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\selectlanguage{german}
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\chapter{Grundbegriffe}
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\sideremark{Vorlesung 12}Bevor es richtig losgeht, stelle ich schnell noch
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einige Grundbegriffe zusammen, die wir später an allen möglichen Stellen
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brauchen. Den ersten Begriff erkläre ich am besten an einem Beispiel: Betrachte
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den Körper $ℂ$. Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält $K$ auf
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jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive Inverse
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$-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, …. Am Ende erkennen wir, dass
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$K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss. In diesem Sinne ist $ℚ$ also
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der kleinste Unterkörper von $ℂ$. Das definieren wir jetzt für beliebige
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Körper. Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}.
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\begin{beobachtung}\index{Unterkörper}
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Es sei $L$ ein Körper, und es seien $(K_i)_{i ∈ I}$ Unterkörper. Dann ist
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auch $∩_{i ∈ I} K_i$ ein Unterkörper von $L$.
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\end{beobachtung}
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Mithilfe dieser Beobachtung können wir jetzt den kleinsten Unterkörper
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definieren.
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\begin{definition}[Primkörper]
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Sei $K$ ein Körper. Der Durchschnitt über alle Unterkörper von $K$ heißt
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\emph{Primkörper}\index{Primkörper|textbf} von $K$.
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\end{definition}
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\begin{notation}[\mathlib{Algebra/Field/ZMod.html\#ZMod.instField}]
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Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl. Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal und $ℤ/(p)$
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ist ein Körper, der mit $𝔽_p$\index{*Fp@$𝔽_p$ (Körper mit $p$ Elementen)|textbf} bezeichnet wird.
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\end{notation}
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Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten.
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\begin{satz}[Klassifikation der Primkörper, \mathlib{FieldTheory/PrimeField.html\#Subfield.bot_eq_of_charZero}]\label{Satz_Primkoerper_Isomorphie}\index{Klassifikation!der Primkörper|textbf}
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Es sei $K$ ein Körper. Dann ist der Primkörper von $K$ entweder isomorph zu
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$ℚ$ oder zu einem $𝔽_p$, wobei $p$ eine Primzahl ist.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{12-1}]
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Betrachte die Abbildung
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\begin{equation*}
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φ : ℤ → K, \quad
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m ↦
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\begin{cases}
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\underbrace{1_K + ⋯ + 1_K}_{m\text{-mal}} & \text{falls } m ≥ 0, \\[3mm]
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-(\underbrace{1_K + ⋯ + 1_K}_{-m\text{-mal}}) & \text{falls } m < 0.
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\end{cases}
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\end{equation*}
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Man rechnet nach, dass $φ$ ein Ringmorphismus ist. Beachte außerdem: Jeder
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Unterkörper von $K$ enthält das Einselement $1_K$ und ist abgeschlossen unter
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Addition und Negation, enthält also das gesamte Bild von $φ$. Also liegt
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$\operatorname{Bild}(φ)$ im Primkörper von $K$. Wir unterscheiden jetzt zwei
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Fälle.
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\schritt{Fall 1: $φ$ ist nicht injektiv.} Der Ring $ℤ$ ist ein Hauptidealring,
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Satz~\vref{satz:9-1-4}, also ist $\ker(φ) = (m)$ für eine Zahl $m > 0$. Nach
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dem Homomorphiesatz für Ringe, \vref{Korollar_Homomorphiesatz}, ist dann
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\begin{equation*}
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\operatorname{Bild}(φ) ≅ \factor{ℤ}{(m)} ⊆ K.
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\end{equation*}
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Als Unterring des Körpers $K$ ist $ℤ/(m)$ nullteilerfrei. Insbesondere ist
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$m$ eine Primzahl: Es ist $m ≠ 1$, denn sonst wäre $1_K = 0_K$, und für jede
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nicht-triviale Faktorisierung $m = a·b$ wäre
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$\bigl(a+(m)\bigr)·\bigl(b+(m)\bigr) = 0$ ein Produkt von Elementen ungleich
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Null. Also ist $ℤ/(m) = 𝔽_m$ ein Körper. Dieser Unterkörper liegt im
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Primkörper von $K$; weil der Primkörper als Durchschnitt aller Unterkörper
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aber auch in ihm liegt, ist er gleich dem Primkörper. Der Primkörper ist in
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diesem Fall also isomorph zu $𝔽_m$.
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\schritt{Fall 2: $φ$ ist injektiv.} Die universelle Eigenschaft des
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Quotientenkörpers $Q(ℤ) = ℚ$, angewendet auf den injektiven Ringmorphismus $φ
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: ℤ → K$, liefert einen Ringhomomorphismus $η : ℚ → K$ mit $η◦ι = φ$. Als
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Morphismus von einem Körper in einen Körper, der wegen $η(1) = 1_K ≠ 0_K$
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nicht die Nullabbildung ist, ist $η$ injektiv. Also ist
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$\operatorname{Bild}(η) ⊆ K$ ein zu $ℚ$ isomorpher Unterkörper. Wie in Fall~1
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sieht man, dass $\operatorname{Bild}(η)$ im Primkörper enthalten
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ist\footnote{Der Primkörper enthält das Bild von $φ$ und als Körper auch alle
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Quotienten $φ(m)·φ(n)^{-1} = η(m/n)$.} und dass umgekehrt der Primkörper in
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$\operatorname{Bild}(η)$ enthalten ist. Der Primkörper ist in diesem Fall
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also isomorph zu $ℚ$.
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\end{proof}
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\begin{definition}[Charakteristik, \mathlib{Algebra/CharP/Defs.html\#ringChar}]
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Es sei $K$ ein Körper. Falls der Primkörper von $K$ isomorph zu $ℚ$ ist, so
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sagt man, der Körper $K$ hat \emph{Charakteristik
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$0$}\index{Charakteristik!eines Körpers|textbf}. Falls der Primkörper von $K$
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isomorph zu $𝔽_p$ ist, so sagt man, der Körper $K$ hat \emph{Charakteristik
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$p$}\index{Charakteristik!eines Körpers|textbf}. Die Schreibweise $\operatorname{char}(K)$ ist üblich.
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\end{definition}
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\begin{satz}[\mathlib{FieldTheory/Finite/Basic.html\#FiniteField.card}]\index{Körper!endlich}
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Es sei $K$ ein endlicher Körper. Dann hat $K$ positive Charakteristik, $p
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= \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, sodass $K$ genau
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$p^m$ Elemente hat.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen. Also ist $p =
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\operatorname{char}(K) > 0$. Weil $K$ endlich ist, ist der Erweiterungsgrad
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$m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich. Ein $m$-dimensionaler
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Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente.
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\end{proof}
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Ich erinnere noch einmal an einige Körper, die wir in den vergangenen Kapiteln
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diskutierten.
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\begin{itemize}
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\item $𝔽_p$, $ℚ$, $ℝ$ sowie $ℂ$ sind Körper.
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\item Ist $L/K$ eine Körpererweiterung und $A⊂ L$ eine Menge, dann ist
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$K(A)$ ein Körper.
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\item Quotientenkörper von Integritätsringen sind Körper.
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\item Ist $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $m$ ein maximales Ideal, dann
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ist $R/m$ ein Körper.
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\item Ist $R$ ein Ring und $p ⊂ R$ ein Primideal, dann ist $R/p$ ein
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Integritätsring und $Q(R/p)$ ist ein Körper.
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\end{itemize}
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In der Mathematik sind die folgenden Körper am interessantesten.
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\begin{itemize}
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\item Zahlenkörper\index{algebraischer Zahlkörper}, also Zwischenkörper $ℚ ⊂ K ⊂ ℂ$, wobei $K/ℚ$
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algebraisch ist.
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\item Funktionenkörper, also endliche algebraische Oberkörper von $ℂ(x)$.
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\item In den letzten Jahrzehnten gab es große Fortschritte beim Studium von
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endlichen algebraischen Körpererweiterungen von $ℚ(x)$.
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\item Endliche Körper und ihre (endlichen) Körpererweiterungen spielen in der
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Kodierungstheorie eine zentrale Rolle.
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\end{itemize}
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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