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\selectlanguage{german}
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\chapter{Der Quotientenkörper eines Integritätsrings}
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\section{Worum geht es?}
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\sideremark{Vorlesung 7}Das Ziel ist immer noch, Körpererweiterungen zu
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verstehen. Wir haben gesehen, dass algebraische Elemente und Minimalpolynome
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dabei eine wichtige Rolle spielen, können aber immer noch nicht entscheiden, ob
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ein gegebenes Polynom nun tatsächlich ein Minimalpolynom ist oder nicht! Wir
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wissen, dass Minimalpolynome irreduzibel sein müssen (sonst wäre ein echter
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Teiler ja ein Polynom von kleinerem Grad mit der gesuchten Nullstelle), aber wir
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wissen auch nicht, wie man entscheiden kann, ob ein Polynom irreduzibel ist.
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Wie wir später noch genauer sehen werden, kann man Irreduzibilität im Ring
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$ℤ[x]$ recht gut entscheiden --- wir sind aber meistens am Ring $ℚ[x]$
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interessiert, nicht an $ℤ[x]$. Die beiden Ringe hängen aber eng zusammen! In
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diesem vorbereitenden Kapitel klären wir erst einmal den Zusammenhang zwischen
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$ℤ$ und $ℚ$, oder allgemeiner, zwischen einem Integritätsring und seinem
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Quotientenkörper.
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\begin{frage}
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Es sei $R$ ein Ring. Können wir einen Körper $K$ konstruieren, der $R$ als
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Unterring enthält? Am besten so, dass $K$ möglichst klein ist.
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\end{frage}
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\begin{obs}
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$R$ muss ein Integritätsring sein, sonst habe ich überhaupt keine Chance -- in
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Körpern gibt es ja keine Nullteiler! Also fangen wir am besten mit einem
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Integritätsring an.
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\end{obs}
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Die folgende Definition klärt ganz präzise, was wir mit einem „möglichst kleinen
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Körper, der $R$ enthält“ eigentlich genau meinen. Wenn Sie bei mir die
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Vorlesung „Lineare Algebra“ gehört haben, dann wird Ihnen die folgende
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Definition sehr vertraut vorkommen. Falls nicht, ist jetzt die perfekte
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Gelegenheit, alles über „universelle Eigenschaften“ zu lernen.
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\begin{definition}[Quotientenkörper, \mathlib{RingTheory/Localization/FractionRing.html\#IsFractionRing}]
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Sei $R$ ein Integritätsring. Ein \emph{Quotientenkörper von
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$R$}\index{Quotientenkörper|textbf} ist ein Körper $K$ zusammen mit einem injektiven
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Ringhomomorphismus $ι : R → K$, sodass folgende universelle Eigenschaft\index{universelle Eigenschaft|textbf} gilt:
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Ist $j : R → L$ ein weiterer injektiver Ringhomomorphismus von $R$ in einen
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Körper $L$, dann existiert genau ein Ringhomomorphismus $h:K→ L$, sodass $j=h◦
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ι$ ist. Mit anderen Worten, es existiert genau ein Ringhomomorphismus, sodass
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das folgende Diagramm kommutiert,
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\[
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\begin{tikzcd}
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R \ar[r, hook, "ι"] \ar[d, equals] & K \ar[d, "∃ ! h"] \\
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R \ar[r, hook, "j"'] & L.
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\end{tikzcd}
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\]
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\end{definition}
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Wir merken gleich an, dass die Abbildung $h$ immer injektiv sein wird.
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\begin{lem}[\mathlib{RingTheory/SimpleRing/Basic.html\#RingHom.injective}]\label{lem:inj}
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Ein Homomorphismus $\varphi : K → S$ von einem Körper in einen Ring ist immer
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injektiv, oder die Nullabbildung.
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\end{lem}
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\begin{proof}
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Angenommen $\varphi$ ist nicht injektiv, dann existiert ein $x∈ K∖ \{0\}$ mit
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$\varphi(x) =0$. Dann ist
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\begin{equation*}
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\varphi(1) = \varphi(x· x^{-1}) = \varphi(x)·\varphi(x^{-1}) = 0.
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\end{equation*}
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Also gilt für alle $y∈ K$, dass
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\begin{equation*}
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\varphi(y)= \varphi(1· y) = \varphi(1)·\varphi(y) = 0
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\end{equation*}
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und $\varphi$ ist die Nullabbildung.
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\end{proof}
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\section{Eindeutigkeit und Existenz}
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Aus der universellen Eigenschaft folgt sofort die Eindeutigkeit des
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Quotientenkörpers. Den folgenden Beweis sollten Sie genau verstehen!
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\begin{satz}[Eindeutigkeit von Quotientenkörpern, \mathlib{RingTheory/Localization/FractionRing.html\#IsFractionRing.algEquiv}]\label{satz:edvq}\index{Quotientenkörper!Eindeutigkeit}
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Es sei $R$ ein Integritätsring und es seien $ι_1 : R → K_1$, $ι_2 : R → K_2$
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zwei Quotientenkörper. Dann gibt es genau einen Isomorphismus $h: K_1 → K_2$,
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sodass das folgende Diagramm kommutiert,
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\[
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\begin{tikzcd}
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R \ar[r, hook, "ι_1"] \ar[d, equals] & K_1 \ar[d, "∃ ! h\text{, isomorph}"] \\
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R \ar[r, hook, "ι_2"'] & K_2.
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\end{tikzcd}
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\]
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{7-1}]
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Die universelle Eigenschaft des Quotientenkörpers $ι_1 : R → K_1$, angewendet
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auf den injektiven Ringhomomorphismus $ι_2 : R → K_2$, liefert genau einen
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Ringhomomorphismus $h : K_1 → K_2$ mit $h◦ι_1 = ι_2$. Genauso liefert die
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universelle Eigenschaft von $ι_2 : R → K_2$, angewendet auf $ι_1$, genau einen
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Ringhomomorphismus $ℓ : K_2 → K_1$ mit $ℓ◦ι_2 = ι_1$. Es bleibt zu zeigen,
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dass $ℓ$ die Umkehrabbildung von $h$ ist.
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Betrachte dazu die Verkettung $ℓ◦h : K_1 → K_1$. Es gilt
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\begin{equation*}
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(ℓ◦h)◦ι_1 = ℓ◦(h◦ι_1) = ℓ◦ι_2 = ι_1.
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\end{equation*}
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Die Abbildung $ℓ◦h$ macht also das Diagramm aus der universellen Eigenschaft
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von $K_1$, angewendet auf $j = ι_1$, kommutativ. Die Identität $\Id_{K_1}$
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macht dasselbe Diagramm ebenfalls kommutativ. Nach der Eindeutigkeitsaussage
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der universellen Eigenschaft folgt
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\begin{equation*}
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ℓ◦h = \Id_{K_1}.
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\end{equation*}
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Ganz analog folgt $h◦ℓ = \Id_{K_2}$. Also ist $h$ ein Isomorphismus, und $h$
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ist als Ringhomomorphismus mit $h◦ι_1 = ι_2$ eindeutig.
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\end{proof}
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Der Witz ist, dass die Abbildung $h$ aus Satz~\ref{satz:edvq} eindeutig gegeben
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ist. Die Aussage „es existiert ein eindeutiger Morphismus“ ist eine viel
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bessere Aussage als „es existiert irgendein Morphismus (dessen Konstruktion
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vielleicht von irgendwelchen Wahlen abhängt, die ich treffen muss)“. Das ist
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super-wichtig! Man sagt, „Quotientenkörper sind eindeutig bis auf kanonische
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Isomorphie“.
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\begin{notation}
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Obwohl Quotientenkörper nur bis auf kanonische Isomorphie eindeutig sind,
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spricht man oft von „dem“ Quotientenkörper. Die Notation $Q(R)$ ist üblich.\index{*QR@$Q(R)$ (Quotientenkörper)|textbf}
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\end{notation}
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\begin{satz}[Existenz von Quotientenkörpern, \mathlib{RingTheory/Localization/FractionRing.html\#FractionRing}]\index{Quotientenkörper!Existenz}\index{Bruch}\index{Äquivalenzrelation}
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Es sei $R$ ein Integritätsring. Dann existiert ein Quotientenkörper.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{7-2}]
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\schritt{Schritt 1: Konstruktion von $Q(R)$ als Menge.} Betrachte die Menge
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\begin{equation*}
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M := \{ (a,b) ∈ R⨯ R \::\: b ≠ 0 \};
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\end{equation*}
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wir bezeichnen die Elemente von $M$ suggestiv als „Brüche“. Auf $M$
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definieren wir eine Relation durch
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\begin{equation*}
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(a_1, b_1) \sim (a_2, b_2) \quad:⇔\quad a_1·b_2 = a_2·b_1.
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\end{equation*}
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Reflexivität und Symmetrie sind klar. Für die Transitivität seien Brüche mit
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$(a_1,b_1) \sim (a_2,b_2)$ und $(a_2,b_2) \sim (a_3,b_3)$ gegeben, also
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$a_1·b_2 = a_2·b_1$ und $a_2·b_3 = a_3·b_2$. Multiplikation der ersten
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Gleichung mit $b_3$ und Einsetzen der zweiten Gleichung liefert
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\begin{equation*}
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a_1·b_2·b_3 = a_2·b_3·b_1 = a_3·b_2·b_1.
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\end{equation*}
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Weil $R$ ein Integritätsring und $b_2 ≠ 0$ ist, dürfen wir $b_2$ kürzen und
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erhalten $a_1·b_3 = a_3·b_1$, also $(a_1,b_1) \sim (a_3,b_3)$. Die Relation
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ist also eine Äquivalenzrelation. Definiere
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\begin{equation*}
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Q(R) := \factor{M}{\sim}
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\end{equation*}
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als Menge der Äquivalenzklassen, bezeichne die Klasse des Bruches $(a,b)$ mit
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$\frac{a}{b}$ und betrachte die Abbildung
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\begin{equation*}
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ι : R → Q(R), \quad a ↦ \frac{a}{1}.
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\end{equation*}
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\schritt{Schritt 2: $Q(R)$ ist ein Körper.} Wir definieren eine Addition auf
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dem Niveau von Repräsentanten,
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\begin{equation*}
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\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} := \frac{a_1·b_2 + a_2·b_1}{b_1·b_2},
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\end{equation*}
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und müssen die Wohldefiniertheit zeigen. Gegeben Elemente $\frac{a_1}{b_1} =
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\frac{a_1'}{b_1'}$ und $\frac{a_2}{b_2} = \frac{a_2'}{b_2'}$, müssen wir
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\begin{equation*}
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\frac{a_1·b_2 + a_2·b_1}{b_1·b_2} = \frac{a_1'·b_2' + a_2'·b_1'}{b_1'·b_2'}
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\end{equation*}
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zeigen, also die Gleichung
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\begin{equation*}
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b_1'·b_2'·(a_1·b_2 + a_2·b_1) = b_1·b_2·(a_1'·b_2' + a_2'·b_1').
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\end{equation*}
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Ausmultiplizieren und zweimaliges Einsetzen der bekannten Gleichungen
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$a_1·b_1' = a_1'·b_1$ und $a_2·b_2' = a_2'·b_2$ zeigt, dass beide Seiten
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übereinstimmen. Analog definiert man die Multiplikation durch
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\begin{equation*}
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\frac{a_1}{b_1}·\frac{a_2}{b_2} := \frac{a_1·a_2}{b_1·b_2};
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\end{equation*}
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auch hier ist Wohldefiniertheit zu zeigen --- Hausaufgabe! Jetzt rechnet man
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nach, dass $Q(R)$ mit diesen Verknüpfungen ein Körper ist: Das Nullelement ist
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$\frac{0}{1}$, das Einselement ist $\frac{1}{1}$, es gilt $\frac{a}{b} =
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\frac{0}{1}$ genau dann, wenn $a = 0$ ist, und für $a ≠ 0$ ist
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$\bigl(\frac{a}{b}\bigr)^{-1} = \frac{b}{a}$. Ebenso rechnet man nach, dass
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$ι$ ein Ringhomomorphismus ist; auch das ist Hausaufgabe. Injektivität von
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$ι$ ist klar, denn $\frac{a}{1} = \frac{a'}{1}$ bedeutet gerade $a = a'$.
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\schritt{Schritt 3: Die universelle Eigenschaft gilt.} Es sei $φ : R → L$ ein
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injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper $L$. Wir müssen zeigen, dass es
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genau einen Ringhomomorphismus $h : Q(R) → L$ mit $h◦ι = φ$ gibt. Als
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Vorüberlegung nehmen wir an, wir hätten ein solches $h$ schon gefunden. Dann
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gilt für alle $a ∈ R$ die Gleichung $φ(a) = h(ι(a)) =
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h\bigl(\frac{a}{1}\bigr)$, und für jedes Element $\frac{a}{b} ∈ Q(R)$ folgt
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\begin{equation}\label{eq:qkue}
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h\left(\frac{a}{b}\right)
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= h\left(\frac{a}{1}·\left(\frac{b}{1}\right)^{-1}\right)
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= h\left(\frac{a}{1}\right)·h\left(\frac{b}{1}\right)^{-1}
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= φ(a)·φ(b)^{-1};
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\end{equation}
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beachte dabei, dass $φ(b) ≠ 0$ ist, weil $φ$ injektiv und $b ≠ 0$ ist. Wenn
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$h$ existiert, ist $h$ also durch \eqref{eq:qkue} eindeutig festgelegt. Die
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Existenz von $h$ beweisen wir, indem wir \eqref{eq:qkue} als Definition
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nehmen. Die Gleichung $h◦ι = φ$ ist dann klar. Zu zeigen bleiben die
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Wohldefiniertheit und die Tatsache, dass $h$ ein Körpermorphismus ist ---
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Hausaufgabe!
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\end{proof}
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Wir hatten in der Einleitung davon gesprochen, dass der Quotientenkörper eines
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Ringes $R$ der kleinste Körper sein soll, der $R$ enthält. Die folgende
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Proposition macht diese Bemerkung präzise.
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\begin{prop}[\mathlib{RingTheory/Localization/FractionRing.html\#IsFractionRing.lift}]
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\index{Quotientenkörper}Sei $R$ ein Integritätsring. Dann ist $Q(R)$ in
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folgendem Sinne der kleinste Körper, der $R$ enthält: Sei $L$ ein weiterer
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Körper, der $R$ enthält. Dann existiert eine injektive Abbildung von $Q(R)$
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nach $L$, deren Einschränkung auf $R$ die Identität ist.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Universelle Eigenschaft und Lemma~\ref{lem:inj}.
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\end{proof}
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\section{Beispiele}
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Sie kennen schon viele Beispiele für Quotientenkörper! Ich nenne hier nur
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einige Beispiele und verzichte auf detaillierte Beweise; alle Behauptungen
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folgen direkt aus der Definition.
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\begin{bsp}[\mathlib{RingTheory/Localization/FractionRing.html\#Rat.isFractionRing}]
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Ist $R = ℤ$, dann ist $Q(R) = ℚ$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Ist $K$ ein Körper, so ist $Q(K) = K$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Betrachte den Ring aus Warnung~\vref{war:nufd},
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\[
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R := ℤ[\sqrt{-5}] = \{ a+b· \sqrt{-5} \::\: a,b ∈ ℤ \} ⊂ ℂ.
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\]
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Dann ist $Q(R)=ℚ(\sqrt{-5})$. Denn weil $R ⊂ ℂ$ ist, gibt es aufgrund der
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universellen Eigenschaft eine Injektion $Q(R) → ℂ$. Der Körper
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$ℚ(\sqrt{-5}) ⊆ ℂ$ ist aber der kleinste Unterkörper von $ℂ$, der sowohl $ℤ$
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als auch $\sqrt{-5}$ enthält.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Es sei $K$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $R := K[x_1, …, x_n]$ sei
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der Polynomring in $n$ Variablen. Dann ist $Q(R)$ der Körper der rationalen
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Funktionen in $n$ Variablen\index{gebrochen-rationale Funktionen}. Die Elemente sind Brüche der Form
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\[
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\frac{f(x_1, …, x_n)}{g(x_1, …, x_n)},
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||
\]
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wobei $f,g ∈ K[x_1, …, x_n]$ und $g ≠ 0$ ist. Die Schreibweise
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\[
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K(x_1, …, x_n) := Q(R)
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||
\]
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ist üblich.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ ein vollständiges
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Repräsentantensystem für die Klassen assoziierter Primelemente, wie in
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Situation~\vref{sit:5-5-1}. Jedes Element $v∈ Q(R)$ lässt sich dann auf
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eindeutige Weise schreiben als\index{Primfaktorzerlegung!normiert}
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\[
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||
v = ε \prod_{i ∈ I}p_i^{ν_i},
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\]
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||
wobei $ε ∈ R^*$, $ν_i ∈ ℤ$ und fast alle der $ν_i = 0$ sind.
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\end{bsp}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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