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\selectlanguage{german}
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\chapter{Ultrakurzwiederholung: wichtige Begriffe}
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Bevor es mit dem eigentlichen Inhalt der Vorlesung losgeht, möchte ich
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sicherzustellen, dass alle Teilnehmer auf dem gleichen Stand sind und dieselbe
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Sprache sprechen (leider sind die Definitionen in der Literatur nicht immer
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einheitlich). Ich füge deshalb diesen extrem langweiligen Abschnitt ein, in dem
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ich die wesentlichen Grundbegriffe extrem knapp wiederhole. Das allermeiste
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dürfte Ihnen aus den Anfängervorlesungen bekannt sein, sodass sich der
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Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
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\section{Gruppen}
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\label{sec:gruppen}
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\begin{defn}[Gruppe]\label{def:2-1-1}
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Eine \emph{Gruppe}\index{Gruppe} ist eine nicht-leere Menge $G$ mit einer
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Abbildung
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\[
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m : G⨯ G → G,
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\]
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sodass folgende Eigenschaften gelten.
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\begin{description}
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\item[Assoziativität] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ aus $G$ gilt:
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$m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))$.
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\item[Neutrales Element] Es gibt genau ein Element $e$ aus $G$, sodass für
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alle $a$ aus $G$ gilt: $m(e,a) = m(a,e) = a$.
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\item[Inverse Elemente] Für alle $a$ aus $G$ gibt es genau ein Element $b$ aus
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$G$, sodass $m(a,b) = m(b,a) = e$ ist.
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\end{description}
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\end{defn}
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\begin{defn}[Abelsche Gruppe]
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Es sei $(G,m)$ eine Gruppe. Die Gruppe heißt
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\emph{Abelsch}\index{Gruppe!Abelsch} oder
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\emph{kommutativ}\index{Gruppe!kommutativ}, falls für alle $a$ und $b$ aus $G$
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die Gleichung $m(a,b)=m(b,a)$ gilt.
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\end{defn}
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\begin{notation}[Gruppenverknüpfung, Inverses]
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Es sei $(G,m)$ eine Gruppe. Dann wird die Abbildung $m$ häufig
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\emph{Gruppenverknüpfung}\index{Gruppenverknüpfung} genannt. Häufig wird
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statt dem Buchstaben $m$ das Symbol $·$ verwendet und statt $m(a, b)$ kurz
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$a·b$. Bei Abelschen Gruppen ist statt $·$ auch das Symbol $+$ üblich. Das
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inverse Element von $a$ wird auch mit $a^{-1}$ bezeichnet.
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\end{notation}
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\begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra]
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Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgendein Vektorraum über irgendeinem
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(z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder der
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komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei
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\begin{equation*}
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m(a,b) := a+b
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\end{equation*}
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die Addition bzw.\ die Vektoraddition. Dann ist $(G,+)$ eine abelsche Gruppe.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Invertierbare Matrizen]
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $G$ die Menge der
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invertierbaren $(n⨯ n)$-Matrizen, die invertierbar sind. Weiter sei
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\begin{equation*}
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m(a,b) := a·b
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\end{equation*}
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die Matrixmultiplikation. Dann ist $(G,·)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen
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nicht Abelsch.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Bijektive Abbildungen]
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Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven
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Abbildungen $M → M$. Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die Hintereinanderausführung (=
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„Komposition“) von Abbildungen. Dann ist $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im
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Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich „Bijektivität“? Haben Sie ein
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Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch ist?
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Vektorprodukt]
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Es sei $G := ℝ³$ und es sei $⨯$ das Vektorprodukt. Dann ist
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$(G, ⨯)$ keine Gruppe. Warum?
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Körper mit Multiplikation]
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Es sei $G := ℝ$ oder $ℤ$ oder $ℂ$ und es sei $·$ die
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Multiplikation. Dann ist $(G, ·)$ keine Gruppe. Warum?
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\end{bsp}
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\begin{defn}[Untergruppe]\label{def:2-1-9}
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Es sei $(G, m)$ eine Gruppe und es sei $U ⊆ G$ eine nicht-leere Teilmenge.
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Nenne $U$ eine \emph{Untergruppe}\index{Untergruppe} von $(G,m)$, falls
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Folgendes gilt.
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\begin{description}
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\item[Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung] Für alle Elemente $a$,
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||
$b$ aus $U$ ist auch $m(a,b)$ aus $U$.
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\item[Abgeschlossenheit unter Inversenbildung] Für alle Elemente $a$ aus $U$
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ist auch $a^{-1}$ in $U$.
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\end{description}
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann schränkt sich
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die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung
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\[
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m|_{U⨯ U} : U ⨯ U → U
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\]
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und $(U, m|_{U⨯ U})$ ist wieder eine Gruppe. Es ist üblich, diese Gruppe
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einfach kurz mit $(U, m)$ zu bezeichnen.
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\end{bemerkung}
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\subsection{Normale Untergruppen}
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Kennen Sie den Begriff der „normalen Untergruppe“? Falls Sie diesen Begriff in
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den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten,
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hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen. Ich empfehle Kapitel 9 von
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Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich
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im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
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Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt
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betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo zusammengefasst.
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\video{1-1}
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\section{Ringe}
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\begin{defn}[Ring]\label{def:ring}
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Ein \emph{Ring}\index{Ring} ist eine nicht-leere Menge $R$ mit zwei
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Abbildungen,
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\[
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+ : R⨯ R → R \quad\text{und}\quad · : R⨯ R → R,
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\]
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sodass folgende Eigenschaften gelten.
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\begin{description}
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\item[Gruppenstruktur von $(R, +)$] Es ist $(R, +)$ eine Abelsche Gruppe.
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\item[Distributivgesetz] Für alle $a$, $b$ und $c$ aus $R$ gelten die
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Gleichungen $(a+b)·c = a·c + b·c$ und $a·(b+c) = a·b + a·c$.
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\item[Assoziativität der Multiplikation] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$
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aus $R$ gilt: $(a·b)·c = a·(b·c)$.
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\item[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element $e$ aus
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$R$, sodass für alle $a$ aus $R$ gilt: $e·a = a·e = a$.
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\end{description}
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\end{defn}
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\begin{notation}
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Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung „$+$“ meist als
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Addition und die Verknüpfung „$·$“ meist als Multiplikation bezeichnet. Das
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neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das
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neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$.
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\end{notation}
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\begin{warnung}[Neutrales Element der Multiplikation]
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Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren
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verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales
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Element der Multiplikation existiert. Ein Ring wie in
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Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein „Ring mit Eins“ genannt.
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\end{warnung}
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\begin{defn}[Abelsche Ringe]
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Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Abelsch}\index{Ring!Abelsch} oder
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\emph{kommutativ}\index{Ring!kommutativ}, wenn für alle Elemente $a$ und $b$
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aus $R$ gilt, dass $a·b = b·a$ ist.
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\end{defn}
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\begin{bsp}[Vektorprodukt]
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||
Das Tripel $(ℝ³, +, ⨯)$ definiert keinen Ring, wenn $+$ die
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Vektoraddition und $⨯$ das Vektorprodukt bezeichnet. Warum?
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Quadratische Matrizrn]
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $R$ die Menge
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der $(n⨯ n)$-Matrizen. Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition
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und Matrixmultiplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht
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kommutativ.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Ganze Zahlen]
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Die Menge $ℤ$ bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen
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kommutativen Ring.
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\end{bsp}
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\begin{beobachtung}
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Mit Elementen aus Ringen kann man rechnen wie mit Zahlen. Man rechnet sofort
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mithilfe der Definition nach, dass in jedem Ring $(R, +, ·)$ für alle Elemente
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$a$ und $b$ die Identitäten
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\[
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a·0 = 0·a = 0 \quad\text{und}\quad (-a)·b = -(a·b) = a·(-b)
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\]
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gelten. Aber Achtung!
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\begin{itemize}
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\item Aus $a·b = 0$ und $a ≠ 0$ kann man im Allgemeinen nicht folgern, dass
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$b=0$ ist.
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||
\item Aus $a·(b-c) = 0$ oder $a·b = a·c$ kann man nicht folgern, dass
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$b=c$ ist.
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\end{itemize}
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||
Der Grund ist, dass das Element $a$ ein \emph{Nullteiler} sein kann!
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\end{beobachtung}
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\begin{defn}[Nullteiler]
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||
Es sei $(R, +, ·)$ ein kommutativer Ring. Ein Element $a$ aus $R$ heißt
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||
\emph{Nullteiler}\index{Nullteiler}, wenn es ein Element $b ∈ R ∖ \{0\}$ gibt,
|
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sodass $a·b = 0$ ist. Der Ring $R$ heißt
|
||
\emph{nullteilerfrei}\index{Ring!nullteilerfrei} oder
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||
\emph{Integritätsring}\index{Integritätsring}, wenn die $0$ der einzige
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Nullteiler ist und wenn $R$ nicht nur aus dem Nullelement besteht.
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\end{defn}
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||
Wir merken uns: Nullteiler machen Probleme. Gute Ringe haben keine Nullteiler.
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2);
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||
\draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0);
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||
\draw (-2,1)node[above right]{$f$}--(-1,0)--(2,0);
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||
\end{tikzpicture}
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||
\end{center}
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||
\end{minipage}
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||
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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||
\begin{center}
|
||
\begin{tikzpicture}[scale=1]
|
||
\draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2);
|
||
\draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0);
|
||
\draw (-2,0)--(1,0)--(2,1)node[above left]{$g$};
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||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{center}
|
||
\end{minipage}
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\caption{Nullteiler im Ring $\cC⁰(ℝ)$}
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\label{fig:nt}
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\end{figure}
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\begin{bsp}[Stetige Funktionen]\label{bsp:stetig}
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||
Es sei $\cC⁰(ℝ)$ die Menge der stetigen Funktionen auf $ℝ$. Zusammen mit
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der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen bildet dies einen
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kommutativen Ring. Betrachte die Funktionen $f$ und $g$ aus
|
||
Abbildung~\vref{fig:nt}. Dann ist weder $f$ noch $g$ die Nullfunktion, aber
|
||
$f·g$ ist die Nullfunktion. Also sind sowohl $f$ als auch $g$ Nullteiler des
|
||
Ringes $\cC⁰(ℝ)$.
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||
\end{bsp}
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\begin{bsp}[Polynome]
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Es sei $ℝ[x_1, …, x_n]$ die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten in
|
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$n$ Veränderlichen. Die definiert mit der üblichen Addition und
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Multiplikation von Polynomen einen nullteilerfreien, kommutativen Ring.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Rechnen modulo $p$]
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||
Aus der linearen Algebra kennen Sie den Ring $ℤ/(6)$. Dies ist kein
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Integritätsring, denn $[2] \ne [0]$ und $[3] \ne [0]$ aber
|
||
$[2]·[3] = [6] = [0]$. Fall $p$ eine Primzahl ist, ist $𝔽_p = ℤ/(p)$ ein
|
||
Integritätsring, sogar ein Körper.
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\end{bsp}
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||
Das Gegenteil eines Nullteilers ist ein Element, das ein multiplikatives
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Inverses besitzt. Solche Elemente heißen Einheiten.
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\begin{defn}[Einheiten eines Ringes]
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||
Sei $(R, +, ·)$ ein Ring und es sei $a ∈ R$ ein Element. Nenne $a$
|
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\emph{multiplikativ invertierbar}\index{invertierbare Elemente eines Ringes}
|
||
oder \emph{Einheit}\index{Einheit}, falls ein $b ∈ R$ existiert, sodass
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||
$a·b = b·a = 1$ ist. Die Menge der Einheiten wird mit $R^*$ bezeichnet.
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||
\end{defn}
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\begin{bsp}[Ganze Zahlen]
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Es ist $ℤ^* = \{ 1, -1\}$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Stetige Funktionen]
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In Beispiel~\ref{bsp:stetig} sind die Einheiten genau die stetigen Funktionen
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ohne Nullstelle.
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\end{bsp}
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\begin{beobachtung}
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||
Es sei $(R, +, ·)$ ein Ring. Dann sind Produkte und Inverse von Einheiten
|
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wieder Einheiten, und die Menge der Einheiten bildet zusammen mit der
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||
Multiplikation eine Gruppe.
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||
\end{beobachtung}
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||
|
||
Den Begriff \emph{Unterring}\index{Unterring} definiert man ganz analog zur
|
||
Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
|
||
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||
\begin{bsp}[Unterringe]
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||
Die Menge $ℤ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℤ$ ist ein Unterring
|
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der Menge $ℝ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℝ$.
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\end{bsp}
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\section{Körper}
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\sideremark{Vorlesung 2}
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\begin{defn}[Schiefkörper, Körper]
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Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$
|
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nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn
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||
also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt. Ein Schiefkörper heißt
|
||
\emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch kommutativ ist.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur
|
||
Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
|
||
|
||
\begin{bsp}[Bekannte Körper]
|
||
Die bekanntesten Körper sind $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ und die endlichen Körper. Die
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||
reellen Zahlen sind ein Unterkörper von $ℝ$ und $ℂ$.
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||
\end{bsp}
|
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\begin{bsp}[Gebrochen-rationale Funktionen]\label{bsp:2-3-3}
|
||
In der Schule haben Sie gebrochen-rationale Funktionen diskutiert, wie etwa
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||
\[
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||
f(x) := \frac{x²-7}{x³+4·x}.
|
||
\]
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||
Die Menge der gebrochen-rationalen Funktionen\index{gebrochen-rationale
|
||
Funktionen} bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen
|
||
Körper, der mit $ℝ(x)$ bezeichnet wird. Die Menge der konstanten Funktionen
|
||
ist ein Unterkörper von $ℝ(x)$. Die Menge $ℝ[x]$ ist ein Unterring, aber
|
||
kein Unterkörper von $ℝ(x)$.
|
||
\end{bsp}
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||
|
||
\begin{notation}[Körpererweiterung]
|
||
Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer
|
||
\emph{Körpererweiterung „$L$ über $K$“}\index{Körpererweiterung}. Man
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||
schreibt oft $L/K$.
|
||
\end{notation}
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||
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||
Interessante Körpererweiterungen konkret zu konstruieren ist erst einmal nicht
|
||
ganz einfach. Hier ist eine nicht-triviale Methode, die wir später nutzen
|
||
werden, um an neue Beispiele zu kommen.
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||
|
||
\begin{bsp}[Schnitte von Zwischenkörpern]\label{bsp:3-1-2a}
|
||
Wir beginnen mit einer gegebenen Körpererweiterung $L/K$, und irgendeiner
|
||
Menge $(M_i)_{i ∈ I}$ von Zwischenkörpern, also Unterkörpern $M_i ⊆ L$, die
|
||
den kleineren Körper $K$ enthalten. Man rechne direkt mithilfe der Definition
|
||
nach, dass die Schnittmenge
|
||
\[
|
||
S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L
|
||
\]
|
||
wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser
|
||
Unterkörper die Menge $K$.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b}%
|
||
Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}. Wir beginnen mit einer
|
||
gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten
|
||
alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K ∪ A$ enthalten. Man beobachte, dass es
|
||
mindestens einen solchen Unterkörper gibt, nämlich $M$. Man rechne direkt
|
||
mithilfe der Definition nach, dass die Schnittmenge aller solcher $M$,
|
||
\[
|
||
\bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize
|
||
$K ∪ A ⊆ M$}} M ⊆ L
|
||
\]
|
||
wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser
|
||
Unterkörper die Menge $K ∪ A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der
|
||
die Menge $K ∪ A$ enthält.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{defn}[Adjunktion von Mengen und Elementen]
|
||
Der in Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} konstruierte Unterkörper wird mit $K(A)$
|
||
bezeichnet. Man sagt, $K(A)$ entsteht aus $K$ durch \emph{Adjunktion der
|
||
Menge $A$}\index{Adjunktion!einer Menge}.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{notation}[Adjunktion von endlichen Mengen]
|
||
Falls die Menge $A$ aus Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} nur ein Element enthält,
|
||
$A = \{a\}$, so schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a)$ und sagt, der Körper
|
||
entsteht durch \emph{Adjunktion des Elementes $a$}\index{Adjunktion!eines
|
||
Elementes}. Falls die Menge $A$ endlich ist, $A = \{ a_1, …, a_n\}$, so
|
||
schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$.
|
||
\end{notation}
|
||
|
||
\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach}%
|
||
Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
|
||
\emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache
|
||
Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.
|
||
In diesem Zusammenhang nennt man $a$ ein \emph{primitives Element der
|
||
Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}.
|
||
\end{defn}
|
||
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||
Weiter unten werden wir einfache Körpererweiterung noch sehr ausführlich
|
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besprechen.
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
|
||
%%% End:
|
||
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