% spell checker language \selectlanguage{german} \chapter{Ultrakurzwiederholung: wichtige Begriffe} Bevor es mit dem eigentlichen Inhalt der Vorlesung losgeht, möchte ich sicherzustellen, dass alle Teilnehmer auf dem gleichen Stand sind und dieselbe Sprache sprechen (leider sind die Definitionen in der Literatur nicht immer einheitlich). Ich füge deshalb diesen extrem langweiligen Abschnitt ein, in dem ich die wesentlichen Grundbegriffe extrem knapp wiederhole. Das allermeiste dürfte Ihnen aus den Anfängervorlesungen bekannt sein, sodass sich der Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird. \section{Gruppen} \label{sec:gruppen} \begin{defn}[Gruppe]\label{def:2-1-1} Eine \emph{Gruppe}\index{Gruppe} ist eine nicht-leere Menge $G$ mit einer Abbildung \[ m : G⨯ G → G, \] sodass folgende Eigenschaften gelten. \begin{description} \item[Assoziativität] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ aus $G$ gilt: $m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))$. \item[Neutrales Element] Es gibt genau ein Element $e$ aus $G$, sodass für alle $a$ aus $G$ gilt: $m(e,a) = m(a,e) = a$. \item[Inverse Elemente] Für alle $a$ aus $G$ gibt es genau ein Element $b$ aus $G$, sodass $m(a,b) = m(b,a) = e$ ist. \end{description} \end{defn} \begin{defn}[Abelsche Gruppe] Es sei $(G,m)$ eine Gruppe. Die Gruppe heißt \emph{Abelsch}\index{Gruppe!Abelsch} oder \emph{kommutativ}\index{Gruppe!kommutativ}, falls für alle $a$ und $b$ aus $G$ die Gleichung $m(a,b)=m(b,a)$ gilt. \end{defn} \begin{notation}[Gruppenverknüpfung, Inverses] Es sei $(G,m)$ eine Gruppe. Dann wird die Abbildung $m$ häufig \emph{Gruppenverknüpfung}\index{Gruppenverknüpfung} genannt. Häufig wird statt dem Buchstaben $m$ das Symbol $·$ verwendet und statt $m(a, b)$ kurz $a·b$. Bei Abelschen Gruppen ist statt $·$ auch das Symbol $+$ üblich. Das inverse Element von $a$ wird auch mit $a^{-1}$ bezeichnet. \end{notation} \begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra] Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgendein Vektorraum über irgendeinem (z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder der komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei \begin{equation*} m(a,b) := a+b \end{equation*} die Addition bzw.\ die Vektoraddition. Dann ist $(G,+)$ eine abelsche Gruppe. \end{bsp} \begin{bsp}[Invertierbare Matrizen] Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $G$ die Menge der invertierbaren $(n⨯ n)$-Matrizen, die invertierbar sind. Weiter sei \begin{equation*} m(a,b) := a·b \end{equation*} die Matrixmultiplikation. Dann ist $(G,·)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen nicht Abelsch. \end{bsp} \begin{bsp}[Bijektive Abbildungen] Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven Abbildungen $M → M$. Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die Hintereinanderausführung (= „Komposition“) von Abbildungen. Dann ist $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich „Bijektivität“? Haben Sie ein Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch ist? \end{bsp} \begin{bsp}[Vektorprodukt] Es sei $G := ℝ³$ und es sei $⨯$ das Vektorprodukt. Dann ist $(G, ⨯)$ keine Gruppe. Warum? \end{bsp} \begin{bsp}[Körper mit Multiplikation] Es sei $G := ℝ$ oder $ℤ$ oder $ℂ$ und es sei $·$ die Multiplikation. Dann ist $(G, ·)$ keine Gruppe. Warum? \end{bsp} \begin{defn}[Untergruppe]\label{def:2-1-9} Es sei $(G, m)$ eine Gruppe und es sei $U ⊆ G$ eine nicht-leere Teilmenge. Nenne $U$ eine \emph{Untergruppe}\index{Untergruppe} von $(G,m)$, falls Folgendes gilt. \begin{description} \item[Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung] Für alle Elemente $a$, $b$ aus $U$ ist auch $m(a,b)$ aus $U$. \item[Abgeschlossenheit unter Inversenbildung] Für alle Elemente $a$ aus $U$ ist auch $a^{-1}$ in $U$. \end{description} \end{defn} \begin{bemerkung} Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann schränkt sich die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung \[ m|_{U⨯ U} : U ⨯ U → U \] und $(U, m|_{U⨯ U})$ ist wieder eine Gruppe. Es ist üblich, diese Gruppe einfach kurz mit $(U, m)$ zu bezeichnen. \end{bemerkung} \subsection{Normale Untergruppen} Kennen Sie den Begriff der „normalen Untergruppe“? Falls Sie diesen Begriff in den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten, hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen. Ich empfehle Kapitel 9 von Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können. Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo zusammengefasst. \video{1-1} \section{Ringe} \begin{defn}[Ring]\label{def:ring} Ein \emph{Ring}\index{Ring} ist eine nicht-leere Menge $R$ mit zwei Abbildungen, \[ + : R⨯ R → R \quad\text{und}\quad · : R⨯ R → R, \] sodass folgende Eigenschaften gelten. \begin{description} \item[Gruppenstruktur von $(R, +)$] Es ist $(R, +)$ eine Abelsche Gruppe. \item[Distributivgesetz] Für alle $a$, $b$ und $c$ aus $R$ gelten die Gleichungen $(a+b)·c = a·c + b·c$ und $a·(b+c) = a·b + a·c$. \item[Assoziativität der Multiplikation] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ aus $R$ gilt: $(a·b)·c = a·(b·c)$. \item[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element $e$ aus $R$, sodass für alle $a$ aus $R$ gilt: $e·a = a·e = a$. \end{description} \end{defn} \begin{notation} Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung „$+$“ meist als Addition und die Verknüpfung „$·$“ meist als Multiplikation bezeichnet. Das neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$. \end{notation} \begin{warnung}[Neutrales Element der Multiplikation] Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales Element der Multiplikation existiert. Ein Ring wie in Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein „Ring mit Eins“ genannt. \end{warnung} \begin{defn}[Abelsche Ringe] Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Abelsch}\index{Ring!Abelsch} oder \emph{kommutativ}\index{Ring!kommutativ}, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ aus $R$ gilt, dass $a·b = b·a$ ist. \end{defn} \begin{bsp}[Vektorprodukt] Das Tripel $(ℝ³, +, ⨯)$ definiert keinen Ring, wenn $+$ die Vektoraddition und $⨯$ das Vektorprodukt bezeichnet. Warum? \end{bsp} \begin{bsp}[Quadratische Matrizrn] Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $R$ die Menge der $(n⨯ n)$-Matrizen. Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition und Matrixmultiplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht kommutativ. \end{bsp} \begin{bsp}[Ganze Zahlen] Die Menge $ℤ$ bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring. \end{bsp} \begin{beobachtung} Mit Elementen aus Ringen kann man rechnen wie mit Zahlen. Man rechnet sofort mithilfe der Definition nach, dass in jedem Ring $(R, +, ·)$ für alle Elemente $a$ und $b$ die Identitäten \[ a·0 = 0·a = 0 \quad\text{und}\quad (-a)·b = -(a·b) = a·(-b) \] gelten. Aber Achtung! \begin{itemize} \item Aus $a·b = 0$ und $a ≠ 0$ kann man im Allgemeinen nicht folgern, dass $b=0$ ist. \item Aus $a·(b-c) = 0$ oder $a·b = a·c$ kann man nicht folgern, dass $b=c$ ist. \end{itemize} Der Grund ist, dass das Element $a$ ein \emph{Nullteiler} sein kann! \end{beobachtung} \begin{defn}[Nullteiler] Es sei $(R, +, ·)$ ein kommutativer Ring. Ein Element $a$ aus $R$ heißt \emph{Nullteiler}\index{Nullteiler}, wenn es ein Element $b ∈ R ∖ \{0\}$ gibt, sodass $a·b = 0$ ist. Der Ring $R$ heißt \emph{nullteilerfrei}\index{Ring!nullteilerfrei} oder \emph{Integritätsring}\index{Integritätsring}, wenn die $0$ der einzige Nullteiler ist und wenn $R$ nicht nur aus dem Nullelement besteht. \end{defn} Wir merken uns: Nullteiler machen Probleme. Gute Ringe haben keine Nullteiler. \begin{figure} \centering \begin{minipage}{0.4\linewidth} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1] \draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2); \draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0); \draw (-2,1)node[above right]{$f$}--(-1,0)--(2,0); \end{tikzpicture} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}{0.4\linewidth} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1] \draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2); \draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0); \draw (-2,0)--(1,0)--(2,1)node[above left]{$g$}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{minipage} \caption{Nullteiler im Ring $\cC⁰(ℝ)$} \label{fig:nt} \end{figure} \begin{bsp}[Stetige Funktionen]\label{bsp:stetig} Es sei $\cC⁰(ℝ)$ die Menge der stetigen Funktionen auf $ℝ$. Zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen bildet dies einen kommutativen Ring. Betrachte die Funktionen $f$ und $g$ aus Abbildung~\vref{fig:nt}. Dann ist weder $f$ noch $g$ die Nullfunktion, aber $f·g$ ist die Nullfunktion. Also sind sowohl $f$ als auch $g$ Nullteiler des Ringes $\cC⁰(ℝ)$. \end{bsp} \begin{bsp}[Polynome] Es sei $ℝ[x_1, …, x_n]$ die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten in $n$ Veränderlichen. Die definiert mit der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen einen nullteilerfreien, kommutativen Ring. \end{bsp} \begin{bsp}[Rechnen modulo $p$] Aus der linearen Algebra kennen Sie den Ring $ℤ/(6)$. Dies ist kein Integritätsring, denn $[2] \ne [0]$ und $[3] \ne [0]$ aber $[2]·[3] = [6] = [0]$. Fall $p$ eine Primzahl ist, ist $𝔽_p = ℤ/(p)$ ein Integritätsring, sogar ein Körper. \end{bsp} Das Gegenteil eines Nullteilers ist ein Element, das ein multiplikatives Inverses besitzt. Solche Elemente heißen Einheiten. \begin{defn}[Einheiten eines Ringes] Sei $(R, +, ·)$ ein Ring und es sei $a ∈ R$ ein Element. Nenne $a$ \emph{multiplikativ invertierbar}\index{invertierbare Elemente eines Ringes} oder \emph{Einheit}\index{Einheit}, falls ein $b ∈ R$ existiert, sodass $a·b = b·a = 1$ ist. Die Menge der Einheiten wird mit $R^*$ bezeichnet. \end{defn} \begin{bsp}[Ganze Zahlen] Es ist $ℤ^* = \{ 1, -1\}$. \end{bsp} \begin{bsp}[Stetige Funktionen] In Beispiel~\ref{bsp:stetig} sind die Einheiten genau die stetigen Funktionen ohne Nullstelle. \end{bsp} \begin{beobachtung} Es sei $(R, +, ·)$ ein Ring. Dann sind Produkte und Inverse von Einheiten wieder Einheiten, und die Menge der Einheiten bildet zusammen mit der Multiplikation eine Gruppe. \end{beobachtung} Den Begriff \emph{Unterring}\index{Unterring} definiert man ganz analog zur Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen. \begin{bsp}[Unterringe] Die Menge $ℤ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℤ$ ist ein Unterring der Menge $ℝ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℝ$. \end{bsp} \section{Körper} \sideremark{Vorlesung 2} \begin{defn}[Schiefkörper, Körper] Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$ nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt. Ein Schiefkörper heißt \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch kommutativ ist. \end{defn} Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen. \begin{bsp}[Bekannte Körper] Die bekanntesten Körper sind $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ und die endlichen Körper. Die reellen Zahlen sind ein Unterkörper von $ℝ$ und $ℂ$. \end{bsp} \begin{bsp}[Gebrochen-rationale Funktionen]\label{bsp:2-3-3} In der Schule haben Sie gebrochen-rationale Funktionen diskutiert, wie etwa \[ f(x) := \frac{x²-7}{x³+4·x}. \] Die Menge der gebrochen-rationalen Funktionen\index{gebrochen-rationale Funktionen} bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Körper, der mit $ℝ(x)$ bezeichnet wird. Die Menge der konstanten Funktionen ist ein Unterkörper von $ℝ(x)$. Die Menge $ℝ[x]$ ist ein Unterring, aber kein Unterkörper von $ℝ(x)$. \end{bsp} \begin{notation}[Körpererweiterung] Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer \emph{Körpererweiterung „$L$ über $K$“}\index{Körpererweiterung}. Man schreibt oft $L/K$. \end{notation} Interessante Körpererweiterungen konkret zu konstruieren ist erst einmal nicht ganz einfach. Hier ist eine nicht-triviale Methode, die wir später nutzen werden, um an neue Beispiele zu kommen. \begin{bsp}[Schnitte von Zwischenkörpern]\label{bsp:3-1-2a} Wir beginnen mit einer gegebenen Körpererweiterung $L/K$, und irgendeiner Menge $(M_i)_{i ∈ I}$ von Zwischenkörpern, also Unterkörpern $M_i ⊆ L$, die den kleineren Körper $K$ enthalten. Man rechne direkt mithilfe der Definition nach, dass die Schnittmenge \[ S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L \] wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser Unterkörper die Menge $K$. \end{bsp} \begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b}% Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}. Wir beginnen mit einer gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K ∪ A$ enthalten. Man beobachte, dass es mindestens einen solchen Unterkörper gibt, nämlich $M$. Man rechne direkt mithilfe der Definition nach, dass die Schnittmenge aller solcher $M$, \[ \bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize $K ∪ A ⊆ M$}} M ⊆ L \] wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser Unterkörper die Menge $K ∪ A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der die Menge $K ∪ A$ enthält. \end{bsp} \begin{defn}[Adjunktion von Mengen und Elementen] Der in Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} konstruierte Unterkörper wird mit $K(A)$ bezeichnet. Man sagt, $K(A)$ entsteht aus $K$ durch \emph{Adjunktion der Menge $A$}\index{Adjunktion!einer Menge}. \end{defn} \begin{notation}[Adjunktion von endlichen Mengen] Falls die Menge $A$ aus Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} nur ein Element enthält, $A = \{a\}$, so schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a)$ und sagt, der Körper entsteht durch \emph{Adjunktion des Elementes $a$}\index{Adjunktion!eines Elementes}. Falls die Menge $A$ endlich ist, $A = \{ a_1, …, a_n\}$, so schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$. \end{notation} \begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach}% Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. In diesem Zusammenhang nennt man $a$ ein \emph{primitives Element der Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}. \end{defn} Weiter unten werden wir einfache Körpererweiterung noch sehr ausführlich besprechen. %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie" %%% End: