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\selectlanguage{german}
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\chapter{Ideale}
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\label{chapt:09}
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\section{Wohin geht die Reise?}
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Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach
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der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu
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können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und
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vielleicht irgendwann auch definieren, was mit „Symmetrie einer
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Körpererweiterung“ gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir
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Körpererweiterungen besser beschreiben. Die Idee ist die: gegeben eine
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einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon,
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dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form
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\[
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k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1}
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\]
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schreiben könne, wobei die $k_•$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$
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sind. Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den
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komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben
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lassen. Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der
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Substitutionsmorphismus
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\[
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φ : K[x] → K(α), \quad f ↦ f(α)
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\]
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ist ein \emph{surjektiver} Ringmorphismus! Wie bei Vektorräumen, Gruppen, …
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liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben,
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\begin{equation}\label{eq:xx}
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K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}.
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\end{equation}
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Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum
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SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$“ mit
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\texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der
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Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben.
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Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation ganz
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sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem vertrauten
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Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper $K(α)$. Um
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alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal überlegen, was
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für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was „Quotient“ genau
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bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die Menge $\ker φ$ ist das
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typische Beispiel eines „Ideals im Ring $K[x]$“.
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\section{Elementare Definitionen}
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Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende.
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\begin{defn}[Ideal]\label{def:ideal}
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Eine nicht-leere Teilmenge
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$I ⊆ R$ heißt \emph{Ideal}\index{Ideal}, wenn folgendes gilt.
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\begin{enumerate}[ref = Bedingung (\roman*{})]
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\item Für alle Elemente $a,b ∈ I$ ist $a+b ∈ I$.
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\item Für alle Elemente $r ∈ R$ und $a∈ I$ ist $r· a∈ I$.
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\end{enumerate}
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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Man kann Ideale auch in nicht-kommutativen Ringen definieren. Dann muss man
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aber zwischen Links- und Rechtsmultiplikation unterscheiden: je nachdem, ob
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man in der Definition $r·a$ oder $a·r$ schreibt, definiert man ein Links- oder
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Rechtsideal\index{Linksideal}\index{Rechtsideal}. Ideale, die sowohl Links-
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als auch Rechtsideale sind, heißen beidseitige Ideale\index{beidseitiges
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Ideal}. In kommutativen Ringen, für die wir uns hier interessieren, fallen
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diese Begriffe zusammen.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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Der Name \emph{Ideal} geht auf
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Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst
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Eduard Kummer} (* 29.~Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.~Mai 1893 in
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Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem
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mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und
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Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius
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Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.~Oktober 1831 in Braunschweig; † 12.~Februar
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1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer hatte bei der
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Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen Ringen wie
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$ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind hat dann den
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Idealbegriff geprägt.
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\end{bemerkung}
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\begin{bsp}[Triviale Ideale]
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In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise
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Ideale. Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale.
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Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann
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ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element $r
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∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist
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\[
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r = (r·a^{-1})·a ∈ I.
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\]
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Also ist $I=R$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Ideale in $ℤ$]
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Die Menge der geraden Zahlen bildet ein Ideal in $ℤ$. Die Menge der
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Primzahlen ist so ungefähr das Gegenteil von einem Ideal.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Kern eines Ringmorphismus]
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Der Kern eines Ringmorphismus ist immer ein Ideal.
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\end{bsp}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=6cm]{figures/Cubic_with_double_point}
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Nullstelle des Polynoms $y²-x²(x+1) ∈ ℝ[x,y]$.
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\bigskip
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Auf \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/ecp-de/}{meiner Homepage} finden
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Sie ein Programm, um mit diesen Kurven zu spielen. Sie können das Programm
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auch
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\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{direkt
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im Browser laufen lassen}. Abbildung Public Domain aus
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\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Crunode#/media/File:Cubic_with_double_point.svg}{Wikipedia}.
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\caption{Knotenkurve}
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\label{fig:node}
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\end{figure}
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\begin{bemerkung}[Durchschnitte]
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Es sei $R$ ein Ring und $(I_i)_{i ∈ I}$ seien Ideale von $R$. Dann ist auch
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der Durchschnitt
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\begin{equation*}
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\bigcap_{i ∈ I} I_i
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\end{equation*}
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ein Ideal. Beachte dazu, dass jedes Ideal das Nullelement enthält; damit ist
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klar, dass der Durchschnitt nicht leer ist.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}[Summen]\label{bsp:9-2-8}
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Es sei $R$ ein Ring und $I_1, …, I_n$ seien Ideale von $R$. Dann ist auch die
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Summe\index{Summe von Idealen}
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\begin{equation*}
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I_1 + ⋯ + I_n := \{a_1+ ⋯ + a_n \::\: a_k∈ I_k \}
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\end{equation*}
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ein Ideal.
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\end{bemerkung}
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\begin{bsp}[Algebraische Varietäten]
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Es sei $K$ ein Körper (zum Beispiel $K = ℂ$) und $V ⊂ K^n$ sei die
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Lösungsmenge eines Systems von polynomialen Gleichungen,
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\[
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V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \}
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\]
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wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind. Man nennt ein
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solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische
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Varietät}. Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden
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Sie \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier}
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und \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne
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Beispiele.
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Definiere dann das Ideal
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\[
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I(V) = \{ g ∈ K[x_1, …, x_n] \:|\: \forall \vec{x} ∈ V:g(\vec{x}) = 0\};
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\]
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dies ist also die Menge derjenigen Polynome, deren Nullstellenmenge $V$
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enthält. Offenbar ist $(f_1, …, f_n) ⊂ I_V$.
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\end{bsp}
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In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine
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Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von
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algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben. Tatsächlich lässt sich
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ein fast vollständiges Wörterbuch „Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie“
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aufstellen.
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\section{Noethersche Ringe und Hauptidealringe}
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\sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von
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Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen.
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Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so
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betrachteten wir in der linearen Algebra den „von $M$ erzeugten Untervektorraum“
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und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder
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$\operatorname{Span}(M)$. Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt
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genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination
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der Elemente von $M$ schreiben lässt. Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was
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dabei zu beachten, dass Linearkombinationen immer \emph{endliche} Summen sind.
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Das geht mit Idealen in Ringen ganz genau so.
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\begin{bsp}[Erzeugte Ideale]\label{bsp:9-0-5}
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Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins, sowie eine Familie
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$(a_{λ})_{λ∈Λ}$ von Elementen aus $R$. Weiter sei $I$ die Menge der Elemente
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$r ∈ R$, die sich als endliche Linearkombination der $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ schreiben
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lassen,
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\begin{equation*}
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I := \{ r ∈ R \:|\: ∃ n ∈ ℕ: ∃ r_1, …, r_n ∈ R:, ∃ λ_1, …, λ_n ∈ Λ: r = r_1·a_{λ_1} + ⋯ + r_n·a_{λ_n} \}.
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\end{equation*}
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Dies ist ein Ideal, das als \emph{das von $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ erzeugte Ideal}
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bezeichnet wird. Man schreibt dann $I = ((a_{λ})_{λ∈Λ})$. Im Fall, wo die
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Familie endlich ist, schreibt man oft auch $I = (a_1, …, a_n)$.
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\end{bsp}
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Ein Ideal $I ⊂ R$ ist natürlich immer dann einfach zu beschreiben, wenn es durch
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eine endliche Menge erzeugt wird, $I = (a_1, …, a_n)$. Tatsächlich können
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Computer-Algebra-Systeme überhaupt nur mit solchen Idealen arbeiten -- und
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stellen diese Ideale als endliche Liste von Erzeugern dar. Die allereinfachsten
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Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können.
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\begin{warnung}[Das Ideal-Membership-Problem ist nicht einfach]
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Gegeben ein endlich erzeugtes Ideal $I = (a_1, …, a_n) ⊂ R$ und ein
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Element $b ∈ R$, dann ist es im Allgemeinen \emph{nicht} einfach, zu
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entscheiden ob $b ∈ I$ ist. In Polynomringen gibt es aber Algorithmen, die
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auch in allen relevanten Computer-Algebra-Systemen implementiert sind.
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\end{warnung}
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\begin{defn}[Endlich erzeugtes Ideal, Hauptideal]
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Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
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\emph{endlich erzeugt}\index{Ideal!endlich erzeugt}, wenn es endlich viele
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Elemente $a_1, …, a_n ∈ R$ gibt, sodass $I= (a_1, …, a_n)$ ist. Ein Ideal
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$I ⊂ R$ heißt \emph{Hauptideal}\index{Hauptideal}, wenn es ein Element $a ∈ R$
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gibt, sodass $I= (a)$ ist.
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\end{defn}
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\begin{beobachtung}[Hauptideale und Teilbarkeit]
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Gegeben sei ein Integritätsring $R$. Weiter seien $a_1, a_2 ∈ R$. Dann gilt
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offensichtlich
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\begin{align*}
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(a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\
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(a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2.
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\end{align*}
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Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander
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assoziierten Elementen.
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\end{beobachtung}
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\begin{warnung}
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Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen „Basisaustauschsatz“,
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denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu
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dividieren! Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme
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eines Ideals,
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\[
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I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m),
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\]
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immer gleiche Mächtigkeit haben. Das geht schon im Ring $ℤ$ der ganzen
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Zahlen schief, dort ist $(1) = (2,3)$. Falls sie vorhatten, die „Dimension“
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eines Ideals zu definieren -- \foreignlanguage{english}{Nice try}!
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\end{warnung}
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Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst
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endliche Menge von möglichst einfachen Erzeugern finden kann. Glücklicherweise
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gibt es Ringe, in denen jedes Ideal endlich erzeugt ist. Das sagt zwar noch
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nicht, wie man einen sinnvollen Satz von Erzeugern finden soll, gibt aber
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zumindest schon ein wenig Hoffnung.
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\begin{defn}[Noethersche Ringe und Hauptidealringe]
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Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Man nennt $R$ einen
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\emph{Noethersch}\index{Noetherscher Ring}, wenn jedes Ideal von $R$ ein
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endlich erzeugt ist. Man nennt $R$ einen
|
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\emph{Hauptidealring}\index{Hauptidealring}, wenn jedes Ideal von $R$ ein
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Hauptideal ist.
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\end{defn}
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Die folgenden Sätze geben Beispiele für Hauptidealringe.
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\begin{satz}[$ℤ$ ist ein Hauptidealring]\label{satz:9-1-4}
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Der Ring $ℤ$ ist ein Hauptidealring.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Es sei $I ⊂ ℤ$ ein Ideal und $I ≠ \{0\}$. Dann gibt es ein $x ∈ I∖\{0\}$.
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Beachte, dass dann auch $-x= (-1)· x$ in $I$ ist. Also enthält $I$ positive
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Elemente. Sei $a ∈ I$ jetzt dass kleinste positive Element. Wir werden
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zeigen, dass $I = (a)$ ist. Die Inklusion $(a) ⊆ I$ ist klar. Sei $b ∈ I$
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irgendein positives Element, dann teilen wir mit Rest
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\[
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||
b=q·a+r,\quad \text{mit } 0≤r<a.
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||
\]
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||
Die Zahl $r$ ist jetzt aber in $I$, denn $b$ und $q·a$ sind in $I$. Weiter
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muss wegen der Minimalität von $a$ also $r=0$ sein und somit $b ∈ (a)$.
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\end{proof}
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\begin{satz}[Polynomring in einer Variable ist ein Hauptidealring]
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Ist $K$ ein Körper, dann ist $K[x]$ ein Hauptidealring.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Ganz analog zum Beweis von Satz~\ref{satz:9-1-4}, wobei $a$ ein Polynom von
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minimalem Grad ist.
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\end{proof}
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\begin{bsp}[Polynomring in zwei Variablen ist kein Hauptidealring]
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Es sei $K$ ein Körper. Der Polynomring $K[x,y]$ ist \emph{kein}
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||
Hauptidealring. Das Ideal $(x,y)$ ist kein Hauptideal, weil $\ggT(x,y)=1$ und
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$1 \not ∈ (x,y)$ ist. Immerhin werden wir im folgenden Abschnitt zeigen, dass
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jedes Ideal endlich erzeugt ist.
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\end{bsp}
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\section{Kriterien für die Noether-Eigenschaft}
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Ich hatte es oben schon angedeutet: Ideale in nicht-Noetherschen Ringe sind für
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uns kaum beschreibbar und daher ohne großen Nutzen. Glücklicherweise können wir
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in diesem Kapitel zeigen, dass praktisch alle Ringe, die uns in dieser Vorlesung
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begegnen, nicht so schrecklich sind. Die folgende Definition und der folgende
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Satz sollte ihnen bekannt vorkommen.
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\begin{definition}[Teilerkettensatz für Ideale]\label{Def_Teilerkettensatz_Ideale}
|
||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Man sagt \emph{in $R$ gilt der
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||
Teilerkettensatz für Ideale}\index{Teilerkettensatz!für Ideale}, wenn es
|
||
jede aufsteigende Folge von Idealen
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||
\[
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||
I_0 ⊆ I_1 ⊆ I_2 ⊆ ⋯
|
||
\]
|
||
stationär wird. Mit anderen Worten, wenn es für jede aufsteigende Folge von
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||
Idealen ein $n ∈ ℕ$ gibt, sodass $I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = ⋯$ gilt.
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||
\end{definition}
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\begin{satz}[Kriterien für die Noether-Eigenschaft]\label{satz:9-2-2}
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||
Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Dann sind folgende Aussagen
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äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_Ideale_aequiv_1} $R$ ist Noethersch. Mit anderen Worten:
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jedes Ideal ist endlich erzeugt.
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||
\item\label{Satz_Ideale_aequiv_2} In $R$ gilt der Teilerkettensatz für Ideale.
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||
\item\label{Satz_Ideale_aequiv_3} In jeder nicht-leeren Menge $M$ von Idealen
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||
in $R$ gibt es ein maximales Element bezüglich der Inklusion.
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||
\end{enumerate}
|
||
\end{satz}
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||
\begin{proof}
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||
Wir betrachten die einzelnen Implikationen getrennt.
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\begin{description}
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\item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_2}] Sei eine
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||
aufsteigende Kette $I_0⊆ I_1⊆ I_2⊆⋯$ von Idealen gegeben. Dann ist auch
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||
\begin{equation*}
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I=\bigcup_{k=0}^{∞}I_k⊂ R
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||
\end{equation*}
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||
ein Ideal. Nach Annahme ist $I$ endlich erzeugt, also $I= (a_1, …, a_n)$.
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||
Jetzt gibt es aber für jedes $i$ ein $k_i$, sodass $a_i∈ I_{k_i}$ ist.
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||
Setze
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||
\begin{equation*}
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||
n_ := \max_i k_i.
|
||
\end{equation*}
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||
Dann gilt für alle $k > n$ und alle $1≤ i≤ n$, dass $a_i ∈ I_k$. Also ist
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||
$I_k = I$.
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||
|
||
\item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_2}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}]
|
||
Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne
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||
maximales Element. Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit
|
||
$I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$. Wir erhalten einen
|
||
Widerspruch zur Annahme, dass der „Teilerkettensatz für Ideale“ gilt.
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||
|
||
\item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei $I⊂ R$ ein
|
||
Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt und in $I$
|
||
enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also gibt es per
|
||
Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$ endlich erzeugt,
|
||
also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass $J = I$ ist. Wenn es
|
||
aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$
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||
enthält. Ein Widerspruch zur Annahme. \qedhere
|
||
\end{description}
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||
\end{proof}
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Der folgende Satz von David
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Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
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||
Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen) war
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||
ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker
|
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der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik und
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||
mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Mit seinen
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||
Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische Auffassung von
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den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische Analyse der
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Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises. Diese
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Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt,
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||
dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung
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der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische
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||
Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der
|
||
er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
|
||
mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem
|
||
Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig.
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||
Historisch war der Satz ein Meilenstein. Hilbert's Beweis erregte auch deshalb
|
||
großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe
|
||
eines nicht-konstruktiven Widerspruchsargumentes gezeigt wird. Der Beweis gibt
|
||
keinen Hinweis, wie man ein Erzeugendensystem je finden könnte. Heute gibt es
|
||
allerdings auch konstruktive Beweise, die für alle relevanten Ringe auch auf
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||
Computern implementiert sind.
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||
\begin{satz}[Hilbertscher Basissatz]\label{Satz_Hilbertscher_Basissatz}
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||
Es sei $R$ ein Noetherscher Ring. Dann ist auch $R[x]$ Noethersch.
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\end{satz}
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||
\begin{proof}
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\video{10-1}
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||
\end{proof}
|
||
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||
\begin{kor}
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Sei $K$ ein Körper, dann ist jeder Polynomring $K[x_1, …, x_n]$ Noethersch.
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Ebenso ist $ℤ[x_1, …, x_n]$ ist Noethersch. \qed
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\end{kor}
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\begin{bemerkung}[Teilerkettensatz für Ideale und für Elemente]\label{rem:9-2-5}
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Wenn in einem Ring der Teilerkettensatz für Ideale gilt, dann gilt auch der
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Teilerkettensatz für Elemente. Das sieht man, wenn man (Teiler-)Ketten von
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Hauptidealen betrachtet. In jedem Noetherschen Ring ist jede Nicht-Einheit
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ungleich $0$ also als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen
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darstellbar.
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\end{bemerkung}
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\section{Hauptidealringe}
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Wir bemerken kurz, dass Hauptidealringe fast immer faktoriell sind. Der Beweis
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des folgenden Satzes ist ähnlich zum Beweis der Faktorialität von $ℤ$ auf
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Seite~\pageref{satz:Zpirr}. Das ist kein Zufall.
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\begin{satz}[Hauptidealringe sind fast immer faktoriell]
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Es sei $R$ ein Hauptidealring. Wenn $R$ zusätzlich noch ein Integritätsring
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ist, dann ist $R$ faktoriell.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Da wir in Satz~\ref{satz:9-2-2} schon gezeigt haben, dass in jeden
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Noetherschen Ring (also insbesondere auch in jedem Hauptidealring) der
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Teilerkettensatz für Ideale und somit nach Bemerkung~\ref{rem:9-2-5} auch der
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Teilerkettensatz für Elemente gilt, müssen wir noch zeigen, dass jedes
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irreduzible Element $p$ prim ist. Seien also $a$ und $b$ Elemente von $R$ mit
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$p \nmid a$ und $p \nmid b$. Wir müssen zeigen, dass dann $p \nmid (a·b)$
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gilt. Das Ideal $(a, p)$ ist per Annahme ein Hauptideal, also existiert ein
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$c ∈ R$ mit $ (a,p) = (c)$. Da nun $c|p$ gilt, aber $p$ irreduzibel ist, ist
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entweder $c$ eine Einheit, oder es gilt $c \sim p$. Weil aber $c|a$ ist und
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$p\nmid a$, ist $c \sim p$ nicht möglich. Also ist wohl $(a,p)= (1)$. Genau
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so gilt natürlich $(b,p) = (1)$. Es gibt also Gleichungen
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\begin{equation*}
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1 = r_1·p + r_2·a \quad\text{und}\quad 1 = s_1·p + s_2·b
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\end{equation*}
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für die Addition und
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\begin{equation*}
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1 = (r_1·s_1·p + r_2·s_1·a + r_1·s_2·b)·p + r_2·s_2·a·b
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\end{equation*}
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für die Multiplikation. Also kann $p|(a·b)$ nicht gelten, weil sonst $p|1$
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folgt, was aber nicht geht, weil $p$ keine Einheit ist.
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\end{proof}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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