Einheitswurzeln}
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\label{fig:ehw}
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\end{figure}
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\sideremark{Vorlesung 23}Bevor es weitergeht, erinnere ich noch einmal an
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Beispiel~\vref{bsp:ehw} und an die Notation, die dort eingeführt wurde: Die
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$n$.ten Einheitswurzeln\index{Einheitswurzel|textbf} waren genau die Nullstellen von $f_n$ im Körper $L_n ⊂
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\overline{ℚ} ⊂ ℂ$. Die $n$.ten Einheitswurzeln bilden mit der Multiplikation
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als komplexe Zahlen eine zyklische Gruppe, die isomorph zu $ℤ/(n)$ ist. Eine
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$n$.te Einheitswurzel heißt \emph{primitiv}\index{Einheitswurzel!primitiv|textbf}, falls sie die Gruppe erzeugt.
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Abbildung~\ref{fig:ehw} illustriert das am Beispiel der $6$.ten und $8$.ten
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Einheitswurzeln. Wir hatten in Beobachtung~\vref{beo:pe} auch schon diskutiert,
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wie viele primitive Einheitswurzeln es in der Gruppe der $n$.ten Einheitswurzeln
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jeweils gibt: Die Anzahl wird durch die Eulersche $φ$-Funktion gegeben. Um die
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Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks vollständig zu
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beantworten, müssen wir noch ein paar Dinge über diese Funktion beweisen.
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\begin{satz}[Multiplikative Eigenschaften der Eulerschen $φ$-Funktion, \mathlib{Data/Nat/Totient.html\#Nat.totient_mul}]\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion}\index{Eulersche phi-Funktion@Eulersche $φ$-Funktion}
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Die Eulersche $φ$-Funktion hat folgende Eigenschaften.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} Für alle
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$n,m ∈ ℕ$ mit $\ggT(n,m) = 1$ gilt $φ(n·m) = φ(n)·φ(m)$.
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\item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2} Für alle
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Primzahlen $p ∈ ℕ$ und alle $α ∈ ℕ$ gilt $φ(p^α)=p^{α-1}·(p-1)$.
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\item\label{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_3} Für alle
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Tupel $(p_1, …, p_r) ∈ ℕ^r$ von paarweise verschiedenen Primzahlen und alle
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Tupel $(α_1, …, α_r) ∈ ℕ^r$ gilt
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\begin{equation*}
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φ(p_1^{α_1} ⋯ p_r^{α_r}) = p_1^{α_1-1} ⋯ p_r^{α_r-1}·(p_1-1)⋯(p_r-1).
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir beweisen zuerst \ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1}:
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Seien Zahlen $n,m ∈ ℕ$ mit $\ggT(n,m)=1$ gegeben. Dann gilt nach dem
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Chinesischen Restsatz\index{Chinesischer Restsatz}, Satz~\vref{Satz_Chinesischer_Restsatz},
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\begin{equation*}
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\factor{ℤ}{(n·m)} ≅ \factor{ℤ}{(n)}⨯\factor{ℤ}{(m)}.
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\end{equation*}
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Ein Paar $(a,b) ∈ ℤ/(n) ⨯ ℤ/(m)$ ist genau dann eine Einheit, wenn $a ∈ ℤ/(n)$
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und $b ∈ ℤ/(m)$ jeweils Einheiten sind. Also gilt
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\begin{equation*}
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\left|\left(\factor{ℤ}{(n· m)}\right)^*\right| = \left|\left(\factor{ℤ}{(n)}\right)^*\right|·\left|\left(\factor{ℤ}{(m)}\right)^*\right|.
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\end{equation*}
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Die Anzahl der Einheiten in der Gruppe $ℤ/(d)$ ist aber genau der Wert der
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$φ$-Funktion an der Stelle $d$. Aussage
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\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} ist damit bewiesen.
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Für Aussage~\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2}
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beobachten wir, dass die Nicht-Einheiten in $ℤ/(p^α)$ exakt durch die
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Vielfachen von $p$ repräsentiert sind, also durch die Elemente
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$p, 2·p, 3·p, … , p^{α-1}·p = p^α$. Dies sind genau $p^{α-1}$ Elemente. Für
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die Einheiten bleiben also
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\begin{equation*}
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p^α - p^{α-1} = p^{α-1}·(p-1)
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\end{equation*}
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Elemente übrig, fertig ist der Beweis von
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\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2}.
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Die letzte Aussage~\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_3}
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ist einfach eine Kombination von
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\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_1} und
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\ref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion_Aussage_2}.
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\end{proof}
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\section{Kreisteilungspolynome}
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Die $n$.ten Einheitswurzeln sind natürlich Nullstellen des Polynoms $x^n-1 ∈
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ℚ[x]$. Leider haben wir schon in Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} gesehen, dass diese
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Polynome im Allgemeinen nicht irreduzibel sind. Um die Kreisteilungskörper
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besser zu verstehen, müssen wir also die irreduziblen Faktoren diskutieren. Das
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kommt jetzt.
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\begin{definition}[$n$-tes Kreisteilungspolynom, \mathlib{RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.html\#Polynomial.cyclotomic}]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Bezeichne die primitiven $n$.ten Einheitswurzeln
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mit $ξ_1, …, ξ_{φ(n)}$. Das Polynom
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\begin{equation*}
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Φ_n := \prod_{i=1}^{φ(n)} (x-ξ_i) ∈ ℂ[x]
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\end{equation*}
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heißt $n$.tes \emph{Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom|textbf}\index{*Phin@$Φ_n$ (Kreisteilungspolynom)|textbf}. Es
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gilt $\deg Φ_n = φ(n)$.
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\end{definition}
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Der folgende Satz fasst die wesentlichen Eigenschaften von
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Kreisteilungspolynomen zusammen.
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\begin{satz}[Wesentliche Eigenschaften von Kreisteilungspolynomen, \mathlib{RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.html\#Polynomial.prod_cyclotomic_eq_X_pow_sub_one}]\label{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom}\index{Kreisteilungspolynom}
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Es ist $Φ_1(x)= x-1$. Für jede Zahl $n ∈ ℕ$ gilt die Gleichung
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\begin{equation}\label{eq:x2}
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x^n-1=\prod_{d|n}Φ_d(x).
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\end{equation}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Die Aussage über $Φ_1$ ist trivial. Wenn eine Zahl $n ∈ ℕ$ und eine beliebige
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$n$.te Einheitswurzel $ξ$ gegeben sind, mit Ordnung $d := \ord ξ$, dann ist $ξ$ eine
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primitive $d$.te Einheitswurzel. Also ist $ξ$ eine Nullstelle von $Φ_d$ --
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und von keinem anderen Kreisteilungspolynom $Φ_{d'}$! Wir erkennen, dass auf
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der linken und der rechten Seite von \eqref{eq:x2} zwei komplexe Polynome
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stehen, deren Nullstellenmenge jeweils exakt die Menge der $n$.ten
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Einheitswurzeln ist. Außerdem haben sowohl die linke als auch rechte Seite
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von Gleichung \eqref{eq:x2} nur einfache Nullstellen. Außerdem sind linke und
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rechte Seite von Gleichung \eqref{eq:x2} normiert. Dann müssen die Seiten der
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Gleichung wohl übereinstimmen.
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\end{proof}
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\begin{beobachtung}
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Mit Satz~\ref{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} kann man
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alle Kreisteilungspolynome rekursiv ausrechnen. Um ein gegebenes Polynom
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$Φ_d$ zu bestimmen, genügt es nach
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Satz~\ref{Satz_Wesentliche_Eigenschaften_Kreisteilungspolynom} nämlich, die
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$Φ_e$ für alle Teiler $e$ von $d$ mit $e < d$ zu kennen; dann ist
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\begin{equation*}
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Φ_d(x) = \frac{x^d-1}{\prod_{e|d,\ e < d} Φ_e(x)}.
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\end{equation*}
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Für jede Primzahl $p$ gilt insbesondere $x^p-1 = Φ_1(x)·Φ_p(x)$, und somit
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\begin{equation*}
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Φ_p(x) = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1} + x^{p-2} + ⋯ + x + 1.
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\end{equation*}
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\end{beobachtung}
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\begin{bsp}\label{bsp:2222}
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Betrachte den Fall $d = 6$. Es gilt $x⁶-1 = Φ_1(x)·Φ_2(x)·Φ_3(x)·Φ_6(x)$.
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Damit erhalten wir
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\begin{equation*}
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Φ_6(x) = \frac{x⁶-1}{(x-1)·(x+1)·(x²+x+1)} = x²-x+1
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\end{equation*}
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\end{bsp}
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Das Beispiel~\ref{bsp:2222} zeigt insbesondere, dass das komplexe Polynom $Φ_6$
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in Wirklichkeit ganzzahlige Koeffizienten hat! Der folgende Satz sagt, dass
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dies kein Zufall ist. Der (Induktions-)Beweis ist nicht schlimm kompliziert,
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aber ein wenig langwierig. Ich lasse ihn daher weg.
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\begin{fakt}[\mathlib{RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.html\#Polynomial.int_cyclotomic_spec}]
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Die Kreisteilungspolynome sind ganzzahlig und normiert. Mit anderen Worten:
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für alle $n ∈ ℕ$ ist $Φ_n(x) ∈ ℤ[x]$. \qed
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\end{fakt}
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Durch „Reduktion modulo $p$“ zeigt man folgenden Fakt, den wir hier ebenfalls
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nicht beweisen.
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\begin{fakt}[\mathlib{RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.html\#Polynomial.cyclotomic.irreducible}]
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Die Kreisteilungspolynome $Φ_n$ sind für alle $n ∈ ℕ$ irreduzibel. \qed
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\end{fakt}
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\section{Die Kreisteilungskörper}
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Wir hatten in Definition~\ref{def:ktk} den Zerfällungskörper des Polynoms
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$f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$.ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genannt und
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mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$
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natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu
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eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$
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ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$.te
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Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist
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\begin{equation*}
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[L_n : ℚ ] = \deg Φ_n = φ(n).
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\end{equation*}
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Die Galoisgruppe ist jetzt kein Geheimnis mehr.
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\begin{satz}[\mathlib{NumberTheory/Cyclotomic/Gal.html\#IsCyclotomicExtension.autEquivPow}]\label{satz:ktk}\index{Kreisteilungskörper}\index{Galoisgruppe!einer Körpererweiterung}\index{Einheitengruppe}
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Die Galoisgruppe von $L_n/ℚ$ ist isomorph zur
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(multiplikativen) Gruppe der Einheiten in $ℤ/(n)$, also
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\[
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\Gal\left( \factor{L_n}{ℚ} \right) ≅ \left( \factor{ℤ}{(n)} \right)^*.
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||
\]
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{23-1}]
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Als Vorüberlegung wähle eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$. Dann kann
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ich jede andere $n$.te Einheitswurzel $η$ in der Form $η = ξ^k$ schreiben,
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wobei $k ∈ ℤ$ ist; dabei ist $k$ eindeutig modulo $n$, denn $ξ^k = ξ^{k+n}$.
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Also erhalte ich eine Abbildung
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\begin{equation*}
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μ : \{ n.\text{te Einheitswurzeln} \} → \factor{ℤ}{(n)}.
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\end{equation*}
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Nach Beobachtung~\vref{beo:pe} ist eine Einheitswurzel $η$ genau dann
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primitiv, wenn $μ(η)$ eine Einheit in $ℤ/(n)$ ist.
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Jetzt zum Beweis. Jedes Element der Galoisgruppe $\Gal(L_n/ℚ)$ permutiert die
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$n$.ten Einheitswurzeln, also die Nullstellen von $x^n - 1$. Ich erhalte
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deshalb eine Abbildung
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\begin{equation*}
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α : \Gal\bigl(\factor{L_n}{ℚ}\bigr) → \factor{ℤ}{(n)}, \quad
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σ ↦ μ\bigl(σ(ξ)\bigr).
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\end{equation*}
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Beachte: Das Minimalpolynom von $ξ$ ist das Kreisteilungspolynom $Φ_n$, also
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permutiert jedes Element der Galoisgruppe auch die Nullstellen von $Φ_n$ ---
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und das sind genau die \emph{primitiven} $n$.ten Einheitswurzeln. Als
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Konsequenz liegt das Bild von $α$ in der Einheitengruppe, und wir erhalten
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eine Abbildung
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\begin{equation*}
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β : \Gal\bigl(\factor{L_n}{ℚ}\bigr) → \left(\factor{ℤ}{(n)}\right)^*.
|
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\end{equation*}
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Das ist ein Gruppenmorphismus: Für $σ$, $τ ∈ \Gal(L_n/ℚ)$ ist
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\begin{equation*}
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(σ◦τ)(ξ) = σ\bigl(ξ^{α(τ)}\bigr) = σ(ξ)^{α(τ)} = ξ^{α(σ)·α(τ)}.
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\end{equation*}
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Wir wissen auch: Wegen $L_n = ℚ(ξ)$ ist jedes $σ ∈ \Gal(L_n/ℚ)$ durch das Bild
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$σ(ξ)$ eindeutig festgelegt. Als Konsequenz ist der Gruppenmorphismus $β$
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injektiv! Aber links und rechts stehen Gruppen mit jeweils genau $φ(n)$
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vielen Elementen: Es ist $|\Gal(L_n/ℚ)| = [L_n : ℚ] = φ(n)$, und die Anzahl
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der Einheiten in $ℤ/(n)$ ist per Definition ebenfalls $φ(n)$. Also ist $β$
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bijektiv und damit ein Isomorphismus.
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\end{proof}
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\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \texorpdfstring{$n$}{n}-Ecks}
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Damit kommen wir zu einem der Ergebnisse, auf die wir das ganze Semester über
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hingearbeitet haben: die vollständige Antwort auf die Frage nach der
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Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks. Im Gegensatz zu allen anderen Sätzen,
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die immer nur zeigten, was man \emph{nicht} konstruieren kann, ist der folgende
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Satz unser erstes \emph{positives} Resultat.
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\begin{satz}[Positives Resultat zur Konstruierbarkeit]\label{Satz_von_Seite_197}\index{konstruierbare Punkte}
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Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ eine Menge und es sei $z ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl.
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Betrachte den Körper $K := ℚ(M∪\overline{M})$ und bezeichne mit $L$ den
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Zerfällungskörper $L$ des Minimalpolynoms von $z$ über $K$. Wenn $[L : K]$
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eine Zweierpotenz ist, dann ist die Zahl $z$ aus $M$ mit Zirkel und Lineal
|
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konstruierbar.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{23-2}]
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Es sei also $[L:K] = 2^n$. Der Körper $L$ ist der Zerfällungskörper eines
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Polynoms über dem Körper $K$ der Charakteristik Null, also ist $L/K$ Galoisch
|
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und
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\begin{equation*}
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\bigl|\Gal(L/K)\bigr| = [L:K] = 2^n.
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\end{equation*}
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Die Galoisgruppe ist demnach eine $2$-Gruppe und nach Satz~\vref{satz:20-1-5}
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auflösbar. Nach dem Satz über gute Auflösungsketten,
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Satz~\vref{Satz_Aufloesungskette}, gibt es eine Auflösungskette
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\begin{equation*}
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\{e\} = N_0 ⊊ N_1 ⊊ ⋯ ⊊ N_ℓ = \Gal(L/K),
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||
\end{equation*}
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||
deren Quotienten zyklisch von Primzahlordnung sind; weil die Gruppenordnung
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||
$2^n$ ist, gilt also $[N_i : N_{i-1}] = 2$ für alle Indizes. Der Hauptsatz
|
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der Galoistheorie, Satz~\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie}, übersetzt das in
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||
eine Kette von Körpererweiterungen: Mit $Z_i := \Fix(N_{ℓ-i})$ erhalten wir
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\begin{equation*}
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K = Z_0 ⊊ Z_1 ⊊ ⋯ ⊊ Z_ℓ = L, \quad\text{mit }
|
||
[Z_i : Z_{i-1}] = 2 \text{ für alle } i.
|
||
\end{equation*}
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||
Nach Korollar~\vref{kor:ajQ} („Adjunktion von Quadratwurzeln“) entsteht $Z_i$
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aus $Z_{i-1}$ jeweils durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Aber: Der Körper
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||
$K = ℚ(M ∪ \overline{M})$ liegt in $\Kons(M)$, die Menge $\Kons(M)$ ist ein
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Körper, und Quadratwurzeln lassen sich bekanntlich mit Zirkel und Lineal
|
||
konstruieren. Induktiv folgt $Z_i ⊆ \Kons(M)$ für alle $i$, insbesondere ist
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$z ∈ L ⊆ \Kons(M)$.
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}\label{rem:svs197}
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Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist noch nicht optimal, denn es gilt in
|
||
Wirklichkeit mehr: wir werden in Bemerkung~\vref{bem:nedkp} sehen, dass die
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||
Zahl $z$ \emph{genau dann} aus $M$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist,
|
||
wenn $[L : K]$ eine Zweierpotenz ist.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
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||
\begin{satz}[Satz von Gauß]\label{Satz_von_Gauss}\index{Gauß, Satz von!über die Konstruierbarkeit des $n$-Ecks|textbf}\index{Konstruktion!n-Eck@des regelmäßigen $n$-Ecks}
|
||
Das reguläre $n$-Eck ist aus $\{0,1 \}$ genau dann mit Zirkel und Lineal
|
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konstruierbar, wenn $n$ in folgender Form geschrieben werden kann,
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\[
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n = 2^α·p_1⋯p_r,
|
||
\]
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||
wobei $α ∈ ℕ$ ist und die $p_{•}$ paarweise verschiedene Primzahlen der Form
|
||
$p_• = 2^{n_•}+1$ sind.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}[Beweis, \video{23-3}]
|
||
Das reguläre $n$-Eck ist genau dann aus $\{0,1\}$ konstruierbar, wenn die
|
||
primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ = e^{2πi/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$ liegt: Die
|
||
übrigen Eckpunkte sind Potenzen von $ξ$ und damit ebenfalls konstruierbar,
|
||
denn $\Kons(\{0,1\})$ ist ein Körper.
|
||
|
||
Beachte zuerst, dass $ℚ(ξ) = L_n$ der Zerfällungskörper des Minimalpolynoms
|
||
$Φ_n$ von $ξ$ ist, denn alle Nullstellen von $Φ_n$ sind Potenzen von $ξ$. Für
|
||
$M = \{0,1\}$ ist außerdem $ℚ(M ∪ \overline{M}) = ℚ$. Die
|
||
Sätze~\vref{Satz_von_Seite_69} und \vref{Satz_von_Seite_197} sagen deshalb
|
||
zusammen: Die Zahl $ξ$ ist genau dann konstruierbar, wenn
|
||
\begin{equation*}
|
||
[ℚ(ξ) : ℚ] = φ(n)
|
||
\end{equation*}
|
||
eine Zweierpotenz ist.
|
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Schreibe jetzt $n = p_1^{α_1} ⋯ p_r^{α_r}$ als Produkt von paarweise
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verschiedenen Primzahlen. Nach
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Satz~\vref{Satz_Eigenschaften_Eulersche_Phi_Funktion} ist
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\begin{equation*}
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φ(n) = p_1^{α_1-1} ⋯ p_r^{α_r-1}·(p_1-1)⋯(p_r-1).
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\end{equation*}
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Diese Zahl ist genau dann eine Zweierpotenz, wenn Folgendes gilt.
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\begin{enumerate}
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\item Außer der $2$ darf jede Primzahl in $n$ höchstens mit dem
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Exponenten $1$ auftreten: Für eine ungerade Primzahl $p_i$ mit
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$α_i ≥ 2$ wäre der Faktor $p_i^{α_i-1} > 1$ nämlich ungerade.
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\item Jede der ungeraden Primzahlen $p_i$ muss von der Gestalt
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$p_i = 2^{n_i}+1$ sein, denn der Faktor $p_i - 1$ muss eine
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Zweierpotenz sein.
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\end{enumerate}
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Das ist exakt die Bedingung aus dem Satz: Das reguläre $n$-Eck ist genau dann
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konstruierbar, wenn $n = 2^α·p_1⋯p_r$ ist, mit paarweise verschiedenen
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Primzahlen der Form $p_• = 2^{n_•}+1$.
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}
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Damit $2^μ+1$ eine Primzahl ist, muss $μ$ selbst eine Potenz von $2$ sein.
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Denn hätte $μ=m·l$ einen ungeraden Teiler $l$, so hätte man
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\begin{equation*}
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2^μ+1 = (2^m+1)·\left(2^{m·(l-1)}-2^{m·(l-2)} ± ⋯ -2^m+1\right).
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\end{equation*}
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}[Fermatsche Primzahlen, aus \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl}{Wikipedia}]
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Primzahlen der Form $F_n := 2^{2^n}+1$ heißen \emph{Fermatsche
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Primzahlen}\index{Fermatsche Primzahl|textbf}. Im August 1640 vermutete Fermat, dass
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alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.
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Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass die
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sechste Fermatzahl $F_5$ durch 641 teilbar ist. Man kennt außer den ersten
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fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die eine
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Primzahl ist, und vermutet, dass es außer diesen Zahlen auch keine weitere
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gibt.
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\end{bemerkung}
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\section{Ich hab' noch einen Koffer in … Göttingen}
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Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist \emph{viel} besser, als er aussieht. Schauen
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Sie sich den Beweis genau an: Sie sehen, wie wir im Beweis aus einer
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\emph{Auflösungskette} für geeignete Galoisgruppen eine
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\emph{Konstruktions\-vorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also
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kein abstraktes Existenzresultat, sondern liefert (bei entsprechender Arbeit)
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eine konkrete Vorschrift, wie man an den gegebenen Punkt $z$ kommt -- ob der so
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erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut
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umsetzbar ist, steht natürlich noch auf einem anderen Blatt.
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\begin{aufgabe}
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Warten Sie die Klausur ab. Wenn Sie überleben, kaufen Sie sich weiße
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Zauberkünstlerhandschuhe und fahren Sie nach Göttingen. Ziehen Sie sich gut
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an (Sie müssen seriös wirken!) und begeben Sie sich in die Bunsenstraße 3--5.
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\begin{enumerate}
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\item Bewundern Sie das schlichte, lichtdurchflutete und funktionale Gebäude,
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das 1929 von David Hilbert und Richard
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Courant\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Courant}{Richard
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Courant} (* 8.~Januar 1888 in Lublinitz, Oberschlesien; † 27.~Januar 1972 in
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New York) war ein deutsch-amerikanischer Mathematiker.} eröffnet wurde,
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dessen Planung aber noch auf Felix
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Klein\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Klein}{Felix
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Christian Klein} (* 25.~April 1849 in Düsseldorf; † 22.~Juni 1925 in
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Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.} zurückgeht. Der Bau wurde
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damals, vermutlich zu Ehren von Hilbert, von der amerikanischen
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Rockefeller-Stiftung finanziert. Er gilt noch heute als Meilenstein der
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Architektur.
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\item\label{il:f45} Betreten Sie die Bibliothek und bitten Sie die
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Bibliothekarin sehr höflich um „den Koffer“. Zeigen Sie Ihre weißen
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Handschuhe. Lächeln Sie, um alle Umstehenden von Ihren harmlosen Absichten
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zu überzeugen.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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Wenn Sie im Schritt~\ref{il:f45} überzeugend aufgetreten sind, bringt Ihnen die
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Bibliothekarin den Koffer. Dabei handelt es sich um eine über 100 Jahre alte
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Holzkiste mit einem uralten Foliaten, in dem Johann Gustav Hermes auf über 200
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großformatigen, fein beschriebenen Blättern das 65.537-Eck mit Zirkel und Lineal
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konstruiert. Mit Ihren Handschuhen können Sie umblättern, ohne das alte Papier
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zu beschädigen.
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\href{https://www.zeit.de/2012/34/Algebra-Koffer-Johann-Gustav-Hermes/komplettansicht}{Die
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Zeit} schreibt über dieses etwas Zen-Buddhistisch angehauchte
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Konstruktionsprojekt:
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\begin{quotation}
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Ein filigranes Geflecht von Punkten, Linien und Kreisen breitet sich über die
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Seiten aus, verziert mit Anmerkungen und Erläuterungen in gut lesbarer
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Kurrentschrift. Dazu kommt eine Flut von Tabellen, Rechnungen und
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Koeffizientenschemata, die sich am Ende zu einem Zahlen- und Symbolmix
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gewaltigen Ausmaßes fügen.
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\end{quotation}
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Im Gegensatz zur „Zeit“ sahen die Göttinger Kollegen Hermes' Bemühungen damals
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recht kritisch: „Ich rechne ja auch nicht die binomische Formel für alle Werte
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bis 10.000.000 nach.“ Dennoch empfehle ich den Besuch. Bewundern Sie die
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feinen Konstruktionen und die enorme handwerkliche Qualität. Suhlen Sie sich in
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der Aura der Sinnlosigkeit. Beenden Sie Ihren Besuch, indem Sie sich die
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historische Sammlung mathematischer Modelle anschauen.
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\begin{aufgabe}
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Finden Sie heraus, warum das weltberühmte
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\foreignlanguage{english}{\emph{Mathematical Sciences Research Institute}} in
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Berkeley, Kalifornien, die Adresse „\foreignlanguage{english}{17 Gauss Way}“
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hat, obwohl das MSRI der einzige Gebäudekomplex in der Straße ist. Fahren Sie
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hin und schauen Sie sich die Tafel am Eingang an. Oder lesen Sie
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\href{https://www.msri.org/people/staff/levy/files/17gon/poster1.pdf}{hier}.
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\end{aufgabe}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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