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\chapter{Der Satz vom primitiven Element}
\label{chap:21}

Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der
Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element $a ∈
L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.  Das sind die Körpererweiterungen, die uns am
wenigsten Angst machen --- dachten wir!  Als erste Anwendung der Galoistheorie
möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir schon immer
Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind.  Vielleicht haben wir uns nicht
genug gefürchtet?

\begin{satz}\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}
  Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es
  nur endlich viele Zwischenkörper gibt.
\end{satz}
\begin{proof}
  Die Implikation „einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele
  Zwischenkörper“ beweisen wir im \video{22-3}.  Die Umkehrrichtung wird im
  \video{22-4} gezeigt.
\end{proof}

\begin{satz}[Satz vom primitiven Element]\label{Satz_vom_primitiven_Element}
  Jede endliche, separable Körpererweiterung ist einfach.
\end{satz}
\begin{proof}
  Es sei $L/K$ eine endliche, separable Körpererweiterung und $N ⊂ \overline{K}$
  die normale Hülle von $L$.  Dann ist $N/K$ eine Galoiserweiterung und die
  Zwischenkörper stehen in Bijektion mit den Untergruppen der Galoisgruppe
  $\Gal(N/K)$.  Insbesondere hat $L/K$ als Zwischenerweiterung von $N/K$ nur
  endlich viele Zwischenkörper.  Die Behauptung folgt dann aus
  Satz~\vref{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}.
\end{proof}

\begin{kor}\label{Korollar_Beweis_Fehlt_1}
  Jeder endliche Oberkörper von $ℚ$ ist isomorph zu einem Körper der Form
  $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
\end{kor}
\begin{proof}
  Es sei $L/ℚ$ endlich.  Nach Satz~\ref{Satz_vom_primitiven_Element} ist die
  Erweiterung $L/ℚ$ einfach, also gibt es ein primitives Element $a ∈ L$ und
  $L = ℚ(a)$ ist isomorph zu $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ das Minimalpolynom von
  $a$ ist.
\end{proof}

Endliche Oberkörper von $ℚ$ sind in der Zahlentheorie natürlich schrecklich
wichtig und tragen daher einen eigenen Namen.

\begin{defn}[Zahlkörper]
  Endliche Oberkörper von $ℚ$ werden als \emph{algebraische
    Zahlkörper}\index{algebraischer Zahlkörper}\index{Zahlkörper} bezeichnet.
\end{defn}

\begin{bsp}
  Der $ℚ(i,\sqrt2)$ ist ein algebraischer Zahlkörper.  Die Erweiterung
  $ℚ(i,\sqrt2)/ℚ$ ist einfach und hat $i+\sqrt2$ als ein primitives Element.
\end{bsp}


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
%%% End: