AlgebraZahlentheorie/21.tex

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\chapter{Der Satz vom primitiven Element}
\label{chap:21}

Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der
Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element $a ∈
L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.  Das sind die Körpererweiterungen, die uns am
wenigsten Angst machen --- dachten wir!  Als erste Anwendung der Galoistheorie
möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen, vor denen wir schon immer
Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind.  Vielleicht haben wir uns nicht
genug gefürchtet?

\begin{satz}[\mathlib{FieldTheory/PrimitiveElement.html\#Field.exists_primitive_element_iff_finite_intermediateField}]\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{Zwischenkörper}
  Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es
  nur endlich viele Zwischenkörper gibt.
\end{satz}
\begin{proof}
  Die Implikation „einfach und algebraisch $⇒$ nur endlich viele Zwischenkörper“
  beweisen wir im \video{22-3} wie folgt. Es sei $L/K$ einfach und algebraisch.
  Wähle also ein Element $a ∈ L$ mit $L = K(a)$, und es sei $f ∈ K[x]$ das
  Minimalpolynom von $a$ über $K$.

  Wir beginnen mit einer Beobachtung: Wenn $K ⊆ Z ⊆ L$ ein Zwischenkörper ist,
  dann sei $g_Z ∈ Z[x]$ das Minimalpolynom von $a$ über $Z$.  Weil $f ∈ Z[x]$
  das Element $a$ als Nullstelle hat, ist $g_Z$ in $Z[x]$ und damit auch in
  $L[x]$ ein Teiler von $f$.  Wir erhalten so eine Abbildung
  \begin{equation*}
    η : \{\text{Zwischenkörper von } L/K\}
    → \{\text{normierte Teiler von } f \text{ in } L[x]\}, \quad
    Z ↦ g_Z.
  \end{equation*}
  Die Zielmenge ist endlich: Der Ring $L[x]$ ist faktoriell, und die normierten
  Teiler von $f$ sind bis auf Normierung genau die Produkte von Teilmengen der
  endlich vielen irreduziblen Faktoren von $f$.  Es genügt also zu zeigen, dass
  $η$ injektiv ist.

  Dazu konstruieren wir ein teilweises Inverses,
  \begin{equation*}
    μ : \{\text{normierte Teiler von } f \text{ in } L[x]\}
    → \{\text{Zwischenkörper}\}, \quad
    \sum_{i=0}^{n} b_i·x^i ↦ K(b_0, …, b_n),
  \end{equation*}
  und behaupten, dass $μ◦η = \Id$ ist; daraus folgt sofort die Injektivität von
  $η$.  Es sei also ein Zwischenkörper $Z$ gegeben und es sei $g_Z =
  \sum_{i=0}^n b_i·x^i$ das Minimalpolynom von $a$ über $Z$.  Wir müssen zeigen,
  dass $K(b_0, …, b_n) = Z$ ist.

  Die Inklusion „$⊆$“ ist klar: Die Koeffizienten $b_i$ liegen in $Z$. Für die
  andere Inklusion beachte, dass $g_Z$ auch das Minimalpolynom von $a$ über dem
  kleineren Körper $K(b_0, …, b_n)$ ist: Das Minimalpolynom $h$ von $a$ über
  $K(b_0, …, b_n)$ teilt das normierte Polynom $g_Z ∈ K(b_0,…,b_n)[x]$;
  umgekehrt liegt $h$ in $Z[x]$ und hat $a$ als Nullstelle, wird also von $g_Z$
  geteilt.  Beide Polynome sind normiert, also ist $h = g_Z$.  Mit
  Satz~\vref{satz:3-5-4} folgt
  \begin{equation*}
    \bigl[L : K(b_0, …, b_n)\bigr]
    = \bigl[a : K(b_0, …, b_n)\bigr]
    = \deg g_Z
    = [a : Z]
    = [L : Z];
  \end{equation*}
  beachte dabei, dass $L = K(a)$ sowohl über $Z$ als auch über $K(b_0, …, b_n)$
  von $a$ erzeugt wird.  Die Gradformel, Satz~\vref{satz:3-6-1}, liefert
  $\bigl[Z : K(b_0, …, b_n)\bigr] = 1$, also die gewünschte Gleichheit.

  Die Umkehrrichtung beweisen wir jetzt und  im \video{22-4}.    Es sei jetzt
  also $L/K$ eine Körpererweiterung mit nur endlich vielen Zwischenkörpern.

  \schritt{Schritt 1: Die Erweiterung $L/K$ ist algebraisch und endlich.} Zuerst
  die Algebraizität, mit Widerspruchsbeweis: Angenommen, es gäbe ein Element $a
  ∈ L$, das transzendent über $K$ ist.  Nach
  Satz~\vref{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal} ist dann $K(a)$ isomorph zum
  Körper der gebrochen-rationalen Funktionen $K(x)$, und wir erhalten die
  unendliche Kette von paarweise verschiedenen Zwischenkörpern
  \begin{equation*}
    K(a) ≅ K(x) ⊋ K(x²) ⊋ K(x⁴) ⊋ ⋯ ⊋ K
  \end{equation*}
  --- im Widerspruch zur Annahme\footnote{Die Inklusionen sind echt: Eine
  Gleichung $x^{2ⁱ} = f(x^{2^{i+1}})/g(x^{2^{i+1}})$ ist aus Gradgründen
  unmöglich.}.

  Jetzt die Endlichkeit.  Wir wählen induktiv Elemente: Solange $K(a_1, …, a_i)
  ⊊ L$ ist, wähle ein Element $a_{i+1} ∈ L ∖ K(a_1, …, a_i)$.  So entsteht eine
  echt aufsteigende Kette von Zwischenkörpern; weil es nur endlich viele
  Zwischenkörper gibt, bricht der Prozess ab, und es ist $L = K(a_1, …, a_n)$
  für geeignete Elemente.  Als endlich erzeugte algebraische Erweiterung ist
  $L/K$ nach Satz~\vref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen} endlich.

  \schritt{Schritt 2: Einfachheit, falls $K$ endlich ist.} In diesem Fall ist
  auch $L$ endlich, denn $L$ ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum über dem
  endlichen Körper $K$.  Nach
  Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die
  multiplikative Gruppe $L^*$ zyklisch; es sei $a ∈ L^*$ ein erzeugendes
  Element.  Dann enthält $K(a)$ die gesamte Menge $L^*$, also ist $K(a) = L$ und
  $L/K$ ist einfach.

  \schritt{Schritt 3: Einfachheit, falls $K$ unendlich ist.} Wir wissen aus
  Schritt~1, dass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.  Betrachte für die unendlich vielen
  Elemente $λ ∈ K^*$ die Zwischenkörper $K\bigl(a_1 + λ·a_2\bigr) ⊆ L$.  Weil es
  nur endlich viele Zwischenkörper gibt, existieren $λ_1 ≠ λ_2 ∈ K^*$ mit
  \begin{equation*}
    Z := K(a_1 + λ_1·a_2) = K(a_1 + λ_2·a_2).
  \end{equation*}
  Der Körper $Z$ enthält dann das Element
  \begin{equation*}
    (a_1 + λ_1·a_2) - (a_1 + λ_2·a_2) = (λ_1 - λ_2)·a_2,
  \end{equation*}
  also auch $a_2$, und ebenso das Element
  \begin{equation*}
    λ_2·(a_1 + λ_1·a_2) - λ_1·(a_1 + λ_2·a_2) = (λ_2 - λ_1)·a_1,
  \end{equation*}
  also auch $a_1$.  Insgesamt ist $K(a_1, a_2) = K(a_1 + λ_1·a_2)$ --- die
  beiden Erzeuger $a_1$ und $a_2$ lassen sich also durch den einen Erzeuger $a_1
  + λ_1·a_2$ ersetzen.  Wende diesen Trick induktiv an und erhalte am Ende $L =
  K(a_1, …, a_n) = K(b)$, wobei $b$ eine geeignete $K$-Linearkombination der
  Elemente $a_1, …, a_n$ ist.  Also ist $L/K$ einfach.
\end{proof}

\begin{satz}[Satz vom primitiven Element, \mathlib{FieldTheory/PrimitiveElement.html\#Field.exists_primitive_element}]\label{Satz_vom_primitiven_Element}\index{Satz vom primitiven Element|textbf}\index{Körpererweiterung!separabel}\index{primitives Element!einer Körpererweiterung}
  Jede endliche, separable Körpererweiterung ist einfach.
\end{satz}
\begin{proof}
  Es sei $L/K$ eine endliche, separable Körpererweiterung und $N ⊂ \overline{K}$
  die normale Hülle von $L$.  Dann ist $N/K$ eine Galoiserweiterung und die
  Zwischenkörper stehen in Bijektion mit den Untergruppen der Galoisgruppe
  $\Gal(N/K)$.  Insbesondere hat $L/K$ als Zwischenerweiterung von $N/K$ nur
  endlich viele Zwischenkörper.  Die Behauptung folgt dann aus
  Satz~\vref{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}.
\end{proof}

\begin{kor}\label{Korollar_Beweis_Fehlt_1}
  Jeder endliche Oberkörper von $ℚ$ ist isomorph zu einem Körper der Form
  $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
\end{kor}
\begin{proof}
  Es sei $L/ℚ$ endlich.  Nach Satz~\ref{Satz_vom_primitiven_Element} ist die
  Erweiterung $L/ℚ$ einfach, also gibt es ein primitives Element $a ∈ L$ und
  $L = ℚ(a)$ ist isomorph zu $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ das Minimalpolynom von
  $a$ ist.
\end{proof}

Endliche Oberkörper von $ℚ$ sind in der Zahlentheorie natürlich schrecklich
wichtig und tragen daher einen eigenen Namen.

\begin{defn}[Zahlkörper, \mathlib{NumberTheory/NumberField/Basic.html\#NumberField}]
  Endliche Oberkörper von $ℚ$ werden als \emph{algebraische
    Zahlkörper}\index{algebraischer Zahlkörper|textbf}\index{Zahlkörper|see{algebraischer Zahlkörper}} bezeichnet.
\end{defn}

\begin{bsp}
  Der Körper $ℚ(i,\sqrt2)$ ist ein algebraischer Zahlkörper.  Die Erweiterung
  $ℚ(i,\sqrt2)/ℚ$ ist einfach und hat $i+\sqrt2$ als ein primitives Element.
\end{bsp}


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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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