% spell checker language \selectlanguage{german} \chapter{Teilbarkeit} \section{Wohin geht die Reise… ?} In den letzten Vorlesungen ist hoffentlich klar geworden, dass der Begriff „Minimalpolynom“ schrecklich wichtig ist. Wir haben aber noch nie darüber gesprochen, wie man ein Minimalpolynom überhaupt findet. \begin{problem} Gegeben eine Körpererweiterung $L/K$, ein Element $a ∈ L$ und ein normiertes Polynom $f∈ K[x]$ mit $f(a)=0$. Wie kann ich entscheiden, ob $f$ das Minimalpolynom ist oder nicht? \end{problem} Um solche Probleme anzugehen, untersuchen wir Polynomdivision und Teilbarkeitsfragen in (Polynom-)Ringen. Hier kommt ein erster Hinweis, in welche Richtung die Argumentation geht. \begin{beobachtung} Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, sei $a ∈ L$ ein Element, das algebraisch über $K$ ist und sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$. Wenn jetzt $g(x) ∈ K[x]$ irgendein anderes Polynom ist, dann haben wir in der Schule gelernt, dass wir das Polynom $g$ mit Rest durch $f$ teilen können. Am Ende schreibt man \begin{equation*} g(x) = q(x)·f(x)+ r(x), \end{equation*} wobei $q, r ∈ K[x]$ sind und $\deg r < \deg f$ ist. Angenommen $g$ hat $a$ als Nullstelle. Dann gilt: \begin{equation*} 0 = \underbrace{g(a)}_{=0}=\underbrace{q(a)· f(a)}_{=0}-r(a). \end{equation*} Also hat $r$ auch $a$ als Nullstelle. Weil $f$ aber das Minimalpolynom ist, und $\deg r < \deg f$, ist muss wohl $r\equiv 0$ gelten. Als Konsequenz lernen wir: Jedes Polynom, das $a$ als Nullstelle hat, ist ein Vielfaches des Minimalpolynoms. Umgekehrt gilt auch: wenn ein Polynom $g$ gegeben ist, das $a$ als Nullstelle hat, dann finden wir das Minimalpolynom unter den Teilern von $g$. \end{beobachtung} \section{Polynome mit Koeffizienten in Ringen} Wieder müssen wir erst etwas Sprache einführen, bevor wir echte Mathematik machen können. Wir hatten in Definition~\vref{def:3-0-2} den „Ring $K[x]$ der Polynome mit Koeffizienten im Körper $K$“ eingeführt. Das geht auch mit Ringen statt Körpern. \begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2r}% Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichne mit $R[x]$ den Ring der Polynome mit Variable $x$ und Koeffizienten aus $R$.\index{Polynomring!mit Koeffizienten aus Ring} Ebenso bezeichnen wir mit $R[x_1, …, x_n]$ den Ring der Polynome mit Variablen $x_1, …, x_n$ und Koeffizienten aus $R$. \end{definition} \begin{bsp} Betrachte den Ring $R = ℤ$. Dann ist $3·x²-5·x+17 ∈ ℤ[x]$ und $4x²+3xy+y⁷ ∈ ℤ[x,y]$. \end{bsp} \begin{beobachtung} Es gelten einige offensichtliche Gleichheiten wie \begin{align*} R[x,y] &= R[y,x] \\ R[x,y] &= \bigl(R[x] \bigr)[y], \end{align*} die wir nicht formal beweisen werden. \end{beobachtung} Der Grad von Polynomen ist definiert wie üblich: Das Polynom $3xy+y+4x ∈ ℤ[x,y] $ hat beispielsweise den Grad $2$. In Integritätsringen verhält sich der Grad gut. \begin{satz}\label{Satz_Polynom_Grad}% Sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Dann gilt für alle Polynome\footnote{Das Nullpolynom hat per Definition den Grad $-∞$. Wir verwenden die Konvention $- ∞ + (- ∞) = -∞$ und $-∞ + n = - ∞$ für alle $n ≥ 0$.} $p$ und $q ∈ R[x]$: \begin{equation*} \deg (p·q) = (\deg p)+(\deg q). \end{equation*} Insbesondere ist $R[x]$ wieder ein Integritätsring. \end{satz} \begin{proof} Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $p,q ≠ 0$. Sei $n := \deg p$ und $m := \deg q$. Dann finden wir Elemente $r_•$ und $s_•$ aus $R$ mit $r_n ≠ 0$ und $s_m≠ 0$, sodass wir schreiben können: \begin{align*} p(x) & = r_0 + r_1·x + \dots + r_n·x^n \\ q(x) & = s_0+ s_1· x + \dots + s_m· x^m. \end{align*} Dann ist weiter \begin{equation*} p(x)·q(x) = r_0·s_0 + (r_1·s_0 + r_0·s_1)·x + \dots + r_ns_m·x^{n+m}. \end{equation*} Weil $R$ ein Integritätsring ist, ist $r_n·s_m ≠ 0$, und also ist $\deg (p·q) =n+m$. \end{proof} \begin{kor} Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch der Polynomring $R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring. Für die Gruppe der Einheiten gilt \begin{equation*} R[x_1, …, x_n]^* = R^*, \end{equation*} wobei wir die Ringelemente aus $R^* ⊆ R$ als konstante Polynome auffassen. \end{kor} \begin{proof} Die erste Aussage folgt mit Induktion aus Satz~\vref{Satz_Polynom_Grad}. Die zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass $R[x]^* = R^*$ ist. Sei also $p ∈ R[x]^*$. Das bedeutet per Definition: Es existiert ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$. Dann folgt aber \[ \deg p ≤ \deg p + \deg q = \deg (p·q) = \deg 1 = 0. \] Also ist $\deg p = 0$ und somit ist $p$ konstant. \end{proof} \begin{bsp} Es ist $ℤ[x_1, x_2]^* = ± 1$. \end{bsp} \begin{bsp} Sei $K$ ein Körper. Dann ist $K[x_1, …, x_n]^* = K^* = K∖\{0\}$. \end{bsp} \section{Teilbarkeit in Ringen} In der (Grund-)Schule haben wir den Begriff „Teiler“ kennengelernt. In allgemeinen Ringen geht das nicht anders. \begin{defn}[Teiler] Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $r$, $s ∈ R$. Man nennt $r$ einen \emph{Teiler von $s$}\index{Teiler}, wenn es $q ∈ R$ gibt, sodass $r·q = s$ ist. Wir schreiben dann $r|s$. \end{defn} \begin{bsp} Es gilt $2|16$ in $ℤ$. Es gilt $(x-1)|(x²-1)$ in $ℝ[x]$. \end{bsp} \begin{prop}[Offensichtliche Rechenregeln für Teiler]\label{Satz_Rechenregeln_Teiler} Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $r$, $s$, $t$, $s_1$, $s_2$, $u$ und $v$ seien Elemente. Dann gilt Folgendes. \begin{itemize} \item Es gilt $r|r$. \item Aus $r|s$ und $s|t$ folgt $r|t$. \item Aus $r|s_1$ und $r|s_2$ folgt $r|(s_1+s_2)$. \item Aus $r|s_1$ und $r|(s_1+s_2)$ folgt $r|s_2$. \item Aus $r|s$ und $u|v$ folgt $(r·u)|(s·v)$. \end{itemize} \end{prop} \begin{proof} Keine Lust. Folgt alles direkt aus der Definition. \end{proof} Wenn wir in der Schule Teilbarkeitsüberlegungen in $ℤ$ angestellt hatten, war das Vorzeichnen meist nicht wichtig. Die folgende Definition formalisiert in bombastischer Sprache die Phrase „unterscheidet sich nur um ein Vorzeichnen“. \begin{satzdef}[Zueinander assoziierte Elemente] Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es seien $r$, $s$ zwei Elemente von $R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} \item\label{Satz_assoziiert_1} Es gilt gleichzeitig $r|s$ und $s|r$. \item\label{Satz_assoziiert_2} Es existiert ein Element $ε ∈ R^*$, sodass $ε·r=s$ ist. \end{enumerate} Sind die Bedingungen erfüllt, nennt man $r$ und $s$ \emph{zueinander assoziiert}\index{assoziierte Ringelemente} und schreibt $r \sim s$. \end{satzdef} \begin{proof} Wir beweisen die Richtung \ref{Satz_assoziiert_2}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_1}. Wegen $ε· r = s$ gilt $r|s$. Multiplikation mit $ε^{-1}$ liefert $r = ε^{-1}·s$, also gilt $s|r$. Wir beweisen als Nächstes die Richtung \ref{Satz_assoziiert_1}$⇒$\ref{Satz_assoziiert_2}. Nach Annahme existieren $u,v∈ R$ mit \begin{equation*} u· r=s \quad\text{und}\quad v· s=r. \end{equation*} Also ist \begin{equation*} v·(u· r) = v·s \:⇒\: v· u· r= r \:⇒\: (v· u-1)·r = 0, \end{equation*} und weil $R$ ein Integritätsring ist, folgt $v· u =1$, also sind $v$ und $u$ Einheiten in $R$. \end{proof} Wie in $ℤ$ gibt es in beliebigen Integritätsringen echte und nicht-echte Teiler. \begin{definition}[Echte Teiler, irreduzible Elemente] Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und $r$, $s ∈ R$ seien zwei Elemente. Dann ist $r$ ein \emph{echter Teiler von $s$}\index{echter Teiler}\index{Teiler!echter}, wenn alle der folgenden Bedingungen gelten. \begin{itemize} \item Es gilt $r|s$. \item Das Element $r$ ist keine Einheit im Ring $R$. \item Die Elemente $r$ und $s$ sind nicht zueinander assoziiert. \end{itemize} Ein Element $r$ aus einem Integritätsring heißt \emph{irreduzibel}\index{irreduzible Ringelemente}, wenn $r$ nicht Null ist, keine Einheit ist und keine echten Teiler hat. \end{definition} \begin{notation} Wenn $r$ ein echter Teiler von $s$ ist, schreibt man $r||s$. \end{notation} \begin{bsp}[Irreduzible Elemente von $ℤ$]\label{bsp:iZ} Die irreduziblen Elemente von $ℤ$ sind die Elemente der Form $± p$, wobei $p$ eine Primzahl ist. \end{bsp} \begin{warnung} Beispiel~\ref{bsp:iZ} ist ein bisschen gefährlich. Wir werden später für beliebige Ringe auch noch einen Begriff von „Primelement“ definieren. \end{warnung} \section{Zerlegbarkeit von Elementen} In der Schule wurde die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen hoffentlich ausführlich diskutiert: Jede ganze Zahl $m ∈ ℤ$ lässt sich als Produkt von irreduziblen Elementen (=sogenannte „Primzahlen“) schreiben, \begin{equation*} m= (± p_1)·(± p_2)⋯(± p_n), \end{equation*} wobei das Produkt bis auf die Reihenfolge der Faktoren und die Vorzeichen eindeutig festgelegt ist. So etwas hätten wir gern auch für beliebige Ringe! \begin{warning}\label{war:nufd}% Zu früh gefreut. Geht nicht. Ich behaupte, dass die folgende Menge von komplexen Zahlen, \[ R := \{ a+b·\sqrt{5}i ∈ ℂ \:|\: a,b ∈ ℤ\}, \] einen Unterring des Körpers $ℂ$ bildet; dieser wird in der Literatur oft mit $ℤ[\sqrt{-5}]$ bezeichnet. Ich behaupte auch, dass die Elemente \[ 3, \quad 2+\sqrt{5}i \quad\text{und}\quad 2-\sqrt{5}i \] irreduzibel und paarweise nicht zueinander assoziiert sind. Es gilt aber schrecklicherweise \[ 3· 3 = 9 = (2+\sqrt{5}i)·(2-\sqrt{5}i). \] Das Element 9 aus $R$ hat also zwei sehr unterschiedliche Darstellungen als Produkt von irreduziblen Elementen. \end{warning} \subsection{Existenz von Zerlegungen} \sideremark{Vorlesung 5}Wir kümmern uns zuerst um die Frage, wann es überhaupt eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt. Dazu sind folgende Definitionen relevant. \begin{defn}[Teilerkette für Elemente]\label{def:TK}% Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine \emph{Teilerkette}\index{Teilerkette} in $R$ ist eine Folge von Elementen $(r_n)_{n∈ℕ}$ aus $R$, sodass für alle $n ∈ ℕ$ gilt: $r_{n+1}|r_n$. \end{defn} \begin{defn}[Teilerkettensatz für Elemente]\label{def:TKSE}% Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Man sagt \emph{in $R$ gilt der Teilerkettensatz für Elemente}\index{Teilerkettensatz!für Elemente}, wenn für jede Teilerkette $(r_n)_{n ∈ ℕ}$ ein $n_0∈ℕ$ existiert, sodass für alle $k ≥ n_0$ gilt: Die Elemente $r_{k+1}$ und $r_k$ sind assoziiert. \end{defn} \begin{rem} Die Forderung „für alle $k ≥ n_0$ gilt $r_{k+1} \sim r_k$ sind assoziiert“ lässt sich auch so ausdrücken: Es gibt nur endlich viele $n ∈ ℕ$, sodass $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist. \end{rem} \begin{bsp} In $ℤ$ gilt der Teilerkettensatz, denn wenn $r_n$ eine Teilerkette ist, dann gilt $|r_1| ≥ |r_2| ≥ ⋯$ und wenn $r_{n+1}$ ein echter Teiler von $r_n$ ist, dann ist $|r_n| > |r_{n+1}|$. \end{bsp} \begin{bsp} Analog zur Situation in $ℤ$ kann man im Polynomring $K[x]$ über einem Körper $K$ schließen, dass der Teilerkettensatz gilt. Dazu betrachte man den Grad von Polynomen anstelle des Betrages. \end{bsp} \begin{warnung} In der Hausaufgabe werden wir sehen: es gibt Integritätsringe, in denen der Teilerkettensatz nicht gilt. \end{warnung} Der folgende Satz ist wirklich klassisch, er geht auf Euklid\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid}{Euklid von Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy Noether} (Emmy war der Rufname; * 23.~März 1882 in Erlangen; † 14.~April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}. Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt. \begin{satz}\label{satz:tksgz} Es sei $R$ ein kommutativer Ring in dem der Teilerkettensatz für Elemente gilt. Weiter sei $r ∈ R$ ein Element, welches weder 0 noch eine Einheit ist. Dann kann man $r$ als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen $p_i ∈ R$ schreiben. \end{satz} \begin{proof} \video{5-1} \end{proof} \subsection{Eindeutigkeit von Zerlegungen} Nach dem Kriterium für die Existenz einer Zerlegung kommen wir jetzt zur Frage der Eindeutigkeit. Die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen ist eindeutig bis auf Vorzeichen (=Multiplikation mit Einheiten) und Reihenfolge. Zwei Darstellungen, die sich nur in Reihenfolge und Einheiten unterscheiden, nenne wir „äquivalent“. \begin{defn}[Äquivalente Zerlegungen] Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring, es sei $r ∈ R$ ein Element und es seien \[ r = p_1 ⋯ p_n = q_1 ⋯ q_m \] zwei Darstellungen von $r$ als Produkt von irreduziblen Elementen. Die Darstellungen heißen \emph{äquivalent}\index{äquivalente Darstellungen}, wenn gilt $n = m$ und wenn es eine Permutation $σ ∈ S_n$ gibt, sodass für alle Indizes gilt $p_i \sim q_{σ(i)}$. \end{defn} \begin{bsp} Betrachte $R = ℤ$. Dann sind $6 = 2·3 = (-3)·(-2)$ zwei äquivalente Darstellungen der Zahl $6$. \end{bsp} Wir wollen natürlich ein Kriterium dafür finden, dass für alle Elemente eines Ringes je zwei Darstellungen äquivalent sind. Die folgende Definition ist dabei wichtig. \begin{definition}[Primelemente eines Ringes] Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring. Ein Element $p ∈ R$ heißt \emph{prim}\index{Primelement eines Ringes}, wenn $p$ keine Einheit ist, $p ≠ 0$ gilt und wenn für alle $a,b ∈ R$ mit $p|(a·b)$ schon folgt, dass $p|a$ oder $p|b$ gilt. \end{definition} \begin{satz}[Regeln im Umgang mit Primelementen] Es sei $R$ ein kommutativer Integritätsring und es sei $p ∈ R$. Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} \item\label{Satz_Prim_1} $p$ ist prim $⇒$ $p$ ist irreduzibel. \item\label{Satz_Prim_2} $p$ ist prim und $p \sim s$ $⇒$ $s$ ist prim. \item\label{Satz_Prim_3} $p$ und $q$ sind prim und $p|q$ $⇒$ $p \sim q$. \item\label{Satz_Prim_4} $p$ ist prim und $p|(a_1 ⋯ a_n)$ $⇒$ es existiert ein $i$ mit $p|a_i$. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} Die meisten Punkte sind klar, es ist nur \ref{Satz_Prim_1} zu zeigen. Sei $p$ also prim. Aus $p = a· b$ folgt dann $p|a$ oder $p|b$, also $p \sim a$ oder $p \sim b$, das heißt $p$ ist irreduzibel. \end{proof} \begin{bsp}[Primzahlen]\label{satz:Zpirr} In $ℤ$ ist ein Element genau dann prim, wenn es irreduzibel ist. Also: die Menge der Primelemente sind genau die Primzahlen. Der Beweis ist erstaunlich kompliziert. Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, nicht jedes irreduzible Element in $ℤ$ sei prim. Die irreduziblen Elemente in $ℤ$ sind aber gerade $±$ Primzahl. Also nehmen wir an, dass es eine kleinste (positive) Primzahl $p ∈ ℤ$ mit der Eigenschaft gibt, dass es zwei Zahlen $a,b ∈ ℤ$ gibt mit $p|(a· b)$ und $p \nmid a$ und $p \nmid b$. Division mit Rest liefert: \begin{align*} a &= q_1· p+a_1, & 1&