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\chapter{Algebraische und transzendente Elemente}


\section{Körpererweiterungen}

Jetzt beginnt die Vorlesung richtig: wir interessieren uns für
Körpererweiterungen, also für Situation, in denen wir einen (großen) Körper $L$
haben und darin enthalten einen kleineren Körper $K$, zum Beispiel $ℚ ⊂ ℝ$.  Die
erste und zentrale Beobachtung beim Studium von Körpererweiterungen ist, dass
nicht alle Elemente des größeren Körpers gleich sind.

\begin{beobachtung}
  In $ℝ$ gibt es verschiedene Sorten von nicht-rationalen Zahlen:
  \begin{itemize}
  \item Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\sqrt[3]{5}+\sqrt{2}$, die irgendwie
    \emph{algebraisch} sind, weil sie mit Polynomen zu tun haben deren
    Koeffizienten rationale Zahlen sind --- diese Zahlen heißen „algebraisch“.
    
  \item Zahlen wie $e$ oder $π$, die von Potenzreihen, und nicht von Polynomen
    kommen --- diese Zahlen heißen „transzendent“.
  \end{itemize}
\end{beobachtung}

Um diese Beobachtung für beliebige Körper zu formulieren, ist leider wieder erst
einmal ein wenig Sprache fällig.

\begin{definition}[Polynomring]\label{def:3-0-2}%
  Es sei $K$ ein Körper.  Dann bezeichne $K[x]$ den Ring der Polynome mit
  Variable $x$ und Koeffizienten aus $K$.\index{Polynomring}
\end{definition}

\begin{warnung}[Polynome und Funktionen]
  In der Situation von Definition~\ref{def:3-0-2} kann ich jedem Polynom eine
  Funktion $K → K$ zuweisen, Polynome sind aber etwas anderes als Funktionen! Im
  Falle wo $K = 𝔽_p$ ein endlicher Körper ist, gibt es zwar unendlich viele
  Polynome (zum Beispiel $x$, $x²$, $x³$, …) aber nur endlich viele Abbildungen
  von $K$ nach $K$!
\end{warnung}

\begin{bsp}[Polynomring]
  Das Polynom $\frac{2}{7}· x²+8$ liegt in $ℚ[x]$.  Das Polynom $π·x + e$ liegt
  in $ℝ[x]$.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Polynomring]
  Es sei $K = ℝ(z)$, der Körper der gebrochen-rationalen Funktionen aus
  Beispiel~\ref{bsp:2-3-3}.  Dann ist
  \[
    \frac{2z+z²}{1+z³}·x²+\frac{1}{2}·x+z
  \]
  ein typisches Polynom aus $K[x]$.
\end{bsp}

Die korrekte Definition von „algebraisch“ und „transzendent“ ist jetzt die
Folgende.

\begin{defn}[Algebraische und transzendente Elemente]
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Ein Element $a ∈ L$ heißt
  \emph{algebraisch über $K$}\index{algebraisch!Element einer
  Körpererweiterung}, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, sodass Folgendes
  gilt.
  \begin{itemize}
  \item Das Polynom $f$ ist nicht das Nullpolynom.

  \item Das Element $a$ ist eine Nullstelle von $f$.  Genauer: fasse das Polynom
    $f$ als Element von $L[x]$ auf.  Dann ist die Bedingung, dass die zu $f$
    gehörende Abbildung $L → L$ das Element $a$ auf $0$ abbildet.
  \end{itemize}
  Ist $a$ nicht algebraisch, so nennt man $a$
  \emph{transzendent}\index{transzendent!Element einer Körpererweiterung}.
\end{defn}

\begin{bsp}
  Betrachte die Körpererweiterung $ℝ/ℚ$.  Die Zahl $\sqrt[3]{2}$ ist
  algebraisch, weil sie Nullstelle des Polynoms $x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist.  Der
  Freiburger Mathematiker Ferdinand
  Lindemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_von_Lindemann}{Carl
  Louis Ferdinand Lindemann}, ab 1918 Ritter von Lindemann (* 12.~April 1852 in
  Hannover; † 6.~März 1939 in München) war ein deutscher Mathematiker. Lindemann
  hatte die Idee für den Transzendenzbeweis bei einem Spaziergang auf dem
  Lorettoberg.} bewies im Jahr 1882 in der berühmten Arbeit \cite{MR1510165},
  dass die Zahl $π$ transzendent ist.
\end{bsp}


\section{Algebraische und transzendente Zahlen}

Der Zahlentheoretiker interessiert sich natürlich besonders für die
Körpererweiterung $ℂ/ℚ$.  Hier hat sich eine eigene Sprache etabliert.

\begin{defn}[Algebraische und transzendente Zahlen]
  Elemente $z ∈ ℂ$, die algebraisch über $ℚ$ sind, nennt man \emph{algebraische
  Zahlen}\index{algebraisch!Zahlen}.  Die anderen Elemente heißen
  \emph{transzendente Zahlen}\index{transzendent!Zahlen}.
\end{defn}

Leider gibt es fast keine algebraischen Zahlen.  Der folgende Satz zeigt, dass
jedes nicht-leere, offene Intervall in $ℝ$ jede Menge transzendente Zahlen
enthält.

\begin{satz}\label{satz:3-2-2}%
  Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
\end{satz}
\begin{proof}
  Bekanntlich ist $ℚ$ abzählbar, also ist der Ring $ℚ[x]$ der Polynome mit
  Koeffizienten in $ℚ$ ebenfalls abzählbar.  Jedes Polynom hat aber nur endlich
  viele Nullstellen.
\end{proof}


\section{Algebraische und transzendente Körpererweiterungen}

\begin{defn}[Algebraische und transzendente Körpererweiterungen]
  Man nennt eine Körpererweiterung $L/K$
  \emph{algebraisch}\index{algebraisch!Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!algebraisch},
  wenn jedes Element $a ∈ L$ algebraisch über $K$ ist.  Wenn $L/K$ nicht
  algebraisch ist, nennt man die Erweiterung
  \emph{transzendent}\index{transzendent!Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!transzendent}.
\end{defn}

\begin{bsp}
  Die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ ist algebraisch.  Denn wenn irgendeine komplexe
  Zahl $z$ gegeben ist, dann ist $z$ eine Nullstelle des Polynoms
  \[
    f(x) := (x-z)·(x-\overline{z}) = x²- \underbrace{(z+\overline{z})}_{∈
      ℝ}·x-\underbrace{z·\overline{z}}_{∈ ℝ}.
  \]
  Dies ist aber ein reelles Polynom, also in $ℝ[x]$.
\end{bsp}

\begin{bsp}
  Satz~\ref{satz:3-2-2} (oder alternativ auch der Satz von Lindemann) sagt, dass
  $ℝ/ℚ$ transzendent ist.
\end{bsp}


\section{Das Minimalpolynom}

Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$. Per
Definition gibt es dann ein Polynom $f ∈ K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat.
Natürlich ist $f$ kein bisschen eindeutig -- man multipliziere $f$ mit
irgendeinem anderen Polynom und erhalte ein neues Polynom (größeren Grades), das
ebenfalls $a$ als Nullstelle hat.  Man kann aber unter allen Polynomen, die $a$
als Nullstelle haben, ein eindeutiges Element finden, wenn man ein paar
Zusatzbedingungen stellt.

\begin{description}
\item[Minimaler Grad] Zuerst betrachten wir nur solche Polynome, deren Grad
  minimal ist unter allen nicht-konstanten Polynomen, die $a$ als Nullstelle
  haben.
  
\item[Normiertheit] Solche Polynome gibt es immer noch viele, aber wenn
  \begin{equation*}
    f = a_n·x^n+a_{n-1}·x^{n-1}+ ⋯ + a_0∈ K[x]
  \end{equation*}
  ein solches Polynom ist, dann hat das normierte Polynom\footnote{Erinnerung:
    „normiert“ bedeutet, dass der Leitkoeffizient gleich 1 ist.}
  \begin{equation*}
    \frac{1}{a_n}f = x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}·x^{n-1} + ⋯ + \frac{a_0}{a_n}∈ K[x]
  \end{equation*}
  ebenfalls das Element $a$ als Nullstelle.
\end{description}

Die zentrale Beobachtung ist jetzt, dass es nur ein einziges normiertes Polynom
minimalen Grades gibt, das $a$ als Nullstelle hat.  Denn wenn $f_1$ und $f_2$
zwei unterschiedliche solche Polynome wären, dann hätte auch $f_1 - f_2$ das
Element $a$ als Nullstelle.  Aber der Grad von $f_1 - f_2$ ist kleiner als der
Grad von $f_1$!

\begin{defn}[Minimalpolynom]
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
  Das (wie oben gesehen: eindeutig bestimmte!) normierte Polynom kleinsten
  Grades in $K[x]$ welches $a$ als Nullstelle hat, wird als
  \emph{Minimalpolynom}\index{Minimalpolynom} von $a$ über $K$ bezeichnet.
\end{defn}

\begin{defn}[Grad von Elementen in einer Körpererweiterung]
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$.  Dann definiert man
  den \emph{Grad von $a$ über $K$}\index{Grad!eines Elementes} wie folgt.
  \begin{itemize}
  \item Falls $a$ algebraisch über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$
    der Grad des Minimalpolynoms.
    
  \item Falls $a$ transzendent über $K$ ist, dann ist der Grad von $a$ über $K$
    unendlich.
  \end{itemize}
  Die Schreibweise $[a:K]$ ist üblich.
\end{defn}

\begin{bsp}
  Betrachte die Erweiterung $ℂ/ℚ$ und $a = \sqrt[3]{2}$.  Dann ist $[a:ℚ] ≤ 3$,
  denn $a$ ist Nullstelle des Polynoms $f(x) = x³-2 ∈ ℚ[x]$.  Aber ist $f$ auch
  das Minimalpolynom?
\end{bsp}

\begin{bsp}
  Der Satz von Lindemann sagt, dass $[π:ℚ] = ∞$ ist.
\end{bsp}

\begin{beobachtung}
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ algebraisch über $K$.
  Dann ist $[a:K] = 1$ gleichbedeutend dazu, dass $a$ in $K$ liegt.
\end{beobachtung}

\begin{bsp}[Adjunktion einer Quadratwurzel]
  Es sei $L = ℂ$ und es sei $K$ ein Unterkörper (zum Beispiel $ℚ$).  Weiter sei
  $b ∈ K$ und $a$ sei eine Quadratwurzel von $b$ (also: Es gilt die Gleichung
  $a² = b$).  Dann gilt
  \[
    [a:K] =
    \left\{
      \begin{matrix}
        1 & \text{falls } a ∈ K \\
        2 & \text{sonst}
      \end{matrix}
    \right.
  \]
\end{bsp}

Die Umkehrung gilt ebenfalls, wie wir in Korollar~\vref{kor:ajQ} sehen
werden.


\section{Der Grad einer Körpererweiterung}

Wenn $L/K$ eine Körpererweiterung ist, dann lässt sich $L$ auch als
$K$-Vektorraum auffassen.  Dabei ist die Vektoraddition einfach die Addition in
$L$ und die skalare Multiplikation (= Multiplikation von Elementen aus $L$ mit
Elementen aus $K$) ist die Multiplikation des Körpers $L$.  Das erlaubt folgende
Definition.

\begin{defn}[Grad einer Körpererweiterung]
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Die Dimension von $L$ als Vektorraum
  über $K$ heißt \emph{Grad der Körpererweiterung}\index{Grad!einer
  Körpererweiterung}.  Die Schreibweise $[L:K]$ ist üblich.
\end{defn}

\begin{defn}[Endliche Körpererweiterung]
  Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{endlich}\index{endliche
    Körpererweiterung}\index{Körpererweiterung!endlich}, wenn $[L:K] < ∞$ ist.
\end{defn}

\begin{bsp}
  Es ist $[ℂ:ℝ] = 2$ und $[ℝ:ℚ] = ∞$, denn jeder endlich-dimensionale
  $ℚ$-Vektorraum wäre abzählbar.
\end{bsp}

\begin{satz}[Grad von Körpererweiterungen und Grad von Elementen]\label{satz:3-5-4}%
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$.  Dann gilt die
  Gleichheit $[a: K] = [K(a):K]$.\sideremark{Vorlesung 3}
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{3-1} und \video{3-2}.
\end{proof}

Die folgenden beiden Korollare sind total nützlich.  Beide folgen direkt aus dem
Beweis von Satz~\ref{satz:3-5-4}; wir wiederholen die Argumentation deshalb an
dieser Stelle nicht.

\begin{kor}
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈ L$.  Falls $[a:K] < ∞$ ist,
  dann ist $K(a)$ algebraisch über $K$.  \qed
\end{kor}

\begin{kor}\label{kro:eord}%
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a∈L$ algebraisch über $K$, vom
  Grad $n$.  Dann kann jedes Element $b ∈ K(a)$ geschrieben werden als
  \[
    b = c_0 + c_1·a + c_2·a² + ⋯ + c_{n-1}·a^{n-1},
  \]
  wobei $c_0, …, c_{n-1} ∈ K$ geeignete Elemente sind.  \qed
\end{kor}

Korollar~\ref{kro:eord} ist Ihnen im Spezialfall der Körpererweiterung $ℂ/ℝ$
schon bekannt: Jede komplexe Zahl $b$ kann geschrieben werden als $b = c_0 +
c_1·i$, wobei $c_0$ und $c_1$ reelle Zahlen sind.  Das ist ziemlich nützlich!
Korollar~\ref{kro:eord} erlaubt eine ganz ähnliche Beschreibung für beliebige
einfache Körpererweiterungen.


\section{Ketten von Körpererweiterungen}

Wir werden uns häufig einer Situation gegenübersehen, wo wir einen Körper $K$
haben, und dann nach und nach einige Elemente eines Oberkörpers
hinzuadjungieren.  Wir erhalten so eine Kette von immer größer werdenden
Oberkörpern.  Die Frage ist, wie sich die Erweiterungsgrade verhalten.

\begin{satz}[Gradformel]\label{satz:3-6-1}%
  \index{Gradformel für Körpererweiterungen}Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von
  Körpererweiterungen. Dann gilt\footnote{Wir verwenden die Konvention $∞·∞ = ∞$
  und $∞·n = ∞$, falls $n$ eine positive ganze Zahl ist.} die Gleichung
  \[
    [M:K] = [M:L]·[L:K].
  \]
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{3-3}
\end{proof}

\begin{kor}
  Es sei $K ⊆ L ⊆ M$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Wenn $[M:K]$ endlich
  ist, dann ist $[L:K]$ endlich, und sogar ein Teiler von $[M:K]$.  Insbesondere
  gilt für jedes Element $a∈ L$, dass $[a:K]$ ein Teiler von $[M:K]$ ist.  \qed
\end{kor}

\begin{kor}
  Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung, sodass $[L:K]$ eine Primzahl
  ist.  Dann existiert ein Element $a ∈ L$, sodass $L = K(a)$ ist.  \qed
\end{kor}

\begin{kor}[Adjunktion von Quadratwurzeln]\label{kor:ajQ}%
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung von Grad zwei.  Dann entsteht $L$ aus $K$
  durch Adjunktion einer Quadratwurzel.  Genauer: es gibt Elemente $a ∈ L$ und
  $b ∈ K$, sodass Folgendes gilt.
  \begin{itemize}
  \item Es gilt die Gleichung $a² = b$.
    
  \item Es ist $L=K(a)$.
  \end{itemize}
\end{kor}
\begin{proof}
  \video{3-4} -- beachten Sie die mit einer PDF-Annotation angebrachte
  Verbesserung im Skript des Beweises.
\end{proof}

Der folgende Satz fasst unsere Ergebnisse zusammen.

\begin{satz}\label{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
  \begin{enumerate}
  \item\label{Satz_1_1_19_1} Es ist $[L:K] < ∞$.
    
  \item\label{Satz_1_1_19_2} Die Körpererweiterung $L$ ist algebraisch über $K$
    und es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n∈ L$, sodass $L = K(a_1, …,
    a_n)$ ist.
    
  \item\label{Satz_1_1_19_3} Es gibt endlich viele Elemente $a_1, …, a_n ∈ L$,
    die algebraisch über $K$ sind und die Körpererweiterung $L$ erzeugen: $L =
    K(a_1, …, a_n)$.
  \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_1}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_2}]
  Aus $[L:K] < ∞$ folgt für alle $a ∈ L$ sofort $[a:K] < ∞$, also sind alle
  diese Elemente algebraisch.  Um $a_1, …, a_n$ zu finden, kann man zum Beispiel
  einfach eine Basis von $L$ als $K$-Vektorraum wählen.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_2}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_3}]
  Hier ist nichts zu zeigen.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis Richtung \ref{Satz_1_1_19_3}$⇒$\ref{Satz_1_1_19_1}]
  Sei $L = K(a_1, …, a_n)$.  Betrachte die Körper $K_i := K(a_1, …, a_i)$ und
  die Kette von Erweiterungen
  \[
    K = K_0 ⊆ K_1 ⊆ ⋯ ⊆ K_n = L.
  \]
  Dann gilt für jeden Index $i < n$ die Gleichung $K_{i+1} = K_i(a_{i+1})$;
  insbesondere ist per Annahme („$a_{i+1}$ ist algebraisch über $K$“) und
  Satz~\ref{satz:3-5-4} die Erweiterung $K_{i+1}/K_i$ stets endlich.
  Wiederholte Anwendung von Satz~\ref{satz:3-6-1} liefert dann
  \[
    [L:K] = \prod_{i=0}^{n-1} [K_{i+1}:K_i],
  \]
  und diese Zahl ist endlich, weil jeder Faktor endlich ist.
\end{proof}


\section{Die Transitivität der Algebraizität}

Wir nennen zwei unmittelbare Folgerungen aus
Satz~\ref{Satz_aequivalenzen_Koerpererweiterungen}, die so fundamental wichtig
sind, dass sie einen eigenen Abschnitt verdienen.  Der erste ist der Satz über
die „Transitivität der Algebraizität“.

\begin{kor}[Transitivität der Algebraizität]\label{kor:TdA}%
  Es seien $L/K$ und $M/L$ zwei algebraische Körpererweiterungen.  Dann ist auch
  $M/K$ algebraisch.
\end{kor}
\begin{proof}
  \video{3-5}
\end{proof}

\begin{warnung}[Prüfungsfalle]
  Der Satz über die Transitivität der Algebraizität wird in Prüfungen sehr gern
  gefragt.  Beachten Sie, dass der Beweis ziemlich indirekt ist.  In Prüfungen
  sehen wir oft, dass Kandidatinnen und Kandidaten für ein gegebenes $a ∈ M$
  direkt ein Minimalpolynom konstruieren wollen.  Das hat in der Geschichte der
  Mathematik noch in keiner Prüfung funktioniert.  Lassen Sie das!
\end{warnung}

\begin{satzdef}[Algebraischer Abschluss in einem Oberkörper]\label{satzdef:aaieO}
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Dann bildet die Menge
  \[
    \overline{K} := \{ a ∈ L \::\: a \text{ ist algebraisch über } K \}
  \]
  einen Unterkörper von $L$, genannt der \emph{algebraische Abschluss von $K$ im
    Oberkörper $L$}\index{algebraischer Abschluss!in Oberkörper}
\end{satzdef}
\begin{proof}
  \video{3-6}
\end{proof}

\begin{kor}
  Die Menge $\overline{ℚ}$ der algebraischen Zahlen bildet einen Unterkörper
  von $ℂ$.  \qed
\end{kor}

\begin{warnung}[``Algebraischer Abschluss'' und ``Algebraischer Abschluss in Oberkörper'']\label{war:ababio}%
  Gegeben einen Körper $K$, werden wir später noch einen weiteren Begriff von
  „algebraischem Abschluss“ diskutieren, der nicht von der Wahl eines
  Oberkörpers abhängt.  Ganz wichtig: diese Begriffe bitte nicht verwechseln!
\end{warnung}


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
%%% End:
