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\selectlanguage{german}
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\chapter{Teilbarkeit}
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\section{Wohin geht die Reise… ?}
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In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff
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„Minimalpolynom“ schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber
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gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet.
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\begin{problem}
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Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes
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Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$. Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das
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Minimalpolynom ist oder nicht?
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\end{problem}
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Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und
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Teilbarkeitsfragen in (Polynom-)Ringen. Hier kommt ein erster Hinweis, in
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welche Richtung die Argumentation geht.
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\begin{beobachtung}
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Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch
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über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt $g(x) ∈
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K[x]$ irgendein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule gelernt,
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dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende schreibt
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man
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\begin{equation*}
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g(x) = q(x)·f(x)+ r(x),
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\end{equation*}
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wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$
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als Nullstelle. Dann gilt:
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\begin{equation*}
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0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}+r(a).
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\end{equation*}
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Also hat $r$ auch $a$ als Nullstelle. Weil $f$ aber das Minimalpolynom ist,
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und $\deg r < \deg f$, ist muss wohl $r\equiv 0$ gelten. Als Konsequenz
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lernen wir: Jedes Polynom, das $a$ als Nullstelle hat, ist ein Vielfaches des
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Minimalpolynoms. Umgekehrt gilt auch: wenn ein Polynom $g$ gegeben ist, das
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$a$ als Nullstelle hat, dann finden wir das Minimalpolynom unter den Teilern
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von $g$.
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\end{beobachtung}
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\section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen}
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Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik
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machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den „Ring $K[x]$ der
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Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$“ eingeführt. Das geht auch mit Ringen
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statt Körpern.
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\begin{definition}[Polynomring, \mathlib{Algebra/Polynomial/Basic.html\#Polynomial}]\label{def:3-0-2r}%
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der
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Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring|textbf} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring
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der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$.
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und $4x²+3xy+y⁷ ∈
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ℤ[x,y]$.
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\end{bsp}
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\begin{beobachtung}
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Es gelten einige offensichtliche Gleichheiten wie
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\begin{align*}
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R[x,y] &= R[y,x] \\
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R[x,y] &= \bigl(R[x] \bigr)[y],
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\end{align*}
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die wir nicht formal beweisen werden.
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\end{beobachtung}
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Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom
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$3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$. In Integritätsringen
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verhält sich der Grad gut.
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\begin{satz}[\mathlib{Algebra/Polynomial/Degree/Operations.html\#Polynomial.degree_mul}]\label{Satz_Polynom_Grad}%
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Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann gilt für alle
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Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$. Wir
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verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle $n ≥
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0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$:
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\begin{equation*}
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\deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q).
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\end{equation*}
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Insbesondere ist $R[x]$ wieder ein Integritätsring.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$. Sei
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$n := \deg p$ und $m := \deg q$. Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus
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$R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, sodass wir schreiben können:
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\begin{align*}
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p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\
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q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m.
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\end{align*}
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Dann ist weiter
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\begin{equation*}
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p(x)·q(x) = r_0·s_0 + (r_1·s_0 + r_0·s_1)·x + \dots + r_ns_m·x^{n+m}.
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\end{equation*}
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Weil $R$ ein Integritätsring ist, ist $r_n·s_m ≠ 0$, und also ist
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$\deg (p·q) =n+m$.
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\end{proof}
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\begin{kor}[\mathlib{Algebra/Polynomial/Degree/Units.html\#Polynomial.isUnit_iff}]
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\index{Einheitengruppe}Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch der
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Polynomring $R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring. Für die Gruppe
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der Einheiten gilt
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\begin{equation*}
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R[x_1, …, x_n]^* = R^*,
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\end{equation*}
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wobei wir die Ringelemente aus $R^* ⊆ R$ als konstante Polynome
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auffassen.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Die erste Aussage folgt mit Induktion aus Satz~\vref{Satz_Polynom_Grad}. Die
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zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass $R[x]^*
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= R^*$ ist. Sei also $p ∈ R[x]^*$. Das bedeutet per Definition: Es existiert
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ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$. Dann folgt aber
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\[
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\deg p ≤ \deg p + \deg q = \deg (p·q) = \deg 1 = 0.
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\]
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Also ist $\deg p = 0$ und somit ist $p$ konstant.
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\end{proof}
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\begin{bsp}
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Es ist $ℤ[x_1, x_2]^* = ± 1$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Sei $K$ ein Körper. Dann ist $K[x_1, …, x_n]^* = K^* = K∖\{0\}$.
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\end{bsp}
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\section{Teilbarkeit in Ringen}
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In der (Grund-)Schule haben wir den Begriff „Teiler“ kennengelernt. In
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allgemeinen Ringen geht das nicht anders.
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\begin{defn}[Teiler, \mathlib{Algebra/Divisibility/Basic.html\#dvd_def}]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$. Man nennt $r$ einen
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\emph{Teiler von $s$}\index{Teiler|textbf}, wenn es $q ∈ R$ gibt, sodass $r·q = s$
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ist. Wir schreiben dann $r|s$.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Es gilt $2|16$ in $ℤ$. Es gilt $(x-1)|(x²-1)$ in $ℝ[x]$.
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\end{bsp}
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\begin{prop}[Offensichtliche Rechenregeln für Teiler]\label{Satz_Rechenregeln_Teiler}\index{Teiler}
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $r$, $s$, $t$, $s_1$, $s_2$, $u$ und $v$
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seien Elemente. Dann gilt Folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Es gilt $r|r$.
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\item Aus $r|s$ und $s|t$ folgt $r|t$.
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\item Aus $r|s_1$ und $r|s_2$ folgt $r|(s_1+s_2)$.
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\item Aus $r|s_1$ und $r|(s_1+s_2)$ folgt $r|s_2$.
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\item Aus $r|s$ und $u|v$ folgt $(r·u)|(s·v)$.
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\end{itemize}
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Keine Lust. Folgt alles direkt aus der Definition.
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\end{proof}
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Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war
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das Vorzeichnen meist nicht wichtig. Die folgende Definition formalisiert in
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bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“.
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\begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente, \mathlib{Algebra/GroupWithZero/Associated.html\#dvd_dvd_iff_associated}]
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Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei
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Elemente von $R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$.
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\item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, sodass
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$ε·r=s$ ist.
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\end{enumerate}
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Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander
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assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente|textbf} und schreibt $r \sim s$.
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\end{satzdef}
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\begin{proof}
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Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}.
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Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r =
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ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als Nächstes die Richtung
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\ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. Nach Annahme existieren
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$u,v∈ R$ mit
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\begin{equation*}
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u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r.
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\end{equation*}
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Falls $r=0$ gilt, folgt aus $r|s$, dass auch $s=0$ ist. Dann gilt $s=1·r$ mit
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$1∈R^*$. Sei nun $r\neq0$. Dann ist
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\begin{equation*}
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v·(u· r) = v·s \:⇒\: (v· u-1)·r = 0.
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\end{equation*}
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Weil $R$ ein Integritätsring ist und $r\neq0$ gilt, folgt $v· u =1$.
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Also sind $v$ und $u$ Einheiten in $R$. Mit $s=u·r$ ist damit
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$s=ε·r$ für $ε:=u∈R^*$.
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\end{proof}
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Wie in $ℤ$ gibt es in beliebigen Integritätsringen echte und nicht-echte
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Teiler.
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\begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente, \mathlib{Algebra/Group/Irreducible/Defs.html\#Irreducible}]
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Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei
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Elemente. Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{Teiler!echt|textbf}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten.
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\begin{itemize}
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\item Es gilt $r|s$.
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\item Das Element $r$ ist keine Einheit im Ring $R$.
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\item Die Elemente $r$ und $s$ sind nicht zueinander assoziiert.
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\end{itemize}
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Ein Element $r$ aus einem Integritätsring heißt
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\emph{irreduzibel}\index{irreduzibles Ringelement|textbf}, wenn $r$ nicht Null ist,
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keine Einheit ist und keine echten Teiler hat.
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\end{definition}
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\begin{notation}
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Wenn $r$ ein echter Teiler von $s$ ist, schreibt man $r||s$.\index{*rs@$r \Vert s$ (echter Teiler)|textbf}
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\end{notation}
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\begin{bsp}[Irreduzible Elemente von $ℤ$]\label{bsp:iZ}
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Die irreduziblen Elemente von $ℤ$ sind die Elemente der Form $± p$, wobei
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$p$ eine Primzahl ist.
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\end{bsp}
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\begin{warnung}
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Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich. Wir werden später für
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beliebige Ringe auch noch einen Begriff von „Primelement“ definieren.
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\end{warnung}
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\section{Zerlegbarkeit von Elementen}
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In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich
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ausführlich diskutiert: Jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von
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irreduziblen Elementen (=sogenannte „Primzahlen“) schreiben,
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\begin{equation*}
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m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n),
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\end{equation*}
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wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen
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eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe!
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\begin{warning}\label{war:nufd}%
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Zu früh gefreut. Geht nicht. Ich behaupte, dass die folgende Menge von
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komplexen Zahlen,
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\[
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R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\},
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\]
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einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit
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$ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet. Ich behaupte auch, dass die Elemente
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\[
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3, \quad 2+\sqrt{5}i \quad\text{und}\quad 2-\sqrt{5}i
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\]
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irreduzibel und paarweise nicht zueinander assoziiert sind. Es gilt aber
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schrecklicherweise
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\[
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3· 3 = 9 = (2+\sqrt{5}i)·(2-\sqrt{5}i).
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\]
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Das Element 9 aus $R$ hat also zwei sehr unterschiedliche Darstellungen als
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Produkt von irreduziblen Elementen.
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\end{warning}
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\subsection{Existenz von Zerlegungen}
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\sideremark{Vorlesung 5}Wir kümmern uns zuerst um die Frage, wann es überhaupt
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eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dazu sind folgende Definitionen
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relevant.
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\begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}%
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette|textbf}
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in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, sodass für alle $n
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∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$.
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\end{defn}
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\begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente, \mathlib{RingTheory/UniqueFactorizationDomain/Defs.html\#WfDvdMonoid}]\label{def:TKSE}%
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt \emph{in $R$ gilt der
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Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente|textbf}, wenn für
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jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, sodass für alle $k ≥
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n_0$ gilt: Die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert.
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\end{defn}
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\begin{rem}\label{rem:5-4-4}%
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Die Forderung „für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind assoziiert“
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lässt sich auch so ausdrücken: Es gibt nur endlich viele $n ∈ ℕ$, sodass
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$r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
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\end{rem}
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\begin{bsp}
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In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann
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gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist,
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dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper
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$K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad
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von Polynomen anstelle des Betrages.
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\end{bsp}
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\begin{warnung}
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In der Hausaufgabe werden wir sehen: es gibt Integritätsringe, in denen der
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Teilerkettensatz nicht gilt.
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\end{warnung}
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Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf
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Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von
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Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im
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3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir
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hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
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Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
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||
Noether} (Emmy war der Rufname; * 23.~März 1882 in Erlangen; † 14.~April 1935 in
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Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die grundlegende
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Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik lieferte.
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Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
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revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
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zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}.
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Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“\index{noethersche Induktion} bekannt.
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\begin{satz}[\mathlib{RingTheory/UniqueFactorizationDomain/Defs.html\#WfDvdMonoid.exists_factors}]\label{satz:tksgz}
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Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, in dem der Teilerkettensatz für
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Elemente gilt. Weiter sei $r ∈ R$ ein Element, welches weder 0 noch eine Einheit ist.
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Dann kann man $r$ als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen
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$p_i ∈ R$ schreiben.
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis, \video{5-1}]
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Wir führen einen Widerspruchsbeweis durch Noethersche Induktion und beginnen
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mit einer Vorüberlegung: Wenn $M ⊆ R$ eine nicht-leere Teilmenge ist, dann
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gibt es ein Element $m ∈ M$, das keine echten Teiler in $M$ hat. Andernfalls
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||
könnte ich nämlich, beginnend mit einem beliebigen Element $m_0 ∈ M$, induktiv
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eine Teilerkette $(m_n)_{n ∈ ℕ}$ konstruieren, in der $m_{n+1}$ stets ein
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echter Teiler von $m_n$ ist und in $M$ liegt. Das widerspricht dem
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||
Teilerkettensatz.
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||
Betrachte jetzt die Menge
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\begin{multline*}
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||
M := \{ r ∈ R \::\: r ≠ 0 \text{ und } r ∉ R^* \text{ und } r \text{ ist nicht als} \\
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||
\text{endliches Produkt von irreduziblen Elementen darstellbar} \}.
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||
\end{multline*}
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||
Wir müssen zeigen, dass $M$ leer ist. Wir argumentieren mit Widerspruch und
|
||
nehmen an, dass $M ≠ ∅$ ist. Nach der Vorüberlegung gibt es dann ein Element
|
||
$m ∈ M$, das keine echten Teiler in $M$ hat. Das Element $m$ ist nicht
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||
irreduzibel, denn sonst wäre $m$ trivialerweise als Produkt mit einem einzigen
|
||
Faktor darstellbar. Weil $m$ weder Null noch eine Einheit ist, hat $m$ also
|
||
einen echten Teiler: Wir können $m = a·b$ schreiben, wobei $a$ ein echter
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||
Teiler von $m$ ist.
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||
|
||
Ich behaupte, dass auch $b$ ein echter Teiler von $m$ ist. Offenbar gilt
|
||
$b|m$. Wäre $b$ eine Einheit, dann wäre $a = b^{-1}·m$ zu $m$ assoziiert ---
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||
im Widerspruch dazu, dass $a$ ein echter Teiler von $m$ ist. Wäre $b$ zu $m$
|
||
assoziiert, etwa $b = ε·m$ mit $ε ∈ R^*$, dann wäre $m = a·ε·m$, also $(1 -
|
||
a·ε)·m = 0$. Weil $m ≠ 0$ und $R$ nullteilerfrei ist, folgte $a·ε = 1$; dann
|
||
wäre $a$ eine Einheit --- wieder ein Widerspruch. Also ist $b$ weder Null
|
||
noch eine Einheit noch zu $m$ assoziiert, das heißt, $b$ ist ein echter Teiler
|
||
von $m$.
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||
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||
Nach Wahl von $m$ liegen die echten Teiler $a$ und $b$ nicht in der Menge $M$.
|
||
Beide Elemente sind weder Null noch Einheiten, also sind beide als endliche
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Produkte von irreduziblen Elementen darstellbar. Dann ist aber auch $m = a·b$
|
||
als endliches Produkt von irreduziblen Elementen darstellbar --- im
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||
Widerspruch zur Annahme $m ∈ M$. Also ist $M = ∅$ und der Satz ist bewiesen.
|
||
\end{proof}
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||
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\subsection{Eindeutigkeit von Zerlegungen}
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||
Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage
|
||
der Eindeutigkeit. Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis
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auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge. Zwei
|
||
Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne
|
||
wir „äquivalent“.
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\begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen]
|
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Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es
|
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seien
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\[
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||
r = p_1 ⋯ p_n = q_1 ⋯ q_m
|
||
\]
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||
zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen. Die
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Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen|textbf}, wenn
|
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gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, sodass für alle
|
||
Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$.
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\end{defn}
|
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||
\begin{bsp}
|
||
Betrachte $R = ℤ$. Dann sind $6 = 2·3 = (-3)·(-2)$ zwei äquivalente
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Darstellungen der Zahl $6$.
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\end{bsp}
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Wir wollen natürlich ein Kriterium dafür finden, dass für alle Elemente eines
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Ringes je zwei Darstellungen äquivalent sind. Die folgende Definition ist dabei
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wichtig.
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\begin{definition}[Primelemente eines Ringes, \mathlib{Algebra/Prime/Defs.html\#Prime}]
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Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ein Element $p ∈ R$ heißt
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\emph{prim}\index{Primelement|textbf}, wenn $p$ keine Einheit ist,
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$p ≠ 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass
|
||
$p|a$ oder $p|b$ gilt.
|
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\end{definition}
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\begin{satz}[Regeln im Umgang mit Primelementen, \mathlib{Algebra/Prime/Defs.html\#Prime.irreducible}]\index{Primelement}
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Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es sei $p ∈ R$. Dann gilt
|
||
Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_Prim_1} $p$ ist prim $⇒$ $p$ ist irreduzibel.
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||
\item\label{Satz_Prim_2} $p$ ist prim und $p \sim s$ $⇒$ $s$ ist prim.
|
||
\item\label{Satz_Prim_3} $p$ und $q$ sind prim und $p|q$ $⇒$
|
||
$p \sim q$.
|
||
\item\label{Satz_Prim_4} $p$ ist prim und $p|(a_1 ⋯ a_n)$
|
||
$⇒$ es existiert ein $i$ mit $p|a_i$.
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||
\end{enumerate}
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||
\end{satz}
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\begin{proof}
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Die meisten Punkte sind klar, es ist nur \ref{Satz_Prim_1} zu zeigen. Sei $p$
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also prim. Aus $p = a· b$ folgt dann $p|a$ oder $p|b$, also $p \sim a$
|
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oder $p \sim b$, das heißt $p$ ist irreduzibel.
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\end{proof}
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\begin{bsp}[Primzahlen]\label{satz:Zpirr}\index{Primzahl}
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||
In $ℤ$ ist ein Element genau dann prim, wenn es irreduzibel ist. Also: die
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||
Menge der Primelemente sind genau die Primzahlen. Der Beweis ist erstaunlich
|
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kompliziert. Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, nicht jedes
|
||
irreduzible Element in $ℤ$ sei prim. Die irreduziblen Elemente in $ℤ$ sind
|
||
aber gerade $±$ Primzahl. Also nehmen wir an, dass es eine kleinste
|
||
(positive) Primzahl $p ∈ ℤ$ mit der Eigenschaft gibt, dass es zwei Zahlen
|
||
$a,b ∈ ℤ$ gibt mit $p|(a· b)$ und $p \nmid a$ und $p \nmid
|
||
b$. Division mit Rest liefert:
|
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\begin{align*}
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a &= q_1· p+a_1, & 1&≤a_1<p,\\
|
||
b &= q_2· p+b_1, & 1&≤b_1<p.
|
||
\end{align*}
|
||
Dann gilt $p \nmid a_1$ und $p \nmid b_1$, aber
|
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\begin{equation*}
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||
a· b = p(q_1· q_2· p+ q_1· b_1+ q_2· a_1)+a_1· b_1,
|
||
\end{equation*}
|
||
also $p|(a_1· b_1)$. Betrachte jetzt die kleinste natürliche Zahl, die als
|
||
Produkt $a·b$ geschrieben werden kann, mit $p|(a· b)$ aber $p \nmid a$ und $p
|
||
\nmid b$. Nach der Untersuchung oben gilt: $1<a<p$ und $1<b<p$ also $1 < a· b
|
||
< p²$. Sei $h=\frac{a· b}{p}∈ℤ$, also $p· h = a· b$. Dann gilt $1<h$, weil
|
||
$p$ irreduzibel ist und $h<p$, weil $a· b <p²$. Sei nun $p^\prime$ ein
|
||
positiver irreduzibler Faktor von $h$ (möglicherweise sogar $h$ selbst, wenn
|
||
$h$ irreduzibel ist). Dann gilt natürlich auch $p^\prime< p$. Nach Wahl von
|
||
$p$ (kleinste Zahl, die irreduzibel ist und nicht prim) ist $p^\prime$ prim.
|
||
Da $p^\prime|h$, $h|(a· b)$ folgt $p^\prime|(a· b)$ und daraus folgt
|
||
$p^\prime|a$ oder $p^\prime|b$.
|
||
|
||
Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass $p^\prime|a$ gilt. Dann ist
|
||
$a=p^\prime· a^\prime$ und $h=p^\prime· h^\prime$ und somit
|
||
\begin{equation*}
|
||
p^\prime· h^\prime· p=p^\prime· a^\prime· b\quad⇒\quad h^\prime· p= a^\prime·b.
|
||
\end{equation*}
|
||
Weil $a^\prime· b< a· b$ ist, folgt $p|a^\prime$ oder $p|b$ nach Wahl
|
||
von $a· b$. Es folgt $p|a$ oder $p|b$, Widerspruch!
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{bsp}
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||
In dem Ring $R = ℤ[\sqrt{-5}] ⊂ ℂ$ ist nicht jedes irreduzible
|
||
Element prim. Das Element $2+\sqrt{-5}$ ist irreduzibel, teilt $3· 3$,
|
||
aber nicht $3$. Also ist $2+\sqrt{-5}$ nicht prim. Wir werden später sehen,
|
||
dass dies exakt der Grund ist, warum die Zerlegung in irreduzible Elemente
|
||
nicht eindeutig ist
|
||
\end{bsp}
|
||
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||
\begin{satz}[Zentraler Satz über die (eindeutige) Existenz von Zerlegungen, \mathlib{RingTheory/UniqueFactorizationDomain/Basic.html\#UniqueFactorizationMonoid.factors_unique}]\label{Satz_Zerlegung}\index{faktorieller Ring}
|
||
Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann sind die folgenden Aussagen
|
||
äquivalent.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item\label{Satz_Zerlegungen_1} Jedes Element $r∈ R$ mit $r≠ 0$ und
|
||
$r\not ∈ R^*$ hat eine Darstellung als Produkt von endlich vielen
|
||
irreduziblen Elementen von $R$ \emph{und} je zwei Darstellungen von $r$ sind
|
||
äquivalent.
|
||
|
||
\item\label{Satz_Zerlegungen_2} In $R$ gilt der Teilerkettensatz für Elemente
|
||
und jedes irreduzible Element von $R$ ist prim.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
|
||
---
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||
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||
\begin{itemize}
|
||
\item Richtung \ref{Satz_Zerlegungen_1}$⇒$\ref{Satz_Zerlegungen_2},
|
||
\video{5-2}: Es gelte also die eindeutige Zerlegbarkeit,
|
||
Bedingung~\ref{Satz_Zerlegungen_1}. Zur Abkürzung nennen wir eine
|
||
Darstellung eines Elementes als Produkt von endlich vielen irreduziblen
|
||
Elementen kurz eine „Zerlegung“; Elemente, die eine Zerlegung besitzen, sind
|
||
stets weder Null noch Einheiten.
|
||
|
||
\schritt{Schritt 1: Der Teilerkettensatz gilt.} Wir beginnen mit einer
|
||
Beobachtung. Es seien $r = r_1 ⋯ r_n$ und $s = s_1 ⋯ s_m$ Elemente mit
|
||
Zerlegungen. Wenn $r|s$ gilt, dann ist $n ≤ m$; wenn $r$ sogar ein echter
|
||
Teiler von $s$ ist, dann ist $n < m$. Um das einzusehen, schreibe $s =
|
||
r·t$. Falls $t$ eine Einheit ist, dann ist $s = r_1 ⋯ r_{n-1}·(r_n·t)$ eine
|
||
Zerlegung von $s$ der Länge $n$; weil je zwei Zerlegungen von $s$ äquivalent
|
||
sind, ist dann $m = n$, und $r$ und $s$ sind assoziiert. Falls $t$ keine
|
||
Einheit ist, dann ist $t ≠ 0$ (sonst wäre $s=0$) und $t$ besitzt nach
|
||
Annahme eine Zerlegung $t = t_1 ⋯ t_k$ mit $k ≥ 1$. Dann ist $r_1 ⋯ r_n·t_1
|
||
⋯ t_k$ eine Zerlegung von $s$ der Länge $n+k$, also ist $m = n+k > n$.
|
||
|
||
Es sei jetzt $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Teilerkette. Nach
|
||
Bemerkung~\vref{rem:5-4-4} genügt es zu zeigen, dass es nur endlich viele
|
||
Indizes $n$ gibt, bei denen $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist.
|
||
Beachte zuerst: Wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist, dann ist
|
||
$r_{n+1}$ weder Null noch eine Einheit\footnote{Einheiten sind per
|
||
Definition keine echten Teiler, und aus $0|r_n$ folgt $r_n = 0$, aber $0$
|
||
ist zu $0$ assoziiert.}, besitzt also eine Zerlegung. Beachte weiter: Sobald
|
||
ein Kettenglied weder Null noch eine Einheit ist, gilt dasselbe für alle
|
||
nachfolgenden Kettenglieder, bei denen ein echter Teiler vorliegt. Bei
|
||
jedem Index, an dem $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist und beide
|
||
Elemente Zerlegungen besitzen, wird die Länge der Zerlegung nach der
|
||
Beobachtung echt kleiner; bei allen anderen Indizes wächst sie nicht. Ab
|
||
dem ersten Kettenglied mit Zerlegung kann die Länge also nur endlich oft
|
||
echt fallen. Zusammen mit dem (höchstens einen) Index, an dem die Kette den
|
||
Wert Null verlässt, gibt es also nur endlich viele Indizes mit echten
|
||
Teilern, und der Teilerkettensatz ist gezeigt.
|
||
|
||
\schritt{Schritt 2: Jedes irreduzible Element ist prim.} Es sei $p ∈ R$
|
||
irreduzibel und es seien $a$, $b ∈ R$ mit $p|(a·b)$; wir müssen zeigen, dass
|
||
$p|a$ oder $p|b$ gilt. Falls $a·b = 0$ ist, dann ist $a=0$ oder $b=0$, weil
|
||
$R$ ein Integritätsring ist; die Behauptung gilt dann trivialerweise. Falls
|
||
$a$ eine Einheit ist, dann folgt aus $p|(a·b)$ sofort $p|b$, denn $b =
|
||
a^{-1}·(a·b)$; analog, falls $b$ eine Einheit ist. Es bleibt der Fall, dass
|
||
$a$ und $b$ beide weder Null noch Einheiten sind. Wähle Zerlegungen
|
||
\begin{equation*}
|
||
a = a_1 ⋯ a_m \quad\text{und}\quad b = b_1 ⋯ b_k
|
||
\end{equation*}
|
||
und schreibe $a·b = p·h$. Das Element $h$ ist nicht Null, denn sonst wäre
|
||
$a·b = 0$. Das Element $h$ ist auch keine Einheit: Sonst wäre $p·h$
|
||
irreduzibel und $a·b$ hätte zwei Zerlegungen der verschiedenen Längen $1$
|
||
und $m + k ≥ 2$, im Widerspruch zur Äquivalenz von Zerlegungen. Also
|
||
besitzt $h$ eine Zerlegung $h = h_1 ⋯ h_n$, und wir erhalten zwei
|
||
Zerlegungen desselben Elementes,
|
||
\begin{equation*}
|
||
p·h_1 ⋯ h_n = a_1 ⋯ a_m·b_1 ⋯ b_k.
|
||
\end{equation*}
|
||
Nach Annahme sind diese Zerlegungen äquivalent. Insbesondere gibt es auf
|
||
der rechten Seite einen Faktor, der zu $p$ assoziiert ist. Wenn dieser
|
||
Faktor eines der $a_i$ ist, dann gilt $p|a$; wenn er eines der $b_j$ ist,
|
||
dann gilt $p|b$.
|
||
|
||
\item Richtung \ref{Satz_Zerlegungen_2}$⇒$\ref{Satz_Zerlegungen_1},
|
||
\video{5-3}: Es gelte jetzt also der Teilerkettensatz, und jedes irreduzible
|
||
Element sei prim. Die Existenz von Darstellungen ist genau die Aussage von
|
||
Satz~\vref{satz:tksgz}. Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen: Für jedes
|
||
Element $r$ und jedes Paar von Darstellungen
|
||
\begin{equation*}
|
||
r = p_1 ⋯ p_n = q_1 ⋯ q_m
|
||
\end{equation*}
|
||
als Produkt von irreduziblen Elementen müssen wir zeigen, dass die beiden
|
||
Darstellungen äquivalent sind. Ohne Einschränkung sei $n ≤ m$; wir beweisen
|
||
die Aussage per Induktion nach der Länge $n$ der kürzeren Darstellung.
|
||
|
||
\schritt{Induktionsstart, $n = 1$.} Es ist $r = p_1 = q_1 ⋯ q_m$,
|
||
insbesondere ist $r$ irreduzibel. Wäre $m ≥ 2$, dann wäre $q_1$ ein echter
|
||
Teiler von $r$: Es gilt $q_1|r$, das irreduzible Element $q_1$ ist keine
|
||
Einheit, und $q_1$ ist nicht zu $r$ assoziiert, denn sonst wäre das Produkt
|
||
$q_2 ⋯ q_m$ eine Einheit und damit auch das irreduzible Element $q_2$. Das
|
||
widerspricht der Irreduzibilität von $r$. Also ist $m = 1$, und die
|
||
Darstellungen $r = p_1 = q_1$ sind offensichtlich äquivalent.
|
||
|
||
\schritt{Induktionsschritt, $n ≥ 2$.} Betrachte das Element $p_1$. Es ist
|
||
irreduzibel, nach Annahme also prim. Wegen $p_1|(q_1 ⋯ q_m)$ gibt es nach
|
||
Satz~\vref{Satz_Prim_4} einen Index $j$ mit $p_1|q_j$; nach Umnummerierung
|
||
dürfen wir $j = 1$ annehmen. Das Element $q_1$ ist ebenfalls irreduzibel,
|
||
also prim, und Satz~\vref{Satz_Prim_3} liefert $p_1 \sim q_1$. Schreibe
|
||
also $p_1 = ε·q_1$ mit einer geeigneten Einheit $ε ∈ R^*$. Insgesamt
|
||
erhalten wir
|
||
\begin{equation*}
|
||
(ε·q_1)·p_2 ⋯ p_n = q_1·q_2 ⋯ q_m.
|
||
\end{equation*}
|
||
Weil $R$ ein Integritätsring und $q_1 ≠ 0$ ist, dürfen wir $q_1$ kürzen,
|
||
\begin{equation*}
|
||
(ε·p_2)·p_3 ⋯ p_n = q_2 ⋯ q_m.
|
||
\end{equation*}
|
||
Das Element $ε·p_2$ ist zu $p_2$ assoziiert und deshalb ebenfalls
|
||
irreduzibel. Wir haben hier also zwei Darstellungen desselben Elementes der
|
||
Längen $n-1$ und $m-1$ vor uns; nach Induktionsannahme sind diese
|
||
äquivalent. Zusammen mit $p_1 \sim q_1$ und $ε·p_2 \sim p_2$ folgt, dass
|
||
auch die ursprünglichen Darstellungen $p_1·p_2 ⋯ p_n$ und $q_1·q_2 ⋯ q_m$
|
||
äquivalent sind. \qedhere
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{definition}[Faktorieller Ring, \mathlib{RingTheory/UniqueFactorizationDomain/Defs.html\#UniqueFactorizationMonoid}]
|
||
Ein kommutativer Integritätsring heißt \emph{faktoriell}\index{faktorieller Ring|textbf},
|
||
wenn er die Bedingungen von Satz~\ref{Satz_Zerlegung} erfüllt.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{rem}
|
||
In der Literatur findet man statt „faktoriell“ manchmal auch die Adjektive
|
||
\emph{ZPE}\index{ZPE|see{faktorieller Ring}} (= \textbf{Z}erlegung in \textbf{P}rimelemente ist
|
||
\textbf{E}indeutig) oder \emph{UFD}\index{UFD|see{faktorieller Ring}} (= \textbf{U}nique
|
||
\textbf{F}actorization \textbf{D}omain).
|
||
\end{rem}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Der Ring $ℤ$ ist faktoriell, denn wir haben gezeigt, dass jedes irreduzible
|
||
Element prim ist.
|
||
\end{bsp}
|
||
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||
\begin{bsp}
|
||
Körper sind trivialerweise faktoriell, denn $K ∖ \{0\} = K^*$.
|
||
\end{bsp}
|
||
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||
Weitere Beispiele lassen sich mit dem folgenden Satz finden.
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||
\begin{satz}[Satz von Gauß\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss}{Johann Carl Friedrich Gauß} (* 30.~April 1777 in Braunschweig; † 23.~Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät und Physiker.}, \mathlib{RingTheory/Polynomial/UniqueFactorization.html\#Polynomial.uniqueFactorizationMonoid}]\label{Satz_Satz_von_Gauss}\index{Gauß, Satz von!über faktorielle Polynomringe|textbf}
|
||
Es sei $R$ ein faktorieller Ring. Dann ist auch der Polynomring
|
||
$R[x_1, …, x_n]$ faktoriell.
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Die Ringe $ℤ[x_1, …, x_n]$ oder $ℚ[x_1, …, x_n]$ sind faktoriell.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
Der Beweis des Satzes von Gauß verwendet folgendes Lemma.\sideremark{Vorlesung
|
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6}
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||
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||
\begin{lem}[\mathlib{RingTheory/Polynomial/Basic.html\#Polynomial.prime_C_iff}]\label{Lemma_Hilfslemma}%
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ist $p ∈ R$ ein Primelement,
|
||
dann ist $p$ auch im Polynomring $R[x]$ prim.
|
||
\end{lem}
|
||
\begin{proof}[Beweis, \video{6-1}]
|
||
Zuerst beachte, dass $p$ in $R[x]$ weder Null noch eine Einheit ist: Aus $p·q
|
||
= 1$ mit $q ∈ R[x]$ folgt aus Gradgründen $q ∈ R$, aber $p$ ist keine Einheit
|
||
in $R$. Beachte weiter: Ein Polynom $g ∈ R[x]$ ist genau dann durch $p$
|
||
teilbar, wenn alle Koeffizienten von $g$ durch $p$ teilbar sind.
|
||
|
||
Wir argumentieren durch Kontraposition: Gegeben Polynome $g$, $h ∈ R[x]$ mit
|
||
$p \nmid g$ und $p \nmid h$, müssen wir zeigen, dass $p \nmid (g·h)$ ist.
|
||
Schreibe
|
||
\begin{equation*}
|
||
g(x) = \sum_{i=0}^{n} g_i·x^i \quad\text{und}\quad
|
||
h(x) = \sum_{j=0}^{m} h_j·x^j.
|
||
\end{equation*}
|
||
Nach der Vorüberlegung gibt es Indizes $i$ mit $p \nmid g_i$ und $j$ mit $p
|
||
\nmid h_j$; wähle $i$ und $j$ jeweils minimal. Betrachte jetzt den
|
||
Koeffizienten von $x^{i+j}$ im Produkt $g·h$, also
|
||
\begin{equation*}
|
||
\sum_{a+b = i+j} g_a·h_b.
|
||
\end{equation*}
|
||
Für jeden Summanden mit $(a,b) ≠ (i,j)$ gilt $a < i$ oder $b < j$; wegen der
|
||
Minimalität von $i$ und $j$ teilt $p$ dann $g_a$ beziehungsweise $h_b$, also
|
||
auch den Summanden $g_a·h_b$. Den verbleibenden Summanden $g_i·h_j$ teilt $p$
|
||
hingegen nicht: Weil $p$ prim in $R$ ist, würde aus $p|(g_i·h_j)$ nämlich
|
||
$p|g_i$ oder $p|h_j$ folgen. Insgesamt teilt $p$ den Koeffizienten von
|
||
$x^{i+j}$ von $g·h$ nicht. Also ist $g·h$ nicht durch $p$ teilbar, und das
|
||
war zu zeigen.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss}, \video{6-2}]
|
||
Es genügt, den Fall einer Variablen zu behandeln, also zu zeigen, dass $R[x]$
|
||
faktoriell ist: Wegen $R[x_1, …, x_n] = \bigl(R[x_1, …, x_{n-1}]\bigr)[x_n]$
|
||
folgt der allgemeine Fall dann durch Induktion nach der Anzahl der Variablen.
|
||
Zur Abkürzung nennen wir eine Darstellung eines Elementes als Produkt von
|
||
endlich vielen irreduziblen Elementen wieder eine „Zerlegung“. Wir verwenden
|
||
im Folgenden mehrfach, dass die Einheiten von $R[x]$ genau die Einheiten von
|
||
$R$ sind: Aus $g·h = 1$ folgt aus Gradgründen, dass $g$ und $h$ konstant sind.
|
||
Insbesondere ist ein konstantes Polynom genau dann irreduzibel in $R[x]$, wenn
|
||
es irreduzibel in $R$ ist.
|
||
|
||
\schritt{Schritt 1: Existenz von Zerlegungen.} Diesen Punkt bespricht das
|
||
Erklärvideo nur kurz. Nach Satz~\vref{satz:tksgz} genügt es zu zeigen, dass
|
||
in $R[x]$ der Teilerkettensatz gilt. Es sei also $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ eine
|
||
Teilerkette in $R[x]$. Falls alle $r_n$ Null sind, sind aufeinanderfolgende
|
||
Glieder assoziiert und es ist nichts zu zeigen; andernfalls sind ab einem
|
||
gewissen Index alle $r_n$ ungleich Null\footnote{Aus $0|r_n$ folgt $r_n=0$.
|
||
Einmal ungleich Null, immer ungleich Null.} und wir dürfen annehmen, dass alle
|
||
$r_n ≠ 0$ sind. Wegen $r_{n+1}|r_n$ ist die Folge der Grade $(\deg r_n)_{n∈ℕ}$
|
||
monoton fallend, also ab einem Index $N$ konstant. Für $n ≥ N$ ist dann $r_n
|
||
= c_n·r_{n+1}$ mit Konstanten $c_n ∈ R ∖ \{0\}$. Der Vergleich der
|
||
Leitkoeffizienten $a_n$ zeigt $a_n = c_n·a_{n+1}$; die Leitkoeffizienten
|
||
bilden also eine Teilerkette in $R$. Weil $R$ faktoriell ist, gilt in $R$ der
|
||
Teilerkettensatz, Satz~\vref{Satz_Zerlegung}. Also gibt es ein $N' ≥ N$,
|
||
sodass für alle $k ≥ N'$ die Elemente $a_{k+1}$ und $a_k$ assoziiert sind.
|
||
Dann ist $c_k$ jeweils eine Einheit, also sind auch $r_{k+1}$ und $r_k$
|
||
assoziiert, und der Teilerkettensatz in $R[x]$ ist gezeigt.
|
||
|
||
\schritt{Schritt 2: Ein minimales Gegenbeispiel.} Für die Eindeutigkeit
|
||
argumentieren wir mit Widerspruch und nehmen an, es gäbe ein Polynom $r ∈
|
||
R[x]$ mit zwei nicht-äquivalenten Zerlegungen,
|
||
\begin{equation*}
|
||
r = p_1 ⋯ p_k = q_1 ⋯ q_ℓ.
|
||
\end{equation*}
|
||
Ohne Einschränkung dürfen wir Folgendes annehmen.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item\label{il:gauss1} Der Grad $\deg r$ ist minimal unter allen
|
||
Polynomen, die nicht-äquivalente Zerlegungen besitzen.
|
||
|
||
\item\label{il:gauss2} Die Faktoren sind nach absteigendem Grad
|
||
sortiert: $m := \deg p_1 ≥ \deg p_2 ≥ ⋯$ und
|
||
$n := \deg q_1 ≥ \deg q_2 ≥ ⋯$
|
||
|
||
\item\label{il:gauss3} Es ist $n ≥ m$; andernfalls vertausche die
|
||
beiden Zerlegungen.
|
||
\end{enumerate}
|
||
Außerdem gilt Folgendes.
|
||
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
|
||
\item\label{il:gauss4} Es ist $\deg r > 0$. Wäre nämlich $r$ konstant,
|
||
dann bestünden aus Gradgründen beide Zerlegungen aus irreduziblen
|
||
Elementen von $R$, und weil $R$ faktoriell ist, wären die Zerlegungen
|
||
äquivalent. Zusammen mit \ref{il:gauss2} folgt insbesondere $m ≥ 1$,
|
||
denn wäre $\deg p_1 = 0$, dann wären alle $p_i$ konstant und damit
|
||
auch $r$.
|
||
|
||
\item\label{il:gauss5} Das Polynom $r$ ist nicht irreduzibel, denn sonst
|
||
hätten beide Zerlegungen die Länge Eins\footnote{Bei einer Zerlegung
|
||
$r = p_1·p_2⋯p_k$ der Länge $k ≥ 2$ wäre $p_1$ ein echter Teiler
|
||
des irreduziblen Elementes $r$.} und wären offensichtlich
|
||
äquivalent. Insbesondere ist $k ≥ 2$ und $ℓ ≥ 2$.
|
||
|
||
\item\label{il:gauss6} Das Element $p_1$ ist zu keinem der $q_i$
|
||
assoziiert. Andernfalls wäre nach Umnummerierung $p_1 = ε·q_1$ mit
|
||
einer Einheit $ε$, und Kürzen von $q_1$ lieferte zwei Zerlegungen
|
||
\begin{equation*}
|
||
(ε·p_2)·p_3 ⋯ p_k = q_2 ⋯ q_ℓ
|
||
\end{equation*}
|
||
desselben Polynoms vom Grad $\deg r - m < \deg r$. Diese wären nach
|
||
\ref{il:gauss1} beziehungsweise --- im konstanten Fall --- nach der
|
||
Faktorialität von $R$ äquivalent, und dann wären auch die
|
||
ursprünglichen Zerlegungen von $r$ äquivalent.
|
||
\end{enumerate}
|
||
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||
\schritt{Schritt 3: Das Hilfspolynom $s$.} Es seien $a$ und $b ∈ R$ die
|
||
Leitkoeffizienten von $p_1$ beziehungsweise $q_1$. Betrachte das Hilfspolynom
|
||
\begin{equation*}
|
||
s := a·r - b·p_1·x^{n-m}·q_2 ⋯ q_ℓ ∈ R[x].
|
||
\end{equation*}
|
||
Einsetzen der beiden Zerlegungen von $r$ liefert die zwei Darstellungen
|
||
\begin{align}
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||
\label{eq:gaussA} s & = \bigl(a·q_1 - b·p_1·x^{n-m}\bigr)·q_2 ⋯ q_ℓ \\
|
||
\label{eq:gaussB} s & = p_1·\bigl(a·p_2 ⋯ p_k - b·x^{n-m}·q_2 ⋯ q_ℓ\bigr).
|
||
\end{align}
|
||
In der Klammer von \eqref{eq:gaussA} heben sich die Leitterme weg: Beide
|
||
Summanden haben den Leitterm $a·b·x^n$. Also ist $\deg\bigl(a·q_1 -
|
||
b·p_1·x^{n-m}\bigr) < n$ und folglich
|
||
\begin{equation*}
|
||
\deg s < \deg r.
|
||
\end{equation*}
|
||
|
||
Ich behaupte, dass in jedem Fall $p_1 | (a·q_1)$ gilt. Wir unterscheiden zwei
|
||
Fälle.
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\begin{itemize}
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\item \emph{Fall 1: $s = 0$.} Weil $R[x]$ ein Integritätsring ist und die
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||
Faktoren $q_2, …, q_ℓ$ nicht Null sind, verschwindet in \eqref{eq:gaussA}
|
||
die Klammer: Es ist $a·q_1 = b·p_1·x^{n-m}$, insbesondere gilt
|
||
$p_1|(a·q_1)$.
|
||
|
||
\item \emph{Fall 2: $s ≠ 0$.} Wegen \eqref{eq:gaussB} gilt $p_1|s$;
|
||
insbesondere ist $s$ keine Einheit, denn sonst wäre auch das irreduzible
|
||
Element $p_1$ eine Einheit. Wir verfeinern jetzt \eqref{eq:gaussA} und
|
||
\eqref{eq:gaussB} zu Zerlegungen von $s$, indem wir die auftretenden
|
||
Klammern jeweils in irreduzible Faktoren zerlegen oder --- falls eine
|
||
Klammer eine Einheit ist --- in den benachbarten Faktor hineinziehen. So
|
||
entsteht aus \eqref{eq:gaussA} eine Zerlegung von $s$, in der jeder Faktor
|
||
entweder zu einem der Elemente $q_2, …, q_ℓ$ assoziiert oder ein
|
||
irreduzibler Faktor der Klammer $\bigl(a·q_1 - b·p_1·x^{n-m}\bigr)$ ist;
|
||
aus \eqref{eq:gaussB} entsteht eine Zerlegung von $s$, in der ein Faktor
|
||
zu $p_1$ assoziiert ist. Wegen $\deg s < \deg r$ sind je zwei Zerlegungen
|
||
von $s$ äquivalent --- nach der Minimalitätsannahme~\ref{il:gauss1}
|
||
beziehungsweise, falls $\deg s = 0$ ist, nach der Faktorialität von $R$.
|
||
Also ist $p_1$ zu einem Faktor der ersten Zerlegung assoziiert. Nach
|
||
\ref{il:gauss6} ist $p_1$ zu keinem der $q_i$ assoziiert. Also ist $p_1$
|
||
zu einem irreduziblen Faktor von $\bigl(a·q_1 - b·p_1·x^{n-m}\bigr)$
|
||
assoziiert und teilt deshalb dieses Polynom. Wegen $p_1 |
|
||
\bigl(b·p_1·x^{n-m}\bigr)$ folgt auch hier $p_1|(a·q_1)$.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\schritt{Schritt 4: Abstieg und Widerspruch.} Wir wissen jetzt: Es gibt ein
|
||
Polynom $h ∈ R[x]$ mit
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\begin{equation*}
|
||
p_1·h = a·q_1.
|
||
\end{equation*}
|
||
Ich behaupte, dass $a|h$ in $R[x]$ gilt. Falls $a$ eine Einheit ist, ist
|
||
nichts zu zeigen. Andernfalls sei $f ∈ R$ ein beliebiger irreduzibler Faktor
|
||
von $a$. Weil $R$ faktoriell ist, ist $f$ prim in $R$, und nach
|
||
Lemma~\vref{Lemma_Hilfslemma} ist $f$ auch prim in $R[x]$. Aus $f|(p_1·h)$
|
||
folgt also $f|p_1$ oder $f|h$. Der erste Fall ist unmöglich: Das irreduzible
|
||
Polynom $p_1$ hat keine echten Teiler, und die Konstante $f$ ist weder eine
|
||
Einheit noch wegen $\deg p_1 = m ≥ 1$ zu $p_1$ assoziiert. Also gilt $f|h$.
|
||
Wir können $f$ jetzt in der Gleichung $p_1·h = a·q_1$ auf beiden Seiten kürzen
|
||
und erhalten dieselbe Gleichung mit $a/f$ statt $a$ und $h/f$ statt $h$.
|
||
Indem wir so nacheinander alle irreduziblen Faktoren von $a$ abspalten, folgt
|
||
die Behauptung $a | h$.
|
||
|
||
Kürzen von $a$ liefert nun ein Polynom $h' ∈ R[x]$ mit
|
||
\begin{equation*}
|
||
p_1·h' = q_1.
|
||
\end{equation*}
|
||
Das Element $q_1$ ist irreduzibel und hat keine echten Teiler; weil $p_1$
|
||
keine Einheit ist, muss also $h'$ eine Einheit sein. Dann ist aber $p_1$ zu
|
||
$q_1$ assoziiert --- im Widerspruch zu \ref{il:gauss6}. Damit ist die Annahme
|
||
widerlegt und der Satz von Gauß bewiesen.
|
||
\end{proof}
|
||
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||
\section{Primfaktorzerlegung}
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||
Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann haben wir schon gesehen, dass ich jedes
|
||
Element auf „nahezu eindeutige Weise“ als Produkt von Primelementen schreiben
|
||
kann. So ist die Zahl $6 ∈ ℤ$ als $6 = 3·2$ oder $6 = (-3)·(-2)$ darstellbar.
|
||
Natürlich würde aber niemand freiwillig negative Zahlen verwenden, denn wir
|
||
finden positive Zahlen wesentlich angenehmer als negative. Eine derartige
|
||
Konvention kann man auch in beliebigen Ringen verwenden.
|
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||
Gegeben ein Ring $R$, dann ist die Relation „äquivalent“ eine Äquivalenzrelation
|
||
auf der Menge der Primelemente und zerlegt diese Menge deshalb in
|
||
Äquivalenzklassen. Um die Produktdarstellung noch etwas einfacher zu machen,
|
||
müssen wir aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter auswählen. Dann sind wir
|
||
in der folgenden Situation.
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\begin{situation}\label{sit:5-5-1}%
|
||
Es sei $R$ ein faktorieller Ring und $(p_i)_{i ∈ I}$ sei ein
|
||
Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen (das bedeutet:
|
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für jedes Primelement $p ∈ R$ gibt es genau einen Index $i$, sodass $p \sim
|
||
p_i$ ist).
|
||
\end{situation}
|
||
|
||
Ein „Repräsentantensystem von zueinander assoziierten Primelementen“ existiert
|
||
wegen des Auswahlaxioms natürlich immer, aber manchmal gibt es besonders
|
||
einleuchtende Wahlen.
|
||
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||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $R = ℤ$ und $(p_i)_{i ∈ ℕ}$ die Menge der \emph{positiven} Primzahlen.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $K$ ein Körper, es sei $R = K[x]$ und es seien $(p_i)_{i ∈ I}$ die
|
||
Menge der \emph{normierten} irreduziblen Polynome.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{satzdef}[Primfaktorzerlegung, \mathlib{RingTheory/UniqueFactorizationDomain/NormalizedFactors.html\#UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors}]\label{Satz_Primfaktorzerlegung}
|
||
In Situation~\ref{sit:5-5-1} besitzt jedes Element $r∈ R∖ \{0\}$ eine (bis auf
|
||
Reihenfolge) eindeutige Faktorisierung
|
||
\begin{equation*}
|
||
r = ε·\prod_{i∈I} (p_i)^{ν_i}
|
||
\end{equation*}
|
||
wobei $ε ∈ R^*$ und $ν_i ∈ ℕ$ sind; außerdem sind alle bis auf endlich viele
|
||
Exponenten gleich $0$. Diese Darstellung heißt \emph{normierte
|
||
Primfaktorzerlegung}\index{Primfaktorzerlegung!normiert|textbf} von $r$ zum
|
||
Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$.
|
||
\end{satzdef}
|
||
\begin{proof}
|
||
Hier ist nicht viel zu beweisen. Ist $r ∈ R^*$, so wähle $ε = r$ und setzt
|
||
$ν_i = 0$ für alle $i$. Ansonsten zerlege $r$ in irreduzible Faktoren,
|
||
$r = p'_{i_1}⋯p'_{i_n}$. Jeder Faktor $p'_{i_j}$ ist zu einem der $p_{i_j}$
|
||
assoziiert, also gib es $ε_j ∈ R^*$, sodass $p'_{i_j} = ε_j·p_{i_j}$ ist.
|
||
Setze $ε = \prod_{j=1}^n ε_j$ und fasse die Faktoren $p_•$, die mehrfach
|
||
auftauchen, zusammen. Die Eindeutigkeit ist klar.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
An einer normierten Primfaktorzerlegung kann man Teilbarkeitseigenschaften
|
||
sofort ablesen.
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||
|
||
\begin{beobachtung}
|
||
In Situation~\ref{sit:5-5-1} seien
|
||
\[
|
||
r = ε_r·\prod (p_i)^{ν_i} \quad\text{und}\quad
|
||
s = ε_s·\prod (p_i)^{μ_i}
|
||
\]
|
||
zwei Elemente zusammen mit ihren normierten Darstellungen. Dann gilt
|
||
Folgendes.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Es ist $r|s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung $ν_i ≤ μ_i$
|
||
gilt.
|
||
|
||
\item Es ist $r || s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ die Ungleichung
|
||
$ν_i ≤ μ_i$ gilt, wenn ein $j∈I$ mit $ν_j < μ_j$ existiert und wenn
|
||
zusätzlich nicht alle $ν_i$ verschwinden (also $r$ keine Einheit ist).
|
||
|
||
\item Es ist $r \sim s$ genau dann, wenn für alle $i∈I$ gilt, dass $ν_i = μ_i$
|
||
ist.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
|
||
\section{ggT und kgV}
|
||
|
||
Je nach Geburtsjahrgang haben Sie in Kindergarten, Vorschule, Grundschule,
|
||
Gymnasium oder Studium den Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ und „kleinstes
|
||
gemeinsames Vielfaches“ kennengelernt. Auch diese Begriffe übertragen sich ohne
|
||
weiteres auf Ringe.
|
||
|
||
\begin{defn}[Größter gemeinsamer Teiler, \mathlib{Algebra/GCDMonoid/Basic.html\#GCDMonoid.gcd}]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente.
|
||
Ein Element $g ∈ R$ heißt \emph{größter gemeinsamer Teiler von $r$ und $s$}\index{größter gemeinsamer Teiler|textbf}, wenn Folgendes gilt.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Es ist $g|r$ und $g|s$.
|
||
|
||
\item Für alle $t ∈ R$ gilt: $t|r$ und $t|s$ impliziert $t|g$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Man schreibt in dieser Situation oft $g = \ggT(r,s)$\index{ggT|see{größter gemeinsamer Teiler}}\index{*ggT@$\ggT$ (größter gemeinsamer Teiler)|textbf}.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{defn}[Kleinstes gemeinsames Vielfaches, \mathlib{Algebra/GCDMonoid/Basic.html\#GCDMonoid.lcm}]
|
||
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1 und es seien $r,s∈ R$ zwei Elemente. Ein
|
||
Element $v ∈ R$ heißt \emph{kleinstes gemeinsames Vielfaches}\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches|textbf} von $r$ und $s$, wenn Folgendes gilt.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Es ist $r|v$ und $s|v$.
|
||
|
||
\item Für alle $t ∈ R$ gilt: $r|t$ und $s|t$ impliziert $v|t$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Man schreibt in dieser Situation oft $v = \kgV(r,s)$\index{kgV|see{kleinstes gemeinsames Vielfaches}}\index{*kgV@$\kgV$ (kleinstes gemeinsames Vielfaches)|textbf}.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{definition}[Teilerfremde Elemente, \mathlib{Algebra/Divisibility/Units.html\#IsRelPrime}]
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1. Zwei Elemente $r,s ∈ R$ heißen
|
||
\emph{teilerfremd}\index{teilerfremd|textbf}, wenn der $1 = \ggT(r, s))$ ist.
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
\begin{warnung}
|
||
Obwohl man oft von „dem größten gemeinsamen Teiler“ spricht, ist der größte
|
||
gemeinsame Teiler nicht eindeutig! Wenn $g$ ein größter gemeinsame Teiler ist
|
||
und $ε ∈ R^*$, dann ist auch $ε·g$ ein größter gemeinsame Teiler! Mit unserer
|
||
Definition ist sowohl $3 = \ggT(6,9)$ als auch $-3 = \ggT(6,9)$. Dito für
|
||
$\kgV$.
|
||
\end{warnung}
|
||
|
||
\begin{warnung}
|
||
In den Übungen werden wir sehen, dass größte gemeinsame Teiler in beliebigen
|
||
Ringen im Allgemeinen nicht existieren!
|
||
\end{warnung}
|
||
|
||
In faktoriellen Ringen müssen wir uns über die Existenz von $\ggT$ und $\kgV$
|
||
keine Gedanken machen.
|
||
|
||
\begin{satz}[\mathlib{RingTheory/UniqueFactorizationDomain/GCDMonoid.html\#UniqueFactorizationMonoid.toGCDMonoid}]
|
||
\index{größter gemeinsamer Teiler}\index{kleinstes gemeinsames Vielfaches}Ist $R$ ein faktorieller Ring, dann existiert zu jedem Paar
|
||
$r,s ∈ R ∖ \{0\}$ ein größter gemeinsamer Teiler und ein kleinstes
|
||
gemeinsames Vielfaches.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
Wähle ein Repräsentantensystem $(p_i)_{i ∈ I}$ von zueinander assoziierten
|
||
Primelementen wie in Situation~\ref{sit:5-5-1}. Schreibe
|
||
\[
|
||
r = ε_r·\prod (p_i)^{ν_i} \quad\text{und}\quad s = ε_s·\prod (p_i)^{μ_i}.
|
||
\]
|
||
Dann ist
|
||
\begin{equation*}
|
||
\ggT(r,s) = \prod (p_i)^{\min(ν_i,μ_i)} \quad\text{und}\quad
|
||
\kgV(r,s) = \prod (p_i)^{\max(ν_i,μ_i)}. \qedhere
|
||
\end{equation*}
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
|
||
|
||
\subsection{Der Euklidische Algorithmus}
|
||
|
||
Die Primfaktorzerlegung eines Elementes in einem faktoriellen Ring zu bestimmen,
|
||
ist fast immer sehr schwer. In manchen Ringen kann man aber das kgV bestimmen,
|
||
ohne die Primfaktorzerlegung explizit zu kennen.
|
||
|
||
\begin{bsp}[\mathlib{Algebra/EuclideanDomain/Defs.html\#EuclideanDomain.gcd}]\label{bsp:5-6-7}
|
||
Sei $K$ ein Körper. Dann kann man im Ring $K[x]$ den \emph{Euklidischen Algorithmus}\index{euklidischer Algorithmus|textbf} verwenden. Seien also
|
||
$f,g∈ K[x]$ gegeben. Dann betrachte die Kette von Gleichungen, die man durch
|
||
Division mit Rest\index{Division mit Rest} bekommt
|
||
\begin{align}
|
||
f(x) &= q_1(x)· g(x)+r_1(x)&&\text{mit }\deg r_1 < \deg g\label{eq:Euklid_1}\\
|
||
g(x) &= q_2(x)·r_1(x)+r_2(x)&&\text{mit }\deg r_2 < \deg r_1\label{eq:Euklid_2}\\
|
||
r_1(x)&= q_3(x)·r_2(x)+r_3(x)&&\text{mit }\deg r_3 < \deg r_2 \\
|
||
r_2(x)&= q_4(x)·r_3(x)+r_4(x)&&\text{mit }\deg r_4 < \deg r_3 \\
|
||
r_3(x)&= q_5(x)·r_4(x)+r_5(x)&&\text{mit }\deg r_5 < \deg r_4 \\
|
||
r_4(x)&= q_6(x)·r_5(x)+r_6(x)&&\text{mit }\deg r_6 < \deg r_5 \\
|
||
&\qquad\vdots&&\qquad\vdots\nonumber\\
|
||
\intertext{denn da die Grade immer kleiner werden, muss die Division irgendwann aufgehen}
|
||
r_{n-2}(x) &= q_n(x)· r_{n-1}(x)+r_n(x)&&\text{mit } \deg r_{n} < \deg r_{n-1}\label{eq:Euklid_3}\\
|
||
r_{n-1}(x) &= q_{n+1}(x)· r_n(x)\label{eq:Euklid_4}
|
||
\end{align}
|
||
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{satz}
|
||
In Beispiel~\ref{bsp:5-6-7} ist $r_n = \ggT(f, g)$.
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
Sei $t(x)∈ K[x]$ ein Teiler von $f(x)$ und $g(x)$. Dann folgt aus
|
||
\eqref{eq:Euklid_1}: $t|r_1$. Aus \eqref{eq:Euklid_2} folgt $t|r_2$ und so
|
||
weiter bis schließlich $t|r_n$. Umgekehrt folgt aus \eqref{eq:Euklid_4}
|
||
$r_n|r_{n-1}$. Aus \eqref{eq:Euklid_3} folgt $r_n|r_{n-2}$ und so weiter.
|
||
Schließlich folgt $r_n|g$ und $r_n|f$.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Ein analoges Verfahren kennen Sie aus der Schule für $ℤ$. Für $R = ℤ[x]$
|
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lässt sich so ein Verfahren aber beispielsweise nicht anwenden!
|
||
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||
%%% Local Variables:
|
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%%% mode: latex
|
||
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
|