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\chapter{Restklassenringe}

\sideremark{Vorlesung 11}Ich hatte am Anfang von Kapitel~\ref{chapt:09} schon
gesagt, warum wir uns für Ideale interessieren: Wir wollen --ähnlich wie bei der
Konstruktion des Quotientenvektoraumes in der Linearen Algebra-- einen
Quotienten von Ringen konstruieren.  Ich weiß aus Erfahrung, dass viele
Studierende ihre Probleme mit „Quotientenvektorräumen“ haben und nutze an dieser
Stelle normalerweise die Gelegenheit, um mit der Konstruktion des
Restklassenringes die Begriffe und Beweistechniken noch einmal zu wiederholen.
In diesem Semester geht das nicht, denn das Semester ist deutlich kürzer als in
normalen Jahren.  Ich verzichte deshalb im Folgenden sehr oft auf Beweise und
behaupte, dass „alles genau so geht, wie in der Linearen Algebra“.

\begin{warnung}
  Stellen Sie sicher, dass sie sich noch ausreichend gut an die Vorlesung
  „Lineare Algebra“ erinnern.  Beweisen Sie zur Probe einige Aussagen selbst --
  solche Sachen werden gern in Klausuren und mündlichen Prüfungen gefragt.
\end{warnung}


\section{Definition von Restklassenringen}

Genau wie die Quotientenvektorräume der Linearen Algebra sind Restklassenringe
durch folgende universelle Eigenschaft definiert.

\begin{defn}[Restklassenring]
  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal.  Ein
  \emph{Restklassenring}\index{Restklassenring} oder
  \emph{Quotientenring}\index{Quotientenring} ist ein kommutativer Ring $S$ mit
  Eins zusammen mit einem Ringmorphismus $φ : R → S$, sodass $\ker φ = I$ ist
  und so, dass die folgende universelle Eigenschaft gilt: ist $ψ : R → T$ ein
  weiterer Ringmorphismus mit $I ⊆ \ker ψ$, dann gibt es genau einen
  Ringmorphismus $h : S → T$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
  \[
    \begin{tikzcd}
      R \ar[r, "φ"] \ar[d, equal] & S \ar[d, "h"] \\
      R \ar[r, "ψ"'] & T.
    \end{tikzcd}
  \]
\end{defn}

Wie üblich folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Restklassenringen (wenn
Sie denn existieren) eindeutig sind bis auf eine eindeutige Isomorphie.  Man
spricht deswegen oft nicht ganz richtig von „dem“ Restklassenring und bezeichnet
„den“ Restklassenring mit $R/I$.


\section{Konstruktion von Restklassenringen}

Da Restklassenringe eindeutig durch die universelle Eigenschaft gegeben sind,
folgt alles, was man überhaupt über Restklassenringe sagen kann, aus der
universellen Eigenschaft -- mit einer Ausnahme: Existenz.  Wir beweisen die
Existenz wie immer nicht abstrakt, sondern indem wir eine konkrete Konstruktion
eines Restklassenringes angeben.

\begin{defn}[Kongruenz modulo Ideal]\label{def:kmi}%
  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I ⊂ R$ ein Ideal.  Zwei
  Elemente $a,b∈ R$ heißen \emph{kongruent modulo $I$}\index{Kongruenz modulo
  Ideal}, wenn $a-b ∈ I$ ist.  In diesem Fall ist die Schreibweise $a \equiv b
  \:\:(\operatorname{mod} I)$ üblich.
\end{defn}

\begin{lem}\label{lem:10-1-2}%
  In der Situation von Definition~\ref{def:kmi} gilt: Kongruenz modulo $I$ ist
  eine Äquivalenzrelation auf $R$.  Für ein gegebenes Element $a ∈ R$ ist die
  Äquivalenzklasse eines gegebenen Elementes $a ∈ R$ ist
  \begin{equation*}
    a+I = \{ a+b \::\: b∈ I \} \eqno\qed
  \end{equation*}
\end{lem}

\begin{notation}[Restklasse von $a$ modulo $I$]
  In der Situation von Lemma~\ref{lem:10-1-2} nennt man $a+I$ die
  \emph{Restklasse von $a$ modulo $I$}\index{Restklasse}.
\end{notation}

\begin{bsp}
  Der Name „Restklasse“ kommt von folgendem Beispiel.  Sei $R = ℤ$, sei $m ∈ ℕ$
  eine Zahl, und sei $I = (m)$.  Dann ist $a \equiv b \:\:(\operatorname{mod}
  I)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ bei der Division durch $m$ denselben Rest
  haben.  Die Kongruenz modulo $(m)$ zerlegt $ℤ$ also genau in die Restklassen
  \begin{equation*}
    0 + (m), 1+(m), 2+(m), …, m-1+(m).
  \end{equation*}
\end{bsp}

\begin{satz}[Existenz von Restklassenringen]\label{satz:exvrklr}%
  Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es sei $I⊂ R$ ein Ideal.  Die
  Äquivalenzrelation „Kongruenz modulo $I$“ werde mit $\sim$ bezeichnet.  Dann
  sind die folgenden Verknüpfungen es auf dem Quotienten\footnote{Erinnerung an
  die Lineare Algebra: Quotient nach Äquivalenzrelation = $R/\sim$ = Menge der
  Äquivalenzklassen} $S := R/\sim$ wohldefiniert:
  \[
    \begin{matrix}
      + : & S ⨯ S & → & S \\
      & ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a+b) + I \\
      \\
      · : & S ⨯ S & → & S \\
      & ((a+I), (b+I)) & ↦ & (a·b) + I.
    \end{matrix}
  \]
  Mit diesen Verknüpfungen ist $S$ ein kommutativer Ring mit Eins, die
  Restklassenabbildung\index{Restklassenabbildung}
  \begin{equation*}
    φ : R → S, \quad a ↦ a+I
  \end{equation*}
  ist ein Ringmorphismus.  Das Paar $S$ und $φ$ ist ein Restklassenring.  \qed
\end{satz}

Satz~\ref{satz:exvrklr} gibt eine explizite Konstruktion eines
Restklassenringes.  Manchmal lassen sich Restklassenringe und ihre Elemente auf
diese Art und Weise direkt beschreiben.

\begin{bsp}
  Es sei $K$ ein Körper, es sei $R = K[x]$ und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom vom
  Grad $n$.  Weiter sei $I = (f)$.  Die Elemente von $K[x]/(f)$ sind also von
  der Gestalt $g+(f)$.  In diesem Beispiel bilden die Polynome vom Grad $<n$ ein
  vollständiges Repräsentantensystem für die Kongruenz modulo $(f)$.  Mithilfe
  dieses Repräsentantensystems kann man die Multiplikation in $R/(f)$ wie folgt
  beschreiben
  \begin{equation*}
    \bigl(g_1+(f)\bigr)· \bigl(g_2+(f)\bigr) = h + (f)
  \end{equation*}
  wobei $h$ der Rest von $g_1· g_2$ bei der Division durch $f$ ist.  Ist $\deg f
  ≥ 1$, dann ist die Abbildung
  \begin{equation*}
    K → \factor{K[x]}{(f)}, \quad λ ↦ λ+(f)
  \end{equation*}
  injektiv und insbesondere ist $K[x]/(f)$ ein $K$-Vektorraum.
\end{bsp}


\section{Noch einmal: Körpererweiterungen und Restklassenringe}
\label{sec:10-3}

Der folgende Satz folgt wie in der Linearen Algebra aus der universellen
Eigenschaft.

\begin{prop}[Homomorphiesatz für Ringe]\label{Korollar_Homomorphiesatz}%
  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es sei $ψ : R → S$ ein
  surjektiver Ringmorphismus.  Dann ist die induzierte Abbildung
  \begin{equation*}
    h : \factor{R}{\ker ψ} → S
  \end{equation*}
  isomorph.  \qed
\end{prop}

Mithilfe des Homomorphiesatzes kann ich jetzt etwas genauer erklären, was
Restklassenringe mit unserem Ziel zu tun haben, Körpererweiterungen zu
verstehen.  Sei dazu $L/K$ eine Körpererweiterung, es sei $a ∈ L$ algebraisch
und es sei $f∈ K[x]$ das Minimalpolynom von $a$.  Betrachte nun den
Substitutionsmorphismus
\begin{equation*}
  ψ : K[x] → L, \quad g ↦ g(a).
\end{equation*}
\begin{description}
\item[Wie sieht der Kern von $ψ$ aus?] Ein Polynom $g$ ist offenbar genau dann
  im von $ψ$ Kern, wenn $g(a)=0$ ist.  Wir haben schon gesehen, dass $g$ dann
  ein Vielfaches von $f$ ist.  Kurz gesagt ist $\ker ψ = (f)$ das von $f$
  erzeugte Hauptideal.
  
\item[Wie sieht das Bild von $ψ$ aus?] Sei $n = [a:K]$.  Dann wissen wir schon,
  dass
  \begin{equation*}
    K(a) = K + K·a + ⋯ + K· a^{n-1}.
  \end{equation*}
  Also ist das Bild von $ψ$ gleich $K(a)$.
\end{description}
Zusammenfassend folgt aus dem Homomorphiesatz für Ringe, dass $K(a)$ isomorph
zum Restklassenring $K[x]/(f)$ ist.


\section{Ideale oben und unten}

Neben dem Homomorphiesatz für Ringe gelten noch einige andere Sätze, die wir aus
der linearen Algebra kennen („Kürzen“ von Untervektorräumen).  Um diese Sätze
korrekt zu formulieren, müssen wir erst verstehen, wie „Ideale in $R$“ und
„Ideale in $R/I$“ zusammenhängen.  Der folgende Satz formuliert den Zusammenhang
nicht nur für die Quotientenabbildung $φ : R → R/I$, sondern für beliebige
Ringmorphismen.  Kurz gesagt gilt: Urbilder von Idealen sind immer Ideale.
Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
--- dies ist zum Beispiel bei der Quotientenabbildung der Fall.

\begin{satz}[Urbilder von Idealen]
  Es sei $\varphi : R → S$ ein Morphismus von kommutativen Ringen mit Eins.  Wenn
  $I⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist die Urbildmenge $\varphi^{-1}(I)$ ein Ideal in
  $R$.  Ist $\varphi$ zusätzlich surjektiv, dann ist die Zuordnung
  \begin{equation*}
    \begin{matrix}
      \{\text{Ideale in }S \} & → & \{ \text{Ideale $J$ in $R$ mit $\ker ψ ⊆ J$}\} \\
      I & ↦ & \varphi^{-1} (I)
    \end{matrix}
  \end{equation*}
  eine Bijektion.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{11-1}
\end{proof}

\begin{satz}[Bilder von Idealen]\label{Satz_Ringmorphismus_Eigenschaften}
  Es sei $\varphi : R → S$ ein surjektiver Morphismus von kommutativen Ringen.
  Wenn $I ⊂ R$ ein Ideal ist, dann ist auch die Bildmenge $\varphi(I)$ ein
  Ideal.  Wenn $J ⊂ S$ ein Ideal ist, dann ist der Kern der Komposition
  \begin{equation*}
    R → S → \factor{S}{J}
  \end{equation*}
  exakt $\varphi^{-1}(J)$ und die Abbildung
  \begin{equation*}
    \begin{matrix}
      \factor{R}{\varphi^{-1}(J)} & → & \factor{S}{J} \\[2mm]
      a+\varphi^{-1}(J) & ↦ & \varphi(a)+J
      \end{matrix}
    \end{equation*}
    ist ein Isomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{11-2}
\end{proof}

\begin{notation}\label{not:xx}
  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I ⊂ J ⊂ R$ zwei
  Ideale.  Wir bezeichnen die Quotientenabbildung mit $φ : R → R/I$.  Dann wird
  das Ideal $φ(J)$ des Restklassenringes $R/I$ häufig mit $J/I$ bezeichnet.
\end{notation}

\begin{kor}
  Es sei $\varphi : R → S$ surjektiver Morphismus von kommutativen Ringen mit
  Eins.  Wenn $R$ noethersch ist (bzw.\ Hauptidealring) ist, dann ist auch $S$
  noethersch (bzw.\ ein Hauptidealring).  \qed
\end{kor}

\begin{bsp}
  Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal.  Dann ist der
  Quotientenring $K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
\end{bsp}

Der folgende Satz ist wieder eine Konsequenz der universellen Eigenschaft.  Die
Formulierung verwendet Notation~\ref{not:xx}.

\begin{prop}[Noetherscher Isomorphiesatz]
  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I ⊂ J ⊂ R$ zwei
  Ideale.  Dann sind die Restklassenringe
  \begin{equation*}
    \factor{R}{J} \quad\text{und}\quad \factor{(\factor{R}{I})}{(\factor{J}{I})}
  \end{equation*}
  in kanonischer Weise zueinander isomorph.  \qed
\end{prop}


\section{Primideale und maximale Ideale}

Die Diskussion in Abschnitt~\ref{sec:10-3} wirft die Frage auf, wann ein
Restklassenring der Form $K[x]/(f)$ eigentlich ein Körper ist.  Etwas
bescheidener: Wann ist ein Restklassenring $R/I$ nullteilerfrei?  Für den Ring
$ℤ$ haben wir die Antwort in der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennengelernt.  Der
Ring $ℤ/(m)$ ist genau dann nullteilerfrei, wenn er ein Körper ist, und dies ist
genau dann der Fall, wenn $m$ eine Primzahl ist.  Also müssen wir statt
„Primzahl“ jetzt den Begriff des „Primideals“ einführen.

\begin{defn}[Primideal]
  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
  \emph{Primideal}\index{Primideal}, falls $I \ne R$ ist und falls für alle $a$,
  $b ∈ R$ gilt:
  \begin{equation*}
    a·b ∈ I\quad⇒ \quad a∈ I \text{ oder } b∈ I.
  \end{equation*}
\end{defn}

\begin{bsp}
  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Ein Hauptideal $(0) ⊊ (p) ⊂ R$ ist
  genau dann ein Primideal, wenn $p ∈ R$ ein Primelement ist.
\end{bsp}

\begin{defn}[Maximales Ideal]
  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.  Ein Ideal $I ⊂ R$ heißt
  \emph{maximal}\index{maximales Ideal}, falls $I \ne R$ ist und falls für jedes
  Ideal $I ⊆ J ⊆ R$ gilt $J = I$ oder $J = R$.
\end{defn}

\begin{rem}
  Maximale Ideale sind Primideale.
\end{rem}

\begin{beobachtung}
  Körper werden unter den kommutativen Ringen dadurch charakterisiert, dass
  $(0)$ und $(1)$ die einzigen Ideale sind.  Mit anderen Worten: ein Ring ist
  genau dann ein Körper, wenn das Nullideal maximal ist.
\end{beobachtung}

Der folgende Satz charakterisiert Primideale und maximale Ideale in Termen des
Restklassenringes.  Das liefert weitere Beispiele.

\begin{satz}\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel}
  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.
  \begin{enumerate}
  \item\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel_1} Ein Ideal $p ⊂ R$ ist genau dann ein
    Primideal, wenn $R/p$ ein Integritätsring ist.
    
  \item\label{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel_2} Ein Ideal $m ⊂ R$ ist genau dann
    maximal, wenn $R/m$ ein Körper ist.  \qed
  \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bsp}
  Es sei $K$ ein Körper und es sei $R = K[x_1, …, x_n]$.  Wenn $a_1, …, a_n ∈ K$
  sind, dann ist das Ideal $(x_1-a_1, …, x_n-a_n)$ maximal.  Um diese Behauptung
  zu beweisen, betrachte man den Substitutionsmorphismus
  \begin{equation*}
    \varphi : K[x_1, …, x_n] → K, \quad g ↦ g(a_1, …, a_n).
  \end{equation*}
  Dann ist $\varphi$ surjektiv und es ist
  $\ker \varphi = (x_1-a_1, …, x_n-a_n)$.  Also ist
  \begin{equation*}
    K ≅ \factor{K[x_1, …, x_n]}{(x_1-a_1, …, x_n-a_n)}.
  \end{equation*}
  Satz~\ref{Satz_Hilfssatz_zu_Beispiel} liefert dann die gewünschte Aussage.
\end{bsp}


\section{Der Chinesische Restsatz}

Der Chinesische Restsatz ist langweilig, darf aber in keiner Vorlesung fehlen
und kommt auch in den allermeisten Klausuren und Prüfungen vor.  Dabei geht es
um folgende Aufgabe: Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, und es seien
Ideale $I_1, … I_n ⊂ R$ und Ringelemente $r_1, …, r_n∈ R$ gegeben.  Gesucht ist
ein $r∈ R$ (wenn es eines gibt), sodass die Gleichungen simultan erfüllt sind,
\[
  r \equiv r_1 \: (\operatorname{mod}{I_1}), \quad
  r \equiv r_2 \: (\operatorname{mod}{I_2}), \quad
  …, \quad
  r \equiv r_n \: (\operatorname{mod}{I_n}).
\]
Wenn ein solches Element $r$ überhaupt existiert, dann gilt für alle Indizes $k$
und $l$
\begin{equation*}
  r_k - r_l = \underbrace{r_k-r}_{∈ I_k} + \underbrace{r-r_l}_{∈ I_l} ∈ I_k + I_l.
\end{equation*}
Wenn $I_k + I_l = R$ sind, dann ist diese notwendige Bedingung automatisch
erfüllt, und der Chinesische Restsatz sagt, dass das Gleichungssystem dann auch
lösbar ist.

\begin{definition}[Teilerfremde Ideale]
  Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es seien $I_1$ und $I_2$ zwei
  Ideale in $R$.  Die Ideale heißen \emph{teilerfremd}\index{teilerfremde
    Ideale}, wenn $I_1 + I_2=R$ ist; dabei bezeichnet $I_1+I_2$ das Summenideal
  aus Beispiel~\vref{bsp:9-2-8}.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  Was hat diese Definition mit „Teilerfremdheit“ zu tun?  Schauen Sie sich den
  Euklidischen Algorithmus aus Beispiel~\vref{bsp:5-6-7} noch einmal an.  In der
  Situation des Beispiels~\ref{bsp:5-6-7} sind zwei Elemente $f$ und $g$
  gegeben.  Wenn $f$ und $g$ teilerfremd sind, ist $\ggT(f,g)=1$.  Der
  Euklidische Algorithmus zeigt aber, dass $\ggT(f,g) ∈ (f) + (g)$ ist.  Die
  Aussage, dass 1 in dem Ideal $(f) + (g)$ ist, ist aber gleichbedeutend damit,
  dass $(f) + (g)$ der gesamte Ring ist.
\end{bemerkung}

\begin{satz}[Chinesischer Restsatz]\label{Satz_Chinesischer_Restsatz}%
  \index{Chinesischer Restsatz}Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und es
  seien $I_1, …, I_n ⊂ R$ paarweise teilerfremde Ideale.  Dann ist der
  kanonische Ringhomomorphismus
  \begin{equation*}
    α : R → \underbrace{\factor{R}{I_1}⨯⋯⨯\factor{R}{I_n}}_{\genfrac{}{}{0pt}{1}{\text{Add.~und Mult.}}{\text{komponentenweise}}}, \quad a ↦ \Bigl( a+I_1, …, a+ I_n \Bigr)
  \end{equation*}
  surjektiv und es ist $\ker α = I_1 ∩ ⋯ ∩ I_n$.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{11-3}
\end{proof}


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