% spell checker language \selectlanguage{german} \chapter{Ideale} \label{chapt:09} \section{Wohin geht die Reise?} Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu können, müssen wir die Symmetrien von Körpererweiterungen verstehen … und vielleicht irgendwann auch definieren, was mit „Symmetrie einer Körpererweiterung“ gemeint sein soll. All das wird voraussetzen, dass wir Körpererweiterungen besser beschreiben. Die Idee ist die: gegeben eine einfache, algebraische Erweiterung $K(α)/K$ vom Grad $n$, dann wissen wir schon, dass wir alle Elemente des Oberkörpers $K(α)$ als Linearkombinationen der Form \[ k_0 + k_1·α + k_2·α² + ⋯ k_{n-1}·α^{n-1} \] schreiben könne, wobei die $k_•$ geeignete Elemente des kleineren Körpers $K$ sind. Diese Einsicht ist natürlich extrem hilfreich --- wir kennen das von den komplexen Zahlen, die sich alle in der Form $k_0 + k_1·\sqrt{-1}$ schreiben lassen. Der Sachverhalt lässt sich auch anders formulieren: Der Substitutionsmorphismus \[ φ : K[x] → K(α), \quad f ↦ f(α) \] ist ein \emph{surjektiver} Ringmorphismus! Wie bei Vektorräumen, Gruppen, … liegt es dann nahe, den Körper $K(α)$ als Quotient zu beschreiben, \begin{equation}\label{eq:xx} K(α) = \factor{K[x]}{\ker φ}. \end{equation} Diese Beschreibung\footnote{\label{foot:sage}Hatten Sie sich gewundert, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „$ℚ$ adjungiert $\sqrt{5}$“ mit \texttt{QQ[sqrt(5)]} bezeichnet? Der Grund ist, das runde Klammern in der Programmiersprache Python schon eine andere Bedeutung haben. Gleichung~\eqref{eq:xx} zeigt aber, dass eckige Klammer in dieser Situation ganz sinnvoll sind.} wird sehr hilfreich sein, denn wir kommen mit dem vertrauten Polynomring $K[X]$ besser klar als mit dem etwas unheimlichen Körper $K(α)$. Um alles korrekt zu definieren, müssen wir uns aber erst noch einmal überlegen, was für eine Art von Objekt $\ker φ$ nun tatsächlich ist, und was „Quotient“ genau bedeuten soll. Ich nehme die Antwort gleich vorweg: Die Menge $\ker φ$ ist das typische Beispiel eines „Ideals im Ring $K[x]$“. \section{Elementare Definitionen} Die technisch korrekte Definition eines Ideals ist jetzt die folgende. \begin{defn}[Ideal]\label{def:ideal} Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Eine nicht-leere Teilmenge $I ⊆ R$ heißt \emph{Ideal}\index{Ideal}, wenn folgendes gilt. \begin{enumerate}[ref = Bedingung (\roman*{})] \item Für alle Elemente $a,b ∈ I$ ist $a+b ∈ I$. \item Für alle Elemente $r ∈ R$ und $a∈ I$ ist $r· a∈ I$. \end{enumerate} \end{defn} \begin{bemerkung} Man kann Ideale auch in nicht-kommutativen Ringen definieren. Dann muss man aber zwischen Links- und Rechtsmultiplikation unterscheiden: je nachdem, ob man in der Definition $r·a$ oder $a·r$ schreibt, definiert man ein Links- oder Rechtsideal\index{Linksideal}\index{Rechtsideal}. Ideale, die sowohl Links- als auch Rechtsideale sind, heißen beidseitige Ideale\index{beidseitiges Ideal}. In kommutativen Ringen, für die wir uns hier interessieren, fallen diese Begriffe zusammen. \end{bemerkung} \begin{bemerkung} Der Name \emph{Ideal} geht auf Kummer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Eduard_Kummer}{Ernst Eduard Kummer} (* 29.~Januar 1810 in Sorau, Niederlausitz; † 14.~Mai 1893 in Berlin) war ein deutscher Mathematiker und Hochschullehrer, der sich vor allem mit Zahlentheorie, Analysis und Geometrie befasste.} und Dedekind\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind}{Julius Wilhelm Richard Dedekind} (* 6.~Oktober 1831 in Braunschweig; † 12.~Februar 1916 ebenda) war ein deutscher Mathematiker.} zurück. Kummer hatte bei der Untersuchung der Teilbarkeit in gewissen nicht-faktoriellen Ringen wie $ℤ[\sqrt{-5}]$ gewisse \emph{ideale Zahlen} eingeführt. Dedekind hat dann den Idealbegriff geprägt. \end{bemerkung} \begin{bsp}[Triviale Ideale] In jedem kommutativen Ring $R$ sind $I= \{0\}$ und $I=R$ trivialerweise Ideale. Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind das auch die einzigen Ideale. Grund: wenn $R$ ein Körper und $I ⊂ R$ ein Ideal ist und $a ∈ I∖ \{0\}$, dann ist auch jedes andere Körperelement in $I$. Sei nämlich irgendein Element $r ∈ R$ gegeben. Nach Definition~\ref{def:ideal} ist \[ r = (r·a^{-1})·a ∈ I. \] Also ist $I=R$. \end{bsp} \begin{bsp}[Ideale in $ℤ$] Die Menge der geraden Zahlen bildet ein Ideal in $ℤ$. Die Menge der Primzahlen ist so ungefähr das Gegenteil von einem Ideal. \end{bsp} \begin{bsp}[Kern eines Ringmorphismus] Der Kern eines Ringmorphismus ist immer ein Ideal. \end{bsp} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=6cm]{figures/Cubic_with_double_point} Nullstelle des Polynoms $y²-x²(x+1) ∈ ℝ[x,y]$. \bigskip Auf \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/ecp-de/}{meiner Homepage} finden Sie ein Programm, um mit diesen Kurven zu spielen. Sie können das Programm auch \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{direkt im Browser laufen lassen}. Abbildung Public Domain aus \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Crunode#/media/File:Cubic_with_double_point.svg}{Wikipedia}. \caption{Knotenkurve} \label{fig:node} \end{figure} \begin{bemerkung}[Durchschnitte] Es sei $R$ ein Ring und $(I_i)_{i ∈ I}$ seien Ideale von $R$. Dann ist auch der Durchschnitt \begin{equation*} \bigcap_{i ∈ I} I_i \end{equation*} ein Ideal. Beachte dazu, dass jedes Ideal das Nullelement enthält; damit ist klar, dass der Durchschnitt nicht leer ist. \end{bemerkung} \begin{bemerkung}[Summen]\label{bsp:9-2-8} Es sei $R$ ein Ring und $I_1, …, I_n$ seien Ideale von $R$. Dann ist auch die Summe\index{Summe von Idealen} \begin{equation*} I_1 + ⋯ + I_n := \{a_1+ ⋯ + a_n \::\: a_k∈ I_k \} \end{equation*} ein Ideal. \end{bemerkung} \begin{bsp}[Algebraische Varietäten] Es sei $K$ ein Körper (zum Beispiel $K = ℂ$) und $V ⊂ K^n$ sei die Lösungsmenge eines Systems von polynomialen Gleichungen, \[ V= \{ \vec{x} ∈ K^n \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x})=0 \} \] wobei $f_i ∈ K[x_1, …, x_n]$ irgendwelche Polynome sind. Man nennt ein solches $V$ manchmal \emph{algebraische Varietät}\index{algebraische Varietät}. Abbildung~\ref{fig:node} zeigt ein Beispiel. Im Internet finden Sie \href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier} und \href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier} noch weitere schöne Beispiele. Definiere dann das Ideal \[ I(V) = \{ g ∈ K[x_1, …, x_n] \:|\: \forall \vec{x} ∈ V:g(\vec{x}) = 0\}; \] dies ist also die Menge derjenigen Polynome, deren Nullstellenmenge $V$ enthält. Offenbar ist $(f_1, …, f_n) ⊂ I_V$. \end{bsp} In der \emph{Algebraischen Geometrie}, dem Gebiet auf dem ich und meine Mitarbeiter arbeiten, geht es darum, geometrische Räume mithilfe von algebraischen Objekten wie etwa Idealen zu beschreiben. Tatsächlich lässt sich ein fast vollständiges Wörterbuch „Algebra $\leftrightarrow$ Geometrie“ aufstellen. \section{Noethersche Ringe und Hauptidealringe} \sideremark{Vorlesung 10}Es gibt noch eine andere, ganz wichtige Klasse von Beispielen, die wir in ähnlicher Form schon aus der linearen Algebra kennen. Gegeben einen $K$-Vektorraum $V$ und eine beliebige Teilmenge $M ⊂ V$, so betrachteten wir in der linearen Algebra den „von $M$ erzeugten Untervektorraum“ und bezeichneten diesen Raum mit $\langle M \rangle_K$ oder $\operatorname{Span}(M)$. Per Definition gilt: Ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ liegt genau dann in $\langle M \rangle_K$, wenn $\vec{v}$ sich als Linearkombination der Elemente von $M$ schreiben lässt. Wenn die Menge $M$ unendlich ist, was dabei zu beachten, dass Linearkombinationen immer \emph{endliche} Summen sind. Das geht mit Idealen in Ringen ganz genau so. \begin{bsp}[Erzeugte Ideale]\label{bsp:9-0-5} Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins, sowie eine Familie $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ von Elementen aus $R$. Weiter sei $I$ die Menge der Elemente $r ∈ R$, die sich als endliche Linearkombination der $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ schreiben lassen, \begin{equation*} I := \{ r ∈ R \:|\: ∃ n ∈ ℕ: ∃ r_1, …, r_n ∈ R:, ∃ λ_1, …, λ_n ∈ Λ: r = r_1·a_{λ_1} + ⋯ + r_n·a_{λ_n} \}. \end{equation*} Dies ist ein Ideal, das als \emph{das von $(a_{λ})_{λ∈Λ}$ erzeugte Ideal} bezeichnet wird. Man schreibt dann $I = ((a_{λ})_{λ∈Λ})$. Im Fall, wo die Familie endlich ist, schreibt man oft auch $I = (a_1, …, a_n)$. \end{bsp} Ein Ideal $I ⊂ R$ ist natürlich immer dann einfach zu beschreiben, wenn es durch eine endliche Menge erzeugt wird, $I = (a_1, …, a_n)$. Tatsächlich können Computer-Algebra-Systeme überhaupt nur mit solchen Idealen arbeiten -- und stellen diese Ideale als endliche Liste von Erzeugern dar. Die allereinfachsten Ideale sind die, die mithilfe eines einzigen Erzeugers definiert werden können. \begin{warnung}[Das Ideal-Membership-Problem ist nicht einfach] Gegeben ein endlich erzeugtes Ideal $I = (a_1, …, a_n) ⊂ R$ und ein Element $b ∈ R$, dann ist es im Allgemeinen \emph{nicht} einfach, zu entscheiden ob $b ∈ I$ ist. In Polynomringen gibt es aber Algorithmen, die auch in allen relevanten Computer-Algebra-Systemen implementiert sind. \end{warnung} \begin{defn}[Endlich erzeugtes Ideal, Hauptideal] Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt \emph{endlich erzeugt}\index{Ideal!endlich erzeugt}, wenn es endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ R$ gibt, sodass $I= (a_1, …, a_n)$ ist. Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt \emph{Hauptideal}\index{Hauptideal}, wenn es ein Element $a ∈ R$ gibt, sodass $I= (a)$ ist. \end{defn} \begin{beobachtung}[Hauptideale und Teilbarkeit] Gegeben sei ein kommutativer Ring $R$ mit Eins. Weiter seien $a_1, a_2 ∈ R$. Dann gilt offensichtlich \begin{align*} (a_1) ⊂ (a_2) & ⇔ a_2| a_1 \\ (a_1) = (a_2)& ⇔ a_1 \sim a_2. \end{align*} Die Hauptideale in $R$ entsprechen also eindeutig Klassen von zueinander assoziierten Elementen. \end{beobachtung} \begin{warnung} Im Gegensatz zu Vektorräumen gibt es für Ideale keinen „Basisaustauschsatz“, denn zum Beweis des Basisaustauschsatzes ist es absolut notwendig zu dividieren! Es ist nicht immer richtig, dass zwei minimale Erzeugendensysteme eines Ideals, \[ I = (a_1, …, a_n) = (b_1, …, b_m), \] immer gleiche Mächtigkeit haben. Falls sie vorhatten, die „Dimension“ eines Ideals zu definieren -- \foreignlanguage{english}{Nice try}! \end{warnung} Ein Ideal ist in der Praxis nur dann handhabbar, wenn ich eine möglichst endliche Menge von möglichst einfachen Erzeugern finden kann. Glücklicherweise gibt es Ringe, in denen jedes Ideal endlich erzeugt ist. Das sagt zwar noch nicht, wie man einen sinnvollen Satz von Erzeugern finden soll, gibt aber zumindest schon ein wenig Hoffnung. \begin{defn}[Noethersche Ringe und Hauptidealringe] Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins. Man nennt $R$ einen \emph{Noethersch}\index{Noetherscher Ring}, wenn jedes Ideal von $R$ ein endlich erzeugt ist. Man nennt $R$ einen \emph{Hauptidealring}\index{Hauptidealring}, wenn jedes Ideal von $R$ ein Hauptideal ist. \end{defn} Die folgenden Sätze geben Beispiele für Hauptidealringe. \begin{satz}[$ℤ$ ist ein Hauptidealring]\label{satz:9-1-4} Der Ring $ℤ$ ist ein Hauptidealring. \end{satz} \begin{proof} Es sei $I ⊂ ℤ$ ein Ideal und $I ≠ \{0\}$. Dann gibt es ein $x ∈ I∖\{0\}$. Beachte, dass dann auch $-x= (-1)· x$ in $I$ ist. Also enthält $I$ positive Elemente. Sei $a ∈ I$ jetzt dass kleinste positive Element. Wir werden zeigen, dass $I = (a)$ ist. Die Inklusion $(a) ⊆ I$ ist klar. Sei $b ∈ I$ irgendein positives Element, dann teilen wir mit Rest \[ b=q·a+r,\quad \text{mit } 0≤r n$ und alle $1≤ i≤ n$, dass $a_i ∈ I_k$. Also ist $I_k = I$. \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_2}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}] Angenommen, es gäbe eine nicht-leere Menge $M$ von Idealen aus $R$ ohne maximales Element. Dann gibt es zu jedem $I_0∈ M$ ein $I_1∈ M$ mit $I_0\subsetneqq I_1$, genau so mit $I_2,I_3,\dots$. Wir erhalten einen Widerspruch zur Annahme, dass der „Teilerkettensatz für Ideale“ gilt. \item[\ref{Satz_Ideale_aequiv_3}$⇒$\ref{Satz_Ideale_aequiv_1}] Sei $I⊂ R$ ein Ideal und $M$ die Menge aller Ideale $J⊂ R$, die endlich erzeugt und in $I$ enthalten sind. Dann ist $M$ nicht leer, denn $(0) ∈ M$. Also gibt es per Annahme ein maximales Element $J∈ M$. Nach Annahme ist $J$ endlich erzeugt, also $J = (a_1, …, a_n)$ und wir müssen zeigen, dass $J = I$ ist. Wenn es aber ein $b ∈ I∖J$ gäbe, dann wäre $(a_1, …, a_n,b) ∈ M$ ein Ideal, das $J$ enthält. Ein Widerspruch zur Annahme. \qedhere \end{description} \end{proof} Der folgende Satz von David Hilbert\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} ähnelt formell dem Satz~\ref{Satz_Satz_von_Gauss} von Gauß und ist mindestens genauso wichtig. Historisch war der Satz ein Meilenstein. Hilbert's Beweis erregte auch deshalb großes Aufsehen, weil die Existenz eines endlichen Erzeugendensystems mithilfe eines nicht-konstruktiven Widerspruchsargumentes gezeigt wird. Der Beweis gibt keinen Hinweis, wie man ein Erzeugendensystem je finden könnte. Heute gibt es allerdings auch konstruktive Beweise, die für alle relevanten Ringe auch auf Computern implementiert sind. \begin{satz}[Hilbertscher Basissatz]\label{Satz_Hilbertscher_Basissatz} Es sei $R$ ein Noetherscher Ring. Dann ist auch $R[x]$ Noethersch. \end{satz} \begin{proof} \video{10-1} \end{proof} \begin{kor} Sei $K$ ein Körper, dann ist jeder Polynomring $K[x_1, …, x_n]$ Noethersch. Ebenso ist $ℤ[x_1, …, x_n]$ ist Noethersch. \qed \end{kor} \begin{bemerkung}[Teilerkettensatz für Ideale und für Elemente]\label{rem:9-2-5} Wenn in einem Ring der Teilerkettensatz für Ideale gilt, dann gilt auch der Teilerkettensatz für Elemente. Das sieht man, wenn man (Teiler-)Ketten von Hauptidealen betrachtet. In jedem Noetherschen Ring ist jede Nicht-Einheit ungleich $0$ also als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen darstellbar. \end{bemerkung} \section{Hauptidealringe} Wir bemerken kurz, dass Hauptidealringe fast immer faktoriell sind. Der Beweis des folgenden Satzes ist ähnlich zum Beweis der Faktorialität von $ℤ$ auf Seite~\pageref{satz:Zpirr}. Das ist kein Zufall. \begin{satz}[Hauptidealringe sind fast immer faktoriell] Es sei $R$ ein Hauptidealring. Wenn $R$ zusätzlich noch ein Integritätsring ist, dann ist $R$ faktoriell. \end{satz} \begin{proof} Da wir in Satz~\ref{satz:9-2-2} schon gezeigt haben, dass in jeden Noetherschen Ring (also insbesondere auch in jedem Hauptidealring) der Teilerkettensatz für Ideale und somit nach Bemerkung~\ref{rem:9-2-5} auch der Teilerkettensatz für Elemente gilt, müssen wir noch zeigen, dass jedes irreduzible Element $p$ prim ist. Seien also $a$ und $b$ Elemente von $R$ mit $p \nmid a$ und $p \nmid b$. Wir müssen zeigen, dass dann $p \nmid (a·b)$ gilt. Das Ideal $(a, p)$ ist per Annahme ein Hauptideal, also existiert ein $c ∈ R$ mit $ (a,p) = (c)$. Da nun $c|p$ gilt, aber $p$ irreduzibel ist, ist entweder $c$ eine Einheit, oder es gilt $c \sim p$. Weil aber $c|a$ ist und $p\nmid a$, ist $c \sim p$ nicht möglich. Also ist wohl $(a,p)= (1)$. Genau so gilt natürlich $(b,p) = (1)$. Es gibt also Gleichungen \begin{equation*} 1 = r_1·p + r_2·a \quad\text{und}\quad 1 = s_1·p + s_2·b \end{equation*} für die Addition und \begin{equation*} 1 = (r_1·s_1·p + r_2·s_1·a + r_1·s_2·b)·p + r_2·s_2·a·b \end{equation*} für die Multiplikation. Also kann $p|(a·b)$ nicht gelten, weil sonst $p|1$ folgt, was aber nicht geht, weil $p$ keine Einheit ist. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" %%% End: