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\chapter{Auflösung von Gleichungen durch Radikale}
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\label{chap:23}
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\sideremark{Vorlesung 24}Ich möchte in dieser Vorlesung die Frage aus
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Kapitel~\ref{sec:4} beantworten: gegeben ein Körper $K$ ein Körper und ein
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Polynom $f ∈ K[x]$. Gibt es dann eine Möglichkeit, wenigstens eine der
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Nullstellen von $f$ in der Form
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\begin{equation*}
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\sqrt[n_1]{\sqrt[n_2]{…}+\sqrt[n_3]{…}}+\sqrt[n_4]{…}
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\end{equation*}
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schreiben? In der Sprache von Kapitel~\ref{sec:4}: ist die Gleichung $f(x)=0$
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durch Radikale auflösbar? Gibt es eine Radikalerweiterung $L/K$, sodass $f$ in
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$L$ eine Nullstelle hat? Die Antwort hängt natürlich mit der Galoisgruppe von
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$f$ zusammen, der Zusammenhang soll in dieser Vorlesung beschrieben werden.
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\begin{satz}\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins}
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Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom.
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Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} Das Polynom $f$ ist
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über $K$ durch Radikale lösbar.
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\item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} Die Galoisgruppe
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$\Gal{f}$ ist auflösbar.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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Wir werden Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} am Ende dieses
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Kapitels im Abschnitt~\ref{sec:almostlast} beweisen. Zuerst möchte ich aber
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noch zwei Korollare vorstellen.
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\begin{kor}
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Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ vom Grad
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$\deg f ≤ 4$. Dann ist $f$ durch Radikale lösbar.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Jede Untergruppe von $S_4$ ist auflösbar.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Korollar von Galois]
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Das Polynom $f = x⁵-4·x+2 ∈ ℚ[x]$ ist \emph{nicht} durch Radikale auflösbar.
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Insbesondere gibt es keine Lösungsformel für Polynome vom Grad $≥ 5$.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Das Polynom $f$ ist ein Eisenstein-Polynom, also irreduzibel. Analytische
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Überlegungen zeigen, dass $f$ genau drei reelle Nullstellen $n_1$, $n_2$ und
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$n_3$ sowie zwei komplexe Nullstellen $n_4$, $n_5$ hat. Wir fassen die
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Galoisgruppe als Untergruppe der Permutationsgruppe
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\[
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S_5 = \text{Permutationen von } \{ n_1, …, n_5 \}
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\]
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auf. Folgendes können wir sofort sagen.
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\begin{itemize}
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\item Die Gruppenordnung ist ein Vielfaches der Zahl 5. Also existiert nach
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dem Satz von Cauchy, Satz~\vref{Satz_von_Cauchy}, ein Element $σ_5$ von
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Ordnung 5, also ein 5-Zykel.
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\item Die komplexen Nullstellen sind zueinander konjugiert. Die komplexe
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Konjugation liefert deshalb einen Automorphismus des Zerfällungskörpers, der
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die drei reellen Nullstellen fixiert und die beiden komplexen Nullstellen
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vertauscht. Dies ist ein Element $σ_2$ der Ordnung 2, also eine
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Transposition.
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\end{itemize}
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Zeigen Sie jetzt als Hausaufgabe, dass die von $σ_5$ und $σ_2$ erzeugte
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Untergruppe der Permutationsgruppe $S_5$ bereits ganz $S_5$ ist. Mit anderen
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Worten: jede Permutation aus $S_5$ kann durch die Transposition $σ_2$ und den
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Zykel $σ_5$ dargestellt werden. Also ist die $\Gal f = S_5$, aber diese
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Gruppe ist nicht auflösbar.
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\end{proof}
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\section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen}
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Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den
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Fragen: ``Ist $f$ durch Radikale auflösbar?'' und ``Wie sieht die Galoisgruppe
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von $f$ aus?'' zuerst im besonders einfachen Fall von ``reinen'' Polynomen, bei
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denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
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\begin{defn}[Reines Polynom]
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Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines
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Polynom}\index{Polynom!reines}, wenn es $n ∈ ℕ$ und $a ∈ K$ gibt, sodass
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$f(x) = x^n-a$ ist.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}[Separabilität von reinen Polynomen]
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Wenn
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$\operatorname{char}K = 0$ ist oder wenn $\operatorname{char}K \nmid n$ ist,
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dann sind alle reinen Polynomen der Form $x^n-a$ separabel.
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\end{bemerkung}
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\begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins}
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Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Falls
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$\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist.
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Wenn $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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\item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die
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Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch.
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\item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2} Wenn $L/K$ eine
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Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) ≅ ℤ/(n)$ ist, dann gibt es ein
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$a ∈ L$ mit $L = K(a)$ und $a^n ∈ K$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1}]
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\video{24-1}. (Verbesserte Version vom 03Feb21).
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2}]
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\video{24-2}
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\end{proof}
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\section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen}
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Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von
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``Radikalerweiterung'', Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
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dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{ging auch gar nicht, weil
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Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der
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folgende Satz behebt diesen Mangel.
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\begin{satz}\label{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}\label{satz:23.2.1}
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Sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und $L/K$ eine Radikalerweiterung.
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Dann existiert eine Körpererweiterung $L'/L$, sodass
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\begin{enumerate}
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\item $L'/K$ Galoisch ist.
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\item $L'/K$ eine Radikalerweiterung ist,
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{24-3}
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}[Noch einmal: was bedeutet ``Auflösbarkeit durch Radikale'']
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Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein
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irreduzibles Polynom. Angenommen, $f$ sei durch Radikale auflösbar. Nach
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Definition~\vref{def:gidra} bedeutet das, dass es eine Radikalerweiterung
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$L/K$ gibt, in der $f$ \emph{eine} Nullstelle hat. Satz~\ref{satz:23.2.1}
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sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in
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Linearfaktoren zerfällt. Also gibt es eine Radikalerweiterung, die
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\emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält. Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible
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ist und \emph{eine} Nullstelle als ``Wurzelausdruck'' geschrieben werden kann,
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dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}[Noch einmal: das Konstruktionsproblem]\label{bem:nedkp}
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Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ eine Menge und es sei $z ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl,
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die aus $M$ mit Zirkel uns Lineal konstruierbar ist\footnote{Mit anderen
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Worten: es sei $z ∈ \Kons(M)$.}. Betrachten Sie den Körper
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$K := ℚ(M∪\overline{M})$ und erinnern Sie sich noch einmal an die Hausaufgabe,
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die wir in Satz~\vref{Satz_von_Seite_69} zusammengefasst haben: Der Körper
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$L := K(z)$ entsteht als Folge von quadratischen Erweiterungen,
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\[
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L = L_m ⊃ L_{m-1}⊃ ⋯ ⊃ L_1⊃ L_0 = K.
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\]
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Schauen Sie sich den Beweis von Satz~\ref{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}
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noch einmal scharf an und erkennen Sie, dass dann auch $L'/K$ eine Folge von
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quadratischen Erweiterungen ist, denn
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\begin{equation*}
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g=\prod_{\varphi∈ G} \bigl(x²-\varphi(b²) \bigr)
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\end{equation*}
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ist ein Produkt von quadratischen Polynomen. Der Erweiterungsgrad $[L':K]$
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ist also eine Zweierpotenz. Als Nächstes sei $N$ der Zerfällungskörper des
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Minimalpolynoms von $z$ über $K$. Anders gesagt: $N$ sei die normale Hülle
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der Körpererweiterung $L/K$. Dann ist $N$ ein Unterkörper von $L'$ und hat
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deshalb nach der Gradformel, Satz~\vref{satz:3-6-1}, ebenfalls eine
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Zweierpotenz als Grad. Erkennen Sie, dass wir damit
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Bemerkung~\ref{rem:svs197} bewiesen haben: Das Kriterium für die
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Konstruierbarkeit von Punkten aus Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist notwendig
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\emph{und} hinreichend!
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\end{bemerkung}
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\begin{proof}[Beweisidee]
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Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie (\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie})
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entsprechen Ketten von Unterkörpern von $L/K$ (wobei $L$ der Zerfällungskörper
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von $f$ ist) Ketten von Untergruppen von $\Gal(L/K) = \Gal f$. Zyklische
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Gruppen entsprechen dabei der Adjunktion einer Wurzel $\sqrt[n]{a}$ --
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zumindest dann, wenn es genügend viele Einheitswurzeln gibt.
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\end{proof}
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\section{Beweis von Satz~\ref*{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins}}
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\label{sec:almostlast}
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Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei
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Vorüberlegungen.
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\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}
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Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive
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$n$-te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn
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wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynomes $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
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ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynomes $g·(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist
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$L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls.
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\end{claim-de}
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\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}
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Wenn $ξ$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
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ist $ξ^l$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
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…, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden.
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\end{claim-de}
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\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2}$]
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\video{24-4}
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1}$]
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\video{24-5}
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\end{proof}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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%%% End:
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