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\chapter{Algebraische und transzendente Elemente}
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\section{Körpererweiterungen}
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Jetzt beginnt die Vorlesung richtig: wir interessieren uns für
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Körpererweiterungen, also für Situationen, in denen wir einen (großen) Körper $L$
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haben und darin enthalten einen kleineren Körper $K$, zum Beispiel $ℚ ⊂ ℝ$. Die
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erste und zentrale Beobachtung beim Studium von Körpererweiterungen ist, dass
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nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind.
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\begin{beobachtung}
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In $ℝ$ gibt es verschiedene Sorten von nicht-rationalen Zahlen:
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\begin{itemize}
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\item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie
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\emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben, deren
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Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen „algebraisch“.
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\item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von Polynomen
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kommen --- diese Zahlen heißen „transzendent“.
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\end{itemize}
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\end{beobachtung}
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Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst
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einmal ein wenig Sprache fällig.
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\begin{definition}[Polynomring, \mathlib{Algebra/Polynomial/Basic.html\#Polynomial}]\label{def:3-0-2}%
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Es sei $K$ ein Körper. Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit
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Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring|textbf}
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\end{definition}
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\begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
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In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
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Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! Im
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Falle, wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
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Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …), aber nur endlich viele Abbildungen
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von $K$ nach $K$!
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\end{warnung}
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\begin{bsp}[Polynomring]
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Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$. Das Polynom $π·x + e$ liegt
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in $ℝ[x]$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Polynomring]
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Es sei $K = ℝ(z)$, der Körper der gebrochen-rationalen Funktionen aus
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Beispiel~\ref{bsp:2-3-3}. Dann ist
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\[
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\frac{2z+z²}{1+z³}·x²+\frac{1}{2}·x+z
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\]
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ein typisches Polynom aus $K[x]$.
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\end{bsp}
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Die korrekte Definition von „algebraisch“ und „transzendent“ ist jetzt die
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Folgende.
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\begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente, \mathlib{RingTheory/Algebraic/Defs.html\#IsAlgebraic}]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $a ∈ L$ heißt
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\emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisches Element|textbf}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes
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gilt.
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\begin{itemize}
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\item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom.
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\item Das Element $a$ ist eine Nullstelle von $f$. Genauer: Fasse das Polynom
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$f$ als Element von $L[x]$ auf. Dann ist die Bedingung, dass die zu $f$
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gehörende Abbildung $L → L$ das Element $a$ auf $0$ abbildet.
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\end{itemize}
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Ist $a$ nicht algebraisch, so nennt man $a$
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\emph{transzendent}\index{transzendentes Element|textbf}.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Betrachte die Körpererweiterung $ℝ/ℚ$. Die Zahl $\sqrt[3]{2}$ ist
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algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist. Der
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Freiburger Mathematiker Ferdinand
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Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
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Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.~April 1852 in
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Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker. Lindemann
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hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem Spaziergang auf dem
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Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten Arbeit \cite{MR1510165},
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dass die Zahl $π$ transzendent ist.\index{Lindemann, Satz von}
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\end{bsp}
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\section{Algebraische und transzendente Zahlen}
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Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die
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Körpererweiterung $ℂ/ℚ$. Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert.
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\begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen]
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Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man \emph{algebraische
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Zahlen}\index{algebraische Zahl|textbf}. Die anderen Elemente heißen
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\emph{transzendente Zahlen}\index{transzendente Zahl|textbf}.
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\end{defn}
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Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen. Der folgende Satz zeigt, dass
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jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen
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enthält.
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\begin{satz}[\mathlib{Algebra/AlgebraicCard.html\#Algebraic.countable}]\label{satz:3-2-2}%
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\index{algebraische Zahl}%
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Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit
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Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar. Jedes Polynom hat aber nur endlich
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viele Nullstellen.
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\end{proof}
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\section{Algebraische und transzendente Körpererweiterungen}
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\begin{defn}[Algebraische und transzendente Körpererweiterungen, \mathlib{RingTheory/Algebraic/Defs.html\#Algebra.IsAlgebraic}]
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Man nennt eine Körpererweiterung $L/K$
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\emph{algebraisch}\index{Körpererweiterung!algebraisch|textbf},
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wenn jedes Element $a ∈ L$ algebraisch über $K$ ist. Wenn $L/K$ nicht
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algebraisch ist, nennt man die Erweiterung
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\emph{transzendent}\index{Körpererweiterung!transzendent|textbf}.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ ist algebraisch. Denn wenn irgendeine komplexe
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Zahl $z$ gegeben ist, dann ist $z$ eine Nullstelle des Polynoms
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\[
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f(x) := (x-z)·(x-\overline{z}) = x²- \underbrace{(z+\overline{z})}_{∈
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ℝ}·x+\underbrace{z·\overline{z}}_{∈ ℝ}.
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\]
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Dies ist aber ein reelles Polynom, also in $ℝ[x]$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Satz~\ref{satz:3-2-2} (oder alternativ auch der Satz von Lindemann\index{Lindemann, Satz von}) sagt, dass
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$ℝ/ℚ$ transzendent ist.
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\end{bsp}
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\section{Das Minimalpolynom}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. Per
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Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$, welches $a$ als Nullstelle hat.
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Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
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irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
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ebenfalls $a$ als Nullstelle hat. Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$
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als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar
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Zusatzbedingungen stellt.
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\begin{description}
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\item[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad
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minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die $a$ als Nullstelle
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haben.
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\item[Normiertheit] Solche Polynome gibt es immer noch viele, aber wenn
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\begin{equation*}
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f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x]
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\end{equation*}
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ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung:
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„normiert“ bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
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\begin{equation*}
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\frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x]
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\end{equation*}
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ebenfalls das Element $a$ als Nullstelle.
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\end{description}
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Die zentrale Beobachtung ist jetzt, dass es nur ein einziges normiertes Polynom
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minimalen Grades gibt, das $a$ als Nullstelle hat. Denn wenn $f_1$ und $f_2$
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zwei unterschiedliche solche Polynome wären, dann hätte auch $f_1 - f_2$ das
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Element $a$ als Nullstelle. Aber der Grad von $f_1 - f_2$ ist kleiner als der
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Grad von $f_1$!
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\begin{defn}[Minimalpolynom, \mathlib{FieldTheory/Minpoly/Basic.html\#minpoly}]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
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Das (wie oben gesehen: eindeutig bestimmte!) normierte Polynom kleinsten
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Grades in $K[x]$, welches $a$ als Nullstelle hat, wird als
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\emph{Minimalpolynom}\index{Minimalpolynom|textbf} von $a$ über $K$ bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{defn}[Grad von Elementen in einer Körpererweiterung]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$. Dann definiert man
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den \emph{Grad von $a$ über $K$}\index{Grad!eines Elementes|textbf} wie folgt.
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\begin{itemize}
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\item Falls $a$ algebraisch über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$
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der Grad des Minimalpolynoms.
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\item Falls $a$ transzendent über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$
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unendlich.
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\end{itemize}
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Die Schreibweise $[a:K]$ ist üblich.\index{*aKGrad@$[a:K]$ (Grad eines Elementes)|textbf}
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$. Dann ist $[a:ℚ] ≤ 3$,
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denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$. Aber ist $f$ auch
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das Minimalpolynom?
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Der Satz von Lindemann\index{Lindemann, Satz von} sagt, dass $[π:ℚ] = ∞$ ist.
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\end{bsp}
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\begin{beobachtung}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
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Dann ist $[a:K] = 1$ gleichbedeutend dazu, dass $a$ in $K$ liegt.
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\end{beobachtung}
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\begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel]
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Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$). Weiter sei
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$b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: Es gilt die Gleichung
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$a² = b$). Dann gilt
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\[
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[a:K] =
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\left\{
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\begin{matrix}
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1 & \text{falls } a ∈ K \\
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2 & \text{sonst}
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\end{matrix}
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\right.
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\]
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\end{bsp}
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Die Umkehrung gilt ebenfalls, wie wir in Korollar~\vref{kor:ajQ} sehen
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werden.
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\section{Der Grad einer Körpererweiterung}
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Wenn $L/K$ eine Körpererweiterung ist, dann lässt sich $L$ auch als
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$K$-Vektorraum auffassen. Dabei ist die Vektoraddition einfach die Addition in
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$L$ und die skalare Multiplikation (= Multiplikation von Elementen aus $L$ mit
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Elementen aus $K$) ist die Multiplikation des Körpers $L$. Das erlaubt folgende
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Definition.
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\begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung, \mathlib{LinearAlgebra/Dimension/Finrank.html\#Module.finrank}]
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Die Dimension von $L$ als Vektorraum
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über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer Körpererweiterung|textbf}. Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich.\index{*LKGrad@$[L:K]$ (Grad einer Körpererweiterung)|textbf}
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\end{defn}
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\begin{defn}[Endliche Körpererweiterung, \mathlib{LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.html\#FiniteDimensional}]
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Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{endlich}\index{Körpererweiterung!endlich|textbf}, wenn $[L:K] < ∞$ ist.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder endlich-dimensionale
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$ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
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\end{bsp}
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\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen, \leanlink{elemente}, \mathlib{FieldTheory/IntermediateField/Adjoin/Basic.html\#IntermediateField.adjoin.finrank}]\label{satz:3-5-4}%
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\index{Grad!eines Elementes}\index{Grad!einer Körpererweiterung}\index{Minimalpolynom}%
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$. Dann gilt die
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Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}, falls $a$ transzendent ist, \video{3-1}]
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Wenn $a$ transzendent ist, dann ist $[a:K] = ∞$ und wir müssen zeigen, dass
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auch $[K(a):K] = ∞$ ist. Dazu genügt es zu zeigen, dass die unendliche Menge
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\begin{equation*}
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\{ 1, a, a², a³, a⁴, … \} ⊆ K(a)
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\end{equation*}
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linear unabhängig über $K$ ist. Falls nicht, dann gäbe es eine Zahl $m ∈ ℕ$
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und Elemente $λ_0, …, λ_m ∈ K$, die nicht alle gleich Null sind, sodass
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\begin{equation*}
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0 = \sum_{i=0}^{m} λ_i·a^i
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\end{equation*}
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ist. Dann wäre $a$ aber eine Nullstelle des Polynoms $f(x) = \sum_{i=0}^m
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λ_i·x^i ∈ K[x]$, welches nicht das Nullpolynom ist. Das widerspricht der
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Annahme, dass $a$ transzendent ist. Also ist $[K(a):K] = \dim_K K(a) = ∞$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}, falls $a$ algebraisch ist, \video{3-2}]
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Setze $m := [a:K]$ und schreibe das Minimalpolynom von $a$ über $K$ als
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\begin{equation*}
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f(x) = λ_0 + λ_1·x + λ_2·x² + ⋯ + λ_{m-1}·x^{m-1} + x^m ∈ K[x].
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\end{equation*}
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Die Menge $\{1, a, a², …, a^{m-1}\} ⊆ K(a)$ ist linear unabhängig über $K$:
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Jede nicht-triviale Linearkombination der Null lieferte nämlich ein Polynom
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vom Grad kleiner $m$, welches nicht das Nullpolynom ist und $a$ als Nullstelle
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hat --- im Widerspruch zur Minimalität des Grades des Minimalpolynoms.
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Betrachte deshalb den $m$-dimensionalen Untervektorraum
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\begin{equation*}
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V := \langle 1, a, a², …, a^{m-1} \rangle_K ⊆ K(a).
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\end{equation*}
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Ich behaupte, dass $V = K(a)$ ist; damit ist dann $[K(a):K] = \dim_K V = m$
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und der Satz ist bewiesen. Um die Behauptung zu zeigen, genügt es zu zeigen,
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dass $V$ ein Unterkörper von $K(a)$ ist. Denn $V$ enthält $K$ und das Element
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$a$, und $K(a)$ ist per Definition der kleinste Unterkörper, der $K$ und $a$
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enthält. Weil $V$ ein Untervektorraum ist, ist $V$ abgeschlossen unter der
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Addition. Es bleibt zu zeigen, dass $V$ auch abgeschlossen unter der
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Multiplikation und der Inversenbildung ist.
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\schritt{Abgeschlossenheit unter Multiplikation.} Weil $a$ eine Nullstelle des
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Minimalpolynoms $f$ ist, gilt die Gleichung
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\begin{equation*}
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a^m = -\sum_{i=0}^{m-1} λ_i·a^i ∈ V.
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\end{equation*}
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Durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung folgt induktiv, dass $a^n ∈ V$
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ist, für alle Zahlen $n ∈ ℕ$. Jedes Produkt von Elementen aus $V$ ist eine
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$K$-Linearkombination von Potenzen von $a$, also gilt für alle $v_1$, $v_2 ∈
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V$, dass $v_1·v_2 ∈ V$ ist.
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\schritt{Abgeschlossenheit unter Inversenbildung.} Es sei $y ∈ V$ mit $y ≠ 0$
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gegeben. Weil $V$ abgeschlossen unter der Multiplikation ist, liegen alle
|
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Potenzen $1$, $y$, $y²$, …, $y^m$ in $V$. Das sind $m+1$ Elemente in einem
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Vektorraum der Dimension $m$, also sind diese Elemente linear abhängig über
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$K$. Insbesondere ist $y$ algebraisch über $K$. Es sei
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\begin{equation*}
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g(x) = c_0 + c_1·x + ⋯ + c_{n-1}·x^{n-1} + x^n ∈ K[x]
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\end{equation*}
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das Minimalpolynom von $y$ über $K$. Dann ist $c_0 ≠ 0$: Andernfalls könnte
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ich nämlich in $g$ einmal $x$ ausklammern, also $g = x·h$ mit $h ∈ K[x]$ vom
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Grad $n-1$ schreiben. Weil $K(a)$ ein Körper und $y ≠ 0$ ist, folgte aus $0 =
|
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g(y) = y·h(y)$ schon $h(y) = 0$ --- im Widerspruch zur Minimalität des Grades
|
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von $g$. Aus der Gleichung
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\begin{equation*}
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0 = g(y) = y·\bigl(y^{n-1} + c_{n-1}·y^{n-2} + ⋯ + c_1\bigr) + c_0
|
||
\end{equation*}
|
||
folgt jetzt
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\begin{equation*}
|
||
\frac{1}{y} = \frac{y^{n-1} + c_{n-1}·y^{n-2} + ⋯ + c_1}{-c_0} ∈ V,
|
||
\end{equation*}
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||
denn der Zähler ist eine $K$-Linearkombination von Potenzen von $y$, liegt
|
||
also in $V$, und der Nenner $-c_0$ liegt in $K$.
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\end{proof}
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Die folgenden beiden Korollare sind total nützlich. Beide folgen direkt aus dem
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||
Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an
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dieser Stelle nicht.
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\begin{kor}[\mathlib{FieldTheory/IntermediateField/Adjoin/Basic.html\#IntermediateField.isAlgebraic_adjoin_simple}]
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||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$. Falls $[a:K] < ∞$ ist,
|
||
dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$. \qed
|
||
\end{kor}
|
||
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||
\begin{kor}[\mathlib{FieldTheory/IntermediateField/Adjoin/Basic.html\#IntermediateField.adjoin.powerBasis}]\label{kro:eord}%
|
||
\index{Adjunktion!eines Elementes}%
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||
Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom
|
||
Grad $n$. Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als
|
||
\[
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||
b = c_0 + c_1·a + c_2·a² + ⋯ + c_{n-1}·a^{n-1},
|
||
\]
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||
wobei $c_0, …, c_{n-1} ∈ K$ geeignete Elemente sind. \qed
|
||
\end{kor}
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||
|
||
Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$
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schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als $b = c_0 +
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c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind. Das ist ziemlich nützlich!
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Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für beliebige
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einfache Körpererweiterungen.
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\section{Ketten von Körpererweiterungen}
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Wir werden uns häufig einer Situation gegenübersehen, wo wir einen Körper $K$
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haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers
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hinzuadjungieren. Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden
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Oberkörpern. Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.
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\begin{satz}[Gradformel, \leanlink{gradformel}, \mathlib{LinearAlgebra/Dimension/Free.html\#Module.finrank_mul_finrank}]\label{satz:3-6-1}%
|
||
\index{Gradformel|textbf}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
|
||
Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$
|
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und $∞·n = ∞$, falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die Gleichung
|
||
\[
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||
[M:K] = [M:L]·[L:K].
|
||
\]
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}[Beweis, \video{3-3}]
|
||
Wir kümmern uns zuerst um die unendlichen Fälle; das Erklärvideo bespricht
|
||
diese Fälle nicht. Wenn $[L:K] = ∞$ ist, dann ist $L$ ein $K$-Untervektorraum
|
||
von $M$ von unendlicher Dimension, also ist auch $[M:K] = ∞$. Wenn $[M:L] =
|
||
∞$ ist, dann ist ebenfalls $[M:K] = ∞$, denn jedes endliche Erzeugendensystem
|
||
von $M$ als $K$-Vektorraum wäre wegen $K ⊆ L$ insbesondere ein endliches
|
||
Erzeugendensystem von $M$ als $L$-Vektorraum.
|
||
|
||
Es seien jetzt also $a := [L:K]$ und $b := [M:L]$ beide endlich. Wähle Basen
|
||
\begin{align*}
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||
ℓ_1, …, ℓ_a & \text{ von $L$ als $K$-Vektorraum und} \\
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m_1, …, m_b & \text{ von $M$ als $L$-Vektorraum}.
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\end{align*}
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Ich behaupte, dass die $a·b$ Produkte $(ℓ_i·m_j)_{1 ≤ i ≤ a,\: 1 ≤ j ≤ b}$
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eine Basis von $M$ als $K$-Vektorraum bilden; damit ist dann sofort $[M:K] =
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a·b$ gezeigt.
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\schritt{Die Produkte bilden ein Erzeugendensystem.} Es sei ein Element $m ∈
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M$ gegeben. Schreibe $m$ als $L$-Linearkombination der Basis $m_1, …, m_b$,
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\begin{equation*}
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m = \sum_{j=1}^{b} λ_j·m_j, \quad\text{wobei } λ_j ∈ L,
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\end{equation*}
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und schreibe danach jeden der Koeffizienten $λ_j$ als $K$-Linearkombination
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der Basis $ℓ_1, …, ℓ_a$,
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\begin{equation*}
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λ_j = \sum_{i=1}^{a} μ_{ij}·ℓ_i, \quad\text{wobei } μ_{ij} ∈ K.
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\end{equation*}
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Einsetzen liefert
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\begin{equation*}
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m = \sum_{j=1}^{b} \left( \sum_{i=1}^{a} μ_{ij}·ℓ_i \right)·m_j
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= \sum_{i,j} μ_{ij}·(ℓ_i·m_j).
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\end{equation*}
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\schritt{Die Produkte sind linear unabhängig.} Es sei eine $K$-lineare
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Relation gegeben, das heißt
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\begin{equation*}
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0 = \sum_{i,j} μ_{ij}·(ℓ_i·m_j), \quad\text{wobei } μ_{ij} ∈ K.
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\end{equation*}
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Umsortieren liefert
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\begin{equation*}
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0 = \sum_{j=1}^{b} \underbrace{\left( \sum_{i=1}^{a} μ_{ij}·ℓ_i \right)}_{∈\, L}·m_j.
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\end{equation*}
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Dies ist eine $L$-lineare Relation unter den Basiselementen $m_j$, also
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verschwinden alle Koeffizienten: Für jeden Index $j$ ist $\sum_{i=1}^a
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μ_{ij}·ℓ_i = 0$. Das wiederum ist jeweils eine $K$-lineare Relation unter den
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Basiselementen $ℓ_i$, also ist $μ_{ij} = 0$ für alle Indizes $i$ und $j$.
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\end{proof}
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\begin{kor}[\mathlib{LinearAlgebra/Dimension/Free.html\#Module.finrank_dvd_finrank_right}]
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Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen. Wenn $[M:K]$ endlich
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ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von $[M:K]$. Insbesondere
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gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist. \qed
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\end{kor}
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\begin{kor}\label{cor:3-6-3}%
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\index{Körpererweiterung!einfach}%
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Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung, sodass $[L:K]$ eine Primzahl
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ist. Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist. \qed
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\end{kor}
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\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}%
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\index{Adjunktion!einer Quadratwurzel|textbf}%
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Es sei $K$ ein Körper, in dem das Element $2 := 1+1$ ungleich $0$ ist (zum
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Beispiel $K = ℚ$). Weiter sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.
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Dann entsteht $L$ aus $K$ durch Adjunktion einer Quadratwurzel. Genauer: es
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gibt Elemente $a ∈ L$ und $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
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\begin{itemize}
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\item Es gilt die Gleichung $a² = b$.
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\item Es ist $L=K(a)$.
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\end{itemize}
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\end{kor}
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\begin{proof}[Beweis, \video{3-4}]
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Die Körpererweiterung $L/K$ hat den Grad $[L:K] = 2$; sie ist also
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insbesondere algebraisch und ihr Grad ist eine Primzahl. Nach
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Korollar~\ref{cor:3-6-3} existiert deshalb ein Element $y ∈ L$, sodass $L =
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K(y)$ ist. Nach Satz~\ref{satz:3-5-4} ist dann $[y:K] = [K(y):K] = 2$, das
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Minimalpolynom von $y$ hat also die Form
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\begin{equation*}
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x² + λ_1·x + λ_0 ∈ K[x],
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\end{equation*}
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und es gilt die Gleichung $y² + λ_1·y + λ_0 = 0$. Wie beim Lösen einer
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quadratischen Gleichung ergänzen wir quadratisch. Weil das Element $2$ in $K$
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ungleich Null ist, können wir das Element
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\begin{equation*}
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a := y + \frac{λ_1}{2} ∈ L
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\end{equation*}
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betrachten. Weil sich $a$ und $y$ nur um das Körperelement $λ_1/2 ∈ K$
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unterscheiden, ist $K(a) = K(y) = L$. Zusätzlich rechnen wir nach, dass
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\begin{equation*}
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a² = y² + λ_1·y + \left(\frac{λ_1}{2}\right)²
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= \underbrace{\bigl(y² + λ_1·y + λ_0\bigr)}_{=\,0}
|
||
+ \left(\frac{λ_1}{2}\right)² - λ_0
|
||
= \left(\frac{λ_1}{2}\right)² - λ_0
|
||
\end{equation*}
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ist. Setze also $b := (λ_1/2)² - λ_0 ∈ K$. Dann ist $a² = b$ und $L = K(a)$,
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wie behauptet.
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\end{proof}
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Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.
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\begin{satz}\label{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}
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\index{Körpererweiterung!endlich}%
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$.
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\item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$
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und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass $L = K(a_1, …,
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a_n)$ ist.
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\item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$,
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die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: $L =
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K(a_1, …, a_n)$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}]
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Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also sind alle
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diese Elemente algebraisch. Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man zum Beispiel
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einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}]
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Hier ist nichts zu zeigen.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}]
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Sei $L = K(a_1, …, a_n)$. Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und
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die Kette von Erweiterungen
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\[
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K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L.
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\]
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Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$;
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insbesondere ist per Annahme („$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$“) und
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Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.
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Wiederholte Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
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\[
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[L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i],
|
||
\]
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und diese Zahl ist endlich, weil jeder Faktor endlich ist.
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\end{proof}
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\section{Die Transitivität der Algebraizität}
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Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus
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Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig
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sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen. Die erste ist der Satz über
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die „Transitivität der Algebraizität“.
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\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität, \leanlink{transitivitaet}, \mathlib{RingTheory/Algebraic/Integral.html\#Algebra.IsAlgebraic.trans}]\label{kor:TdA}%
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\index{Transitivität der Algebraizität|textbf}\index{Körpererweiterung!algebraisch}%
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Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen. Dann ist auch
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$M/K$ algebraisch.
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\end{kor}
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\begin{proof}[Beweis, \video{3-5}]
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Es sei ein Element $m ∈ M$ gegeben. Wir wissen, dass $m$ algebraisch über $L$
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ist; es sei
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\begin{equation*}
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f(x) = λ_0 + λ_1·x + ⋯ + λ_{n-1}·x^{n-1} + x^n
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||
\end{equation*}
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das Minimalpolynom von $m$ über $L$. Die Koeffizienten $λ_i$ liegen in $L$.
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||
Betrachte jetzt den Körper $Z := K(λ_0, …, λ_{n-1})$ und die Kette von
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||
Körpererweiterungen
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\begin{equation*}
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||
K ⊆ Z ⊆ Z(m) \ni m.
|
||
\end{equation*}
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Die Erweiterung $L/K$ ist algebraisch, also sind die endlich vielen Elemente
|
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$λ_0, …, λ_{n-1}$ allesamt algebraisch über $K$.
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Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen} sagt deshalb, dass $[Z:K] <
|
||
∞$ ist. Weiter liegt das Polynom $f$ in $Z[x]$ und hat $m$ als Nullstelle.
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Also ist $m$ auch algebraisch über $Z$, und Satz~\ref{satz:3-5-4} liefert
|
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$[Z(m):Z] < ∞$. Mit der Gradformel, Satz~\ref{satz:3-6-1}, folgt
|
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\begin{equation*}
|
||
[Z(m):K] = [Z(m):Z]·[Z:K] < ∞.
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||
\end{equation*}
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||
Wieder nach Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen} ist die
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Erweiterung $Z(m)/K$ dann algebraisch. Insbesondere ist das Element $m ∈
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Z(m)$ algebraisch über $K$.
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\end{proof}
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\begin{warnung}[Prüfungsfalle]
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Der Satz über die Transitivität der Algebraizität wird in Prüfungen sehr gern
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gefragt. Beachten Sie, dass der Beweis ziemlich indirekt ist. In Prüfungen
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sehen wir oft, dass Kandidatinnen und Kandidaten für ein gegebenes $a ∈ M$
|
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direkt ein Minimalpolynom konstruieren wollen. Das hat in der Geschichte der
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Mathematik noch in keiner Prüfung funktioniert. Lassen Sie das!
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\end{warnung}
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||
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\begin{satzdef}[Algebraischer Abschluss in einem Oberkörper, \mathlib{FieldTheory/AlgebraicClosure.html\#algebraicClosure}]\label{satzdef:aaieO}
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Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann bildet die Menge
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\[
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\overline{K} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist algebraisch über } K \}
|
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\]
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einen Unterkörper von $L$, genannt der \emph{algebraische Abschluss von $K$ im
|
||
Oberkörper $L$}\index{algebraischer Abschluss!in Oberkörper|textbf}.
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\end{satzdef}
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\begin{proof}[Beweis, \video{3-6}]
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Die Menge $\overline{K}$ enthält den Körper $K$; insbesondere ist sie nicht
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leer. Wir müssen zeigen, dass $\overline{K}$ abgeschlossen unter der
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Addition, der Multiplikation und der Inversenbildung ist. Es seien also $a$,
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$b ∈ \overline{K}$ gegeben, das heißt: $a$ und $b$ sind Elemente von $L$, die
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algebraisch über $K$ sind. Wir müssen zeigen, dass die Elemente $a+b$, $-a$,
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||
$a·b$ und gegebenenfalls $1/a$ wieder in $\overline{K}$ liegen, also
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algebraisch über $K$ sind. Alle diese Elemente liegen aber im Unterkörper
|
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$K(a,b) ⊆ L$. Weil $a$ und $b$ algebraisch über $K$ sind, sagt
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Satz~\vref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, dass die Erweiterung
|
||
$K(a,b)/K$ algebraisch ist. Also ist jedes Element von $K(a,b)$ algebraisch
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über $K$, und das war zu zeigen.
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\end{proof}
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\begin{kor}
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Die Menge $\overline{ℚ}$ der algebraischen Zahlen\index{algebraische Zahl}
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bildet einen Unterkörper von $ℂ$. \qed
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\end{kor}
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\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}%
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Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von
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„algebraischem Abschluss“ diskutieren, der nicht von der Wahl eines
|
||
Oberkörpers abhängt. Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln!
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\end{warnung}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
|
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%%% End:
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