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\chapter{Die Sätze von Sylow}
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\label{chap:18}
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\sideremark{Vorlesung 20}Die Sätze von Sylow sind ganz wesentliche Aussagen zur
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Struktur endlicher Gruppen. Im Kern geht es um folgenden Punkt: gegeben eine
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endliche Gruppe $G$ und eine Untergruppe $H ⊂ G$. Dann wissen wir schon,
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dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Aber existiert zu jedem Teiler von $|G|$
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auch tatsächlich eine Untergruppe? Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze
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von
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Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter
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Ludwig Mejdell Sylow} (* 12.~Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; †
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7.~September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
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Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
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\begin{notation}
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Im Folgenden sei $p$ stets eine Primzahl.
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\end{notation}
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\section{Das zentrale Schlüssellemma und der Satz von Cauchy}
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Die zentrale Beobachtung, auf der der ganze Inhalt dieses Kapitels aufbaut, ist
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die folgende.
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\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma, \mathlib{GroupTheory/PGroup.html\#IsPGroup.card_modEq_card_fixedPoints}]\label{lem:zsl}\index{zentrales Schlüssellemma|textbf}%
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Es sei $m ∈ ℕ$ und es sei $p$ eine Primzahl. Weiter sei $G$ eine Gruppe
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der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$ operiert. Weiter sei
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\begin{equation*}
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M_0 = \{ m ∈ M \::\: \forall g ∈ G: g· m = m \}
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\end{equation*}
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die Menge der Fixpunkte. Dann ist
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$|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Wir betrachten die $G$-Wirkung auf $M$ und interessieren uns für diejenigen
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Bahnen, die mehr als ein Element haben. Wir bezeichnen diese Bahnen mit
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$B_1, …, B_n$. Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt:
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\begin{equation*}
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|M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|.
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\end{equation*}
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Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass
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die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind. Also ist $|B_i|$ ein
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Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung $|M| \equiv |M_0|
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\:\:(\operatorname{mod} p)$.
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\end{proof}
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Der Satz von
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Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis
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Cauchy} (* 21.~August 1789 in Paris; † 23.~Mai 1857 in Sceaux) war ein
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französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
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endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter
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Ordnung zu beweisen.
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\begin{satz}[Satz von Cauchy, \leanlink{cauchy}, \mathlib{GroupTheory/Perm/Cycle/Type.html\#exists_prime_orderOf_dvd_card}]\label{Satz_von_Cauchy}\index{Cauchy, Satz von|textbf}
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Wenn die Ordnung einer endlichen Gruppe durch $p$ teilbar ist, dann existiert
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ein Element von Ordnung $p$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei $G$ die Gruppe. Betrachte die Menge
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\begin{equation*}
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M = \bigl\{ (a_1, …, a_p) ∈ G⨯ ⋯ ⨯ G \::\: a_1· a_2 ⋯ a_p = e \bigr\}.
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\end{equation*}
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Gegeben ein Tupel $(a_1, …, a_p) ∈ M$, dann stellen wir erst einmal fest, dass
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der letzte Eintrag des Tupels durch die ersten Einträge eindeutig bestimmt
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ist, $a_p = (a_1⋯ a_{p-1})^{-1}$. Wir erhalten die folgende Gleichung,
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\begin{equation}\label{eq:x78}
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|M| = |G^{p-1}| = |G|^{p-1}.
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\end{equation}
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Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das
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zentrale Schlüssellemma anwenden. Dazu lassen wir die zyklische Gruppe
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$ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische
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Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch $b· a =
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e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch die
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zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, …
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auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge dieser Wirkung ist
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\[
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M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}.
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\]
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Wegen $(e, …, e) ∈ M_0$ ist schon einmal klar, dass $M_0 ≠ ∅$ ist. Auf der
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anderen Seite folgt aus dem zentralen Schlüssellemma, dass
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\[
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|M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M|
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\overset{\eqref{eq:x78}}{\equiv} |G|^{p-1} \equiv 0 \:\: (\operatorname{mod}
|
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p)
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\]
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ist. Also existiert mindestens ein $a ≠ e$ mit $a^p=e$. Nach
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Satz~\vref{Satz_Seite_163} hat $a$ dann automatisch die Ordnung $p$.
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\end{proof}
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\section{\texorpdfstring{$p$}{p}-Gruppen und \texorpdfstring{$p$}{p}-Sylowuntergruppen}
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Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen
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besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzt. Die
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folgende Definition beschreibt den Extremfall.
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\begin{definition}[$p$-Gruppe, \mathlib{GroupTheory/PGroup.html\#IsPGroup}]
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Es sei $p$ eine Primzahl. Eine Gruppe $G$ heißt
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\emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe@$p$-Gruppe|textbf}, wenn die Ordnung jedes Elements
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eine Potenz von $p$ ist.
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\end{definition}
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\begin{satz}[An der Gruppenordnung sollt ihr sie erkennen, \mathlib{GroupTheory/PGroup.html\#IsPGroup.iff_card}]\index{p-Gruppe@$p$-Gruppe}
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Eine endliche Gruppe ist genau dann eine $p$-Gruppe, wenn es eine Zahl $n ∈ ℕ$
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gibt, sodass $|G|=p^n$ ist.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$
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teilt, also eine Potenz von $p$. Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann
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gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt. Nach
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Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} („Satz von Cauchy“) gibt es dann aber auch ein
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Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein.
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\end{proof}
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\begin{satz}[\mathlib{GroupTheory/PGroup.html\#IsPGroup.center_nontrivial}]\label{satz:18-2-3}\index{Zentrum}%
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Jede endliche $p$-Gruppe $G ≠ \{e\}$ hat ein nicht-triviales Zentrum.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wie in Beispiel~\vref{bsp:konju} betrachten wir die Wirkung von $G$ auf sich
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selbst durch Konjugation. Die Fixpunkte dieser Wirkung bilden gerade das
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Zentrum von $G$. Wir wissen aus dem zentralen Schlüssellemma~\ref{lem:zsl},
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dass
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\begin{equation*}
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|\Zentralisator(G)| \equiv |G| \equiv 0 \:\:(\operatorname{mod} p).
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\end{equation*}
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Aus $e ∈ \Zentralisator(G)$ folgt dann wieder $|\Zentralisator(G)| ≥ p$.
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\end{proof}
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Wenn eine gegebene Gruppe $G$ keine $p$-Gruppe ist, dann ist das dumm. In
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dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$
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enthalten sind. Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich
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besonders gut.
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\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe, \mathlib{GroupTheory/Sylow.html\#Sylow}]\label{defn:pSUG}%
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Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von
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$G$}\index{Sylowuntergruppe|textbf} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$.
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}
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In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet „maximal“ natürlich „maximal bezüglich
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Inklusion“. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil $\{e\}$ eine
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$p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die Existenz von
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$p$-Sylowuntergruppen klar.
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\end{bemerkung}
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\begin{lem}[\mathlib{GroupTheory/Sylow.html\#Sylow.normal_of_subsingleton}]\index{Sylowuntergruppe}
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Es sei $G$ eine endliche beliebige Gruppe, es sei $G_p$ eine
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$p$-Sylowuntergruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element. Dann ist die Untergruppe
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$g·G_p·g^{-1} ⊆ G$ wieder eine $p$-Sylowuntergruppe. Insbesondere gilt: wenn
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es in $G$ nur eine $p$-Sylowuntergruppe $G_p$ gibt, dann ist $G_p$ ein
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Normalteiler von $G$.
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Die Gruppen $G_p$ und $g·G_p·g^{-1}$ haben gleich viele Elemente. Um zu
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zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ eine $p$-Sylowuntergruppe ist, müssen wir also nur
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zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ maximal ist. Sei also $H ⊆ G$ eine $p$-Gruppe,
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die $g·G_p·g^{-1}$ enthält. Dann ist $G_p ⊆ g^{-1}·H·g ≅ H$. Also ist
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$g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[\mathlib{GroupTheory/Sylow.html\#Sylow.card_quotient_normalizer_modEq_card_quotient}]\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}\index{Normalisator}%
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Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$. Wie in
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Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$. Dann
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gilt
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\begin{equation*}
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[G:U] \equiv [N(U):U] \:\:(\operatorname{mod} p).
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\end{equation*}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Betrachte die Menge $M$ der Linksnebenklassen,
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\[
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M := \{ g·U \::\: g ∈ G\}.
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\]
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Die Gruppe $U$ wirkt durch Linksmultiplikation auf dieser Menge
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\[
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||
U\times M \to M, \quad (u, g·U) \mapsto (u·g)·U.
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||
\]
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Wie immer sei $M_0 ⊆ M$ die Menge der Fixpunkte dieser Wirkung. Wann ist eine
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Nebenklasse $g·U$ ein Fixpunkt dieser Wirkung? Antwort: es ist
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\begin{align*}
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g·U ∈ M_0 & ⇔ \forall u ∈ U: u·g·U = g·U \\
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& ⇔ \forall u ∈ U: g^{-1}·u·g ∈ U \\
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||
& ⇔ g^{-1}·U·g = U \\
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||
& ⇔ g ∈ N(U).
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\end{align*}
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Also ist
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\[
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[N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Schlüssel-Lemma~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U]. \qedhere
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\]
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\end{proof}
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\begin{kor}[\mathlib{GroupTheory/Sylow.html\#Sylow.prime_dvd_card_quotient_normalizer}]
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Mit den gleichen Voraussetzungen wie in
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Satz~\ref{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze} gilt: wenn $p$ den Index $[G:U]$
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teilt, dann ist $U ⊊ N(U)$.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Es ist auf jeden Fall $e·U ∈ M_0$, also ist $|M_0| ≥ 1$. Wegen der
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zusätzlichen Voraussetzung ist dann sogar $|M_0| ≥ p$.
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\end{proof}
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\section{Die Sätze von Sylow}
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Die Sätze von Sylow\index{Sylow, Sätze von|textbf} geben Auskunft über Existenz von
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$p$-Sylowuntergruppen in gegebenen endlichen Gruppen. Sie geben auch Auskunft
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darüber, wie die Gruppen ineinander enthalten sind.
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\begin{satz}[Erster Sylow-Satz, \mathlib{GroupTheory/Sylow.html\#Sylow.exists_subgroup_card_pow_prime}]\label{Satz_Sylow_Eins}\index{Sylow, Sätze von!erster|textbf}
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Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Schreibe $|G| = p^n· m$, wobei $p \nmid m$
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sei. Dann gelten folgende Aussagen.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_Sylow_erster_1} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n\}$ existiert
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eine $p$-Untergruppe von $G$ der Ordnung $pⁱ$.
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\item\label{Satz_Sylow_erster_2} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n-1\}$ gilt: Jede
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Untergruppe der Ordnung $pⁱ$ ist Normalteiler einer Untergruppe der Ordnung
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$p^{i+1}$.
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\end{enumerate}
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Insbesondere hat jede $p$-Sylowuntergruppe von $G$ die Ordnung $p^n$.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{20-1}]
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Es genügt, die Teilaussage~\ref{Satz_Sylow_erster_2} zu zeigen; die
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Teilaussage~\ref{Satz_Sylow_erster_1} folgt dann per Induktion: Für $i = 0$
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nimmt man die triviale Untergruppe $\{e\}$, und \ref{Satz_Sylow_erster_2}
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bettet jede Untergruppe der Ordnung $pⁱ$ mit $i < n$ in eine Untergruppe der
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Ordnung $p^{i+1}$ ein.
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Sei also ein Index $0 ≤ i < n$ gegeben und sei $U ⊆ G$ eine Untergruppe der
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Ordnung $pⁱ$. Der Index $[G:U] = p^{n-i}·m$ ist wegen $i < n$ durch $p$
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teilbar, also sagt Lemma~\vref{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}:
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\begin{equation*}
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0 \equiv [G:U] \equiv [N(U):U] \:\:(\operatorname{mod} p).
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\end{equation*}
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Die Untergruppe $U$ ist ein Normalteiler ihres Normalisators $N(U)$; betrachte
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die Restklassengruppe
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\begin{equation*}
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q : N(U) → \factor{N(U)}{U}.
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\end{equation*}
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Die Ordnung dieser Gruppe ist $[N(U):U]$, also durch $p$ teilbar. Nach dem
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Satz von Cauchy, Satz~\vref{Satz_von_Cauchy}, gibt es in $N(U)/U$ deshalb eine
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zyklische Untergruppe $H$ der Ordnung $p$.
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Dann ist die Urbildmenge $q^{-1}(H) ⊆ N(U) ⊆ G$ eine Untergruppe, welche $U =
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\ker q = q^{-1}(e)$ enthält und die Ordnung $|U|·|H| = p^{i+1}$ hat. Außerdem
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ist $U$ normal in $q^{-1}(H)$, denn $q^{-1}(H)$ liegt im Normalisator von $U$.
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Das zeigt \ref{Satz_Sylow_erster_2}.
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Für den Zusatz sei $P$ eine $p$-Sylowuntergruppe, also eine maximale
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$p$-Untergruppe; ihre Ordnung ist $pⁱ$ für ein $i ≤ n$. Wäre $i < n$, dann
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läge $P$ nach \ref{Satz_Sylow_erster_2} in einer echt größeren $p$-Untergruppe
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--- im Widerspruch zur Maximalität. Also ist $|P| = p^n$.
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\end{proof}
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\begin{satz}[Zweiter Sylow-Satz, \mathlib{GroupTheory/Sylow.html\#Sylow.isPretransitive_of_finite}]\label{Satz_Sylow_Zwei}\index{Sylow, Sätze von!zweiter|textbf}
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Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Zu jeder $p$-Untergruppe $U ⊂ G$ und zu
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jeder $p$-Sylowuntergruppe $P ⊆ G$ existiert ein $g ∈ G$, sodass
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$g·U·g^{-1} ⊂ P$ ist. Insbesondere sind je zwei $p$-Sylowuntergruppen von $G$
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zueinander konjugiert.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{20-2}]
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Schreibe $|G| = p^n·m$ mit $p \nmid m$. Nach dem Zusatz zum ersten
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Sylow-Satz, Satz~\vref{Satz_Sylow_Eins}, ist $|P| = p^n$, also $[G:P] = m$.
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||
Die $p$-Gruppe $U$ wirkt durch Linksmultiplikation auf der Menge der
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Nebenklassen
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\begin{equation*}
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M = \{ g·P \::\: g ∈ G \}.
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\end{equation*}
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Es sei $M_0 ⊆ M$ die Teilmenge der Fixpunkte dieser Wirkung. Das
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zentrale Schlüssellemma~\vref{lem:zsl} sagt:
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\begin{equation*}
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|M_0| \equiv |M| = [G:P] = m \not\equiv 0 \:\:(\operatorname{mod} p).
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||
\end{equation*}
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Die Wirkung hat also einen Fixpunkt: Es gibt ein $g ∈ G$ mit
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\begin{equation*}
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\forall u ∈ U:\: u·g·P = g·P
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\quad⇒\quad \forall u ∈ U:\: g^{-1}·u·g ∈ P
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||
\quad⇒\quad g^{-1}·U·g ⊆ P.
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||
\end{equation*}
|
||
Nach Umbenennung von $g^{-1}$ in $g$ ist das die Behauptung. Wenn $U$ selbst
|
||
eine $p$-Sylowuntergruppe ist, dann haben $g·U·g^{-1}$ und $P$ beide die
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||
Ordnung $p^n$; aus $g·U·g^{-1} ⊆ P$ folgt dann die Gleichheit, und die beiden
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Sylowuntergruppen sind konjugiert.
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||
\end{proof}
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||
\begin{satz}[Dritter Sylow-Satz, \mathlib{GroupTheory/Sylow.html\#card_sylow_modEq_one}]\label{Satz_Sylow_Drei}\index{Sylow, Sätze von!dritter|textbf}
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||
Sei $s_p$ die Anzahl der verschiedenen $p$-Sylowuntergruppen einer endlichen
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||
Gruppe $G$. Dann ist $s_p$ ein Teiler von $|G|$. Weiterhin ist
|
||
$s_p \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} p)$.
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||
\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{20-3}]
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||
Wir müssen zwei Aussagen zeigen: erstens $s_p \,\bigl|\, |G|$ und zweitens
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||
$s_p \equiv 1 \:(\operatorname{mod} p)$.
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||
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\schritt{Beweis der ersten Aussage.} Die Gruppe $G$ wirkt auf der Menge ihrer
|
||
Untergruppen durch Konjugation, $(g, U) ↦ g·U·g^{-1}$. Konjugierte von
|
||
$p$-Sylowuntergruppen sind wieder $p$-Sylowuntergruppen, und nach dem zweiten
|
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Sylow-Satz, Satz~\vref{Satz_Sylow_Zwei}, sind je zwei $p$-Sylowuntergruppen
|
||
zueinander konjugiert. Das bedeutet: Die Menge der $p$-Sylowuntergruppen ist
|
||
exakt \emph{eine} Bahn dieser $G$-Wirkung! Nach der Bahnengleichung,
|
||
Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, ist die Größe $s_p$ dieser Bahn ein Teiler
|
||
von $|G|$.
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||
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||
\schritt{Beweis der zweiten Aussage.} Wähle eine feste $p$-Sylowuntergruppe
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||
$P$. Die $p$-Gruppe $P$ wirkt durch Konjugation auf der Menge $M$ der
|
||
$p$-Sylowuntergruppen von $G$; nach dem zentralen
|
||
Schlüssellemma~\vref{lem:zsl} ist
|
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\begin{equation*}
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||
s_p = |M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p),
|
||
\end{equation*}
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||
wobei $M_0$ die Menge der Fixpunkte der Wirkung bezeichnet. Es genügt also zu
|
||
zeigen, dass die Wirkung genau einen Fixpunkt hat. Ein Fixpunkt ist
|
||
offensichtlich: die Gruppe $P$ selbst.
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||
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Es sei jetzt $Q$ irgendeine $p$-Sylowuntergruppe, die unter der Wirkung fix
|
||
ist, also
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\begin{equation*}
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\forall p ∈ P: \: p·Q·p^{-1} = Q
|
||
\quad⇒\quad P ⊆ N(Q).
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||
\end{equation*}
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||
Wir haben also eine Gruppe $N(Q)$ mit zwei Untergruppen $P$ und $Q$, die beide
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||
sogar $p$-Sylowuntergruppen von $N(Q)$ sind: Jede $p$-Untergruppe von $N(Q)$,
|
||
die eine der beiden enthält, ist nämlich auch eine $p$-Untergruppe von $G$,
|
||
und dort sind $P$ und $Q$ maximal. Nach dem zweiten Sylow-Satz, angewendet auf
|
||
die Gruppe $N(Q)$, sind $P$ und $Q$ in $N(Q)$ zueinander konjugiert: Es gibt
|
||
ein $n ∈ N(Q)$ mit $n·Q·n^{-1} = P$. Aber $Q$ ist normal in seinem
|
||
Normalisator, das heißt $n·Q·n^{-1} = Q$. Also ist $Q = P$, und die Wirkung
|
||
hat genau einen Fixpunkt.
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||
\end{proof}
|
||
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\section{Die Symmetriegruppe des Tetraeders}
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||
Um die bisherigen Ergebnisse zu illustrieren, diskutiere ich noch einmal
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||
ausführlich die Gruppe $G = S_4$, die Gruppe der Permutationen der Menge
|
||
$\{1, 2, 3, 4 \}$\index{symmetrische Gruppe}. Um später die Galoisgruppe von Polynomen $4.$ Grades
|
||
auszurechnen, interessieren wir uns besonders für die Untergruppen von $S_4$.
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||
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||
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||
\subsection{Geometrische Interpretation}
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||
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||
Geometrisch lässt sich $S_4$ als Symmetriegruppe des Tetraeders\index{Symmetriegruppe des Tetraeders} interpretieren,
|
||
wie in Abbildung~\ref{fig:tetraeder} dargestellt. Schauen Sie aber auf jeden
|
||
Fall auch einmal in den
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||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe}{Wikipedia-Eintrag zur
|
||
Tetraedergruppe}.
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||
\begin{figure}
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||
\centering
|
||
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=.75]
|
||
\def \hoeheEins {0.25}
|
||
\def \hoeheZwei {2.0}
|
||
\def \weiteEins {0.5}
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\def \weiteZwei {1.5}
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\def \labelshift {.75}
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\node [label = {180:$1$}] (1) at (-\weiteZwei,-\hoeheEins) {};
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\node [label = {270:$2$}] (2) at ( \weiteEins,-\hoeheZwei) {};
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\node [label = {000:$3$}] (3) at ( \weiteZwei-\weiteEins, \hoeheEins) {};
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\node [label = {090:$4$}] (4) at (-\weiteEins, \hoeheZwei) {};
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\foreach \X in {1,2,3,4}{
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\fill (\X) circle (0.05);
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}
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\path (1)--(2)--(3)--(4)--(2)--(1)--(3);
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\draw (4)--(1)--(2)--(3)--(4)--(2);
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\draw[dashed] (1)--(3);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Tetraeder}
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\label{fig:tetraeder}
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\end{figure}
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\subsection{Die Konjugationsklassen der Permutationsgruppe}
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Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation. Ich
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frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt. Die Antwort kennen Sie
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wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im
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Zusammenhang mit der Konstruktion von
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Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie
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Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; †
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21.~Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen diskutiert.
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Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich die
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Sache noch einmal.
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\begin{fakt}[\mathlib{GroupTheory/Perm/Cycle/Type.html\#Equiv.Perm.isConj_iff_cycleType_eq}]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der
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Partitionen\footnote{Eine Partition von $n$ ist eine aufsteigende (endliche)
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Folge von positiven, natürlichen Zahlen, deren Summe gleich $n$ ist.
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Beispiel: $(1,2,3)$ und $(3,3)$ sind Partitionen von $6$.} von $n$ und den
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Konjugationsklassen\index{Konjugationsklasse} in der Permutationsgruppe $S_n$. \qed
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\end{fakt}
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Die Bijektion sieht so aus:
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\begin{itemize}
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\item Wenn eine Permutation\index{Permutation} $σ ∈ S_n$ gegeben ist, dann kann man $σ$ immer als
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Produkt disjunkter Zykel\index{Zykel} schreiben, zum Beispiel so
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\[
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σ = (1)(56)(78)(234) ∈ S_8.
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\]
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Diese Zykel haben in unserem Beispiel die Längen 1, 2, 2 und 3. Ich erhalte
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die Partition $(1,2,2,3)$ von $8$. In der Sprache dieser Vorlesung betrachten
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wir die von $σ$ erzeugte zyklische Untergruppe $H = (σ)$. Diese Gruppe wirkt
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auf der Menge $M_8 := \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}$. Die Zykel sind dann die Bahnen\index{Bahn}
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der $H$-Wirkung auf $M_8$.
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\item Wenn zwei Permutationen $σ, τ ∈ S_n$ dieselbe Partition liefern, dann sind
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sie trivialerweise zueinander konjugiert. Statt großer Theorie erkläre ich
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das an einem Beispiel. Gegeben seien
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\[
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σ = (1)(56)(78)(234) \quad\text{und}\quad τ = (4)(17)(58)(236).
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\]
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Dann betrachte die Permutation $g ∈ S_8$ gegeben durch
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\begin{align*}
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g(1) & = 4 & g(2) & = 2 & g(3) & = 3 & g(4) & = 6 \\
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g(5) & = 1 & g(6) & = 7 & g(7) & = 5 & g(8) & = 8
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\end{align*}
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und stelle fest, dass $σ = g^{-1}·τ·g$ ist. Ich vermute, Sie durchschauen das
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System. Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt oder verrechnet.
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\item Jede Partition tritt auf. Wenn Sie mir zum Beispiel die Partition
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$(2,3,3)$ der Zahl 8 geben, dann nehme ich die Permutation
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$σ = (12)(345)(678)$.
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\end{itemize}
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Für die Permutationsgruppe $S_4$ ist die Situation in Tabelle~\ref{fig:ks4}
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zusammengefasst.
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\begin{table}
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\centering
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\begin{tabular}{*{2}{>{$}c<{$}|}l*{2}{|>{$}c<{$}}}%|>{$}r<{$}}
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\text{Partition} & \text{Repräsentant} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.25cm}|}{Geometrische\linebreak Anschauung} & \text{Ordnung} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.75cm}}{Anzahl der Elemente\linebreak in der \linebreak Konjugationsklasse}\\
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\hline
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abcd & () & Identität & 1 & 1\\ [.5em]
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aabc & (12) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_reflection_plane_RK01.png}{Spiegelung} & 2 & \binom{4}{2}=6\\[.5em]
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||
aabb & (12)(34) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_2-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Achse} & 2 & 6/2 = 3\\[.5em]
|
||
aaab & (123) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_3-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Ecke} & 3 & 4· 2 = 8\\[.5em]
|
||
aaaa & (1234) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_4-fold_rotation-reflection_axis_RK01.png}{Drehspiegelung} & 4 & 3· 2 = 6
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||
\end{tabular}
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\caption{Konjugationsklassen in $S_4$}
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\label{fig:ks4}
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\end{table}
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\subsection{Die Untergruppen von $S_4$}
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Die Gruppe $S_4$ hat Ordnung $1· 2· 3· 4 = 2³ · 3=24$. Potenzielle Untergruppen
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können also nur die folgenden Ordnungen haben.
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\begin{description}
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\item[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe $S_4$ sein.
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\item[Ordnung 12:] Die Menge $A_4$ der geraden Permutationen\index{alternierende Gruppe}, also der Kern der
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Signums-Abbildung\index{Signum}, $\operatorname{sgn} : S_4 → ℤ/(2)$, ist eine Untergruppe
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von Ordnung 12. Es ist im Moment unklar, ob weitere Untergruppen von Ordnung
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12 existieren.
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\item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen\index{Sylowuntergruppe} sein. Die Anzahl $s_2$
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der 2-Sylow\-untergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} („Dritter
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Sylow-Satz“) ein Teiler von 24 mit $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$,
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also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins}
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(„Erster Sylow-Satz“), dass jedes Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer
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2-Sylowuntergruppe enthalten ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16
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solche Elemente gibt. Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.
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Also ist $s_2 = 3$.
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\item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.
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\item[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe
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der Ordnung 4. Es ist im Moment aber unklar, ob weitere solche Untergruppen
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existieren.
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\item[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von $S_4$ sein. Diese
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Gruppen haben Ordnung 3 und alle nicht-trivialen Elemente müssen Ordnung 3
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haben. Also sind die 3-Sylowuntergruppen zyklische Gruppen, die von Drehungen
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um Ecken erzeugt werden. Es gibt 4 solcher Gruppen (denn es gibt $8$
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Drehungen, eine Gruppe enthält immer genau 2 Drehungen, und zwei zyklische
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Gruppen schneiden sich immer genau in der Einheit).
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\item[Ordnung 2] Dies sind zyklische Gruppen, die von einem Element der Ordnung
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zwei (=Spiegelung bzw. Drehung um eine Achse) erzeugt werden.
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\item[Ordnung 1] Dies muss die triviale Untergruppe $\{e\}$ sein.
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\end{description}
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Um die verbleibenden offenen Fragen zu klären, überlegt man sich am besten, wie
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man sich die 2-Sylowuntergruppe vorstellt. Wenn man in
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Abbildung~\vref{fig:tetraeder} nur den Umriss des Tetraeders betrachtet, sieht
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man, dass $D_4$\index{Diedergruppe} die Symmetriegruppe des Quadrates, eine Untergruppe von $S_4$
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ist. Wegen $|D_4| = 8$ ist das eine 2-Sylowuntergruppe. Am Tetraeder lässt
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sich diese Untergruppe als Stabilisator-Untergruppe der Achse der Drehung
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$(13)(24)$ interpretieren. Die Gruppen der Ordnung 4 findet man als
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Untergruppen von $D_4$. Die Gruppen der Ordnung 6 und 12 findet man durch
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Kombinationen der Elemente von Ordnung 3 und 2. Der Vollständigkeit halber sind
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in Tabelle~\ref{fig:ugs4} alle Möglichkeiten der Konjugationsklassen von
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Untergruppen von $S_4$ ohne Beweis aufgelistet. In der Summe sehen Sie 30
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Untergruppen.
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\begin{fazit}
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Ein Zerfällungskörper\index{Zerfällungskörper} eines Polynoms 4.\ Grades mit Galoisgruppe $S_4$ hat 30
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Zwischenkörper\index{Zwischenkörper}. \qed
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\end{fazit}
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\begin{table}
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\centering
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\begin{tabular}{>{$}c<{$}|l|c|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}}
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\text{Gruppe} & \text{geometrisch} & Ordnung & Mächtigkeit der konjugierten Gruppen\\
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\hline
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S_4 & Symmetrie des Tetraeders & 24 & 1\\
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A_4 & Drehsymmetrien & 12 & 1\\
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D_4 & Stabilisatoren von Achsen & 8 & 3\\
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S_3 & Isotropiegruppe von Ecken & 6 & 4\\
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ℤ/(4) & Drehspiegelungen & 4 & 3\\
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ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Isotropie von Achsen & 4 & 3\\
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||
ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Drehungen um alle Achsen & 4 & 1\\
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||
ℤ/(3) & Drehungen um Ecken & 3 & 4\\
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||
ℤ/(2) & Drehung um eine Achse & 2 & 3\\
|
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ℤ/(2) & Spiegelungen & 2 & 6\\
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||
\{e\} & & 1 & 1\\
|
||
\end{tabular}
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\caption{Untergruppen von $S_4$}
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\label{fig:ugs4}
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\end{table}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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