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\chapter{Anwendung: Konstruktion mit Zirkel und Lineal}
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\section{Erinnerung}
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Die Ergebnisse, die wir bislang gewonnen haben, können wir direkt auf
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Konstruierbarkeitsfragen anwenden. Ich erinnere noch einmal, was der Stand der
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Debatte war.
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\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 1, Aufgabe 1.b]\index{konstruierbare Punkte}
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Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge, die die Elemente $0$ und $1$ enthält. Dann
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ist die Menge $\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren Punkte
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ein Unterkörper von $ℂ$. \qed
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\end{satz}
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Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und
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Konstruierbarkeit her. Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff
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„konjugierte Menge“. Dabei ist „konjugiert“ wie immer nur eine bombastische
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Formulierung für „an der reellen Achse gespiegelt“.
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\begin{notation}[Konjugierte Menge]
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Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge. Dann betrachte die Menge
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$\overline{M} := \{ \overline{m} \::\: m∈ M\}$. Man nennt $\overline{M}$
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die \emph{zu $M$ konjugierte Menge}\index{konjugierte Menge|textbf}.
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\end{notation}
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\begin{rem}
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Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die
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Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren. Damit ist
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klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist. Es ist in diesem Fall auch klar,
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dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
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\end{rem}
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\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}\index{konstruierbare Punkte}\index{algebraische Zahl}%
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Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$. Sei weiter $K = ℚ(M ∪
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\overline{M})$. Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die Gleichheit
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\begin{equation*}
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[K(z) : K] = 2^k
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\end{equation*}
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gilt. Insbesondere ist jede aus $\{ 0, 1 \}$ konstruierbare Zahl algebraisch
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über $ℚ$. \qed
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\end{satz}
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\section{Verdopplung des Würfels}
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Das klassische Konstruktionsproblem „Verdopplung des Würfels“\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels} ist mit Zirkel und
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Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist $ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
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\[
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[ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3,
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\]
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da wir mit unseren Methoden jetzt wissen, dass $x³-2$ das Minimalpolynom von
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$\sqrt[3]{2}$ ist.
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\section{Dreiteilung des Winkels}
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Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkels abschließend beantworten,
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beweise ich zuerst einen Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.
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\begin{satz}[\mathlib{RingTheory/AlgebraicIndependent/Adjoin.html\#AlgebraicIndependent.aevalEquivField}]\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}\index{transzendentes Element}\index{gebrochen-rationale Funktionen}%
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$
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transzendentes Element. Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der
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gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im
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Falle $K = ℝ$.} über $K$ in einer Variablen. Mit anderen Worten:
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\begin{equation*}
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K(a) ≅ K(x) = Q(K[x])
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\end{equation*}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{9-2}]
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Betrachte den Einsetzungsmorphismus
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\begin{equation*}
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φ : K[x] → L, \quad f ↦ f(a), \quad\text{also}\quad
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\sum a_i·x^i ↦ \sum a_i·a^i.
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\end{equation*}
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Der Kern von $φ$ besteht genau aus den Polynomen, die $a$ als Nullstelle
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haben. Weil $a$ transzendent über $K$ ist, ist $\ker(φ) = \{0\}$, also ist
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$φ$ injektiv. Außerdem liegt das Bild von $φ$ offenbar im Unterkörper $K(a) ⊆
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L$; wir fassen $φ$ deshalb als injektiven Ringhomomorphismus $φ : K[x] → K(a)$
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auf.
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Die universelle Eigenschaft des Quotientenkörpers $Q(K[x]) = K(x)$, angewendet
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auf $φ$, liefert genau einen Ringhomomorphismus $η : K(x) → K(a)$ mit $η◦ι =
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φ$, wobei $ι : K[x] → K(x)$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Wir wissen
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Folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Die Abbildung $η$ ist injektiv, denn sie ist ein Morphismus von einem
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Körper in einen Körper und wegen $η(1) = 1$ nicht die Nullabbildung,
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Lemma~\vref{lem:inj}.
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\item Das Bild von $η$ ist ein Unterkörper von $K(a)$, der das Element $a =
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φ(x)$ und den Körper $K = φ(K)$ enthält. Weil $K(a)$ der kleinste
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Unterkörper von $L$ ist, der $K$ und $a$ enthält, folgt
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$\operatorname{Bild}(η) = K(a)$; also ist $η$ auch surjektiv.
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\end{itemize}
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Insgesamt ist $η$ ein Isomorphismus zwischen $K(x)$ und $K(a)$.
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\end{proof}
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Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.
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\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}\index{Konstruktion!Dreiteilung des Winkels}%
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Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$. Falls $e^{i\varphi}$
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transzendent ist, dann ist $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi
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i}\})$. Die Dreiteilung des Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal
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nicht möglich.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{9-3}]
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Setze $M := \{0, 1, e^{i\varphi}\}$; dann ist $\overline{M} = \{0, 1,
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e^{-i\varphi}\}$. Weil $e^{-i\varphi} = (e^{i\varphi})^{-1}$ ist, gilt für
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den Körper aus Satz~\vref{Satz_von_Seite_69} die Gleichung
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\begin{equation*}
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K := ℚ(M ∪ \overline{M}) = ℚ(e^{i\varphi}).
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\end{equation*}
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Nach Annahme ist $e^{i\varphi}$ transzendent über $ℚ$.
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Satz~\vref{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal} liefert deshalb einen
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Isomorphismus
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\begin{equation*}
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η : ℚ(y) = Q(ℚ[y]) → K,
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\end{equation*}
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der $y$ auf $e^{i\varphi}$ abbildet; dabei bezeichnet $ℚ(y)$ den Körper der
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gebrochen-rationalen Funktionen in der Variablen $y$.
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\schritt{Behauptung: Es ist $[K(e^{i\varphi/3}) : K] = 3$.} Wenn die
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Behauptung gezeigt ist, sind wir fertig: Die Zahl $3$ ist keine Zweierpotenz,
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nach Satz~\vref{Satz_von_Seite_69} liegt $e^{i\varphi/3}$ also nicht in
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$\Kons(M)$.
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Um die Behauptung zu zeigen, betrachte das normierte Polynom
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\begin{equation*}
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f(x) = x³ - e^{i\varphi} ∈ K[x].
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\end{equation*}
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Offenbar ist $f(e^{i\varphi/3}) = 0$. Ich behaupte, dass $f$ in $K[x]$
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irreduzibel ist. Der Isomorphismus $η$ induziert einen Isomorphismus der
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Polynomringe $ℚ(y)[x] → K[x]$, der das Polynom $x³ - y$ auf $x³ -
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e^{i\varphi}$ abbildet. Es genügt also zu zeigen, dass $x³ - y$ in $ℚ(y)[x]$
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irreduzibel ist. Der Ring $R := ℚ[y]$ ist nach dem Satz von Gauß,
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Satz~\vref{Satz_Satz_von_Gauss}, faktoriell, und $ℚ(y)$ ist sein
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Quotientenkörper. Nach dem Irreduzibilitätskriterium von Gauß,
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Satz~\vref{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}, genügt es deshalb zu zeigen, dass
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$x³ - y$ im Ring $(ℚ[y])[x]$ irreduzibel ist. Das Element $y ∈ ℚ[y]$ ist
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irreduzibel (es hat Grad Eins) und damit im faktoriellen Ring $ℚ[y]$ auch
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prim. Aufgefasst als Polynom in der Variablen $x$ mit den Koeffizienten $a_0
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= -y$, $a_1 = a_2 = 0$ und $a_3 = 1$ aus $ℚ[y]$ ist $x³ - y$ ein
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Eisenstein-Polynom bezüglich $y$: Es ist $\ggT(a_0, …, a_3) = 1$, das
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Primelement $y$ teilt $a_0$, $a_1$ und $a_2$, und $y²$ teilt $a_0$ nicht.
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Nach dem Eisenstein-Kriterium, Satz~\vref{Satz_Eisenstein_Kriterium}, ist
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$x³-y$ also irreduzibel in $(ℚ[y])[x]$.
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Es bleibt zu begründen, dass $f$ das Minimalpolynom von $e^{i\varphi/3}$ über
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$K$ ist. Es sei $g ∈ K[x]$ das Minimalpolynom. Division mit Rest liefert $f
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= q·g + r$ mit Polynomen $q$, $r ∈ K[x]$ und $\deg r < \deg g$. Einsetzen von
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$e^{i\varphi/3}$ zeigt $r(e^{i\varphi/3}) = 0$; wegen der Minimalität des
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Grades von $g$ ist also $r = 0$, das heißt $g|f$. Weil $f$ irreduzibel und
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$g$ keine Einheit ist, sind $f$ und $g$ assoziiert; weil beide normiert sind,
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ist $f = g$. Mit Satz~\vref{satz:3-5-4} folgt
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\begin{equation*}
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[K(e^{i\varphi/3}) : K] = \deg f = 3,
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\end{equation*}
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und die Behauptung ist gezeigt.
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}
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Die Menge $\{ \varphi ∈ (0, 2π) \::\: e^{i\varphi} \text{ ist transzendent}\}$\index{transzendente Zahl}
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ist dicht in $(0, 2π)$. Insbesondere gibt es kein allgemeines
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Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels.
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\end{bemerkung}
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\begin{proof}
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Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch $\overline{z} =
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e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und $\overline{z}$ haben beide
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dasselbe Minimalpolynom. Also ist auch der Realteil
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\begin{equation*}
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\operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z})
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\end{equation*}
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algebraisch über $ℚ$. Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für die
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$e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
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\end{proof}
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\section{Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks}
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Auf die Frage, ob das regelmäßige $n$-Eck konstruierbar ist, können wir nur eine
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unvollständige Antwort geben.
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\begin{satz}
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\index{Konstruktion!n-Eck@des regelmäßigen $n$-Ecks}\index{Einheitswurzel}Es sei $p$ eine Primzahl. Wenn das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist,
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dann gibt es eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass $p-1=2^k$ ist.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{9-4}]
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Wenn das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist, dann liegt insbesondere die
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$p$.te Einheitswurzel $z := e^{2πi/p}$ in $\Kons(\{0,1\})$. Setze $M :=
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\{0,1\}$; dann ist $M = \overline{M}$ und $K := ℚ(M ∪ \overline{M}) = ℚ$.
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Nach Satz~\vref{Satz_von_Seite_69} gibt es also eine Zahl $k ∈ ℕ$ mit
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\begin{equation*}
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[ℚ(z) : ℚ] = 2^k.
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\end{equation*}
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Wir berechnen diesen Grad jetzt auf andere Weise. Die Zahl $z$ ist eine
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Nullstelle des Polynoms $x^p - 1 ∈ ℚ[x]$, und es gilt die Faktorisierung
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\begin{equation*}
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x^p - 1 = (x-1)·\underbrace{\bigl(x^{p-1} + x^{p-2} + ⋯ + x +
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1\bigr)}_{=:\, g}.
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\end{equation*}
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Wegen $z - 1 ≠ 0$ ist $g(z) = 0$. In Beispiel~\vref{bsp:7.2.7} haben wir
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mithilfe des Substitutionsmorphismus $x ↦ x+1$ und des Eisenstein-Kriteriums
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gesehen, dass $g$ in $ℚ[x]$ irreduzibel ist. Weil $g$ außerdem normiert ist,
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ist $g$ das Minimalpolynom von $z$ über $ℚ$\footnote{Das Minimalpolynom teilt
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$g$ nach Division mit Rest; weil $g$ irreduzibel ist und beide Polynome
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normiert sind, stimmen sie überein.}. Mit Satz~\vref{satz:3-5-4} folgt
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\begin{equation*}
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2^k = [ℚ(z) : ℚ] = \deg g = p-1,
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\end{equation*}
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und das war zu zeigen.
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\end{proof}
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Der Satz zeigt insbesondere, dass das regelmäßige $7$-Eck, das $11$-Eck, das
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$13$-Eck und das $19$-Eck jeweils nicht konstruierbar sind. Um die Frage nach
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der Konstruierbarkeit des $n$-Ecks vollständig zu beantworten, müssen wir unsere
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Methoden noch deutlich verbessern: Es genügt nicht nur, den Grad der
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Körpererweiterung zu betrachten; wir müssen auch die Symmetrien verstehen. Dazu
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ist wieder einmal Vorarbeit vonnöten.
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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