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\chapter{Auflösbare und einfache Gruppen}
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\label{chap:20}
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\section{Auflösbare Gruppen: teile und herrsche}
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Abelsche Gruppen sind leicht zu verstehen, andere Gruppen eher nicht. Eine
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mögliche Herangehensweise, um eine gegebene Gruppe $G$ zu verstehen, ist es,
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einen Normalteiler $N ⊂ G$ zu finden, und die Sequenz
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\begin{equation*}
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N → G → \factor{G}{N}
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\end{equation*}
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zu betrachten. Damit ist das Problem nicht gelöst, aber immerhin in
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Teilaufgaben unterteilt.
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\begin{itemize}
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\item Zuerst muss man die Gruppen $N$ und $G/N$ verstehen. Diese Gruppen sind
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kleiner als $G$ und damit hoffentlich leichter zu untersuchen. Wenn man ganz
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viel Glück hat, sind $N$ oder $G/N$ vielleicht sogar Abelsch.
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\item Am Ende muss man verstehen, wie sich die Gruppe $G$ aus $N$ und $G/N$
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zusammensetzt.
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\end{itemize}
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Falls die Gruppen $G$ und $G/N$ immer noch zu kompliziert sind, kann man
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vielleicht denselben Trick anwenden, um auch diese Gruppen weiter zu
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unterteilen.
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\begin{bsp}
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Es sei $G$ die Gruppe der affinen Transformationen der Ebene $ℂ²$. In der
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linearen Algebra haben wir die Gruppe vermutlich schon untersucht und dabei
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festgestellt, dass sich jede affine Transformation als Komposition einer
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Translation und einer linearen Abbildung schreiben lässt. Eine genauere
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Untersuchung zeigt: Die Gruppe der Translationen ist eine normale
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Untergruppe\footnote{Können Sie das beweisen? Machen Sie mal! Zeigen Sie
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mir, dass die linearen Abbildungen \emph{keine} normale Untergruppe bilden!}
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$N ⊂ G$. Der Quotient ist $G/N ≅ \GL_2(ℂ)$. Beide Anteile kann man gut
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verstehen.
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\end{bsp}
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Wenn eine gegebene Gruppe $G$ nicht Abelsch ist, dann ist die nächstbeste
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Möglichkeit vermutlich die, dass die Gruppe $G$ wie oben beschrieben aus
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Abelschen Gruppen zusammengesetzt ist. Die folgende Definition sagt präzise,
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was ich damit meine.
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\begin{definition}[Auflösbare Gruppe, \mathlib{GroupTheory/Solvable.html\#Group.IsSolvable}]\label{def:solv}
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Eine Gruppe $G$ heißt \emph{auflösbar}\index{Gruppe!auflösbar|textbf}, wenn es eine
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Zahl $ℓ ∈ ℕ$ und eine Kette von Untergruppen
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\begin{equation*}
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G=N_{ℓ}⊋ N_{ℓ-1}⊋ ⋯ ⊋ N_1 ⊋ N_0= \{e\}
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\end{equation*}
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gibt, sodass Folgendes gilt.
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\begin{enumerate}
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\item Für jeden Index $0 ≤ i < ℓ$ ist $N_i$ ein Normalteiler in $N_{i+1}$.
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\item Für jeden Index $0 ≤ i < ℓ$ ist die Quotientengruppe $N_{i+1}/N_i$
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Abelsch.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{notation}
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Eine Kette von Untergruppen wie in Definition~\ref{def:solv} wird
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\emph{Auflösungskette}\index{Auflösungskette|textbf} genannt.
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\end{notation}
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Auflösbare Gruppen sind also (auf noch zu klärende Weise) aus Abelschen Gruppen
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zusammengesetzt. Wir werden später noch sehen, dass die in Kapitel~\ref{sec:4}
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gestellte Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale\index{Auflösbarkeit durch Radikale} eng mit
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der Frage nach der Auflösbarkeit gewisser Galoisgruppen zusammenhängt. Der Name
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„auflösbare Gruppe“ ist vermutlich aus diesem Kontext heraus entstanden.
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\begin{bsp}
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Die Permutationsgruppe\index{symmetrische Gruppe} $S_4$ ist auflösbar, denn es ist
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$S_4 ⊃ A_4 ⊃ V_4 ⊃ \{e\}$. Dabei sind $A_4$ und $V_4$ die folgenden
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Untergruppen.
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\begin{itemize}
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\item Die Gruppe $A_4$ ist der Kern der Signumsabbildung\index{Signum} und wird
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\emph{alternierende Gruppe}\index{alternierende Gruppe|textbf} genannt.
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\item Die Gruppe $V_4$ heißt \emph{Kleinsche Vierergruppe}\index{Kleinsche Vierergruppe|textbf} und ist gegeben als
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\[
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V_4 = \{\Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}.
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\]
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\end{itemize}
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Weiterhin rechne man nach, was die Quotienten sind:
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\[
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\factor{S_4}{A_4} ≅ \factor{ℤ}{(2)}, \quad %
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||
\factor{A_4}{V_4} ≅ \factor{ℤ}{(3)}, \quad \text{und} \quad %
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||
V_4 = \factor{V_4}{\{e\}} ≅ \factor{ℤ}{(2)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)}.
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||
\]
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Damit ist klar, dass die Gruppe $S_4$ auflösbar ist. Interessehalber stellen
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wir noch fest, dass
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\begin{equation*}
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A_4 ≠ \factor{ℤ}{(3)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)} ⨯ \factor{ℤ}{(2)}
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\end{equation*}
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ist, sodass wir wirklich ein nicht-triviales Beispiel für eine auflösbare
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Gruppe haben.
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\end{bsp}
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Die folgenden beiden Sätze liefern weitere Beispiele.
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\begin{satz}[$p$-Gruppen sind auflösbar, \mathlib{GroupTheory/Nilpotent.html\#IsPGroup.isNilpotent}]\label{satz:20-1-5}\index{p-Gruppe@$p$-Gruppe}\index{Gruppe!auflösbar}%
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Es sei $p$ eine Primzahl. Dann ist jede endliche $p$-Gruppe auflösbar.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{21-1}]
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Es sei $G$ eine nicht-triviale $p$-Gruppe der Ordnung $p^n$; wir führen eine
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Induktion nach $n$. Zur Erinnerung: Nach Satz~\vref{satz:18-2-3} hat $G$ ein
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nicht-triviales Zentrum $\Zentralisator(G)$, und die Ordnung des Zentrums
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teilt $|G| = p^n$, ist also selbst eine $p$-Potenz.
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\schritt{Induktionsstart, $n = 1$.} Eine Gruppe von Primzahlordnung ist
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zyklisch, insbesondere Abelsch. Die Kette $G ⊋ \{e\}$ ist dann eine
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Auflösungskette.
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\schritt{Induktionsschritt, $n > 1$.} Falls $G = \Zentralisator(G)$ ist, dann
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ist $G$ Abelsch und wir sind wie eben fertig. Sei also ohne Einschränkung
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$\Zentralisator(G) ⊊ G$. Betrachte dann die Quotientengruppe
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$G/\Zentralisator(G)$. Das ist eine $p$-Gruppe, deren Ordnung echt kleiner
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als $p^n$ ist; nach Induktionsannahme ist sie auflösbar. Betrachte eine
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Auflösungskette
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\begin{equation*}
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\factor{G}{\Zentralisator(G)} = \tilde{N}_ℓ ⊋ ⋯ ⊋ \tilde{N}_1 = \{e\}
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\end{equation*}
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und setze $N_i := φ^{-1}\bigl(\tilde{N}_i\bigr)$ für $1 ≤ i ≤ ℓ$, wobei $φ : G
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→ G/\Zentralisator(G)$ die Quotientenabbildung bezeichnet. Auf diese Weise
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erhalte ich eine Kette von Untergruppen
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\begin{equation}\label{eq:aufloesungp}
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G = N_ℓ ⊋ ⋯ ⊋ N_1 = \Zentralisator(G) ⊋ N_0 := \{e\},
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\end{equation}
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in der $N_{i-1}$ jeweils normal in $N_i$ ist, denn Urbilder von Normalteilern
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sind Normalteiler, Satz~\vref{Satz_Seite_160}. Für die Quotienten gilt bei $i
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≥ 2$ nach dem zweiten Noetherschen Isomorphiesatz,
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Satz~\vref{Satz_Zweiter_Noetherscher_Isomorphiesatz},
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\begin{equation*}
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\factor{N_i}{N_{i-1}}
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≅ \factor{\:\factor{N_i}{\Zentralisator(G)}\:}{\:\factor{N_{i-1}}{\Zentralisator(G)}\:}
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= \factor{\tilde{N}_i}{\tilde{N}_{i-1}},
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\end{equation*}
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und diese Gruppen sind Abelsch, weil wir mit einer Auflösungskette gestartet
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sind. Der verbleibende Quotient $N_1/N_0 = \Zentralisator(G)$ ist als Zentrum
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ebenfalls Abelsch. Also ist \eqref{eq:aufloesungp} eine Auflösungskette für
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$G$, und $G$ ist auflösbar.
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\end{proof}
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\begin{satz}[Untergruppen und Quotienten, \mathlib{GroupTheory/Solvable.html\#Group.instIsSolvableSubtypeMemSubgroup}]\label{satz:20-1-6}\index{Gruppe!auflösbar}%
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Es sei $G$ eine auflösbare Gruppe. Dann ist auch jede Untergruppe und jede
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Restklassengruppe von $G$ auflösbar.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{21-2}]
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Es sei $G$ auflösbar, mit Auflösungskette $G = N_ℓ ⊋ ⋯ ⊋ N_0 = \{e\}$.
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\schritt{Schritt 1: Untergruppen.} Es sei $U ⊆ G$ eine Untergruppe. Betrachte
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die Kette
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\begin{equation}\label{eq:kettu}
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U = (U ∩ N_ℓ) ⊇ ⋯ ⊇ (U ∩ N_0) = \{e\}.
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\end{equation}
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Für jeden Index ist $U ∩ N_{i-1} = (U ∩ N_i) ∩ N_{i-1}$ eine normale
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Untergruppe von $U ∩ N_i$, weil $N_{i-1}$ normal in $N_i$ ist. Außerdem
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liefert der erste Noethersche Isomorphiesatz,
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Satz~\vref{Satz_Erster_Noetherscher_Isomorphiesatz}, angewendet in der Gruppe
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$N_i$ auf den Normalteiler $N_{i-1}$ und die Untergruppe $U ∩ N_i$, einen
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Isomorphismus
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\begin{equation*}
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\factor{U ∩ N_i}{U ∩ N_{i-1}}
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≅ \factor{(U ∩ N_i)·N_{i-1}}{N_{i-1}}.
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\end{equation*}
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Die rechte Seite ist eine Untergruppe der Abelschen Gruppe $N_i/N_{i-1}$, also
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selbst Abelsch. Nach dem Streichen von eventuellen Wiederholungen ist
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\eqref{eq:kettu} also eine Auflösungskette, und $U$ ist auflösbar.
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\schritt{Schritt 2: Restklassengruppen.} Es sei $φ : G → Q$ eine
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Restklassengruppe; insbesondere ist $φ$ surjektiv. Betrachte die Kette
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\begin{equation}\label{eq:kettq}
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Q = φ(N_ℓ) ⊇ ⋯ ⊇ φ(N_0) = \{e\}.
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\end{equation}
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Nach Satz~\vref{Satz_Seite_160}, angewendet auf die surjektiven Morphismen
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$N_i → φ(N_i)$, ist $φ(N_{i-1})$ jeweils eine normale Untergruppe von
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$φ(N_i)$. Die Quotienten sind Abelsch: Die Komposition
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\begin{equation*}
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N_i → φ(N_i) → \factor{φ(N_i)}{φ(N_{i-1})}
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\end{equation*}
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ist surjektiv, und ihr Kern enthält $N_{i-1}$; also ist $φ(N_i)/φ(N_{i-1})$
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eine Restklassengruppe der Abelschen Gruppe $N_i/N_{i-1}$ und damit selbst
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Abelsch. Nach dem Streichen von eventuellen Wiederholungen ist
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\eqref{eq:kettq} also eine Auflösungskette, und $Q$ ist auflösbar.
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\end{proof}
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Auflösungsketten sind (wenn sie überhaupt existieren) in keiner Weise eindeutig.
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Man kann sich also Mühe geben und versuchen, besonders gute Ketten zu finden.
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Der folgende Satz gibt eine Idee, was möglich ist.
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\begin{satz}[Gute Auflösungsketten]\label{Satz_Aufloesungskette}\index{Auflösungskette}
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Wenn $G$ eine endliche, auflösbare Gruppe ist und $N ⊂ G$ ein Normalteiler,
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dann existiert eine Auflösungskette
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\begin{equation*}
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G = N_{ℓ} ⊋ N_{ℓ-1} ⊋ ⋯ ⊋ N_1⊋ \{e\},
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\end{equation*}
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sodass folgende Eigenschaften gelten.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_18_4_Aussage_1} Die Gruppe $N$ kommt in der Auflösungskette
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vor. Mit anderen Worten: Es ist $N ∈ \{N_{ℓ}, …, N_0\}$.
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\item\label{Satz_18_4_Aussage_2} Die Quotienten $N_{i+1}/N_i$ sind zyklisch
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und von Primzahlordnung.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{21-3}]
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---
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\schritt{Schritt 1: Eine Auflösungskette, in der $N$ vorkommt.} Nach
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Satz~\vref{satz:20-1-6} sind die Gruppen $N$ und $G/N$ auflösbar. Wähle
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Auflösungsketten
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\begin{equation*}
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N = N_ℓ ⊋ ⋯ ⊋ N_0 = \{e\}
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\quad\text{und}\quad
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\factor{G}{N} = \tilde{N}_{ℓ+k} ⊋ ⋯ ⊋ \tilde{N}_ℓ = \{e\}.
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\end{equation*}
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Betrachte die Quotientenabbildung $φ : G → G/N$ und die zusammengesetzte Kette
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\begin{equation*}
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G = φ^{-1}\bigl(\tilde{N}_{ℓ+k}\bigr) ⊋ ⋯ ⊋
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||
φ^{-1}\bigl(\tilde{N}_ℓ\bigr) = N = N_ℓ ⊋ ⋯ ⊋ N_0 = \{e\}.
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\end{equation*}
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Wie im Beweis der Auflösbarkeit von $p$-Gruppen rechnet man nach, dass dies
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eine Auflösungskette von $G$ ist: Urbilder von Normalteilern sind
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Normalteiler, Satz~\vref{Satz_Seite_160}, und nach dem zweiten Noetherschen
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Isomorphiesatz, Satz~\vref{Satz_Zweiter_Noetherscher_Isomorphiesatz}, ist
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$φ^{-1}(\tilde{N}_{i+1})/φ^{-1}(\tilde{N}_i) ≅ \tilde{N}_{i+1}/\tilde{N}_i$
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jeweils Abelsch. In dieser Kette kommt die Gruppe $N$ vor.
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\schritt{Schritt 2: Verfeinerung der Kette.} Wir zeigen jetzt, dass man jede
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Auflösungskette einer endlichen Gruppe zu einer Auflösungskette verfeinern
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kann, deren Quotienten zyklisch von Primzahlordnung sind; dabei bleiben alle
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Kettenglieder der ursprünglichen Kette --- insbesondere $N$ --- erhalten.
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Gegeben sei ein Paar von aufeinanderfolgenden Kettengliedern $N_i ⊋ N_{i-1}$,
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dessen Abelscher Quotient $Q := N_i/N_{i-1}$ keine Primzahlordnung hat. Wähle
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mit dem Satz von Cauchy, Satz~\vref{Satz_von_Cauchy}, eine Untergruppe
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$\tilde{U} ⊊ Q$ von Primzahlordnung und betrachte
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\begin{equation*}
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N_i \:⊋\: ψ^{-1}\bigl(\tilde{U}\bigr) \:⊋\: N_{i-1},
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\quad\text{wobei } ψ : N_i → \factor{N_i}{N_{i-1}}
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||
\end{equation*}
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die Quotientenabbildung bezeichnet. Weil $Q$ Abelsch ist, ist $\tilde{U}$
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normal in $Q$, also ist $ψ^{-1}(\tilde{U})$ normal in $N_i$; die Gruppe
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$N_{i-1}$ ist als Kern von $ψ$ normal in $ψ^{-1}(\tilde{U})$. Die neuen
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Quotienten sind $ψ^{-1}(\tilde{U})/N_{i-1} ≅ \tilde{U}$ --- zyklisch von
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Primzahlordnung --- und $N_i/ψ^{-1}(\tilde{U}) ≅ Q/\tilde{U}$ --- Abelsch und
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echt kleiner als $Q$. Weil die Gruppe $G$ endlich ist, bricht dieser
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Verfeinerungsprozess nach endlich vielen Schritten ab; am Ende sind alle
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Quotienten zyklisch von Primzahlordnung.
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}
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Wenn eine Auflösungskette wie in \vref{Satz_Aufloesungskette} gegeben ist,
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dann kommt $ℤ/(p)$ als Quotient genauso oft vor, wie $p$ die Gruppenordnung
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||
$|G|$ teilt. Über die Reihenfolge kann man aber nur wenig sagen.
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||
\end{bemerkung}
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\section{Einfache Gruppen: hier teilt und herrscht garantiert niemand}
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\sideremark{Vorlesung 22}Es gibt natürlich Gruppen, bei denen die
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Auflösungsstrategie völlig versagt. Das absolute Gegenteil einer „auflösbaren
|
||
Gruppe“ ist eine Gruppe, die überhaupt keinen Normalteiler hat --- und damit
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||
auch keinen interessanten Gruppenmorphismus in irgendeine andere Gruppe.
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||
\begin{definition}[Einfache Gruppe, \mathlib{GroupTheory/Subgroup/Simple.html\#IsSimpleGroup}]
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||
Eine Gruppe $G$ heißt \emph{einfach}\index{Gruppe!einfach|textbf}, wenn $\{e \}$ und
|
||
$G$ die einzigen Normalteiler sind.
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||
\end{definition}
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||
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||
\begin{bsp}\label{bsp:abpe}
|
||
Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist die Quotientengruppe $ℤ/(p)$ einfach.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
Das Wort „einfach“ ist historisch begründet. Es bedeutet nicht „leicht zu
|
||
verstehen“, sondern „mithilfe der Auflösungsstrategie nicht weiter zu zerlegen“.
|
||
Vielleicht hätte man statt des missverständlichen Wortes „einfach“ besser von
|
||
„atomaren“ Gruppen sprechen sollen. Aber auf mich hört ja niemand.
|
||
|
||
\begin{rem}
|
||
Wenn man alle endlichen Gruppen klassifizieren oder durch Auflösung
|
||
beschreiben will, muss man zumindest alle einfachen Gruppen\index{Gruppe!einfach} gut kennen ---
|
||
dies sind die Bausteine, aus denen alle anderen Gruppen zusammengesetzt sind.
|
||
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups}{Tatsächlich
|
||
sind die einfachen, nicht-abelschen Gruppen inzwischen klassifiziert}. Dazu
|
||
berichtet
|
||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Endliche_einfache_Gruppe}{Wikipedia}
|
||
sinngemäß:
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||
\begin{itemize}
|
||
\item Die Herleitung des Klassifikationssatzes war eines der umfangreichsten
|
||
Projekte der Mathematikgeschichte. Der Beweis verteilt sich auf über 500
|
||
Fachartikel mit zusammen fast 15.000 gedruckten Seiten. Es sind aber nicht
|
||
alle Beweise auch publiziert worden. Über 100 Mathematiker waren von Ende
|
||
der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.
|
||
|
||
\item Nach der „Fertigstellung“ des Beweises um 1980 ist von führenden
|
||
Mathematikern des Klassifikationsprogramms […] ein Programm aufgenommen
|
||
worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei
|
||
sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere
|
||
Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich
|
||
allerdings als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein
|
||
Beweis erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war.
|
||
|
||
\item Ronald Solomon, Richard Lyons und Daniel Gorenstein begannen 1994 eine
|
||
auf 12 Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS Projekt), das bei der
|
||
American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich \sout{2023}
|
||
niemals abgeschlossen sein wird.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{rem}
|
||
|
||
Beispiele von einfachen Gruppen sind gar nicht so leicht zu finden. Für die
|
||
Anwendungen der Galoistheorie ist der folgende Satz von zentraler Bedeutung.
|
||
|
||
\begin{satz}[Alternierende Gruppen sind meistens einfach, \mathlib{GroupTheory/SpecificGroups/Alternating/Simple.html\#alternatingGroup.isSimpleGroup}]\label{Satz_alternierende_Gruppe}\index{alternierende Gruppe!Einfachheit|textbf}\index{symmetrische Gruppe}\index{Gruppe!auflösbar}
|
||
Die alternierende Gruppe $A_n$ ist einfach, wenn $n = 3$ oder $n ≥ 5$ ist. Insbesondere
|
||
ist die Permutationsgruppe $S_n$ für $n ≥ 5$ \emph{nicht} auflösbar.
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
Der Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe} verwendet folgendes Lemma.
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||
|
||
\begin{lemma}[\mathlib{GroupTheory/SpecificGroups/Alternating/Simple.html\#Equiv.Perm.IsThreeCycle.alternating_normalClosure}]\label{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}\index{Zykel}\index{Transposition}
|
||
Es sei $n ≥ 5$. Wenn $N ⊆ A_n$ eine normale Untergruppe ist, die zusätzlich
|
||
noch einen 3-Zyklus enthält, dann ist $N = A_n$.
|
||
\end{lemma}
|
||
\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Hilfssatz_algernierende_Gruppe}, \video{22-1}]
|
||
Es sei $σ := (a\:b\:c) ∈ N$ der gegebene 3-Zykel.
|
||
|
||
\schritt{Schritt 1: Austausch des dritten Eintrags.} Es sei $(a\:b\:d)$ ein
|
||
weiterer 3-Zykel. Wähle ein Element $d' ∉ \{a, b, c, d\}$; das geht, weil $n
|
||
≥ 5$ ist. Setze
|
||
\begin{equation*}
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||
τ_1 = (a\:b)(c\:d') \quad\text{und}\quad τ_2 = (a\:b)(d'\:d).
|
||
\end{equation*}
|
||
Beide Elemente liegen als Produkte von zwei Transpositionen in $A_n$. Mit der
|
||
üblichen Formel für die Konjugation von Zykeln rechnet man nach, dass
|
||
\begin{equation*}
|
||
τ_2·τ_1·σ·τ_1^{-1}·τ_2^{-1} = (a\:b\:d)
|
||
\end{equation*}
|
||
ist. Als Konjugierte des Elementes $σ ∈ N$ mit Elementen von $A_n$ liegt
|
||
$(a\:b\:d)$ in $N$, weil $N$ normal ist.
|
||
|
||
\schritt{Schritt 2: Jeder 3-Zykel liegt in $N$.} Wiederhole Schritt~1: Weil
|
||
man einen 3-Zykel zyklisch umschreiben kann, $(a\:b\:d) = (b\:d\:a)$, lässt
|
||
sich durch mehrfachen Austausch des jeweils dritten Eintrags jeder beliebige
|
||
3-Zykel aus $(a\:b\:c)$ erzeugen. Also liegen alle 3-Zykel in $N$.
|
||
|
||
\schritt{Schritt 3: Produkte von zwei disjunkten Transpositionen.}
|
||
Wenn $(α\:β)(γ\:δ)$ ein Produkt von zwei disjunkten Transpositionen ist, dann
|
||
rechnet man nach, dass
|
||
\begin{equation*}
|
||
(α\:β)(γ\:δ) = (α\:γ\:β)·(α\:γ\:δ)
|
||
\end{equation*}
|
||
ist --- ein Produkt von zwei 3-Zykeln, das nach Schritt~2 in $N$ liegt.
|
||
|
||
\schritt{Schritt 4: Produkte von zwei nicht-disjunkten Transpositionen.} Wenn
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$(α\:β)(β\:γ)$ ein Produkt von zwei verschiedenen, nicht-disjunkten
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Transpositionen ist, dann ist
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\begin{equation*}
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(α\:β)(β\:γ) = (α\:β\:γ)
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\end{equation*}
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ein 3-Zykel und liegt nach Schritt~2 in $N$.
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Insgesamt: Jedes Element von $A_n$ lässt sich als Produkt von geradzahlig
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vielen Transpositionen schreiben. Fasse die Transpositionen paarweise
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zusammen; jedes Paar ist entweder trivial oder liegt nach den Schritten~3 und
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4 in $N$. Also liegt jedes Element von $A_n$ in $N$, das heißt $N = A_n$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_alternierende_Gruppe}]
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Die Gruppe $A_2$ ist trivial, $A_2 = \{e \}$. Die Gruppe $A_3$ ist isomorph
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zu $ℤ/(3)$; zum Beweis schreibe man sich die Gruppe einfach hin. Wir hatten
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schon in Beispiel~\ref{bsp:abpe} gesehen, dass die Gruppe $ℤ/(3)$ einfach ist.
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Den Fall $n ≥ 5$ behandeln wir im \video{22-2}. Es sei also $n ≥ 5$ und es sei
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$\{e\} ≠ N ⊆ A_n$ eine normale Untergruppe; wir müssen zeigen, dass $N = A_n$
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ist. Wähle ein Element $σ ∈ N ∖ \{e\}$, das \emph{möglichst wenige} Elemente
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bewegt. Ziel: Wir zeigen, dass $σ$ ein 3-Zykel ist; dann sagt
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Lemma~\vref{Hilfssatz_algernierende_Gruppe} sofort $N = A_n$. Wir
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unterscheiden nach der Anzahl der bewegten Elemente.
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\schritt{Fall 0: $σ$ bewegt genau zwei Elemente.} Dann ist $σ$ eine
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Transposition, also eine ungerade Permutation und damit nicht in $A_n$ ---
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dieser Fall tritt nicht auf.
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\schritt{Fall 1: $σ$ bewegt genau drei Elemente.} Dann ist $σ$ ein 3-Zykel und
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wir sind fertig.
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\schritt{Fall 2: $σ$ bewegt genau vier Elemente.} Ein 4-Zykel ist eine
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ungerade Permutation; also ist $σ$ von der Form $σ = (a\:b)(c\:d)$. Wegen $n
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≥ 5$ gibt es ein Element $e ∉ \{a,b,c,d\}$. Betrachte den 3-Zykel $τ :=
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(c\:d\:e) ∈ A_n$ und
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\begin{equation*}
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\bar{σ} := τ·σ·τ^{-1} = (a\:b)(d\:e).
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\end{equation*}
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Weil $N$ normal ist, liegt $\bar{σ}$ in $N$, also auch das Element
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$\bar{σ}^{-1}·σ = (c\:e\:d)$. Dieser 3-Zykel bewegt nur drei Elemente ---
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Widerspruch zur Wahl von $σ$! Auch dieser Fall tritt also nicht auf.
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\schritt{Fall 3: $σ$ bewegt mehr als vier Elemente.} Schreibe $σ$ als Produkt
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von disjunkten Zykeln, sortiert nach absteigender Länge, und bezeichne die
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ersten vier bewegten Elemente in dieser Darstellung mit $a$, $b$, $c$, $d$;
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also zum Beispiel $σ = (a\:b\:c\:d\:…)⋯$ oder $σ = (a\:b\:c)(d\:…)⋯$ oder $σ =
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(a\:b)(c\:d)(e\:f)⋯$ Setze $τ := (b\:c\:d) ∈ A_n$ und
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\begin{equation*}
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\bar{σ} := τ·σ·τ^{-1} ∈ N.
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\end{equation*}
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Wegen $\bar{σ}(a) = τ(σ(a)) = τ(b) = c ≠ b = σ(a)$ ist $\bar{σ} ≠ σ$, also ist
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$π := \bar{σ}^{-1}·σ ∈ N$ nicht die Identität. Direktes Nachrechnen in den
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möglichen Fällen zeigt jeweils, dass $π$ echt weniger Elemente bewegt als
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$σ$\footnote{Zum Beispiel: Für einen 5-Zykel $σ = (a\:b\:c\:d\:e)$ ist $π =
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(a\:d\:b)$; für $σ = (a\:b\:c\:d)(e\:f)$ ist $π = (a\:d\:b)$; für $σ =
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(a\:b\:c)(d\:e\:f)$ ist $π = (a\:f\:c\:d\:b)$, bewegt also fünf von sechs
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Elementen; für $σ = (a\:b)(c\:d)(e\:f)⋯$ ist $π = (a\:d)(b\:c)$. Beachte,
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dass Permutationen in $A_n$, die genau fünf Elemente bewegen, stets 5-Zykel
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sind.} --- wieder ein Widerspruch zur Wahl von $σ$. Dieser Fall tritt also
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ebenfalls nicht auf, und $σ$ ist ein 3-Zykel.
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\end{proof}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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