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\chapter{Der Hauptsatz der Galoistheorie}
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\label{chap:16}
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Erinnern Sie sich daran, wie wir gezeigt haben, dass gewisse
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Konstruktionsaufgaben unlösbar sind? Wir haben dazu Ketten $K ⊂ L ⊂ M$ von
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Körpern betrachtet und beobachtet, dass $[L:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist. Das
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zentrale Argument in den Nichtkonstruierbarkeitsbeweisen war dann, dass die
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relevanten Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme stets Grad $2^n$ über
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$ℚ$ haben, und dass konstruierbare Punkte Unterkörper liefern, deren Grad dann
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wohl ebenfalls eine Zweierpotenz sein muss.
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Ich habe in diesem Skript immer wieder geschrieben, dass für schwierigere
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Nichtkonstruierbarkeitsbeweise eine einfache Betrachtung von Erweiterungsgraden
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nicht reicht, und dass wir Symmetrien betrachten müssen. Inzwischen ist klar,
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dass ich mit „Symmetrie“ die Galoisgruppe meine. Jetzt ist es an der Zeit zu
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sagen, wie Symmetrien genutzt werden können, um Ketten von Körpererweiterungen
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zu untersuchen. Am Ende werden wir sehen, dass die relevanten
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Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme nicht nur Grad $2^n$ über $ℚ$
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haben, sondern auch eine recht spezielle Galoisgruppe besitzen. Die
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Unterkörper, die von konstruierbaren Punkten kommen, müssen dann ebenfalls recht
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speziell sein.
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\begin{bemerkung}
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Der Hauptsatz der Galoistheorie wird „Hauptsatz der Galoistheorie“ genannt,
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weil er in der Theorie der Galoiserweiterungen eine zentrale Rolle einnimmt.
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Es ist vielleicht eine gute Idee, diesen Satz ernst zu nehmen.
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\end{bemerkung}
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Sie finden auch im Skript \leanlink{galois} ein wenig Material zum Thema.
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\section{Fixkörper}
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Bevor wir den Hauptsatz der Galoistheorie auch nur hinschreiben, möchte ich noch
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ein besonders schönes Beispiel für Galoiserweiterungen diskutieren: die
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Fixkörper einer Menge von Körperautomorphismen. Der Beweis des folgenden Satzes
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ist eine Hausaufgabe.
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\begin{satzdef}[Invariante Elemente, Fixkörper, \mathlib{FieldTheory/Fixed.html\#FixedPoints.subfield}]\label{DefSatz_Fixkoerper}
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Sei $L$ ein Körper und $G$ eine Menge von Automorphismen $L → L$. Dann ist
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die Menge
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\begin{equation*}
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\Fix G = \{a ∈ L \::\: σ(a) = a\ \forall\ σ∈ G\}
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\end{equation*}
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ein Unterkörper von $L$, genannt \emph{Fixkörper} von $G$\index{Fixkörper|textbf}\index{*Fix@$\Fix G$ (Fixkörper)|textbf}.
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Die Elemente von $\Fix G$ heißen \emph{$G$-invariante
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Elemente}\index{invariante Körperelemente|see{Fixkörper}} von $L$. \qed
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\end{satzdef}
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Der folgende Satz von Emil
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Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (*
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3.~März 1898 in Wien; † 20.~Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer
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Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des
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20.~Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass
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Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern.
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\begin{satz}[Satz von Emil Artin, \mathlib{FieldTheory/Fixed.html\#FixedPoints.finrank_eq_card}]\label{Theorem_von_E_Artin}\index{Artin, Satz von|textbf}
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Es sei $G$ eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe eines Körpers
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$L$ und es sei $K := \Fix G $ der zugehörige Fixkörper. Dann ist $L/K$ eine
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Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) = G$. Insbesondere ist
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$[L:K] =|G|$.
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\end{satz}
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Der Beweis des Satzes von Emil Artin ist nicht trivial. Wir geben einen Beweis
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im Abschnitt~\vref{ssec:16-3}, müssen als Vorbereitung aber zuerst die lineare
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Unabhängigkeit von Charakteren beweisen. Wahrscheinlich muss ich auch noch
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erklären, was ein „Charakter“ eigentlich ist.
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\subsection{Die lineare Unabhängigkeit von Charakteren}
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Um eine gegebene Gruppe $H$ zu verstehen, kann man untersuchen, welche
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Gruppenmorphismen der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative
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Gruppe eines Körpers $L$ sein soll. Leute, die viel mit Gruppen arbeiten,
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meinen, dass solche Abbildungen die Gruppe charakterisieren. Ich finde diese
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Wortwahl nicht sehr überzeugend, aber mich fragt ja keiner.
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\begin{defn}[Charakter einer Gruppe]
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Es sei $H$ eine Gruppe, es sei $L$ ein Körper und $L^*$ sei die Gruppe der
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Einheiten aus $L$. Ein \emph{Charakter von $H$ in $L$}\index{Charakter|textbf} ist ein Gruppenmorphismus $σ : H → L^*$.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}\label{bem:16-1-4}%
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Wenn $K$ ein Körper ist, und $σ : K → L$ ein nicht-trivialer Ringmorphismus,
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dann induziert $σ$ auch einen Gruppenmorphismus
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\begin{equation*}
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σ^* : K^* → L^*.
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\end{equation*}
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Wir können (und werden!) insbesondere jeden Automorphismus $σ : L → L$ als
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linearen Charakter $L^* → L^*$ auffassen.
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\end{bemerkung}
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\begin{satz}[Lineare Unabhängigkeit von Charakteren, \mathlib{LinearAlgebra/LinearIndependent/Basic.html\#linearIndependent_monoidHom}]\label{Satz_lineare_Unabhaengigkeit_von_Charakteren}\index{lineare Unabhängigkeit von Charakteren|textbf}
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Es sei $H$ eine Gruppe und $L$ sei ein Körper. Weiter seien $σ_1, …, σ_n$
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paarweise verschiedene Charaktere von $H$ in $L$. Zusätzlich seien
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Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$ gegeben, sodass die Linearkombination
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\begin{equation*}
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ψ : H → L, \quad h ↦ \sum a_i·σ_i(h)
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\end{equation*}
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die Nullabbildung ist. Dann ist $a_1= ⋯ = a_n=0$.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{17-2}]
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Wir führen eine Induktion nach der Anzahl $n$ der Charaktere.
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\schritt{Induktionsstart, $n = 1$.} Die Werte $σ_1(y)$ liegen in $L^*$, sind
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also nie Null. Aus $a_1·σ_1(y) = 0$ folgt deshalb sofort $a_1 = 0$.
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\schritt{Induktionsschritt.} Es seien $σ_1, …, σ_n$ und $a_1, …, a_n ∈ L$ wie
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im Satz gegeben, und die Behauptung sei für kleinere Mengen von Charakteren
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schon bewiesen. Wir haben die Gleichung
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\begin{equation}\label{eq:char1}
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\sum_{i=1}^{n} a_i·σ_i(y) = 0 \quad\text{für alle } y ∈ H.
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\end{equation}
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Weil $σ_1 ≠ σ_n$ ist, existiert ein $z ∈ H$ mit $σ_1(z) ≠ σ_n(z)$. Wir
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erhalten zwei neue Gleichungen: Multiplikation von \eqref{eq:char1} mit
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$σ_n(z)$ liefert
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\begin{equation}\label{eq:char2}
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\sum_{i=1}^{n} a_i·σ_n(z)·σ_i(y) = 0 \quad\text{für alle } y ∈ H,
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\end{equation}
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und Anwendung von \eqref{eq:char1} auf die Elemente $z·y$ liefert
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\begin{equation}\label{eq:char3}
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\sum_{i=1}^{n} a_i·σ_i(z)·σ_i(y)
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= \sum_{i=1}^{n} a_i·σ_i(z·y) = 0 \quad\text{für alle } y ∈ H.
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\end{equation}
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Die Differenz von \eqref{eq:char2} und \eqref{eq:char3} ist
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\begin{equation*}
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\sum_{i=1}^{n-1} a_i·\bigl(σ_n(z) - σ_i(z)\bigr)·σ_i(y) = 0
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\quad\text{für alle } y ∈ H;
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\end{equation*}
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beachte dabei, dass der Summand für $i = n$ wegfällt. Das ist eine
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verschwindende Linearkombination der $n-1$ paarweise verschiedenen Charaktere
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$σ_1, …, σ_{n-1}$. Nach Induktionsannahme verschwinden alle Koeffizienten,
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insbesondere ist
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\begin{equation*}
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a_1·\bigl(σ_n(z) - σ_1(z)\bigr) = 0.
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\end{equation*}
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Nach Wahl von $z$ ist $σ_n(z) ≠ σ_1(z)$, also ist $a_1 = 0$. Damit wird
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\eqref{eq:char1} zu einer verschwindenden Linearkombination der $n-1$
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Charaktere $σ_2, …, σ_n$; eine weitere Anwendung der Induktionsannahme zeigt
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$a_2 = ⋯ = a_n = 0$.
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\end{proof}
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\subsection{Beweis des Satzes von Emil Artin}
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\label{ssec:16-3}\index{Artin, Satz von}
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\begin{proof}[Beweis des Satzes von Artin, Satz~\ref{Theorem_von_E_Artin}, \video{17-3}]
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Schreibe
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\[
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G = \{σ_1, …, σ_n\} ⊂ \Aut(L)
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\quad\text{und}\quad
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K = \Fix G.
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\]
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Jedes Element von $G$ lässt den Fixkörper $K$ punktweise fest, ist also ein
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$K$-Automorphismus von $L$. Das zeigt $G ⊆ \Gal(L/K)$, und mit
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Beobachtung~\vref{beob:gg} folgt
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\begin{equation*}
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n = |G| \:≤\: |\Gal(L/K)| \:≤\: [L:K].
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\end{equation*}
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Wenn wir umgekehrt $[L:K] ≤ n$ zeigen können, dann gilt in dieser Kette
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überall Gleichheit: Es ist dann $|\Gal(L/K)| = [L:K]$, die Erweiterung $L/K$
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ist nach \vref{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_3} Galoisch,
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und die Untergruppe $G ⊆ \Gal(L/K)$ stimmt aus Anzahlgründen mit der ganzen
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Galoisgruppe überein. Es bleibt also zu zeigen, dass $\dim_K L ≤ n$ ist.
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\schritt{Schritt 1: Die Spurabbildung.} Betrachte die Abbildung
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\begin{equation*}
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S : L → L, \quad a ↦ \sum_{i=1}^{n} σ_i(a).
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\end{equation*}
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Der Witz ist: Für jedes $a ∈ L$ und jedes $σ_j ∈ G$ gilt
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\begin{equation*}
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σ_j\bigl(S(a)\bigr)
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= \sum_{i=1}^{n} (σ_j◦σ_i)(a)
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= \sum_{i=1}^{n} σ_i(a) = S(a),
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\end{equation*}
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denn die Verknüpfung mit $σ_j$ permutiert die Gruppenelemente nur; die Summe
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bleibt bis auf die Reihenfolge der Summanden gleich. Also liegt $S(a)$ für
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jedes $a ∈ L$ im Fixkörper, das heißt, $S$ ist eine Abbildung $S : L → K$.
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\schritt{Schritt 2: Je $n+1$ Elemente von $L$ sind über $K$ linear abhängig.}
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Es seien $a_1, …, a_{n+1} ∈ L$ gegeben. Betrachte das lineare
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Gleichungssystem über dem Körper $L$,
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\begin{equation*}
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\sum_{k=1}^{n+1} σ_i^{-1}(a_k)·X_k = 0, \quad i = 1, …, n,
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\end{equation*}
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mit $n$ Gleichungen und $n+1$ Variablen. Aus der Linearen Algebra wissen wir,
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dass es einen nicht-trivialen Lösungsvektor $(y_1, …, y_{n+1}) ∈ L^{n+1}$
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gibt; nach Umnummerierung dürfen wir $y_1 ≠ 0$ annehmen.
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Wir dürfen zusätzlich annehmen, dass $S(y_1) ≠ 0$ ist. Betrachte dazu für $λ
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∈ L^*$ die skalierten Vektoren $(λ·y_1, …, λ·y_{n+1})$; diese sind ebenfalls
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Lösungen des Gleichungssystems. Die Funktion
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\begin{equation*}
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L^* → L, \quad λ ↦ S(λ·y_1) = \sum_{i=1}^{n} σ_i(y_1)·σ_i(λ)
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\end{equation*}
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ist eine Linearkombination der paarweise verschiedenen Charaktere $σ_1, …,
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σ_n$ mit den Koeffizienten $σ_i(y_1) ≠ 0$. Nach dem Satz über die lineare
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Unabhängigkeit von Charakteren,
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Satz~\vref{Satz_lineare_Unabhaengigkeit_von_Charakteren}, ist diese Funktion
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nicht die Nullfunktion. Wähle also $λ$ mit $S(λ·y_1) ≠ 0$ und ersetze den
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Lösungsvektor durch den skalierten Vektor.
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Jetzt wenden wir für jeden Index $i$ den Automorphismus $σ_i$ auf die
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$i$.te Gleichung an und erhalten
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\begin{equation*}
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0 = σ_i\left( \sum_{k=1}^{n+1} σ_i^{-1}(a_k)·y_k \right)
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= \sum_{k=1}^{n+1} a_k·σ_i(y_k).
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||
\end{equation*}
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Summieren über $i$ liefert
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\begin{equation*}
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0 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n+1} a_k·σ_i(y_k)
|
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= \sum_{k=1}^{n+1} a_k·\underbrace{S(y_k)}_{∈\, K}.
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\end{equation*}
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Das ist eine $K$-Linearkombination der Elemente $a_1, …, a_{n+1}$, und wegen
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$S(y_1) ≠ 0$ ist sie nicht trivial. Also sind die Elemente $a_1, …, a_{n+1}$
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über $K$ linear abhängig, und $\dim_K L ≤ n$ ist gezeigt.
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\end{proof}
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\section{Die Klassifikation endlicher Körper}
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\label{sec:klassEK}
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Bevor wir zum Hauptsatz der Galoistheorie kommen, kann ich es nicht lassen,
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Ihnen sofort eine Anwendung des Satzes von Emil Artin zu zeigen: die
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Klassifikation der endlichen Körper. Wir kennen schon einige endliche Körper:
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gegeben eine Primzahl $p ∈ ℕ$, dann haben wir den Körper $𝔽_p = ℤ/(p)$
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betrachtet. Es gibt aber noch andere.
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\begin{bsp}[Konstruktion endlicher Körper, \mathlib{FieldTheory/Finite/GaloisField.html\#GaloisField}]\label{bsp:kek}\index{Körper!endlich}
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Gegeben sei eine Primzahl $p ∈ ℕ$. Weiter sei $q$ eine Potenz von $p$, also
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eine Zahl der Form $q = p^m$ für ein geeignetes $m ∈ ℕ$. Es sei $𝔽_q$\index{*Fq@$𝔽_q$ (Körper mit $q$ Elementen)|textbf} der
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Zerfällungskörper des Polynoms $f(x) = x^q-x ∈ 𝔽_p[x]$. Ich behaupte, dass
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dieser Körper genau $q$ Elemente hat. Dazu stelle ich erst einmal fest, dass
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$f'(x) = -1$ ist. Also hat $f$ keine mehrfachen Nullstellen; es folgt, dass $f$
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genau $q$ unterschiedliche Nullstellen hat; dies zeigt schon einmal, dass
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$𝔽_q$ mindestens $q$ Elemente hat. Wir sind fertig, wenn wir zeigen, dass
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die Menge dieser Nullstellen ein Körper ist (der dann ja wohl der
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Zerfällungskörper sein muss). Dazu verwende Satz~\ref{DefSatz_Fixkoerper} und
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beachte, dass die Nullstellen von $f$ genau die Fixpunkte des iterierten
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Frobeniusmorphismus $F^{m}$ sind.
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\end{bsp}
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Der folgende Satz zeigt, dass jeder endliche Körper auf diese Weise entsteht.
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\begin{satz}[Klassifikation endlicher Körper, \mathlib{FieldTheory/Finite/GaloisField.html\#GaloisField.algEquivGaloisField}]\label{Satz_Klassifikation_endlicher_Koerper}\index{Klassifikation!endlicher Körper|textbf}\index{Frobenius-Endomorphismus}\index{Galoisgruppe!einer Körpererweiterung}
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Es sei $K$ ein endlicher Körper mit Primkörper $𝔽_p ⊆ K$. Weiter
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sei $p$ die Charakteristik von $K$ und $q$ sei die Anzahl der Elemente. Dann
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ist $q = p^{[K:𝔽_p]}$ und $K$ ist isomorph zum Körper $𝔽_q$ aus
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Beispiel~\ref{bsp:kek}. Die Galoisgruppe $\Gal(K/𝔽_p)$ ist von der Form
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$ℤ/([K:𝔽_p])$ und wird durch den Frobeniusmorphismus erzeugt.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{17-4}]
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Ein Element von $\Gal(K/𝔽_p)$ kennen wir schon aus
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Beispiel~\vref{bsp:15-1-7}: den Frobenius-Morphismus $F : K → K$. Die Gruppe
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$\Gal(K/𝔽_p)$ ist endlich, also existiert eine Zahl $m ∈ ℕ$ mit $F^m = \Id$.
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Wähle $m$ minimal mit dieser Eigenschaft. Dann sind die Potenzen $\Id_K, F,
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F², …, F^{m-1}$ paarweise verschieden\footnote{Aus $F^i = F^j$ mit $0 ≤ i < j
|
||
< m$ folgte $F^{j-i} = \Id$ mit $0 < j-i < m$, im Widerspruch zur Minimalität
|
||
von $m$.}, und
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||
\begin{equation*}
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G := \{ \Id_K, F, F², …, F^{m-1} \} ⊆ \Gal(K/𝔽_p)
|
||
\end{equation*}
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ist eine zyklische Untergruppe der Größe $m$.
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||
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||
Nach Beispiel~\vref{bsp:15-1-7} sind die einzigen Elemente von $K$, die vom
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Frobenius festgehalten werden, die Elemente von $𝔽_p$; also ist $\Fix G =
|
||
𝔽_p$. Der Satz von Artin, Satz~\vref{Theorem_von_E_Artin}, sagt jetzt:
|
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$K/𝔽_p$ ist Galoisch mit Galoisgruppe $\Gal(K/𝔽_p) = G$. Insbesondere ist
|
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\begin{equation*}
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m = |G| = [K : 𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K,
|
||
\end{equation*}
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||
die Galoisgruppe ist zyklisch von der Form $ℤ/(m)$ und wird vom Frobenius
|
||
erzeugt, und der $𝔽_p$-Vektorraum $K$ hat $q = p^m$ viele Elemente.
|
||
|
||
Es bleibt zu zeigen, dass $K$ isomorph zum Körper $𝔽_q$ aus
|
||
Beispiel~\vref{bsp:kek} ist. Für alle $a ∈ K$ gilt
|
||
\begin{equation*}
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||
a^{(p^m)} = F^m(a) = a,
|
||
\end{equation*}
|
||
das heißt, jedes Element von $K$ ist Nullstelle des Polynoms $x^{(p^m)} - x ∈
|
||
𝔽_p[x]$. Dieses Polynom vom Grad $p^m$ hat also in $K$ bereits $p^m$
|
||
verschiedene Nullstellen, nämlich sämtliche Elemente von $K$; es zerfällt
|
||
deshalb über $K$ in Linearfaktoren, und $K$ wird von den Nullstellen erzeugt.
|
||
Mit anderen Worten: $K$ ist der Zerfällungskörper des Polynoms $x^{(p^m)} - x$
|
||
über $𝔽_p$. Der Körper $𝔽_q$ ist per Konstruktion ebenfalls ein
|
||
Zerfällungskörper dieses Polynoms. Nach der Eindeutigkeit des
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||
Zerfällungskörpers, Satz~\vref{satz:13-0-3}, ist also $K ≅ 𝔽_q$.
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\end{proof}
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||
\section{Der Hauptsatz der Galoistheorie}
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\sideremark{Vorlesung 18}Jetzt kommen wir also zum Hauptsatz. Gegeben eine
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||
Körpererweiterung $L/K$ und eine Untergruppe der Galoisgruppe, dann liefert uns
|
||
die Fixkörperkonstruktion einen Zwischenkörper. Falls $L/K$ Galois ist, dann
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sagt der Hauptsatz, dass auf diese Weise eine Korrespondenz\index{Galois-Korrespondenz|see{Hauptsatz der Galoistheorie}} zwischen
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||
Untergruppen und Zwischenkörpern entsteht. Dies reduziert die Frage nach
|
||
Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem.
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||
|
||
Die Formulierung des Hauptsatzes verwendet folgende Beobachtung, die ich
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eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen.
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||
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||
\begin{obs}[Index einer Untergruppe, \mathlib{GroupTheory/Coset/Card.html\#Subgroup.card_subgroup_dvd_card}]\label{obs:Index}
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||
Es sei $G$ eine endliche Gruppe und es sei $H ⊂ G$ eine Untergruppe. Dann ist
|
||
die Zahl $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Zum Beweis definierte man eine
|
||
Äquivalenzrelation: zwei Elemente $a$ und $b$ aus $G$ seien äquivalent, wenn
|
||
es ein Element $h ∈ H$ gibt, sodass $a = h·b$ ist. Man rechne nach, dass
|
||
dies tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, und dass alle Äquivalenzklassen
|
||
die gleiche Größe haben, nämlich $|H|$. Also ist die Größe von $G$ gegeben
|
||
als $|G| = |H|·\#(\text{Äquivalenzklassen})$. Man schreibt
|
||
\[
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||
[G:H] = \factor{|G|}{|H|}
|
||
\]
|
||
und nennt diese Zahl den \emph{Index}\index{Index einer Untergruppe|textbf} der Untergruppe $H ⊂ G$.
|
||
\end{obs}
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||
|
||
\begin{satz}[Hauptsatz der Galoistheorie, \mathlib{FieldTheory/Galois/Basic.html\#IsGalois.intermediateFieldEquivSubgroup}]\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie}\index{Hauptsatz!der Galoistheorie|textbf}\index{Zwischenkörper}
|
||
Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung und es sei $G = \Gal(L/K)$ die
|
||
Galoisgruppe. Dann gilt Folgendes.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1} Für jeden Zwischenkörper
|
||
$Z$ von $L/K$ ist $\Gal(L/Z)$ eine Untergruppe von $G$. Für jede
|
||
Untergruppe $H⊂ G$ ist $\Fix{H} ⊂ L$ ein Zwischenkörper von $L/K$.
|
||
|
||
\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_2} Die so definierten
|
||
Abbildungen
|
||
\[
|
||
\begin{aligned}
|
||
\begin{matrix}
|
||
\Gal\bigl(\factor{L}{•}\bigr) &:& \{\text{Zwischenkörper}\} &→& \{\text{Untergruppen}\} \\[1mm]
|
||
&\quad& Z &↦ & \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr) \\[4mm]
|
||
\Fix(•) &:& \{\text{Untergruppen}\} &→& \{\text{Zwischenkörper}\} \\[1mm]
|
||
&\quad& H& ↦& \Fix\bigl(H\bigr)
|
||
\end{matrix}
|
||
\end{aligned}
|
||
\]
|
||
sind zueinander inverse Bijektionen.
|
||
|
||
\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_3} Die Abbildungen
|
||
$\Gal\bigl(\factor{L}{•}\bigr)$ und $\Fix(•)$ sind inklusionsumkehrend und
|
||
indexerhaltend. Präzise: wenn $H_1$ und $H_2$ Untergruppen von $G$ und wenn
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$Z_1$ und $Z_2$ Zwischenkörper sind, dann gilt Folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Falls $Z_1 ⊆ Z_2$ ist, dann ist
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\begin{align*}
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||
\Gal\bigl(\factor{L}{Z_1}\bigr) & ⊇ \Gal\bigl(\factor{L}{Z_2}\bigr) && \text{und} \\
|
||
[Z_2:Z_1] & = \left[\Gal\bigl(\factor{L}{Z_1}\bigr) : \Gal\bigl(\factor{L}{Z_2}\bigr)\right],
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
\item Falls $H_1 ⊆ H_2$ ist, dann ist
|
||
\begin{align*}
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||
\Fix{H_1} & ⊇ \Fix{H_2} && \text{und} \\
|
||
[H_2:H_1] & = [\Fix{H_1} : \Fix{H_2}].
|
||
\end{align*}
|
||
\end{itemize}
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||
\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4} Für jedes $σ ∈ G$ und
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jeden Zwischenkörper $Z$ ist $σ(Z)$ ein Zwischenkörper und es ist
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\begin{equation*}
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\Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1}.
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||
\end{equation*}
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||
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||
\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} Für einen Zwischenkörper
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$Z$ ist $Z/K$ genau dann Galoisch, wenn $\Gal(L/Z)$ eine normale Untergruppe\index{Normalteiler}
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||
von $G = \Gal(L/K)$ ist, das heißt, wenn für alle $σ∈ G$
|
||
\begin{equation*}
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||
σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1} = \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)
|
||
\end{equation*}
|
||
ist. Wenn dies der Fall sein sollte, dann ist
|
||
\begin{equation*}
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||
\Gal\bigl(\factor{Z}{K}\bigr) ≅ \factor{\Gal\bigl(\factor{L}{K}\bigr)}{\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)}.
|
||
\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{18-1} und \video{18-2}]
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Ich beweise die
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Teilaussagen~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1}--\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4}.
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\schritt{Beweis von \ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_1}.} Gegeben sei
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ein Zwischenkörper $K ⊆ Z ⊆ L$. Dann ist klar, dass $\Gal(L/Z) ⊆ \Gal(L/K)$
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eine Untergruppe ist, denn jeder $Z$-Morphismus ist ein $K$-Morphismus.
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Gegeben eine Untergruppe $H ⊆ \Gal(L/K)$, dann ist $\Fix H$ nach
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\vref{DefSatz_Fixkoerper} ein Unterkörper von $L$; er enthält $K$, weil alle
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Elemente von $H$ den Körper $K$ punktweise festlassen.
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\schritt{Beweis von \ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_2}.} Wir müssen
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zwei Aussagen zeigen: Für jede Untergruppe $H ⊆ \Gal(L/K)$ ist $H =
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\Gal\bigl(L/\Fix H\bigr)$, und für jeden Zwischenkörper $Z$ ist $Z =
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\Fix\bigl(\Gal(L/Z)\bigr)$.
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Die erste Aussage ist genau der Satz von Emil Artin,
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Satz~\vref{Theorem_von_E_Artin}. Für die zweite Aussage ist die Inklusion $Z
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⊆ \Fix\bigl(\Gal(L/Z)\bigr)$ klar. Nach
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Beispiel~\vref{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1} ist $L/Z$
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Galoisch, und mit dem Satz von Artin folgt
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\begin{equation*}
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||
\Bigl[L : \Fix\bigl(\Gal(L/Z)\bigr)\Bigr]
|
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= |\Gal(L/Z)|
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||
= [L:Z].
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||
\end{equation*}
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||
Mit der Gradformel folgt $\bigl[\Fix\bigl(\Gal(L/Z)\bigr) : Z\bigr] = 1$, also
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die behauptete Gleichheit.
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\schritt{Beweis von \ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_3}.} Die
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Inklusionsumkehrung ist in beiden Richtungen klar: Für Untergruppen $H_1 ⊆
|
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H_2$ ist
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\begin{equation*}
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||
\Fix(H_1) = \{a ∈ L \::\: σ(a) = a\ \forall σ ∈ H_1\}
|
||
\:⊇\: \{a ∈ L \::\: σ(a) = a\ \forall σ ∈ H_2\} = \Fix(H_2),
|
||
\end{equation*}
|
||
und für Zwischenkörper $Z_1 ⊆ Z_2$ ist jeder $Z_2$-Morphismus insbesondere ein
|
||
$Z_1$-Morphismus, also $\Gal(L/Z_1) ⊇ \Gal(L/Z_2)$. Für die Indexerhaltung
|
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rechnen wir mit der Gradformel, Satz~\vref{satz:3-6-1}, und dem Satz von
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Artin:
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\begin{equation*}
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[Z_2 : Z_1]
|
||
= \frac{[L:Z_1]}{[L:Z_2]}
|
||
= \frac{|\Gal(L/Z_1)|}{|\Gal(L/Z_2)|}
|
||
= \bigl[\Gal(L/Z_1) : \Gal(L/Z_2)\bigr].
|
||
\end{equation*}
|
||
Die analoge Aussage für Untergruppen $H_1 ⊆ H_2$ folgt genauso, wenn man
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||
mithilfe von \ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_2} die Gruppen $H_i$
|
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als $\Gal(L/\Fix H_i)$ schreibt.
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\schritt{Beweis von \ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4}.} Gegeben
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seien ein Zwischenkörper $Z$ und ein $σ ∈ \Gal(L/K)$; die Bildmenge $σ(Z)$ ist
|
||
offenbar wieder ein Zwischenkörper. Ich zeige zuerst die Inklusion
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\begin{equation*}
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||
σ(Z) \:⊆\: \Fix\bigl( σ◦\Gal(L/Z)◦σ^{-1} \bigr).
|
||
\end{equation*}
|
||
Seien dazu ein $a ∈ σ(Z)$ und ein Element $σ◦τ◦σ^{-1} ∈ σ◦\Gal(L/Z)◦σ^{-1}$
|
||
gegeben. Schreibe $a = σ(b)$ mit $b ∈ Z$; dann ist
|
||
\begin{equation*}
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||
(σ◦τ◦σ^{-1})(a) = σ\bigl(τ(b)\bigr) = σ(b) = a,
|
||
\end{equation*}
|
||
denn $τ ∈ \Gal(L/Z)$ lässt das Element $b ∈ Z$ fest. Zusätzlich gilt
|
||
\begin{equation*}
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||
\bigl|σ◦\Gal(L/Z)◦σ^{-1}\bigr| = |\Gal(L/Z)| = [L:Z] = [L:σ(Z)];
|
||
\end{equation*}
|
||
die letzte Gleichung gilt, weil der Automorphismus $σ$ die Erweiterung $L/Z$
|
||
isomorph auf die Erweiterung $L/σ(Z)$ abbildet. Der Satz von Artin, angewendet
|
||
auf die Untergruppe $σ◦\Gal(L/Z)◦σ^{-1}$, liefert zusammen mit der Gradformel
|
||
\begin{equation*}
|
||
σ(Z) = \Fix\bigl( σ◦\Gal(L/Z)◦σ^{-1} \bigr),
|
||
\end{equation*}
|
||
und mit \ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_2} folgt
|
||
$\Gal\bigl(L/σ(Z)\bigr) = σ◦\Gal(L/Z)◦σ^{-1}$.
|
||
|
||
Für die letzte Teilaussage: Gegeben sei ein Zwischenkörper $Z$. Als
|
||
Zwischenkörper der separablen Erweiterung $L/K$ ist $Z/K$ nach
|
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Satz~\vref{Satz_separabilitaet_Zwischenkoerper} auf jeden Fall separabel. Wir
|
||
erhalten deshalb eine Kette von Äquivalenzen:
|
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\begin{align*}
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||
& Z/K \text{ ist Galoisch} \\
|
||
⇔\ & Z/K \text{ ist normal}
|
||
&& \text{separabel ist automatisch} \\
|
||
⇔\ & \text{für jeden $K$-Morph.~} τ : Z → \overline{L}
|
||
\text{ ist } τ(Z) = Z
|
||
&& \text{Satz~\ref{satz:h4}} \\
|
||
⇔\ & \text{für jeden $K$-Morph.~} τ : L → \overline{L}
|
||
\text{ ist } τ(Z) = Z
|
||
&& \text{Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung}} \\
|
||
⇔\ & \text{für jedes } τ ∈ \Gal(L/K) \text{ ist } τ(Z) = Z
|
||
&& \text{$L/K$ normal, Satz~\ref{satz:h4}} \\
|
||
⇔\ & \text{für jedes } τ ∈ \Gal(L/K) \text{ ist }
|
||
\Gal\bigl(L/τ(Z)\bigr) = \Gal(L/Z)
|
||
&& \text{Teil~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_2}} \\
|
||
⇔\ & \text{für jedes } τ ∈ \Gal(L/K) \text{ ist }
|
||
τ◦\Gal(L/Z)◦τ^{-1} = \Gal(L/Z)
|
||
&& \text{Teil~\ref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4}} \\
|
||
⇔\ & \Gal(L/Z) \text{ ist normale Untergruppe von } \Gal(L/K).
|
||
&& \text{Definition}
|
||
\end{align*}
|
||
Bei der dritten Äquivalenz beachte man: Jeder $K$-Morphismus $Z →
|
||
\overline{L}$ lässt sich nach Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} zu
|
||
einem $K$-Morphismus $L → \overline{L}$ fortsetzen, und umgekehrt kann man
|
||
jeden $K$-Morphismus $L → \overline{L}$ auf $Z$ einschränken. Bei der vierten
|
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Äquivalenz geht ein, dass $L/K$ normal ist: Jeder $K$-Morphismus $L →
|
||
\overline{L}$ hat das Bild $L$, ist also ein Element der Galoisgruppe.
|
||
|
||
Es sei jetzt also $Z/K$ Galoisch, insbesondere normal; nach der obigen Kette
|
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ist dann $σ(Z) = Z$ für alle $σ ∈ \Gal(L/K)$. Also habe ich eine
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||
Einschränkungsabbildung
|
||
\begin{equation*}
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||
φ : \Gal(L/K) → \Gal(Z/K), \quad σ ↦ σ|_Z,
|
||
\end{equation*}
|
||
und das ist offenbar ein Gruppenmorphismus. Es gilt Folgendes.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Die Abbildung $φ$ ist surjektiv: Jeder $K$-Morphismus $Z → Z ⊆ L$ kann
|
||
nach Satz~\ref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} zu einem $K$-Morphismus $L →
|
||
\overline{L}$ fortgesetzt werden, und weil $L/K$ normal ist, ist die
|
||
Fortsetzung ein Element von $\Gal(L/K)$.
|
||
|
||
\item Ein Element $σ ∈ \Gal(L/K)$ liegt genau dann im Kern von $φ$, wenn
|
||
$σ|_Z = \Id_Z$ ist, das heißt, wenn der $K$-Morphismus $σ$ bereits ein
|
||
$Z$-Morphismus ist. Also ist $\ker(φ) = \Gal(L/Z)$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Mit dem Homomorphiesatz für Gruppen, den wir aus der Linearen Algebra kennen
|
||
und in Kapitel~\ref{chap:17} wiederholen, folgt insgesamt
|
||
\begin{equation*}
|
||
\Gal\bigl(\factor{Z}{K}\bigr)
|
||
≅ \factor{\Gal\bigl(\factor{L}{K}\bigr)}{\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)}.
|
||
\qedhere
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||
\end{equation*}
|
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}[Widerliche Rechthaberei]
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Sehen Sie, warum ich in der ersten Woche der Vorlesungszeit so viel Aufhebens
|
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um den Begriff der normalen Untergruppe gemacht habe?
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\end{bemerkung}
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\section{Ein Beispiel}
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Um den Hauptsatz der Galoistheorie\index{Hauptsatz!der Galoistheorie} zu illustrieren, setzen wir das
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Beispiel~\vref{bsp:x-2} fort. Sei also wieder $K = ℚ$ und sei $N$ der
|
||
Zerfällungskörper von $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Wir haben bereits gezeigt, dass
|
||
$[N:K] = 6$ ist. Mit $ξ = e^{\frac{2π i}{3}}$ und
|
||
\[
|
||
a_1=\sqrt[3]{2}, \quad a_2 = ξ·\sqrt[3]{2} \quad\text{und}\quad a_3=ξ²·\sqrt[3]{2}
|
||
\]
|
||
gilt
|
||
\begin{equation*}
|
||
N = ℚ\bigl(a_1, a_2, a_3\bigr) = ℚ\bigl(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3}·i\bigr).
|
||
\end{equation*}
|
||
Dann ist $\Gal(N/ℚ) ≅ S_3$ die volle Permutationsgruppe der Nullstellenmenge
|
||
$\{a_1, a_2, a_3\}$. Wir haben folgende Untergruppen von $S_3$:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}[column sep=tiny]
|
||
& & S_3 \\
|
||
\{\Id, (12) \} \ar[urr, hook] & \{\Id, (13) \} \ar[ur, hook] & & \{\Id, (23) \} \ar[ul, hook]&\{\Id, (123), (132)\} \ar[ull, hook]\\
|
||
& & \{\Id\} \ar[ull, hook] \ar[ul, hook] \ar[ur, hook] \ar[urr, hook]
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
und folgende Zwischenkörper\index{Zwischenkörper} von $N/ℚ$,
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}[column sep=tiny]
|
||
& & ℚ \ar[dll, hook] \ar[dl, hook] \ar[dr, hook] \ar[drr, hook] \\
|
||
ℚ(a_3) \ar[drr, hook] & ℚ(a_2) \ar[dr, hook] & & ℚ(a_1) \ar[dl, hook]& ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr) \ar[dll, hook]\\
|
||
& & N.
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe $\{\Id,
|
||
(123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte. Sie haben sich
|
||
vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl
|
||
$\sqrt3·i$ überhaupt in $N$ liegt. Dann haben Sie nachgerechnet und konnten
|
||
$\sqrt3·i$ mithilfe der $a_1$, $a_2$ und $a_3$ ausdrücken. Schauen Sie sich
|
||
diesen Ausdruck einmal ganz scharf an. Wenn Sie nicht weiterkommen, sprechen
|
||
Sie uns an!
|
||
|
||
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%%% Local Variables:
|
||
%%% mode: latex
|
||
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
|
||
%%% End:
|