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\selectlanguage{german}
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\chapter{Restklassenringe}
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\sideremark{Vorlesung 11}Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon
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gesagt, warum wir uns für Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der
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Konstruktion des Quotientenvektorraumes in der Linearen Algebra-- einen
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Quotienten von Ringen konstruieren. Ich weiß aus Erfahrung, dass viele
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Studierende ihre Probleme mit „Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser
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Stelle normalerweise die Gelegenheit, um mit der Konstruktion des
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Restklassenringes die Begriffe und Beweistechniken noch einmal zu wiederholen.
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In diesem Semester geht das nicht, denn das Semester ist deutlich kürzer als in
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normalen Jahren. Ich verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und
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behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.
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\begin{warnung}
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Stellen Sie sicher, dass Sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung
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„Lineare Algebra“ erinnern. Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst --
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solche Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
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\end{warnung}
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\section{Definition von Restklassenringen}
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Genau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe
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durch folgende universelle Eigenschaft definiert.
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\begin{defn}[Restklassenring, \mathlib{RingTheory/Ideal/Quotient/Defs.html\#Ideal.Quotient.lift}]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Ein
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\emph{Restklassenring}\index{Restklassenring|textbf} oder
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\emph{Quotientenring}\index{Quotientenring|see{Restklassenring}} ist ein kommutativer Ring $S$ mit
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Eins zusammen mit einem Ringmorphismus $φ : R → S$, sodass $\ker φ = I$ ist
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und so, dass die folgende universelle Eigenschaft\index{universelle Eigenschaft} gilt: Ist $ψ : R → T$ ein
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weiterer Ringmorphismus mit $I ⊆ \ker ψ$, dann gibt es genau einen
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Ringmorphismus $h : S → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
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\[
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\begin{tikzcd}
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R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & S \ar[d, "h"] \\
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R \ar[r, "ψ"'] & T.
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\end{tikzcd}
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\]
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\end{defn}
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Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringe (wenn
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sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie. Man
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spricht deswegen oft nicht ganz richtig von „dem“ Restklassenring und bezeichnet
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„den“ Restklassenring mit $R/I$.\index{*RI@$R/I$ (Restklassenring)|textbf}
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\section{Konstruktion von Restklassenringen}
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Da Restklassenringe eindeutig durch die universelle Eigenschaft gegeben sind,
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folgt alles, was man überhaupt über Restklassenringe sagen kann, aus der
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universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz. Wir beweisen die
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Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
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eines Restklassenringes angeben.
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\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal, \mathlib{LinearAlgebra/SModEq/Basic.html\#SModEq}]\label{def:kmi}%
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal. Zwei
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Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo Ideal|textbf}, wenn $a-b ∈ I$ ist. In diesem Fall ist die Schreibweise $a \equiv b
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\:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
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\end{defn}
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\begin{lem}\label{lem:10-1-2}%
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In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
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eine Äquivalenzrelation auf $R$. Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
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Äquivalenzklasse
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\begin{equation*}
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a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
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\end{equation*}
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\end{lem}
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\begin{notation}[Restklasse von $a$ modulo $I$]
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In der Situation von Lemma~\ref{lem:10-1-2} nennt man $a+I$ die
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\emph{Restklasse von $a$ modulo $I$}\index{Restklasse|textbf}.
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\end{notation}
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\begin{bsp}
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Der Name „Restklasse“ kommt von folgendem Beispiel. Sei $R = ℤ$, sei $m ∈ ℕ$
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eine Zahl, und sei $I = (m)$. Dann ist $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod}
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I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ denselben Rest
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haben. Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt $ℤ$ also genau in die Restklassen
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\begin{equation*}
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0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
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\end{equation*}
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\end{bsp}
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\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen, \mathlib{RingTheory/Ideal/Quotient/Defs.html\#Ideal.Quotient.commRing}]\label{satz:exvrklr}\index{Restklassenring!Existenz}%
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Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal. Die
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Äquivalenzrelation „Kongruenz modulo $I$“ werde mit $\sim$ bezeichnet. Dann
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sind die folgenden Verknüpfungen auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
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die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
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Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
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\[
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\begin{matrix}
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+ : & S ⨯ S & → & S \\
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& ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a+b) + I \\
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\\
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· : & S ⨯ S & → & S \\
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& ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a·b) + I.
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\end{matrix}
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\]
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Mit diesen Verknüpfungen ist $S$ ein kommutativer Ring mit Eins, die
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Restklassenabbildung\index{Restklassenabbildung|textbf}
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\begin{equation*}
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φ : R → S, \quad a ↦ a+I
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\end{equation*}
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ist ein Ringmorphismus. Das Paar $S$ und $φ$ ist ein Restklassenring. \qed
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\end{satz}
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Satz~\ref{satz:exvrklr} gibt eine explizite Konstruktion eines
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Restklassenringes. Manchmal lassen sich Restklassenringe und ihre Elemente auf
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diese Art und Weise direkt beschreiben.
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\begin{bsp}
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Es sei $K$ ein Körper, es sei $R = K[x]$ und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom vom
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Grad $n$. Weiter sei $I = (f)$. Die Elemente von $K[x]/(f)$ sind also von
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der Gestalt $g+(f)$. In diesem Beispiel bilden die Polynome vom Grad $<n$ ein
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vollständiges Repräsentantensystem für die Kongruenz modulo $(f)$. Mithilfe
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dieses Repräsentantensystems kann man die Multiplikation in $R/(f)$ wie folgt
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beschreiben
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\begin{equation*}
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\bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
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\end{equation*}
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wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist. Ist $\deg f
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≥ 1$, dann ist die Abbildung
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\begin{equation*}
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K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
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\end{equation*}
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injektiv und insbesondere ist $K[x]/(f)$ ein $K$-Vektorraum.
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\end{bsp}
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\section{Noch einmal: Körpererweiterungen und Restklassenringe}
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\label{sec:10-3}
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Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
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Eigenschaft.
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\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe, \mathlib{RingTheory/Ideal/Quotient/Operations.html\#RingHom.quotientKerEquivOfSurjective}]\label{Korollar_Homomorphiesatz}\index{Homomorphiesatz!für Ringe|textbf}%
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
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surjektiver Ringmorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung
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\begin{equation*}
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h : \factor{R}{\ker ψ} → S
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\end{equation*}
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isomorph. \qed
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\end{prop}
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Mithilfe des Homomorphiesatzes kann ich jetzt etwas genauer erklären, was
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Restklassenringe mit unserem Ziel zu tun haben, Körpererweiterungen zu
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verstehen. Sei dazu $L/K$ eine Körpererweiterung, es sei $a ∈ L$ algebraisch
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und es sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Betrachte nun den
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Substitutionsmorphismus
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\begin{equation*}
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ψ : K[x] → L, \quad g ↦ g(a).
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\end{equation*}
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\begin{description}
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\item[Wie sieht der Kern von $ψ$ aus?] Ein Polynom $g$ ist offenbar genau dann
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im Kern von $ψ$, wenn $g(a)=0$ ist. Wir haben schon gesehen, dass $g$ dann
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ein Vielfaches von $f$ ist. Kurz gesagt ist $\ker ψ = (f)$ das von $f$
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erzeugte Hauptideal.
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\item[Wie sieht das Bild von $ψ$ aus?] Sei $n = [a:K]$. Dann wissen wir schon,
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dass
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\begin{equation*}
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K(a) = K + K·a + ⋯ + K· a^{n-1}.
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\end{equation*}
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Also ist das Bild von $ψ$ gleich $K(a)$.
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\end{description}
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Zusammenfassend folgt aus dem Homomorphiesatz für Ringe, dass $K(a)$ isomorph
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zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.
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\section{Ideale oben und unten}
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Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
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der linearen Algebra kennen („Kürzen“ von Untervektorräumen). Um diese Sätze
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korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie „Ideale in $R$“ und
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„Ideale in $R/I$“ zusammenhängen. Der folgende Satz formuliert den Zusammenhang
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nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für beliebige
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Ringmorphismen. Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer Ideale.
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Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
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--- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.
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\begin{satz}[Urbilder von Idealen, \mathlib{RingTheory/Ideal/Maps.html\#Ideal.relIsoOfSurjective}]\index{Ideal!Urbild}
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Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Wenn
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$I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein Ideal in
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$R$. Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
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\begin{equation*}
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\begin{matrix}
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\{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker \varphi ⊆ J$}\} \\
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I & ↦ & \varphi^{-1} (I)
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\end{matrix}
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\end{equation*}
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eine Bijektion.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{11-1}]
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Anmerkung zum Erklärvideo: Dort sind bei den beiden Beobachtungen die
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Folgerungen „surjektiv“ und „injektiv“ vertauscht. Die erste Beobachtung
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liefert die Injektivität der Zuordnung, die zweite die Surjektivität.
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\schritt{Schritt 1: Die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ist ein Ideal.} Die
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Menge $\varphi^{-1}(I)$ enthält die Null. Sind $a$, $b ∈ \varphi^{-1}(I)$,
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dann ist $\varphi(a+b) = \varphi(a)+\varphi(b) ∈ I$, also $a+b ∈
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\varphi^{-1}(I)$. Ist $a ∈ \varphi^{-1}(I)$ und $r ∈ R$, dann ist
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$\varphi(r·a) = \varphi(r)·\varphi(a) ∈ I$, also $r·a ∈ \varphi^{-1}(I)$.
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\schritt{Schritt 2: Die Zuordnung ist bijektiv.} Es sei $\varphi$ jetzt
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zusätzlich surjektiv. Beachte zuerst, dass die Zuordnung wohldefiniert ist:
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Wegen $0 ∈ I$ ist stets $\ker\varphi = \varphi^{-1}(0) ⊆ \varphi^{-1}(I)$.
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Der Rest des Beweises beruht auf zwei Beobachtungen.
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\begin{itemize}
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\item \emph{Beobachtung 1: Für jedes Ideal $I ⊂ S$ gilt
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$\varphi\bigl(\varphi^{-1}(I)\bigr) = I$.}\quad Die Inklusion „$⊆$“ ist
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klar. Für „$⊇$“ sei $y ∈ I$ gegeben. Weil $\varphi$ surjektiv ist, gibt
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es ein $x ∈ R$ mit $\varphi(x) = y$; dann ist $x ∈ \varphi^{-1}(I)$, also
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$y ∈ \varphi\bigl(\varphi^{-1}(I)\bigr)$. Aus der Beobachtung folgt die
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Injektivität der Zuordnung: Wenn $\varphi^{-1}(I_1) = \varphi^{-1}(I_2)$
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ist, dann ist
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\begin{equation*}
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I_1 = \varphi\bigl(\varphi^{-1}(I_1)\bigr)
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= \varphi\bigl(\varphi^{-1}(I_2)\bigr) = I_2.
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\end{equation*}
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\item \emph{Beobachtung 2: Für jedes Ideal $J$ mit $\ker\varphi ⊆ J ⊆ R$
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gilt $\varphi^{-1}\bigl(\varphi(J)\bigr) = J$.}\quad Die Inklusion „$⊇$“
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ist klar. Für „$⊆$“ sei $x ∈ R$ mit $\varphi(x) ∈ \varphi(J)$, etwa
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$\varphi(x) = \varphi(j)$ mit $j ∈ J$. Dann ist $x - j ∈ \ker\varphi ⊆
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J$, also $x = j + (x-j) ∈ J$. Aus der Beobachtung folgt die Surjektivität
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der Zuordnung: Gegeben ein Ideal $J$ mit $\ker\varphi ⊆ J$, dann ist die
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Bildmenge $I := \varphi(J)$ ein Ideal in $S$\footnote{Hier geht die
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Surjektivität von $\varphi$ ein: Für $y = \varphi(j) ∈ \varphi(J)$ und $s
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∈ S$ wähle $r ∈ R$ mit $\varphi(r) = s$; dann ist $s·y = \varphi(r·j) ∈
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\varphi(J)$. Abgeschlossenheit unter der Addition rechnet man direkt
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nach.}, und die Beobachtung sagt gerade $\varphi^{-1}(I) = J$.
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{satz}[Bilder von Idealen]\label{Satz_Ringmorphismus_Eigenschaften}\index{Ideal!Bild}
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Es sei $\varphi : R → S$ ein surjektiver Morphismus von kommutativen Ringen.
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Wenn $I ⊂ R$ ein Ideal ist, dann ist auch die Bildmenge $\varphi(I)$ ein
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Ideal. Wenn $J ⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist der Kern der Komposition
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\begin{equation*}
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R → S → \factor{S}{J}
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\end{equation*}
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exakt $\varphi^{-1}(J)$ und die Abbildung
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\begin{equation*}
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\begin{matrix}
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\factor{R}{\varphi^{-1}(J)} & → & \factor{S}{J} \\[2mm]
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a+\varphi^{-1}(J) & ↦ & \varphi(a)+J
|
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\end{matrix}
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\end{equation*}
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ist ein Isomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{11-2}]
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---
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\schritt{Schritt 1: Die Bildmenge $\varphi(I)$ ist ein Ideal.} Die Menge
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$\varphi(I)$ ist nicht leer und wegen $\varphi(a)+\varphi(b) = \varphi(a+b)$
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abgeschlossen unter der Addition. Für die Ideal-Eigenschaft sei $a ∈ S$ und
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$b ∈ \varphi(I)$; wir müssen zeigen, dass $a·b ∈ \varphi(I)$ ist. Weil
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$\varphi$ surjektiv ist, gibt es ein $a' ∈ R$ mit $\varphi(a') = a$, und per
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Definition gibt es ein $b' ∈ I$ mit $\varphi(b') = b$. Dann ist $a'·b' ∈ I$
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und
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\begin{equation*}
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a·b = \varphi(a')·\varphi(b') = \varphi(a'·b') ∈ \varphi(I).
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\end{equation*}
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\schritt{Schritt 2: Der Kern der Komposition.} Bezeichne die Komposition mit
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$ψ : R → S → S/J$, also $ψ(a) = \varphi(a) + J$. Für ein Element $a ∈ R$ gilt
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\begin{equation*}
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ψ(a) = 0 + J
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\quad⇔\quad \varphi(a) ∈ J
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\quad⇔\quad a ∈ \varphi^{-1}(J).
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||
\end{equation*}
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||
Also ist $\ker ψ = \varphi^{-1}(J)$, wie behauptet.
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\schritt{Schritt 3: Die induzierte Abbildung ist ein Isomorphismus.}
|
||
Die angegebene Abbildung
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\begin{equation*}
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h : \factor{R}{\varphi^{-1}(J)} → \factor{S}{J}, \quad
|
||
a+\varphi^{-1}(J) ↦ \varphi(a)+J
|
||
\end{equation*}
|
||
ist wohldefiniert: Wenn $a+\varphi^{-1}(J) = a'+\varphi^{-1}(J)$ ist, dann ist
|
||
$a-a' ∈ \varphi^{-1}(J)$, also $\varphi(a)-\varphi(a') ∈ J$ und damit
|
||
$\varphi(a)+J = \varphi(a')+J$. Weil $\varphi$ ein Ringmorphismus ist, ist
|
||
auch $h$ ein Ringmorphismus, und $h$ bildet die Eins auf die Eins ab.
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \emph{Injektivität.}\quad Nach Schritt~2 gilt für ein Element $a +
|
||
\varphi^{-1}(J)$ genau dann $h\bigl(a+\varphi^{-1}(J)\bigr) = 0+J$, wenn
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||
$a ∈ \varphi^{-1}(J)$ ist, das heißt, wenn $a+\varphi^{-1}(J) =
|
||
0+\varphi^{-1}(J)$ ist. Der Kern von $h$ ist also Null und $h$ ist
|
||
injektiv.
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||
|
||
\item \emph{Surjektivität.}\quad Es sei ein Element $b+J ∈ S/J$ gegeben.
|
||
Weil $\varphi$ surjektiv ist, gibt es ein $a ∈ R$ mit $\varphi(a) = b$.
|
||
Dann ist $b+J$ das Bild von $a+\varphi^{-1}(J)$ unter $h$.
|
||
\end{itemize}
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||
\end{proof}
|
||
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||
\begin{notation}\label{not:xx}
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||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I ⊂ J ⊂ R$ zwei
|
||
Ideale. Wir bezeichnen die Quotientenabbildung mit $φ : R → R/I$. Dann wird
|
||
das Ideal $φ(J)$ des Restklassenringes $R/I$ häufig mit $J/I$ bezeichnet.\index{*JI@$J/I$ (Ideal im Restklassenring)|textbf}
|
||
\end{notation}
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\begin{kor}[\mathlib{RingTheory/Noetherian/Basic.html\#isNoetherianRing_of_surjective}]
|
||
Es sei $\varphi : R → S$ ein surjektiver Morphismus von kommutativen Ringen mit
|
||
Eins. Wenn $R$ noethersch (bzw.\ Hauptidealring) ist, dann ist auch $S$
|
||
noethersch (bzw.\ ein Hauptidealring). \qed
|
||
\end{kor}
|
||
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||
\begin{bsp}
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||
Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal. Dann ist der
|
||
Quotientenring $K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
|
||
\end{bsp}
|
||
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||
Der folgende Satz ist wieder eine Konsequenz der universellen Eigenschaft. Die
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||
Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.
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\begin{prop}[Noetherscher Isomorphiesatz, \mathlib{RingTheory/Ideal/Quotient/Operations.html\#DoubleQuot.quotQuotEquivQuotOfLE}]\index{Isomorphiesatz!für Ringe|textbf}
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I ⊂ J ⊂ R$ zwei
|
||
Ideale. Dann sind die Restklassenringe
|
||
\begin{equation*}
|
||
\factor{R}{J} \quad\text{und}\quad \factor{(\factor{R}{I})}{(\factor{J}{I})}
|
||
\end{equation*}
|
||
in kanonischer Weise zueinander isomorph. \qed
|
||
\end{prop}
|
||
|
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||
\section{Primideale und maximale Ideale}
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Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
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||
Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist. Etwas
|
||
bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei? Für den Ring
|
||
$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt. Der
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||
Ring $ℤ/(m)$\index{*ZnZ@$ℤ/(n)$ (Restklassenring von $ℤ$)|textbf} ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies ist
|
||
genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist. Also müssen wir statt
|
||
„Primzahl“ jetzt den Begriff des „Primideals“ einführen.
|
||
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||
\begin{defn}[Primideal, \mathlib{RingTheory/Ideal/Prime.html\#Ideal.IsPrime}]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
|
||
\emph{Primideal}\index{Primideal|textbf}, falls $I \ne R$ ist und falls für alle $a$,
|
||
$b ∈ R$ gilt:
|
||
\begin{equation*}
|
||
a·b ∈ I\quad⇒ \quad a∈ I \text{ oder } b∈ I.
|
||
\end{equation*}
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Hauptideal $(0) ⊊ (p) ⊂ R$ ist
|
||
genau dann ein Primideal, wenn $p ∈ R$ ein Primelement ist.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{defn}[Maximales Ideal, \mathlib{RingTheory/Ideal/Maximal.html\#Ideal.IsMaximal}]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
|
||
\emph{maximal}\index{Ideal!maximal|textbf}, falls $I \ne R$ ist und falls für jedes
|
||
Ideal $I ⊆ J ⊆ R$ gilt $J = I$ oder $J = R$.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{rem}[\mathlib{RingTheory/Ideal/Maximal.html\#Ideal.IsMaximal.isPrime}]
|
||
Maximale Ideale sind Primideale.
|
||
\end{rem}
|
||
|
||
\begin{beobachtung}
|
||
Körper werden unter den kommutativen Ringen dadurch charakterisiert, dass
|
||
$(0)$ und $(1)$ die einzigen Ideale sind. Mit anderen Worten: Ein Ring ist
|
||
genau dann ein Körper, wenn das Nullideal maximal ist.
|
||
\end{beobachtung}
|
||
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Der folgende Satz charakterisiert Primideale und maximale Ideale in Termen des
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Restklassenringes. Das liefert weitere Beispiele.
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\begin{satz}[\mathlib{RingTheory/Ideal/Quotient/Basic.html\#Ideal.Quotient.isDomain_iff_prime}]\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel}\index{Primideal}\index{Ideal!maximal}
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel_1} Ein Ideal $p ⊂ R$ ist genau dann ein
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Primideal, wenn $R/p$ ein Integritätsring ist.
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\item\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel_2} Ein Ideal $m ⊂ R$ ist genau dann
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maximal, wenn $R/m$ ein Körper ist. \qed
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{bsp}
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $R = K[x_1, …, x_n]$. Wenn $a_1, …, a_n ∈ K$
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sind, dann ist das Ideal $(x_1-a_1, …, x_n-a_n)$ maximal. Um diese Behauptung
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zu beweisen, betrachte man den Substitutionsmorphismus
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\begin{equation*}
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\varphi : K[x_1, …, x_n] → K, \quad g ↦ g(a_1, …, a_n).
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\end{equation*}
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Dann ist $\varphi$ surjektiv und es ist
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$\ker \varphi = (x_1-a_1, …, x_n-a_n)$. Also ist
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\begin{equation*}
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K ≅ \factor{K[x_1, …, x_n]}{(x_1-a_1, …, x_n-a_n)}.
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\end{equation*}
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Satz~\ref{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel} liefert dann die gewünschte Aussage.
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\end{bsp}
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\section{Der Chinesische Restsatz}
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Der Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen
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und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor. Dabei geht es
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um folgende Aufgabe: Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es seien
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Ideale $I_1, … I_n ⊂ R$ und Ringelemente $r_1, …, r_n∈ R$ gegeben. Gesucht ist
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ein $r∈ R$ (wenn es eines gibt), sodass die Gleichungen simultan erfüllt sind,\index{Kongruenz modulo Ideal}
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\[
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r \equiv r_1 \: (\operatorname{mod}{I_1}), \quad
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r \equiv r_2 \: (\operatorname{mod}{I_2}), \quad
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…, \quad
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r \equiv r_n \: (\operatorname{mod}{I_n}).
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\]
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Wenn ein solches Element $r$ überhaupt existiert, dann gilt für alle Indizes $k$
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und $l$
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\begin{equation*}
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r_k - r_l = \underbrace{r_k-r}_{∈ I_k} + \underbrace{r-r_l}_{∈ I_l} ∈ I_k + I_l.
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\end{equation*}
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Wenn $I_k + I_l = R$ ist, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch
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erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch
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lösbar ist.
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\begin{definition}[Teilerfremde Ideale, \mathlib{RingTheory/Ideal/Operations.html\#Ideal.isCoprime_iff_sup_eq}]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I_1$ und $I_2$ zwei
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Ideale in $R$. Die Ideale heißen \emph{teilerfremd}\index{Ideal!teilerfremd|textbf}, wenn $I_1 + I_2=R$ ist; dabei bezeichnet $I_1+I_2$ das Summenideal
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aus Beispiel~\vref{bsp:9-2-8}.
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\end{definition}
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\begin{bemerkung}
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Was hat diese Definition mit „Teilerfremdheit“ zu tun? Schauen Sie sich den
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Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an. In der
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Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
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gegeben. Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$. Der
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Euklidische Algorithmus zeigt aber, dass $\ggT(f,g) ∈ (f) + (g)$ ist. Die
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Aussage, dass 1 in dem Ideal $(f) + (g)$ ist, ist aber gleichbedeutend damit,
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dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
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\end{bemerkung}
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\begin{satz}[Chinesischer Restsatz, \mathlib{RingTheory/Ideal/Quotient/Operations.html\#Ideal.quotientInfRingEquivPiQuotient}]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}%
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\index{Chinesischer Restsatz|textbf}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
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seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale. Dann ist der
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kanonische Ringhomomorphismus
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\begin{equation*}
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α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.~und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
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\end{equation*}
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surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{11-3}]
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Die Aussage über den Kern ist schnell erledigt: Ein Element $a ∈ R$ liegt
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genau dann im Kern von $α$, wenn für jeden Index $j$ die Gleichung $a + I_j =
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0 + I_j$ gilt, also genau dann, wenn $a$ in jedem der Ideale $I_j$ liegt. Das
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bedeutet $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
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Für die Surjektivität beginnen wir mit einer Beobachtung: Für jedes Paar $(k,
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ℓ)$ von unterschiedlichen Indizes sind die Ideale $I_k$ und $I_ℓ$ teilerfremd,
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also ist $I_k + I_ℓ = R$, und es gibt Elemente $a_{kℓ} ∈ I_k$ und $b_{kℓ} ∈
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I_ℓ$ mit
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\begin{equation*}
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1 = a_{kℓ} + b_{kℓ}.
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\end{equation*}
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Setze jetzt für jeden Index $ℓ$ das Element
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\begin{equation*}
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s_ℓ := \prod_{k ≠ ℓ} a_{kℓ} = \prod_{k ≠ ℓ} (1 - b_{kℓ}) ∈ R.
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\end{equation*}
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Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item Für alle Indizes $k ≠ ℓ$ ist $s_ℓ ∈ I_k$, denn das Produkt enthält den
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Faktor $a_{kℓ} ∈ I_k$.
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\item Es ist $s_ℓ \equiv 1 \pmod{I_ℓ}$, denn jeder Faktor $1 - b_{kℓ}$ ist
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kongruent zu $1$ modulo $I_ℓ$, und damit auch das Produkt.
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\end{enumerate}
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Jetzt zur Surjektivität: Gegeben ein beliebiges Element $\bigl(r_1 + I_1, …,
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r_n + I_n\bigr)$ des Produktringes, setze
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\begin{equation*}
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r := \sum_{ℓ=1}^{n} s_ℓ·r_ℓ ∈ R.
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\end{equation*}
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Für jeden Index $k$ gilt dann
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\begin{equation*}
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r = \underbrace{s_k}_{\equiv \, 1 \!\!\pmod{I_k}}·\:r_k
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+ \sum_{ℓ ≠ k} \underbrace{s_ℓ}_{∈\, I_k}·r_ℓ
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\:\equiv \: r_k \pmod{I_k}.
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\end{equation*}
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Also ist $α(r) = \bigl(r_1 + I_1, …, r_n + I_n\bigr)$, und das gesuchte Urbild
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ist gefunden.
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\end{proof}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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